CAPITEL XLVII¶
Wie in jedem der genannten regulären Körper die Kugel gebildet werde.
Vorher, erhabener Herzog, haben wir, wie gesehen, von jedem der genannten fünf regelmässigen Körper nachgewiesen, dass er in die vorgelegte Kugel einbeschreibbar und von dieser umschreibbar sei; es bleibt jetzt angemessenerweise zu zeigen, wie auch die besagte Kugel jeden derselben sich einbeschreiben lasse. Daher werden wir hier im Folgenden mit evidenter Klarheit vorführen, dass auch umgekehrt die Kugel in jeden von ihnen eingeschrieben werden könne. Dies erhellt so: es mögen also vom Centrum der Kugel, welche jeden solchen Körper umschreibt, nach allen Grenzflächen derselben Senkrechte ausgehen oder gefällt werden.
Diese werden nothwendigerweise in die Centra der Kreise fallen, welche wir genau den besagten Flächen umschreiben. Und sofern alle Kreise, welche die genannten Flächen genau umschliessen, gleich sind, werden diese Senkrechten gleich sein. Wenn wir daher, der Grösse eines von ihnen entsprechend, einen Kreis um den Mittelpunkt der Kugel beschreiben werden, welche sie umfasst, und seinen Halbkreis herumführen, bis er zu der Stelle zurückkehrt, von wo er sich zu bewegen begann, so werden wir uns, da er nothwendigerweise durch alle Endpunkte aller Senkrechten gehen muss, zufolge des Corollars der fünfzehnten des dritten überzeugen, dass die durch die Bewegung dieses Halbmessers beschriebene Kugel alle Flächen des bezeichneten Körpers im Zusammenstosse der Senkrechten streife oder genau berühre.
Denn die Kugel kann nicht mehr von den Grundflächen des Körpers berühren, als der Halbkreis berührte, als er sich bewegte. Daher ist klar, dass wir dem bezeichneten Körper die Kugel einbeschrieben haben, wie es zu thun vorgeschlagen war.