I. Teil, IV. Kapitel — Die Konstruktion des regulären 17-Ecks

I. Abschnitt, IV. Kapitel (§§ 1–9; B. G. Teubner, 1895, S. 19–32)

§§ 1–3. Primitivwurzel modulo 17 und Gauss’sche Periodenbildung

1. Nachdem wir im III. Kapitel eingesehen haben, dass nur für die Gauss'schen Fermat-Primzahlen die Kreisteilung in eine ungerade Primzahl gleicher Teile durch Zirkel und Lineal möglich sein kann, soll es Aufgabe dieses Kapitels sein, in elementarer Weise auseinanderzulegen, wie sich speziell das reguläre Siebzehneck wirklich in den Kreis einzeichnen lässt.

Da wohl bislang aus rein geometrischen Erwägungen noch keine Konstruktionsmethode gefunden ist, untersuchen wir zunächst algebraisch die Wurzeln der Gleichung $16$-ten Grades

\[x^{16} + x^{15} + \dots + x^2 + x + 1 = 0,\]

deren transzendente Form lautet:

\[\varepsilon_\kappa = \cos\frac{2\kappa\pi}{17} + i\sin\frac{2\kappa\pi}{17} = \varepsilon_1^\kappa \qquad (\kappa = 1, 2, \dots, 16),\]

und übersetzen sodann den daraus resultierenden Quadratwurzelausdruck Schritt für Schritt ins Geometrische.

Exact Regular Heptadecagon (V₀..V₁₆) & Gaussian 2-Period Chords V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16
Einheitswurzeln des regulären 17-Ecks und Sehnenkunstgriff (Klein Fig. 3–4): Konjugierte Paare C_r = eps_r + eps_(17-r) = 2 cos(2r pi/17) und Halbkreissehnen S_k = 2 sin(k pi/34).

2. Der Grundgedanke der Gauss'schen Lösung (Disquisitiones Arithmeticae, 1801; vgl. Bachmann, Die Lehre von der Kreisteilung, Leipzig, 1872) besteht darin, die $16$ Wurzeln vermittelst einer Primitivwurzel zum Zahlenmodul $17$ in einen einzigen Zyklus zu ordnen. Die Zahl $a = 3$ hat für $\bmod\,17$ als kleinste positive Lösung von $3^s \equiv +1 \pmod{17}$ den Exponenten $s = 16$:

\[\begin{split}\begin{alignedat}{4} 3^1 &\equiv 3, &\quad 3^5 &\equiv 5, &\quad 3^9 &\equiv 14, &\quad 3^{13} &\equiv 12, \\ 3^2 &\equiv 9, &\quad 3^6 &\equiv 15, &\quad 3^{10} &\equiv 8, &\quad 3^{14} &\equiv 2, \\ 3^3 &\equiv 10, &\quad 3^7 &\equiv 11, &\quad 3^{11} &\equiv 7, &\quad 3^{15} &\equiv 6, \\ 3^4 &\equiv 13, &\quad 3^8 &\equiv 16, &\quad 3^{12} &\equiv 4, &\quad 3^{16} &\equiv 1 \pmod{17}. \end{alignedat}\end{split}\]

Ordnen wir die Wurzeln $\varepsilon_\kappa$ nach diesen Resten:

\[\varepsilon_3,\; \varepsilon_9,\; \varepsilon_{10},\; \varepsilon_{13},\; \varepsilon_5,\; \varepsilon_{15},\; \varepsilon_{11},\; \varepsilon_{16},\; \varepsilon_{14},\; \varepsilon_8,\; \varepsilon_7,\; \varepsilon_4,\; \varepsilon_{12},\; \varepsilon_2,\; \varepsilon_6,\; \varepsilon_1,\]

so ist jede Wurzel die dritte Potenz der ihr vorangehenden ($\varepsilon_{16} = (\varepsilon_{11})^3 = \varepsilon_{33} = \varepsilon_{16}$). Die Gauss’sche Methode zerlegt diesen Zyklus entsprechend den Teilern von $16$ in $8$-, $4$-, $2$- und eingliedrige Perioden, die sich der Reihe nach durch quadratische Gleichungen berechnen lassen.

3. Lassen wir der Einfachheit halber die Basis $\varepsilon$ weg und schreiten im Zyklus jeweils um zwei Schritte vorwärts, so erhalten wir:

  • Zwei $8$-gliedrige Perioden $\eta_0, \eta_1$:

    \[\begin{split}\begin{aligned} \eta_0 &= 9 + 13 + 15 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1, \\ \eta_1 &= 3 + 10 + 5 + 11 + 14 + 7 + 12 + 6. \end{aligned}\end{split}\]

  • Vier $4$-gliedrige Perioden $\eta'_0, \eta'_1$ (aus $\eta_0$) und $(\eta'_0), (\eta'_1)$ (aus $\eta_1$):

    \[\begin{split}\begin{alignedat}{2} \eta'_0 &= 13 + 16 + 4 + 1, &\qquad \eta'_1 &= 9 + 15 + 8 + 2, \\ (\eta'_0) &= 3 + 5 + 14 + 12, &\qquad (\eta'_1) &= 10 + 11 + 7 + 6. \end{alignedat}\end{split}\]

  • Acht $2$-gliedrige Perioden: $\eta''_0 = 16 + 1 = C_1$, $\eta''_1 = 13 + 4 = C_4$, usw.

§§ 4–5. Realität und Grössenverhältnisse der Perioden

4. Da die Wurzeln $r$ und $17 - r$ konjugiert imaginär sind, setzen wir

\[C_r = \varepsilon_r + \varepsilon_{17-r} = 2\cos\frac{2r\pi}{17} \qquad (r = 1, 2, \dots, 8),\]

sodass sämtliche Perioden reelle Zahlen sind:

\[\eta_0 = C_1 + C_2 + C_4 + C_8, \quad \eta_1 = C_3 + C_5 + C_6 + C_7, \quad \eta'_0 = C_1 + C_4, \quad \eta'_1 = C_2 + C_8, \quad (\eta'_0) = C_3 + C_5, \quad (\eta'_1) = C_6 + C_7.\]

5. Um die Vorzeichen der Quadratwurzeln eindeutig festzulegen, teilen wir die Hälfte des Einheitskreises in $17$ gleiche Bögen und bezeichnen die Sehnen vom Anfangspunkt $0$ mit $S_1 < S_2 < \dots < S_{17} = 2$, wobei $S_k = 2\sin\frac{k\pi}{34}$. Dann gelten die Relationen:

\[C_1 = S_{13}, \quad C_2 = S_9, \quad C_3 = S_5, \quad C_4 = S_1, \quad C_5 = -S_3, \quad C_6 = -S_7, \quad C_7 = -S_{11}, \quad C_8 = -S_{15}.\]

Daraus lesen wir unmittelbar ab, dass alle massgeblichen Periodendifferenzen positiv sind:

\[\begin{split}\begin{aligned} \eta_0 - \eta_1 &= S_{13} + S_9 + S_{11} + S_7 + S_3 + S_1 - S_{15} - S_5 > 0 \implies \eta_0 > \eta_1, \\ (\eta'_0) - (\eta'_1) &= S_{11} + S_7 + S_5 - S_3 > 0 \implies (\eta'_0) > (\eta'_1), \\ \eta'_0 - \eta'_1 &= S_{15} + S_{13} - S_9 + S_1 > 0 \implies \eta'_0 > \eta'_1, \\ \eta''_0 - \eta''_1 &= C_1 - C_4 = S_{13} - S_1 > 0 \implies \eta''_0 > \eta''_1. \end{aligned}\end{split}\]

Überdies liefert das $64$-gliedrige Multiplikationsschema die bemerkenswerte Relation:

\[(\eta'_0 - \eta'_1)\bigl((\eta'_0) - (\eta'_1)\bigr) = 2(\eta_0 - \eta_1).\]

§ 6. Die Kette der vier quadratischen Gleichungen und die Normalform

6. Durch Berechnung der elementarsymmetrischen Funktionen erhalten wir der Reihe nach die vier quadratischen Gleichungen:

  1. Erste Gleichung: $\eta_0 + \eta_1 = -1$ und $\eta_0 \cdot \eta_1 = -4$ (jede der $16$ Wurzeln tritt viermal auf), also wegen $\eta_0 > \eta_1$:

    \[\eta^2 + \eta - 4 = 0 \implies \eta_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \quad \eta_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}.\]

  2. Zweite Gleichung: $\eta'_0 + \eta'_1 = \eta_0$ und $\eta'_0 \cdot \eta'_1 = -1$, also wegen $\eta'_0 > \eta'_1$:

    \[{\eta'}^2 - \eta_0 \eta' - 1 = 0 \implies \eta'_0 = \frac{\eta_0 + \sqrt{\eta_0^2 + 4}}{2}, \quad \eta'_1 = \frac{\eta_0 - \sqrt{\eta_0^2 + 4}}{2}.\]

  3. Dritte Gleichung: $(\eta'_0) + (\eta'_1) = \eta_1$ und $(\eta'_0)\cdot(\eta'_1) = -1$, also wegen $(\eta'_0) > (\eta'_1)$:

    \[(\eta')^2 - \eta_1(\eta') - 1 = 0 \implies (\eta'_0) = \frac{\eta_1 + \sqrt{\eta_1^2 + 4}}{2}, \quad (\eta'_1) = \frac{\eta_1 - \sqrt{\eta_1^2 + 4}}{2}.\]

  4. Vierte Gleichung: $\eta''_0 + \eta''_1 = \eta'_0$ und $\eta''_0 \cdot \eta''_1 = (16 + 1)(13 + 4) = 12 + 3 + 14 + 5 = (\eta'_0)$, also wegen $\eta''_0 > \eta''_1$:

    \[{\eta''}^2 - \eta'_0 \eta'' + (\eta'_0) = 0 \implies \eta''_0 = \frac{\eta'_0 + \sqrt{{\eta'_0}^2 - 4(\eta'_0)}}{2}, \quad \eta''_1 = \frac{\eta'_0 - \sqrt{{\eta'_0}^2 - 4(\eta'_0)}}{2}.\]

Vermöge $(\eta'_0 - \eta'_1)((\eta'_0) - (\eta'_1)) = 2(\eta_0 - \eta_1)$ gilt für die Radikale die rationale Abhängigkeit

\[\sqrt{\eta_0^2 + 4}\cdot\sqrt{\eta_1^2 + 4} = 2\sqrt{17},\]

sodass sich $\sqrt{\eta_1^2 + 4}$ rational durch $\sqrt{17}$ und $\sqrt{\eta_0^2 + 4}$ ausdrückt. Einsetzen der Werte ergibt die explizite Normalform:

\[\begin{split}\begin{aligned} \eta'_0 &= \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{4}, \qquad (\eta'_0) = \frac{-1 - \sqrt{17} + \sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}{4}, \\[6pt] \eta''_0 &= 2\cos\frac{2\pi}{17} = \frac{-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}{8} \\ &\quad + \frac{1}{8}\sqrt{68 + 12\sqrt{17} - 16\sqrt{34 + 2\sqrt{17}} - 2(1 - \sqrt{17})\sqrt{34 - 2\sqrt{17}}}. \end{aligned}\end{split}\]

§ 7. Geschichtlicher Exkurs über Konstruktionen mit beschränkten Hilfsmitteln

7. Wir schalten hier einen geschichtlichen Exkurs über Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ein:

  • In der Geometrie der Alten wird Zirkel und Lineal immer nebeneinander gebraucht, ohne zu unterscheiden, ob der einzelne Schritt mit dem Zirkel oder mit dem Lineal ausgeführt wird.

  • Demgegenüber hat im Jahre 1797 der Italiener Mascheroni in seiner Geometria del compasso alle Konstruktionen nur mit dem Zirkel allein ausgeführt, wobei er für den Mechaniker betont, dass Zirkelkonstruktionen praktisch genauer seien als Linealkonstruktionen (deutscher Auszug von Hutt, Die Mascheroni’schen Constructionen, Halle, 1880). (Fussnote 1895, S. 27: „Eine Construction des 17-Ecks nach Mascheroni nur mit dem Zirkel ist noch nicht versucht, obgleich sie jedenfalls möglich ist.“)

  • Umgekehrt haben die Franzosen—besonders die Schüler Carnots (Géométrie de position; vgl. auch Lambert, Freie Perspective, 1774, sowie Brianchon, Les applications de la théorie des transversales, 1818, für Vermessungsarbeiten im Felde)—möglichst viel mit geraden Linien allein konstruiert. Algebraisch beantwortet sich die Reichweite sofort: Mit dem Lineal allein können wir alle und nur diejenigen algebraischen Ausdrücke konstruieren, deren algebraische Form rational ist.

  • Poncelet sprach zuerst in seinem Traité des propriétés projectives (Bd. I, Nr. 351–357) den Gedanken aus—den Steiner 1833 in seiner berühmten Schrift Die geometrischen Constructionen, ausgeführt mittels der geraden Linie und eines festen Kreises durchführte—, dass ein einziger fester Kreis mit gegebenem Mittelpunkt nebst dem Lineal allein ausreicht, um sämtliche Quadratwurzelausdrücke zu konstruieren (Satz von Poncelet–Steiner).

§§ 8–9. Geometrische Konstruktion nach von Staudt und Schröter mit einem festen Kreise

8. Im Anschluss an von Staudt (Crelle's Journal, Bd. 24, 1842) und Schröter (Crelle's Journal, Bd. 75, 1872) zeigen wir zunächst, wie man mit Hilfe eines festen Einheitskreises $x^2 + y(y - 2) = 0$ und des Lineals jede quadratische Gleichung $x^2 - px + q = 0$ mit reellen Wurzeln $x_1, x_2$ löst:

Man trägt auf der oberen Tangente $y = 2$ vom oberen Scheitel $A(0, 2)$ aus das Stück $\frac{4}{p}$ und auf der unteren Tangente $y = 0$ (der $x$-Achse) vom unteren Scheitel $O(0, 0)$ aus das Stück $\frac{q}{p}$ ab, verbindet beide Punkte durch die Transversale 3 und projiziert deren Schnittpunkte mit dem Kreise von $A(0, 2)$ aus durch die Strahlen 1 und 2 auf die $x$-Achse: diese schneiden genau $x_1$ und $x_2$ ab! Denn aus dem Linienpaar $[2x + x_1(y - 2)][2x + x_2(y - 2)] = 0$ folgt nach Abzug von $x^2 + y(y - 2) = 0$ und Abspaltung von $y - 2 = 0$ als Gleichung der Geraden 3 sofort $\frac{p}{2}x + \frac{q}{4}(y - 2) - y = 0$.

Von Staudt–Schröter Quadratic Solver on Fixed Circle C₀: x² + y(y − 2) = 0 (Klein Fig. 4) O(0,0) A(0,2) C₀ (q/p, 0) (4/p, 2) x₂ x₁ y = 2 y = 0
Lösung von x^2 - px + q = 0 nach von Staudt und Schröter (Klein § 8, Fig. I): Die Verbindungsgerade 3 von (q/p, 0) und (4/p, 2) liefert durch Projektion aus A(0, 2) die Wurzeln x_1, x_2 auf y = 0.

9. Zur Ausführung am Siebzehneck lösen wir am selben festen Kreise nacheinander die vier quadratischen Gleichungen für $\eta_0, \eta_1$, $\eta'_0$, $(\eta'_0)$ und $\eta''_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17}$, wozu oben ($y = 2$) die Abschnitte $-4,\; +\frac{4}{\eta_0},\; +\frac{4}{\eta_1},\; +\frac{4}{\eta'_0}$ und unten ($y = 0$) die Abschnitte $+4,\; -\frac{1}{\eta_0},\; -\frac{1}{\eta_1},\; +\frac{(\eta'_0)}{\eta'_0}$ abzutragen sind:

  1. Erste Gleichung ($\eta^2 + \eta - 4 = 0$): Verbinde $(+4, 0)$ unten mit $(-4, 2)$ oben; die Projektion der beiden Kreisschnittpunkte aus $A(0, 2)$ liefert $\eta_0 > 0$ und $\eta_1 < 0$ auf der $x$-Achse.

  2. Projektive Zuordnung $x' = \frac{4}{x}$ (Fig. 5): Projiziert man den zu $x$ gehörigen Kreisschnittpunkt des Strahls $Ax$ vom unteren Scheitel $O(0, 0)$ auf die obere Tangente $y = 2$, so entsteht eine projektive Punktreihenbeziehung mit $x = \infty \leftrightarrow x' = 0$ und Fixpunkt $x = x' = 2$, also $x' = \frac{4}{x}$. So erhält man unmittelbar $+\frac{4}{\eta_0}$ und $+\frac{4}{\eta_1}$ auf $y = 2$.

  3. Zweite und dritte Gleichung ($\eta'_0$ und $(\eta'_0)$, Fig. 6–7): Die Gerade von $(-4, 2)$ oben nach $(+1, 0)$ unten schneidet den vertikalen Durchmesser im festen Punkte $\left(0, \frac{2}{5}\right)$. Verbindet man diesen Punkt mit $\left(\frac{4}{\eta_0}, 2\right)$ bzw. $\left(\frac{4}{\eta_1}, 2\right)$, so schneiden die Geraden $5y - 2\eta_0 x = 2$ bzw. $5y - 2\eta_1 x = 2$ auf der $x$-Achse genau $-\frac{1}{\eta_0}$ bzw. $-\frac{1}{\eta_1}$ ab! Die zugehörigen Staudt-Transversalen liefern durch Projektion aus $A(0, 2)$ die positiven Wurzeln $\eta'_0$ und $(\eta'_0)$.

  4. Vierte Gleichung ($\eta''_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17}$, Fig. 8 & Tafel Fig. II): Projektion des Kreisschnittpunktes von $A\eta'_0$ aus $O(0, 0)$ nach oben gibt $\frac{4}{\eta'_0}$. Die Gerade von $(+4, 2)$ oben nach $((\eta'_0), 0)$ unten trifft die $y$-Achse in $\left(0, \frac{2(\eta'_0)}{(\eta'_0) - 4}\right)$; deren Verbindung mit $\left(\frac{4}{\eta'_0}, 2\right)$ ($2\eta'_0 x + ((\eta'_0) - 4)y = 2(\eta'_0)$) schneidet unten genau $\frac{(\eta'_0)}{\eta'_0}$ ab. Die Staudt-Transversale von $\left(\frac{(\eta'_0)}{\eta'_0}, 0\right)$ nach $\left(\frac{4}{\eta'_0}, 2\right)$ liefert bei Projektion ihres oberen Kreisschnittpunktes aus $A(0, 2)$ auf der $x$-Achse $\eta''_0 = 2\cos\frac{2\pi}{17}$ und auf dem horizontalen Durchmesser $y = 1$ direkt $\cos\frac{2\pi}{17}$—woraus das Lot sofort die erste und sechzehnte Ecke des regulären $17$-Ecks auf dem festen Kreise ausschneidet!

Poncelet–Steiner Single-Circle Construction of Gauss’s 17-Gon Periods (Klein Ch. IV, § 9) x₂ y₃ y₂ O z₂ y₄ x₁ z₁ y₁ A(0,2) V₀ K₁ V₁ V₁₆
Vollständige Konstruktion des regulären 17-Ecks mit einem festen Kreis C_0 und dem Lineal (Klein § 9, Tafel Fig. II; exakt konstruiert in geometor.klein.heptadecagon).