I. Teil, V. Kapitel — Allgemeines über algebraische Konstruktionen¶
I. Abschnitt, V. Kapitel (§§ 1–5; B. G. Teubner, 1895, S. 32–37)
§ 1. Konstruktionen durch Papierfalten (Wiener und Sundara Row)¶
1. Indem wir die Konstruktionen mit Zirkel und Lineal nunmehr verlassen, erwähnen wir noch der Merkwürdigkeit halber eine neuerdings vorgeschlagene einfache Konstruktionsart: das Falten von Papier. Hermann Wiener hat angegeben (vgl. W. Dyck, Katalog der Münchener mathematischen Ausstellung von 1893, Nachtrag, S. 52), wie man sich durch Papierfalten die Netze der regulären Körper verschaffen kann. Eigentümlicherweise hat zu derselben Zeit ein indischer Mathematiker, T. Sundara Row in Madras, ein kleines Buch über Papierfalten (1893) erscheinen lassen, worin gezeigt wird, wie man durch Falten beliebig viele Punkte krummer Linien (z. B. Ellipse, Cissoide) konstruieren kann.
§ 2. Lösung kubischer und biquadratischer Gleichungen mittels Kegelschnitten¶
2. Mit welchen Hilfsmitteln ist es möglich—und wie haben es insbesondere die Alten erreicht—, Probleme, die sich algebraisch als kubische Gleichungen oder Gleichungen höheren Grades darstellen, geometrisch zu lösen?
In erster Linie bieten sich hierzu die Kegelschnitte dar, mit deren Hilfe die Alten sowohl die Würfelverdoppelung als auch die Dreiteilung des Winkels lösten. In der Sprache der modernen analytischen Geometrie sei etwa die kubische oder biquadratische Gleichung
aufzulösen. Setzt man $x^2 = y$, so hat man die feste Parabel $x^2 = y$ (mit vertikaler Achse) jeweils mit einer Hyperbel zum Schnitt zu bringen:
Im kubischen Falle (Tafel Fig. III) laufen die Asymptoten der Hyperbel den Koordinatenachsen parallel; von den vier Schnittpunkten liegt einer im unendlich fernen Punkte der $y$-Achse, während die drei im Endlichen liegenden Schnittpunkte als Abszissen die drei Wurzeln liefern.
Im biquadratischen Falle (Tafel Fig. IV) behält die Hyperbel nur die horizontale Asymptote bei, während die zweite geneigt ist; beide Kurven besitzen nun vier Schnittpunkte im Endlichen.
(Zu den Verfahrensweisen der Alten vgl. M. Cantor, Geschichte der Mathematik, Leipzig, 1894, 2. Aufl.; H. G. Zeuthen, Die Kegelschnitte im Altertum, Kopenhagen, 1886; sowie R. Baltzer, Analytische Geometrie, Leipzig, 1882.)
§ 3. Die Cissoide des Diokles und das Delische Problem¶
3. Ausser den Kegelschnitten benutzten die Alten eigens zu diesem Zwecke ersonnene höhere Kurven, darunter namentlich die Cissoide und die Conchoide.
Die Cissoide des Diokles (ca. 150 v. Chr., Tafel Fig. V) entsteht an einem Kreise vom Durchmesser $1$ mit vertikaler rechter Tangente $x = 1$ und gegenüberliegendem Scheitel $O(0, 0)$, indem man auf jedem Strahl durch $O$ (Winkel $\vartheta$ zur $x$-Achse) von $O$ aus das zwischen Kreis ($\cos\vartheta$) und Tangente ($\frac{1}{\cos\vartheta}$) gelegene Differenzstück $r$ abträgt:
Die Kurve ist von dritter Ordnung, symmetrisch zur $x$-Achse, besitzt im Ursprung $O$ eine Spitze, hat $x = 1$ zur Asymptote und schneidet die unendlich ferne Gerade in den beiden imaginären Kreispunkten.
Schreiben wir ihre Gleichung in der Gestalt
so schneidet die Ursprungsgerade $\frac{y}{x} = \lambda$ auf $x = 1$ das Stück $\lambda$ ab und trifft die Cissoide in einem Punkte, dessen Verbindungsgerade mit $(1, 0)$ auf der $y$-Achse genau das Stück $\lambda^3$ abschneidet (Tafel Fig. VI). Umgekehrt tragen wir auf der $y$-Achse das Stück $2$ ab, verbinden $(0, 2)$ mit $(1, 0)$ und ziehen vom Ursprung $O$ durch den Cissoidenschnittpunkt den Strahl bis zur Tangente $x = 1$: dessen Ordinate auf $x = 1$ ist exakt $\sqrt[3]{2}$!
§ 4. Die Conchoide des Nikomedes und die Dreiteilung des Winkels¶
4. Die Conchoide des Nikomedes (ca. 150 v. Chr., Tafel Fig. VII–IX) entsteht, indem man von einem festen Punkte $O(0, 0)$ im Abstand $a$ zur Geraden $x = a$ ein Strahlenbüschel legt und auf jedem Strahl vom Schnittpunkt mit $x = a$ aus nach beiden Seiten die konstante Strecke $b$ abträgt (für $b < a$ gestreckte, für $b > a$ verschlungene Conchoide, für $b = a$ Spitze in $O$). Aus $r : x = \pm b : (x - a)$ folgt ihre Gleichung vierter Ordnung:
mit Doppelpunkt in $O$, gemeinsamer Asymptote $x = a$ beider Zweige und Durchgang durch die imaginären Kreispunkte im Unendlichen.
Um den Winkel $\varphi = \angle MOY$ in drei gleiche Teile zu teilen, trägt man auf dem schrägen Schenkel $OM = b$ beliebig ab, schlägt um $M$ den Kreis vom Radius $b$ und legt durch $M$ die Vertikale als Asymptote der von $O$ aus mit der Strecke $b$ gezeichneten Conchoide: verbindet man deren Schnittpunkt $A$ mit dem Kreise mit $O$, so ist $\angle AOY = \frac{1}{3}\varphi$.
Abzählung sämtlicher Schnittpunkte: Da die Winkeldreiteilung ein irreduzibles kubisches Problem mit den drei Wurzeln $\frac{\varphi}{3}, \frac{\varphi + 2\pi}{3}, \frac{\varphi + 4\pi}{3}$ vorstellt, muss jede algebraische Konstruktion notwendig alle drei Lösungen zugleich liefern:
Kreis ($2$. Ordnung) und Conchoide ($4$. Ordnung) haben $8$ Schnittpunkte gemeinsam.
Davon fallen zwei in den Doppelpunkt $O$ und zwei in die imaginären Kreispunkte im Unendlichen, sodass vier reelle Schnittpunkte im Endlichen verbleiben.
Von diesen vier scheidet der auf der Verlängerung von $OM$ gelegene Punkt $B$ ($OMB = 2b$) aus, der von vornherein rational konstruierbar ist—es bleiben in der Tat genau drei Schnittpunkte, welche sämtliche drei kubischen Wurzeln liefern!
§ 5. Mechanische Kurvenzeichner in kontinuierlichem Zuge¶
5. Zur praktischen Ausführung solcher Konstruktionen bedarf man mechanischer Apparate, welche die Kurve in einem kontinuierlichen Zuge liefern, da jede punktweise Konstruktion bloss eine Näherungsmethode darstellt. Schon Nikomedes erfand eine einfache Vorrichtung zum Zeichnen der Conchoide—die älteste derartige neben Lineal und Zirkel (M. Cantor, Bd. I, S. 302; Pappus, Collectio, Buch IV). Neuere Instrumente verzeichnet W. Dycks Katalog (S. 227–230, 340; Nachtrag S. 42–43).