Einheit 1: Unendlich ferne Elemente, Reciprocität & einförmige Grundgebilde¶
Karl Georg Christian von Staudt — Geometrie der Lage (Nürnberg, 1847), Vorwort & §§ 1–5 (Art. 1–53)
Vorwort (Nürnberg, im August 1847)¶
Man hat in den neueren Zeiten wohl mit Recht die Geometrie der Lage von der Geometrie des Maßes unterschieden, indessen gleichwohl Sätze, in welchen von keiner Größe die Rede ist, gewöhnlich durch Betrachtung von Verhältnissen bewiesen. Ich habe daher in gegenwärtiger Schrift versucht, die Geometrie der Lage zu einer selbstständigen Wissenschaft zu machen, welche des Messens nicht bedarf.
Damit der Leser den wahren Zusammenhang unter denjenigen Eigenschaften der Figuren, welche bloß der Lage angehören, ungestört überblicken könne, habe ich jede metrische Beziehung — Länge einer Strecke, Größe eines Winkels, Flächeninhalt oder arithmetisches Doppelverhältnis — streng ausgeschlossen und alle Konstruktionen wie Beweise allein auf Verknüpfung, Anordnung und das Gesetz der Reciprocität gegründet.
§ 1. Raum, Flächen, Linien und Punkte (Art. 1–15)¶
Art. 1. Die Geometrie beschäftigt sich mit dem Raume und den Raumgebilden: Körpern, Flächen, Linien und Punkten. Jeder Körper wird von Flächen begrenzt; zwei aneinanderstoßende Teile einer Fläche begegnen sich in einer Linie; zwei aneinanderstoßende Teile einer Linie haben einen Punkt gemein. Umgekehrt beschreibt ein bewegter Punkt eine Linie, eine bewegte Linie im Allgemeinen eine Fläche, eine bewegte Fläche einen Raumteil.
Art. 4. Unter allen Linien ist die gerade Linie (die Gerade) durch je zwei ihrer Punkte vollkommen bestimmt: durch zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ geht stets eine und nur eine Gerade $[AB]$. Zwei verschiedene Gerade können nicht mehr als einen Punkt gemein haben.
Art. 7. Unter allen Flächen hat die Ebene die Eigenschaft, daß jede Gerade, welche zwei beliebige Punkte derselben verbindet, ganz in ihr liegt. Drei nicht in einer Geraden liegende Punkte $A, B, C$ bestimmen stets eine und nur eine Ebene $ABC$; ebenso bestimmen eine Gerade und ein außerhalb derselben liegender Punkt oder zwei sich schneidende Gerade eine einzige Ebene.
Art. 11. Zwei verschiedene Ebenen, welche einander begegnen, haben eine ganze Gerade gemein; denn jeder gemeinsame Punkt liegt auf einer beiderseitigen Schnittlinie, welche wegen der Grundeigenschaft der Ebene eine Gerade sein muß.
§ 2. Parallelismus und unendlich ferne Elemente (Art. 16–22)¶
Art. 16. Alle Geraden im Raume, welche zu einer gegebenen Geraden $g$ parallel sind, haben einerlei Richtung. Zwei parallele Gerade liegen in einer Ebene, ohne sich im Endlichen zu treffen; drei Gerade, welche derselben Geraden parallel sind, sind untereinander parallel und bilden ein Parallelstrahlenbündel.
Art. 18. Da alle Geraden eines Parallelstrahlenbündels sich gegen Ebenen und äußere Punkte ganz ebenso verhalten wie alle durch einen eigentlichen Punkt gehenden Geraden — indem durch jeden äußeren Punkt $P$ ein einziger Strahl der gegebenen Richtung geht —, so legen wir jeder Richtung einen einzigen unendlich fernen Punkt $P_\infty$ bei, durch welchen sämtliche zu ihr gehörigen Parallelen gehen.
Art. 20. Alle unendlich fernen Punkte der in einer Ebene $\alpha$ liegenden Geraden bilden eine einzige unendlich ferne Gerade $g_\infty$ dieser Ebene; parallele Ebenen haben dieselbe unendlich ferne Gerade gemein. Alle unendlich fernen Punkte und Geraden des Raumes aber liegen in einer einzigen unendlich fernen Ebene $\omega_\infty$.
Art. 22. Durch diese Vervollständigung des Raumes gelten fortan ausnahmslos die Grundgesetze der Verknüpfung:
Zwei verschiedene Punkte bestimmen stets eine einzige Gerade.
Zwei verschiedene in einer Ebene liegende Gerade haben stets einen einzigen Punkt gemein.
Zwei verschiedene Ebenen haben stets eine einzige Gerade gemein.
Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben stets einen einzigen Punkt gemein.
§§ 3–5. Gesetz der Reciprocität und einförmige Grundgebilde (Art. 23–53)¶
Art. 25 (§ 3). Nach Einführung der unendlich fernen Elemente herrscht im dreidimensionalen Raume durchgängig das Gesetz der Reciprocität (Dualitätsprinzip): jeder Satz der Geometrie der Lage bleibt wahr, wenn man durchweg die Begriffe Punkt und Ebene miteinander vertauscht und Gerade ungeändert läßt. In einer festen Ebene stehen sich Punkt und Gerade unmittelbar dual gegenüber.
Art. 36 (§ 4). Jede Gerade ist vermöge ihres unendlich fernen Punktes eine in sich zurücklaufende geschlossene Linie: ein einzelner Punkt $A$ zerlegt sie nicht, wohl aber zerlegen zwei Punkte $A, B$ die Gerade in zwei Strecken; zwei Punktepaare $(A, B)$ und $(C, D)$ heißen einander trennend, wenn in jeder der beiden Strecken $AB$ einer der Punkte $C, D$ liegt.
Art. 45 (§ 5). Als einförmige Grundgebilde (Grundgebilde erster Stufe) unterscheiden wir:
Das gerade Gebilde (die Punktreihe auf einem geraden Träger $\ell$).
Das ebene Strahlbüschel (alle Geraden einer Ebene durch einen festen Mittelpunkt $S$).
Das Ebenenbüschel (alle Ebenen durch eine feste Achse $g$).
Zwei Grundgebilde heißen perspektivisch aufeinander bezogen, wenn das eine ein unmittelbarer Schnitt oder Schein des anderen ist.