II. Teil, I. Kapitel — Der Cantor’sche Beweis von der Existenz transzendenter Zahlen¶
Zweiter Abschnitt: Die transzendenten Zahlen und die Quadratur des Kreises — I. Kapitel (§§ 1–3; B. G. Teubner, 1895, S. 38–43)
§ 1. Rationale, algebraische und transzendente Zahlen¶
1. Trägt man die Zahlen als Punkte auf der Abszissenachse auf und beschränkt sich auf die rationalen Zahlen, so wird die Achse durch diese Punktreihe „überall dicht“ erfüllt: in jedem noch so kleinen Zwischenraume liegen unendlich viele rationale Punkte. Gleichwohl wird, wie schon die Alten erkannten, das Kontinuum dadurch nicht erschöpft; zwischen die rationalen schieben sich die irrationalen Zahlen ein, und es fragt sich, ob innerhalb der Irrationalzahlen weitere prinzipielle Unterscheidungen bestehen.
Wir nennen jede reelle Wurzel $\omega$ einer ganzzahligen algebraischen Gleichung
eine algebraische Zahl (wozu für $n = 1$ die rationalen Zahlen gehören). Bildet nun die Gesamtheit aller reellen algebraischen Zahlen bereits das volle Kontinuum, oder bleibt sie eine durchbrochene Punktreihe, in deren Lücken sich nicht-algebraische—sogenannte transzendente Zahlen—einreihen lassen?
Zuerst hat Liouville (Comptes rendus, 1844; Liouville’s Journal, Bd. 16, 1851) mittels ziemlich komplizierter Kettenbruchbetrachtungen die Existenz transzendenter Zahlen nachgewiesen. Wesentlich einfacher und begrifflich durchsichtiger gestaltet sich der Beweis durch Georg Cantors fundamentale Abhandlung Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen (Crelle's Journal, Bd. 77, 1874 [1873]), verbunden mit dem Diagonalgedanken, den Cantor 1891 auf der Naturforscherversammlung in Halle vortrug.
§ 2. Abzählbarkeit, Mächtigkeit und die Höhe einer algebraischen Gleichung¶
2. Der Beweis beruht darauf, dass die reellen algebraischen Zahlen eine abzählbare Menge bilden, das Kontinuum hingegen nicht: die Mannigfaltigkeit der reellen algebraischen Zahlen und die Mannigfaltigkeit der positiven ganzen Zahlen $1, 2, 3, \dots$ lassen sich ein-eindeutig aufeinander beziehen. Der scheinbare Widerspruch, dass die positiven ganzen Zahlen nur ein echter Teil der algebraischen Zahlen sind, beruht auf einem falschen Analogieschluss aus dem Endlichen: für unendliche Mengen verliert der Satz, dass der Teil kleiner als das Ganze sei, seine Gültigkeit (wie schon $n \leftrightarrow 2n$ zeigt). An Stelle von „gross“ und „klein“ setzt Cantor den Begriff der Mächtigkeit: zwei unendliche Mengen haben dieselbe Mächtigkeit, wenn sie sich ein-eindeutig aufeinander beziehen lassen.
Jede reelle algebraische Zahl genügt genau einer irreduziblen Gleichung mit teilerfremden ganzen Koeffizienten und $a_0 > 0$. Wir ordnen diese Gleichungen nach ihrer Höhe
Zu jedem gegebenen $N$ gehört wegen $n \le N$ und $|a_0| + \dots + |a_n| = N - (n - 1)$ nur eine endliche Anzahl irreduzibler Gleichungen und folglich nur eine endliche Anzahl $\varphi(N)$ reeller algebraischer Zahlen:
$N$ |
$n$ |
$(|a_0|, |a_1|, \dots)$ |
Irreduzible Gleichungen (reell) |
$\varphi(N)$ |
Zugehörige algebraische Zahlen $\omega$ |
|---|---|---|---|---|---|
$1$ |
$1$ |
$(1, 0)$ |
$\omega = 0$ |
$1$ |
$0$ |
$2$ |
$1$ |
$(1, 1)$ |
$\omega \pm 1 = 0$ |
$2$ |
$-1,\; +1$ |
$3$ |
$1$ |
$(1, 2),\; (2, 1)$ |
$\omega \pm 2 = 0,\; 2\omega \pm 1 = 0$ |
$4$ |
$-2,\; -\frac{1}{2},\; +\frac{1}{2},\; +2$ |
$4$ |
$1, 2$ |
$(1, 3), (3, 1)$; $(1, 1, 1), (1, 0, 2), (2, 0, 1)$ |
$\omega \pm 3 = 0$, $3\omega \pm 1 = 0$, $\omega^2 \pm \omega - 1 = 0$, $\omega^2 - 2 = 0$, $2\omega^2 - 1 = 0$ |
$12$ |
$\pm 3,\; \pm\frac{1}{3},\; \frac{\pm 1 \pm \sqrt{5}}{2},\; \pm\sqrt{2},\; \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ |
Damit lassen sich sämtliche reellen algebraischen Zahlen in eine einzige durchnummerierte Folge $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots$ bringen.
§ 3. Cantors Diagonalverfahren zur Bildung transzendenter Zahlen¶
3. Schreiben wir sämtliche algebraischen Zahlen $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \dots$ unserer Tabelle als unendliche Dezimalbrüche untereinander. Sollen nun in einem noch so kleinen Intervalle—etwa bei vorgeschriebenen ersten fünf Dezimalstellen—transzendente Zahlen angegeben werden, so wählen wir nach Cantor:
als 6. Dezimalstelle eine Ziffer verschieden von $9$ und verschieden von der 6. Dezimalstelle von $\omega_1$,
als 7. Dezimalstelle eine Ziffer verschieden von $9$ und verschieden von der 7. Dezimalstelle von $\omega_2$,
allgemein als $(5 + k)$-te Dezimalstelle eine Ziffer verschieden von $9$ und verschieden von der $(5 + k)$-ten Dezimalstelle von $\omega_k$.
Der so gebildete Dezimalbruch endigt niemals auf lauter Neunen (wodurch jede Mehrdeutigkeit der Dezimaldarstellung ausgeschlossen ist) und weicht von jeder algebraischen Zahl $\omega_k$ der vollständigen Tabelle mindestens an der $(5 + k)$-ten Stelle ab—er ist also gewiss transzendent! Da uns überdies auf jeder Stufe acht Ziffern zur freien Verfügung bleiben, lassen sich in jedem noch so kleinen Intervalle gewissermassen $8^\infty$ transzendente Zahlen bilden: es gibt unendlich viel mehr transzendente als algebraische Zahlen.