Einheit 2: § 2. Von der Ebene (Axiom von Pasch), §§ 8–11 & § 12. Deduktives Manifest¶
Moritz Pasch — Vorlesungen über neuere Geometrie (Leipzig: B. G. Teubner, 1882), § 2 (S. 17–27), §§ 8–11 (S. 58–93) & § 12 (S. 93–100)
§ 2. Von der Ebene — Der IV. Grundsatz (S. 17–27)¶
I. Grundsatz. Durch drei beliebige Punkte kann man immer eine ebene Fläche legen.
II. Grundsatz. Gehören zwei Punkte einer geraden Strecke einer ebenen Fläche an, so gehört bei geeigneter Erweiterung derselben jeder Punkt innerhalb der geraden Strecke der ebenen Fläche an.
III. Grundsatz. Haben zwei ebene Flächen einen Punkt gemein, so kann man stets noch einen zweiten beiden gemeinsamen Punkt angeben.
IV. Grundsatz (Axiom von Pasch, S. 21). Es seien $A, B, C$ drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte und $a$ eine Gerade in der Ebene $ABC$, welche durch keinen der Punkte $A, B, C$ geht: wenn dann die Gerade $a$ durch einen Punkt innerhalb der Strecke $AB$ geht, so geht sie stets auch entweder durch einen Punkt innerhalb der Strecke $AC$ oder durch einen Punkt innerhalb der Strecke $BC$.
10. Lehrsatz (Ausschließung dreier innerer Seitenschnitte, S. 25). Geht in der Ebene $ABC$ eine Gerade $a$ durch keinen der Punkte $A, B, C$, so kann sie nicht zugleich durch einen Punkt innerhalb $AB$, einen Punkt innerhalb $BC$ und einen Punkt innerhalb $AC$ gehen.
Beweis. Schnitte $a$ die offenen Strecken $AB, BC, AC$ in $D, E, F$, und läge etwa auf $a$ der Punkt $F$ innerhalb $DE$, so träfe im Dreieck $\triangle BDE$ die Gerade $g = [AC]$ keine Ecke und ginge durch den inneren Punkt $F$ von $DE$, müßte also nach dem IV. Grundsatze entweder die offene Strecke $BD$ oder die offene Strecke $BE$ treffen — während doch ihre Schnittpunkte $A$ und $C$ mit $[AB]$ und $[BC]$ außerhalb $BD$ bzw. $BE$ liegen. Hieraus folgt unmittelbar die Zerlegung der Ebene durch jede Gerade $a$ in zwei getrennte Halbebenen. $\blacksquare$
§§ 8–11. Strahlenbündel ohne das Unendliche & harmonische Trennung (S. 58–93)¶
§ 8. Statt wie von Staudt (§ 2) „unendlich ferne Punkte“ durch das Euklidische Parallelenpostulat einzuführen, gründen wir die projektiven Idealelemente allein auf im Endlichen ausführbare Ebenenschnitte: zwei komplanare Gerade $g, h$ bestimmen mit jedem außerhalb ihrer Ebene gelegenen Punkte $S$ die Schnittgerade $k = (S, g) \cap (S, h)$ und erzeugen dadurch ein wohlbestimmtes Strahlenbündel, gleichviel ob $g$ und $h$ einander im beobachtbaren Gebiete schneiden oder nicht. Indem jedes Strahlenbündel als Punkt im weiteren Sinne aufgefaßt wird, gelten sämtliche Verknüpfungssätze der projektiven Raumgeometrie unabhängig von jeder Annahme über Parallelen.
§§ 10–11. Mit Hilfe des IV. Grundsatzes der Ebene wird nunmehr rein deduktiv (ohne Berufung auf die Figur) bewiesen, daß im vollständigen ebenen Viereck die harmonisch zugeordneten Punktepaare $(A, B)$ und $(C, D)$ einander ausnahmslos trennen.
§ 12. Das hypothetisch-deduktive Manifest (S. 93–100)¶
Am Schlusse der Grundlegung spricht Pasch das oberste Gesetz jeder streng deduktiven Wissenschaft aus (S. 98):
„Es muss in der That, wenn anders die Geometrie wirklich deductiv sein soll, der Process des Folgerns überall unabhängig sein vom Sinn der geometrischen Begriffe, wie er unabhängig sein muss von den Figuren; nur die in den benutzten Sätzen, beziehungsweise Definitionen niedergelegten Beziehungen zwischen den geometrischen Begriffen dürfen in Betracht kommen. Während der Deduction ist es zwar statthaft und nützlich, aber keineswegs nöthig, an die Bedeutung der auftretenden geometrischen Begriffe zu denken; in der That, gerade wenn dies nöthig wird, so zeigt sich daraus die Lückenhaftigkeit der Deduction und, wenn sich die Lücke nicht durch Abänderung des Schlusses beseitigen lässt, die Unzulänglichkeit der als Beweismittel vorausgeschickten Sätze.“
Sobald sämtliche Stammsätze vollständig an die Spitze gestellt sind, wird jeder Beweis zu einer rein logischen Folgerung aus ausgesprochenen Beziehungen — und eben dadurch erweist sich das projektive Gesetz der Reciprocität als unmittelbare logische Folge der formalen Symmetrie der Grundsätze!