Einheit 3: Involutionen, ebene Polarsysteme & Ordnungscurven (Kegelschnitte)

Karl Georg Christian von Staudt — Geometrie der Lage (Nürnberg, 1847), §§ 9 & 18–19 (Art. 103–115, 235–257)

[Folio § 9 | p. 49]

§ 9. Involutionen in einförmigen Grundgebilden (Art. 103–115)

Art. 103. Entspricht in zwei auf demselben Träger liegenden projektivischen Grundgebilden irgendeinem Elemente $A$ dasselbe Element $A'$ im ersten wie im zweiten Sinne ($A \mapsto A'$ und $A' \mapsto A$), ohne daß alle Elemente mit sich selbst zusammenfallen, so entsprechen sich durchgängig alle Elemente wechselseitig ($X \leftrightarrow X'$), und das Gebilde heißt eine Involution.

Art. 106 (Vierecksatz der Involution). Die drei Paare Gegenseiten eines jeden vollständigen ebenen Vierecks $EFGH$ werden von jeder nicht durch eine Ecke gehenden Geraden $\ell$ in drei Punktepaaren einer Involution geschnitten.

Art. 109. Durch zwei Punktepaare $(A, A')$ und $(B, B')$ ist eine Involution vollkommen bestimmt:

  1. Trennen $(A, A')$ und $(B, B')$ einander nicht, so besitzt die Involution zwei reelle Ordnungspunkte (Doppelpunkte $M, N$), welche durch jedes Paar zugeordneter Punkte $(X, X')$ harmonisch getrennt werden: $(M, N; X, X') = -1$.

  2. Trennen $(A, A')$ und $(B, B')$ einander, so durchlaufen entsprechende Punkte die Gerade in einerlei Sinn und die Involution besitzt keine reellen Ordnungspunkte.

[Folio §§ 18–19 | p. 129]

§§ 18–19. Ebene Polarsysteme und Kurven zweiter Ordnung (Art. 235–257)

Art. 235 (§ 18 — Ebenes Polarsystem). Eine reziproke Zuordnung der Punkte und Geraden einer Ebene, bei welcher jeder Punkt $P$ einer Geraden $p = \pi(P)$ und jede Gerade $g$ einem Punkte $G = \pi(g)$ wechselseitig (involutorisch) so entspricht, daß aus $Q \in \pi(P)$ stets $P \in \pi(Q)$ folgt, heißt ein ebenes Polarsystem (Polarsystem); $P$ heißt der Pol von $p$, und $p$ die Polare von $P$.

Art. 238. Drei Punkte $A, B, C$, deren jeder der Pol der gegenüberliegenden Verbindungsgeraden ist, bilden ein Polardreieck. Durch ein Polardreieck und ein weiteres Pol-Polaren-Paar $(P, p)$ allgemeiner Lage ist das ebene Polarsystem eindeutig bestimmt.

Art. 242 (§ 19 — Rein synthetische Definition der Kegelschnitte). Liegen in einem ebenen Polarsystem Punkte auf ihren eigenen Polaren, so bilden:

  • alle Punkte $X$ der Ebene, welche in ihrer eigenen Polaren $\pi(X)$ liegen, eine Kurve zweiter Ordnung oder Ordnungscurve (einen Kegelschnitt);

  • dual alle Geraden $x$ der Ebene, welche durch ihren eigenen Pol $\pi(x)$ gehen, den zugehörigen Tangenten-Strahlenkranz (Hüllcurve zweiter Klasse).

Von Staudt §§ 18–19 (Arts. 246–257): Conic as Self-Conjugate Locus of a Polarity & Pascal's Line Curve of the second order defined as P in pi(P) with pole Q, chord polar pi(Q) = [P2 P3], tangents pi(P2), pi(P3), and collinear Pascal points M1, M2, M3. Q (pole of [P₂P₃]) P₁ P₂ ∈ π(P₂) P₃ ∈ π(P₃) P₄ P₅ P₆ M₁ M₂ M₃ Geometrie der Lage §§ 18–19: Conic defined purely as self-conjugate locus P ∈ π(P), yielding tangents [Q P₂], [Q P₃] and Pascal line [M₁ M₂ M₃]
**Ordnungscurve eines ebenen Polarsystems (§§ 18–19, Art. 235–249):** Die Kurve $\mathcal{C}$ ist der geometrische Ort aller selbstkonjugierten Punkte $X \in \pi(X)$; jede Sekante durch den Pol $P$ wird durch Kurve und Polare $p$ harmonisch geteilt: $(T_A, T_B; P, Q) = -1$.

Art. 245. Jede Gerade $g$ der Ebene hat mit einer Ordnungscurve $\mathcal{C}$ höchstens zwei Punkte gemein, nämlich die Ordnungspunkte der auf $g$ durch das Polarsystem ausgeschnittenen Involution konjugierter Punkte. Geht $g$ durch ihren eigenen Pol $T \in \mathcal{C}$, so berührt sie die Kurve in $T$ als Tangente; schneidet eine Sekante durch $P$ die Kurve in $T_A, T_B$ und die Polare $p = \pi(P)$ in $Q$, so sind $(T_A, T_B; P, Q)$ vier harmonische Punkte.

Art. 253. Aus dieser Polarerzeugung fließen unmittelbar Steiner <steiner>`s projektivische Strahlbüschelerzeugung sowie die Sechsecksätze von :person:`Pascal und Brianchon, ohne eines Kreiskegels im Raume oder einer Koordinatengleichung zu bedürfen.