II. Teil, III. Kapitel — Die Transzendenz der Zahl e

II. Abschnitt, III. Kapitel (§§ 1–3; B. G. Teubner, 1895, S. 47–53)

§ 1. Praktische und theoretische Konvergenz; Anlage des indirekten Beweises

1. An die Spitze unserer Untersuchung stellen wir die für alle endlichen Werte von $x$ konvergente Reihe

\[e^x = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^s}{s!} + \dots,\]

wobei der Unterschied zwischen praktischer und theoretischer Konvergenz hervorzuheben ist: für $x = 1000$ wäre eine numerische Berechnung aus der Reihe praktisch unausführbar, und doch wächst vom $1000$-sten Gliede an die Fakultät $s!$ im Nenner rascher als $x^s$ im Zähler, sodass für jedes endliche $x$ gilt:

\[\lim_{s \to \infty} \frac{x^s}{s!} = 0.\]

Behauptung (:person:`Hermitescher <hermite>` Satz, :cite:`1873 <hermite:1873>`): $e$ ist keine algebraische Zahl; eine Gleichung mit teilerfremden ganzzahligen Koeffizienten ($C_0 \neq 0$)

\[F(e) = C_0 + C_1 e + C_2 e^2 + \dots + C_n e^n = 0\]

ist unmöglich.

Zum indirekten Beweise multiplizieren wir $F(e) = 0$ mit einer geeigneten ganzen Zahl $M$, sodass sich jedes Produkt $M e^\kappa = M_\kappa + \varepsilon_\kappa$ in eine ganze Zahl $M_\kappa$ und einen kleinen Rest $\varepsilon_\kappa$ spaltet:

\[M F(e) = \bigl(M C_0 + M_1 C_1 + \dots + M_n C_n\bigr) + \bigl(C_1 \varepsilon_1 + \dots + C_n \varepsilon_n\bigr) = 0,\]

wobei der ganzzahlige Bestandteil $G = M C_0 + \dots + M_n C_n$ bei Division durch eine Primzahl $p$ einen von Null verschiedenen Rest lässt (also $G \neq 0$), während $\sum C_\kappa \varepsilon_\kappa$ ein beliebig kleiner echter Bruch wird—ein offenbarer Widerspruch!

§ 2. Das Symbol $h^r = r!$ und Gordans Hilfspolynom $\varphi(x)$

2. Nach Gordan (1893) verstehen wir unter dem Symbol $h^r$ kurz die Fakultät $r!$: für ein ausgerechnetes Polynom $\varphi(x) = \sum c_r x^r$ bedeutet $\varphi(h) = \sum c_r h^r = \sum c_r\,r!$, während bei einem nicht entwickelten Ausdruck wie $\varphi(\kappa + h)$ zuerst formal nach Potenzen von $h$ zu ordnen und erst danach $h^r = r!$ einzutragen ist.

Wir wenden dies auf das merkwürdige Polynom an:

\[\varphi(x) = \frac{x^{p-1}\bigl[(1 - x)(2 - x)\cdots(n - x)\bigr]^p}{(p - 1)!},\]

worin $n$ den Grad von $F(e) = 0$ und $p$ eine Primzahl mit $p > n$ und $p > |C_0|$ bezeichnet, die wir später über alle Grenzen wachsen lassen. Geometrisch schmiegt sich die Kurve $y = \varphi(x)$ in $x = 1, 2, \dots, n$ die Achse durchsetzend eng an die $x$-Achse an, in $x = 0$ dagegen ohne Durchsetzung. Wir stellen drei Haupteigenschaften von $\varphi$ fest:

1. Verschwinden für $p \to \infty$: Bei festem endlichem $x$ und wachsendem $p$ verschwindet wegen der Fakultät $(p - 1)!$ im Nenner nicht nur $\varphi(x) = \sum c_r x^r$, sondern—wenn man im unentwickelten Ausdruck überall $(-x)$ durch $+|x|$ ersetzt—auch die Summe der absoluten Beträge $\sum_{r=p-1}^{np+p-1} |c_r|\,|x|^r \to 0$.

2. $\varphi(h)$ ist eine ganze, nicht durch $p$ teilbare Zahl: In $\varphi(h) = \sum_{r=p-1}^{np+p-1} c_r h^r$ hebt sich für $h^r = r!$ der Nenner $(p - 1)!$ überall fort; alle Glieder ab $r = p$ enthalten den Faktor $p$, bis auf das erste Glied ($r = p - 1$):

   \[\frac{(1\cdot 2 \cdots n)^p\,(p - 1)!}{(p - 1)!} = (n!)^p \not\equiv 0 \pmod p \qquad (\text{da } p > n).\]

   Also gilt $\varphi(h) \equiv (n!)^p \not\equiv 0 \pmod p$, mithin $\varphi(h) \neq 0$.

3. Für $\kappa = 1, 2, \dots, n$ ist $\varphi(h + \kappa)$ eine ganze, durch $p$ teilbare Zahl: In

   \[\varphi(h + \kappa) = \frac{(\kappa + h)^{p-1}\bigl[(1 - \kappa - h)\cdots(-h)\cdots(n - \kappa - h)\bigr]^p}{(p - 1)!} = \sum_{r=p}^{np+p-1} c'_r h^r\]

   wird der $\kappa$-te Klammerfaktor gleich $(-h)$, sodass die niedrigste Potenz $h^p$ lautet. Nach Einsetzen von $h^r = r!$ ($r \ge p$) behalten sämtliche Glieder (beginnend mit $(-1)^{\kappa p} \kappa^{p-1}[(\kappa-1)!(n-\kappa)!]^p \cdot p$) den Primfaktor $p$!

§ 3. Spaltung von $e^\kappa \varphi(h)$ und Vollendung des Beweises

3. Wir wählen $M = \varphi(h)$ und spalten in $e^\kappa \varphi(h) = \sum_r c_r (e^\kappa h^r)$ jedes einzelne Glied $e^\kappa h^r$ vermöge $h^r = r!$:

\[\begin{split}\begin{aligned} e^\kappa \cdot h^r &= h^r + \frac{r}{1} h^{r-1}\kappa + \frac{r(r-1)}{1\cdot 2} h^{r-2}\kappa^2 + \dots + \kappa^r + \kappa^r\left[\frac{\kappa}{r + 1} + \frac{\kappa^2}{(r + 1)(r + 2)} + \dots\right] \\ &= (h + \kappa)^r + q_{r,\kappa}\,\kappa^r e^\kappa, \end{aligned}\end{split}\]

worin $0 < q_{r,\kappa} < 1$ ein echter positiver Bruch ist (da jedes Reihenglied in der eckigen Klammer kleiner als das entsprechende Glied von $1 + \frac{\kappa}{1!} + \frac{\kappa^2}{2!} + \dots = e^\kappa$ ist). Summation über $r$ liefert die Spaltung

\[e^\kappa \varphi(h) = \varphi(h + \kappa) + \varepsilon_\kappa, \qquad \varepsilon_\kappa = e^\kappa \sum_r q_{r,\kappa} c_r \kappa^r.\]

Setzen wir dies in $\varphi(h) F(e) = 0$ ein, so erhalten wir

\[\underbrace{C_0 \varphi(h) + C_1 \varphi(h + 1) + \dots + C_n \varphi(h + n)}_{=\;G \;\equiv\; C_0 \varphi(h) \;\not\equiv\; 0 \pmod p} + \sum_{\kappa=1}^n C_\kappa \varepsilon_\kappa = 0.\]

Nach 2b und 2c sowie $0 < |C_0| < p$ ist $G$ eine von Null verschiedene ganze Zahl, während nach 2a für hinreichend grosses $p$ der Restbruch $\left|\sum_{\kappa=1}^n C_\kappa \varepsilon_\kappa\right| < 1$ wird. Damit ist die Unmöglichkeit von $F(e) = 0$—der Hermitesche Satz—bewiesen.