Einheit 2: Vollständiges Viereck, harmonische Gebilde & Projektivität¶
Karl Georg Christian von Staudt — Geometrie der Lage (Nürnberg, 1847), §§ 6–8 (Art. 66–98)
§ 6. Harmonische Gebilde (Art. 66–74)¶
Art. 66. Vier in einer Ebene liegende Punkte $E, F, G, H$, von welchen keine drei in einer Geraden liegen, bestimmen sechs Verbindungsgerade (Seiten), die sich zu drei Paaren Gegenseiten ordnen:
Ein solches Gebilde heißt ein vollständiges ebenes Viereck, und die drei Schnittpunkte je zweier Gegenseiten heißen seine Diagonalpunkte. Dual bestimmen vier Gerade einer Ebene, von welchen keine drei durch einen Punkt gehen, ein vollständiges ebenes Vierseit mit sechs Ecken und drei Diagonalen.
Art. 67. Geht eine Gerade $\ell$ durch zwei Diagonalpunkte $A = [EF] \cap [GH]$ und $B = [FG] \cap [HE]$ eines vollständigen ebenen Vierecks $EFGH$, und schneiden die beiden übrigen Gegenseiten $[EG]$ und $[FH]$ die Gerade $\ell$ in $C$ und $D$, so heißen $A, C, B, D$ vier harmonische Punkte (harmonisches Gebilde), und zwar heißt $D$ der vierte harmonische Punkt zu $A, B, C$, zugeordnet dem Punkte $C$ in bezug auf das Paar $(A, B)$.
Art. 70 (Räumlicher Eindeutigkeitsbeweis). Durch drei in einer Geraden liegende Punkte $A, B, C$ ist der vierte harmonische Punkt $D$ vollkommen bestimmt und von der Wahl der Hilfsebene wie des vollständigen Vierecks unabhängig.
Beweis. Liegt ein zweites vollständiges Viereck $E'F'G'H'$ in einer anderen durch $\ell = [AB]$ gehenden Ebene $\alpha'$, dergestalt daß $[E'F'] \cap [G'H'] = A$, $[F'G'] \cap [H'E'] = B$ und $[E'G']$ durch $C$ geht, so schneiden sich $[EG]$ und $[E'G']$ in $C$; mithin liegen $[EE']$ und $[GG']$ in einer Ebene und schneiden sich in einem Zentrum $S$ außerhalb $\alpha$ und $\alpha'$. Aus $S$ projizieren sich $E, G, F, H$ unmittelbar in $E', G', F', H'$; folglich liegen $[FH]$ und $[F'H']$ in einer durch $S$ gehenden Ebene und treffen die Schnittgerade $\ell = \alpha \cap \alpha'$ in einem und demselben Punkte $D = D'$. Ein drittes in $\alpha$ selbst gelegenes Viereck stimmt ebenso mit $E'F'G'H'$ und daher auch mit $EFGH$ überein. $\blacksquare$
Art. 72. In jedem harmonischen Gebilde $(A, B; C, D)$ lassen sich die beiden Paare zugeordneter Elemente $(A, B)$ und $(C, D)$ miteinander sowie die beiden Elemente jedes Paares untereinander vertauschen; überdies trennen die Punkte $A, B$ stets die Punkte $C, D$.
§§ 7–8. Projektivische Grundgebilde und Hauptsatz (Art. 75–98)¶
Art. 76 (§ 7). Bei jeder perspektivischen Beziehung zweier einförmiger Grundgebilde entspricht jedem harmonischen Gebilde des einen ein harmonisches Gebilde des anderen.
Art. 93 (§ 8 — Rein synthetische Definition der Projektivität). Zwei einförmige Grundgebilde heißen projektivisch (projektivisch aufeinander bezogen), wenn jedem Elemente des einen ein einziges Element des anderen so zugeordnet ist, daß jedem harmonischen Gebilde in dem einen ein harmonisches Gebilde in dem anderen entspricht.
Art. 96 (Hauptsatz der projektiven Geometrie). Zwei einförmige Grundgebilde können auf eine und nur auf eine Weise projektivisch so aufeinander bezogen werden, daß drei gegebenen verschiedenen Elementen $A, B, C$ des einen drei gegebene verschiedene Elemente $A', B', C'$ des anderen entsprechen.
Denn aus $A, B, C$ ergibt sich mittels des vollständigen Vierecks allein durch das Lineal eindeutig der vierte harmonische Punkt $D_1$ und durch fortgesetzte harmonische Konstruktion eine unbegrenzte harmonische Reihe, deren Bildern in dem zweiten Grundgebilde dieselbe eindeutige Konstruktion zukommt. Hat daher eine Projektivität eines Grundgebildes auf sich selbst drei verschiedene festbleibende Elemente, so bleibt jedes Element desselben in Ruhe.