Einheit 4: Rechnung mit Würfen — Summen, Produkte & projektivische Abscissen

Karl Georg Christian von Staudt — Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft (Nürnberg, 1857), §§ 19, 20, 29 (Art. 256–269, 403–404)

[Folio § 19 | p. 166]

§ 19. Rechnung mit Würfen — Begriff und Addition (Art. 256–267)

Art. 256. Vier Elemente $A, B, C, D$ eines einförmigen Grundgebildes bestimmen in einer festgesetzten Reihenfolge einen Wurf $(ABCD)$. Zwei Würfe $(ABCD)$ und $(A'B'C'D')$ heißen einander gleich, wenn die beiden Grundgebilde projektivisch so aufeinander bezogen werden können, daß den Elementen $A, B, C, D$ der Reihe nach die Elemente $A', B', C', D'$ entsprechen.

Wählt man auf einem geraden Träger $\ell$ drei feste verschiedene Grundpunkte $P_0$ (Nullpunkt), $P_1$ (Einheitspunkt) und $P_\infty$ (Grenzpunkt), so vertritt jeder von $P_\infty$ verschiedene Punkt $X$ der Geraden eindeutig den Wurf $(P_\infty P_0 P_1 X)$; $P_0$ vertritt den Nullwurf, $P_1$ den Einheitswurf.

Art. 259 (Summen von Würfen allein mit dem Lineal). Um zu zwei von $P_\infty$ verschiedenen Punkten $X, Y$ des Trägers $\ell$ in bezug auf $(P_0, P_1, P_\infty)$ den Summenpunkt $S = X + Y$ allein mittels des Lineals zu konstruieren:

  1. Man ziehe durch $P_\infty$ eine beliebige Hilfsgerade $m \neq \ell$ und nehme auf ihr zwei verschiedene Punkte $U, V$ außerhalb $\ell$ an.

  2. Man verbinde $[U P_0]$ und $[V X]$ bis zu ihrem Schnittpunkte $R = [U P_0] \cap [V X]$.

  3. Man ziehe die Perspektivitätsachse $a = [P_\infty R]$ durch $P_\infty$ und $R$.

  4. Man schneide $[U Y]$ mit $a$ in $T = [U Y] \cap a$; alsdann schneidet $[V T]$ den Träger $\ell$ in dem gesuchten Summenpunkte $S = X + Y$.

Von Staudt Beiträge § 19 (Arts. 256–267): Pure Straightedge Addition of Throws (P2 + P3 = P5) Straightedge addition on carrier line (P0, P1, P_inf) using horizon centers U, V on [P_inf U] and perspective axis a = [P_inf R]. P₀ (0) P₁ (1) P₂ (2) P₃ (3) P₅ = P₂ + P₃ P∞ U V R = [UP₀] ∩ [VP₂] T = [UP₃] ∩ a Beiträge § 19: Centers U, V ∈ [P∞ U] and axis a = [P∞ R] construct P₂ + P₃ = P₅ purely by straightedge with zero circles
**Summen von Würfen (1857 § 19, Art. 259):** Die durch $P_\infty$ gehende Zentrengerade $[P_\infty U V]$ und die Achse $a = [P_\infty R]$ liefern $S = X + Y$ allein durch sechs Linealschnitte.

Art. 262. Vermöge des Vierecksatzes ist $S$ von der Wahl der Hilfsgeraden $m$ und der Zentren $U, V$ völlig unabhängig, und es gelten allgemein die Gesetze:

\[X + P_0 = X, \qquad X + Y = Y + X, \qquad (X + Y) + Z = X + (Y + Z),\]

sowie für jedes $X \neq P_\infty$ die Existenz des entgegengesetzten Punktes $-X$ mit $X + (-X) = P_0$ als vierten harmonischen Punktes zu $(P_0, P_\infty; X)$.

[Folio § 20 | p. 174]

§ 20. Produkte aus Würfen (Art. 268–269)

Art. 268. Um in bezug auf dieselben Grundpunkte $(P_0, P_1, P_\infty)$ zu zwei Punkten $X, Y \in \ell \setminus \{P_0, P_\infty\}$ den Produktpunkt $P = X \cdot Y$ allein mit dem Lineal zu konstruieren:

  1. Man lege durch den Nullpunkt $P_0$ eine beliebige Hilfsgerade $c \neq \ell$ und wähle auf ihr zwei verschiedene Punkte $U, V$ außerhalb $\ell$.

  2. Man bestimme den Schnittpunkt $W = [U P_1] \cap [V X]$.

  3. Man ziehe durch den Grenzpunkt $P_\infty$ und $W$ die Perspektivitätsachse $a = [P_\infty W]$.

  4. Man schneide $[U Y]$ mit $a$ in $Z = [U Y] \cap a$; alsdann trifft $[V Z]$ den Träger $\ell$ in dem gesuchten Produktpunkte $P = X \cdot Y$.

Von Staudt Beiträge § 20 (Arts. 268–275): Pure Straightedge Multiplication of Throws (P2 · P3 = P6) Straightedge multiplication on (P0, P1, P_inf) using centers U, V collinear with P0 and perspective axis a = [P_inf W]. P₀ (0) P₁ (1) P₂ (2) P₃ (3) P₆ = P₂ · P₃ P∞ U V ∈ [P₀U] W = [UP₁] ∩ [VP₂] Z = [UP₃] ∩ a Beiträge § 20: Centers U, V ∈ [P₀ U] and axis a = [P∞ W] construct P₂ · P₃ = P₆ purely by straightedge incidence
**Produkte aus Würfen (1857 § 20, Art. 268):** Die durch $P_0$ gehende Zentrengerade $[P_0 U V]$ und die durch $P_\infty$ gehende Achse $a = [P_\infty W]$ lassen $P_0$ und $P_\infty$ fest und überführen $P_1 \mapsto X$, $Y \mapsto P = X \cdot Y$.

Art. 269. Für diese Rechnung mit Würfen gelten ohne jede Berufung auf Streckenlängen sämtliche Grundgesetze der Arithmetik: Kommutativität, Assoziativität und das Distributionsgesetz $X \cdot (Y + Z) = X \cdot Y + X \cdot Z$.

[Folio § 29 | p. 255]

§ 29. Harmonische Reihen und projektivische Koordinaten (Art. 403–404)

Art. 403. Durch fortgesetzte Addition des Einheitspunktes $P_1$ entsteht auf $\ell$ die harmonische Reihe $P_1, P_2, P_3, \dots, P_n, \dots$, worin durchgängig $(P_{n-1}, P_{n+1}; P_n, P_\infty)$ ein harmonisches Gebilde ist, und durch Umkehrung der Addition und Multiplikation entspricht jeder rationalen Zahl $p/q$ ein einziger konstruierbarer Punkt $P_{p/q}$ auf $\ell$.

Von Staudt Beiträge §§ 19 & 29 (Arts. 267, 404): Harmonic Scale & Projective Abscissae Projective integer scale P_-1, P_0, P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 generated by iterated harmonic quadrangles accumulating toward finite horizon P_inf. U V P_-1 P0 P1 P2 P3 P4 P5 P∞ (∞) Beiträge §§ 19 & 29: Each triple (P_{k−1}, P_k, P_{k+1}) is harmonic with P∞, assigning exact projective abscissae (P∞, P₀; P₁, P_k) = k
**Harmonische Reihe und projektivische Abscissen (1857 § 29, Art. 403–404):** Fortgesetzte Viereckskonstruktionen erzeugen die ganzzahligen Punkte $P_n$ auf dem Träger $\ell$ ohne jeden Zirkel oder Maßstab.

Art. 404. Vermöge der Stetigkeit der Anordnung kommt hierdurch jedem reellen Punkte $X \neq P_\infty$ des Trägers $\ell$ in bezug auf $(P_0, P_1, P_\infty)$ eine vollkommen bestimmte Zahl als projektivische Abscisse zu — gewonnen allein aus Verknüpfung und Anordnung, ehe irgendein Maßbegriff eingeführt wird.