II. Teil, IV. Kapitel & Anhang — Die Transzendenz der Zahl π und der Integraph

II. Abschnitt, IV. Kapitel (§§ 1–7, S. 53–64) & Anhang (§§ 1–3, S. 64–66; B. G. Teubner, 1895)

IV. Kapitel, § 1. Der allgemeine Lindemann’sche Satz

1. Der Beweis, den Lindemann (1882) für die Transzendenz von $\pi$ gegeben hat, erweitert unmittelbar den Hermite'schen Gedankengang (1873), indem an Stelle einzelner Potenzen $e^\kappa$ symmetrische Summen über zusammengehörige algebraische Zahlen treten:

Allgemeiner Lindemann’scher Satz: Es ist unmöglich, dass die Zahl $e$ einer Gleichung mit reellen ganzen Koeffizienten ($C_0 \neq 0$) von der Form

\[C_0 + C_1\bigl(e^{\kappa_1} + e^{\kappa_2} + \dots + e^{\kappa_N}\bigr) + C_2\bigl(e^{l_1} + e^{l_2} + \dots + e^{l_{N'}}\bigr) + \dots = 0\]

genüge, worin $\kappa_1, \dots, \kappa_N$ (für sich) die von Null verschiedenen Wurzeln einer ganzzahligen Gleichung $a\kappa^N + a_1\kappa^{N-1} + \dots + a_N = 0$ ($a > 0,\; a_N \neq 0$), $l_1, \dots, l_{N'}$ (für sich) die Wurzeln von $b l^{N'} + b_1 l^{N'-1} + \dots + b_{N'} = 0$ ($b > 0,\; b_{N'} \neq 0$) usw. bedeuten (unter Einschluss komplexer Grössen). In Leibniz' Ausdrucksweise—der $x^\lambda$ für irrationales algebraisches $\lambda$ interszendent nannte—ist $e$ nicht einmal eine interszendente, sondern eine transzendente Zahl höherer Ordnung.

Damit die rationalen symmetrischen Funktionen der Wurzeln gewöhnliche ganze Zahlen werden, ziehen wir die ganzen algebraischen Zahlen $a\kappa_1, \dots, a\kappa_N$ heran, welche der normierten Gleichung

\[(a\kappa)^N + a_1(a\kappa)^{N-1} + a_2 a(a\kappa)^{N-2} + \dots + a_N a^{N-1} = 0\]

genügen (und entsprechend $b l_1, \dots, b l_{N'}$).

IV. Kapitel, §§ 2–3. Das verallgemeinerte Hilfspolynom und der Beweis

2. Mit dem Gordan'schen Symbol $h^r = r!$ (1893) wählen wir als Multiplikator $M = \varphi(h)$, gebildet aus

\[\varphi(x) = \frac{x^{p-1}\bigl[(\kappa_1 - x)\cdots(\kappa_N - x)\bigr]^p\,\bigl[(l_1 - x)\cdots(l_{N'} - x)\bigr]^p \cdots a^{Np + N'p + \dots}\,b^{Np + N'p + \dots}\cdots}{(p - 1)!},\]

wobei die Primzahl $p$ grösser als $|C_0|, a, b, \dots, |a_N|, |b_{N'}|, \dots$ gewählt wird und später unbegrenzt wächst. Es ergeben sich wieder drei Eigenschaften:

  1. $\varphi(h)$ ist eine ganze, durch $p$ nicht teilbare Zahl ($\neq 0$): In $\varphi(h) = \sum_{r=p-1}^{Np+N'p+\dots+p-1} c_r h^r$ hebt sich für $h^r = r!$ der Nenner $(p - 1)!$ überall fort; alle Glieder ab $r = p$ sind durch $p$ teilbar, während das Anfangsglied ($r = p - 1$) den durch $p$ nicht teilbaren ganzzahligen Wert $(-1)^{p(N+N'+\dots)} a_N^p b_{N'}^p \cdots a^{(N-1)p + N'p + \dots} b^{Np + (N'-1)p + \dots}$ besitzt.

  2. Beliebige Kleinheit für $p \to \infty$: Bei festem endlichem $x$ werden sowohl $\varphi(x) = \sum c_r x^r$ als auch $\sum |c_r|\,|x|^r$ mit unbegrenzt wachsendem $p$ beliebig klein.

  3. Jede Summe $\sum_{\nu=1}^N \varphi(\kappa_\nu + h)$ ist eine ganze, durch $p$ teilbare Zahl: In $\varphi(\kappa_\nu + h)$ wird der $\nu$-te Faktor gleich $(-h)$, sodass die niedrigste Potenz $h^p$ ist; die Summation über $\nu = 1, \dots, N$ liefert ganzzahlige symmetrische Funktionen in $a\kappa_\nu, b l_\mu, \dots$ multipliziert mit $\frac{r!}{(p - 1)!}$ ($r \ge p$), also durchweg ganze durch $p$ teilbare Zahlen!

3. Für komplexe Exponenten $\kappa_\nu = \kappa' + i\kappa''$ mit $|\kappa_\nu| = \sqrt{{\kappa'}^2 + {\kappa''}^2}$ lautet die Reihengliedspaltung

\[e^{\kappa_\nu}\cdot h^r = (\kappa_\nu + h)^r + q_{r, \kappa_\nu}\,\kappa_\nu^r\,e^{|\kappa_\nu|} \qquad \bigl(|q_{r, \kappa_\nu}| < 1\bigr).\]

Multiplikation der angenommenen Gleichung mit $\varphi(h)$ liefert daher

\[\Biggl[C_0\varphi(h) + C_1\sum_{\nu=1}^N \varphi(\kappa_\nu + h) + C_2\sum_{\mu=1}^{N'} \varphi(l_\mu + h) + \dots\Biggr] + \Biggl[C_1\sum_{\nu=1}^N e^{|\kappa_\nu|}\sum_r c_r \kappa_\nu^r q_{r, \kappa_\nu} + \dots\Biggr] = 0,\]

worin die erste Zeile eine durch $p$ nicht teilbare ganze Zahl ($\neq 0$) ist, die zweite Zeile aber für hinreichend grosses $p$ dem Betrage nach $< 1$ wird—ein Widerspruch!

IV. Kapitel, § 4. Das Lindemann’sche Korollar

4. Hieraus folgt unmittelbar das weit allgemeinere Lindemann’sche Korollar:

  1. Unverknüpfte algebraische Exponenten bei ganzen Koeffizienten: Wäre $C'_0 + C'_1 e^{\kappa_1} + C'_2 e^{l_1} + \dots = 0$ ($C'_i \in \mathbb{Z}$) für paarweise verschiedene algebraische Exponenten, so liefert das Produkt $\prod_{\alpha, \beta, \dots} (C'_0 + C'_1 e^{\kappa_\alpha} + C'_2 e^{l_\beta} + \dots)$ über sämtliche konjugierten Wurzeln einen Ausdruck mit symmetrisch zusammengesetzten Exponentenfamilien, der nach dem Lindemann’schen Satze nicht verschwinden kann; also kann auch kein Faktor verschwinden.

  2. Algebraische Koeffizienten und algebraische Exponenten: Dürfen überdies auch die Koeffizienten $C_0, C_1, C_2, \dots$ beliebige (nicht sämtlich verschwindende) algebraische Zahlen sein, so führt die Produktbildung über alle konjugierten Werte $C_0^{(\alpha)}, C_1^{(\beta)}, C_2^{(\gamma)}, \dots$ auf rationale (und nach Multiplikation mit dem Hauptnenner ganzzahlige) Koeffizienten zurück: In einer nicht-trivialen Gleichung $C_0 + C_1 e^\kappa + C_2 e^l + \dots = 0$ mit verschiedenen Exponenten können Koeffizienten und Exponenten niemals gleichzeitig sämtlich algebraische Zahlen sein!

IV. Kapitel, §§ 5–7. Folgerungen für $\pi$, $y = e^x$ und $y = \arcsin x$

  • 5. Transzendenz von $\pi$: In Eulers Gleichung $1 + e^{i\pi} = 0$ sind die Koeffizienten $1, 1$ (und der Exponent $0$ in $1 = e^0$) algebraisch; folglich muss der Exponent $i\pi$—und damit die Zahl $\pi$ selbst—transzendent sein!

  • 6. Die Exponentialkurve $y = e^x$ ($x = \ln y$): Abgesehen vom einzigen Punkte $(x = 0,\; y = 1)$ können $x$ und $y$ in $y = e^x$ niemals gleichzeitig algebraisch sein: die Kurve $y = e^x$ windet sich durch das überall dichte Netz sämtlicher algebraischen Punkte $(x, y)$ der Ebene hindurch, ohne einen einzigen ausser $(0, 1)$ zu treffen!

  • 7. Die Sinusoide $y = \arcsin x$: Wegen $2ix = e^{iy} - e^{-iy}$ geht ebenso die Kurve $y = \arcsin x$ ausser durch den Ursprung $(0, 0)$ durch keinen einzigen algebraischen Punkt der Ebene.

Anhang (§§ 1–3). Der Integraph und die geometrische Konstruktion von $\pi$

1. Durch den Lindemann’schen Satz ist die Unmöglichkeit der Kreisquadratur in weit allgemeinerem Sinne als im Altertum dargetan: $\pi$ lässt sich nicht nur nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren, sondern auch durch keine einzige höhere algebraische Kurve als Ordinate zu einer rationalen oder algebraischen Abszisse ausschneiden! Eine wirkliche Konstruktion von $\pi$ erfordert daher einen stetig arbeitenden transzendenten Apparat.

2. Ein solcher Apparat ist der von dem Ingenieur Bruno Abdank-Abakanowicz erfundene (Die Integraphen, Teubner, 1889; Les intégraphes, Gauthier-Villars, 1889) und von G. Coradi in Zürich ausgeführte Integraph. Ist eine Differentialkurve $y = f(x)$ vorgelegt, so bildet das Gestänge zum Fahrstiftpunkte $(x, y)$ das rechtwinklige Hilfsdreieck $(x, y), (x, 0), (x - 1, 0)$, dessen Hypotenuse gegen die $x$-Achse die Steigung $\tan\vartheta = y$ besitzt; ein scharfkantiges, durch ein Gewicht angedrücktes vertikales Rädchen wird stets parallel zu dieser Hypotenuse geführt und zwingt den Zeichenstift $(X, Y)$ in die Richtung $\frac{dY}{dX} = y$, sodass er in stetigem Zuge die Integralkurve $Y = F(x) = \int f(x)\,dx$ aufzeichnet.

Abdank-Abakanowicz’s Integraph: Mechanical Quadrature of x² + y² = r² (Klein Fig. 16) (0, πr²/2) (r, πr²/4) (−r, −πr²/4)
Konstruktive Quadratur des Kreises durch den Integraphen von Abdank-Abakanowicz (Klein Anhang, §§ 2–3): Der Fahrstift auf x^2 + y^2 = r^2 steuert die Rädchenneigung tan(vartheta) = y und zeichnet Y = (r^2/2) arcsin(x/r) + (x/2) sqrt(r^2 - x^2) mit den Achsenabschnitten +-pi*r^2/4 und +-pi*r^2/2.

3. Wählt man als Differentialkurve den Kreis $x^2 + y^2 = r^2$, so verzeichnet der Integraph die aus kongruenten Zweigen bestehende Integralkurve

\[Y = \int \sqrt{r^2 - x^2}\,dx = \frac{r^2}{2}\arcsin\frac{x}{r} + \frac{x}{2}\sqrt{r^2 - x^2},\]

welche auf der $Y$-Achse ($X = 0$) die Ordinaten $0,\; \pm\frac{\pi r^2}{2},\; \dots$ und auf den Geraden $X = \pm r$ die Ordinaten $\pm\frac{\pi r^2}{4},\; \pm\frac{3\pi r^2}{4},\; \dots$ ausschneidet—für $r = 1$ also eine scharfe, mühelose mechanische Konstruktion von $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$ und $\pi$ im unmittelbaren Geiste der antiken Quadratrix!