Einheit 1: Grundlegung & § 1. Von der geraden Linie¶
Moritz Pasch — Vorlesungen über neuere Geometrie (Leipzig: B. G. Teubner, 1882), Vorwort, Einleitung & § 1 (S. 1–17)
Vorwort und Einleitung (Gießen, 1882)¶
Die neuere Geometrie — durch Karl Georg Christian von Staudt von den Maßbegriffen befreit und als selbstständige Wissenschaft begründet — bedient sich gleichwohl bei der Anordnung der Punkte auf einer Geraden und der Gebiete in einer Ebene noch vielfach solcher Voraussetzungen, welche stillschweigend der Anschauung oder der gezeichneten Figur entnommen werden. Dasselbe gilt schon von Euklid <euclid>`s :cite:`Elementen.
Soll die Geometrie wahrhaft deduktiv aufgebaut werden, so müssen zunächst die einfachen Stammbegriffe (Punkt, gerade Strecke, ebene Fläche) gesondert und sämtliche an ihnen unmittelbar beobachteten Grundtatsachen vollständig in Grundsätzen (Stammsätzen) ausgesprochen werden, worauf alle übrigen Begriffe durch Definitionen und alle Lehrsätze durch rein logische Schlüsse ohne fernere Berufung auf die Anschauung abzuleiten sind. Der unmittelbaren Wahrnehmung bietet sich niemals die unbegrenzte Gerade dar, sondern stets nur die begrenzte gerade Strecke zwischen zwei Endpunkten $A, B$ sowie Punkte innerhalb derselben (zwischen $A$ und $B$).
§ 1. Von der geraden Linie (S. 4–17)¶
I. Grundsatz. Zwischen zwei Punkten kann man immer eine gerade Strecke ziehen, und zwar nur eine.
Die durch $A$ und $B$ begrenzte gerade Strecke bezeichnen wir mit $AB$ oder $BA$; ein Punkt $C$ innerhalb der Strecke $AB$ heißt zwischen $A$ und $B$ gelegen.
II. Grundsatz. Man kann stets einen Punkt angeben, der innerhalb einer gegebenen geraden Strecke liegt.
III. Grundsatz. Liegt der Punkt $C$ innerhalb der Strecke $AB$, so liegt der Punkt $A$ außerhalb der Strecke $BC$.
IV. Grundsatz. Liegt der Punkt $C$ innerhalb der Strecke $AB$, so gehören alle Punkte der Strecke $AC$ auch der Strecke $AB$ an.
V. Grundsatz. Liegt der Punkt $C$ innerhalb der Strecke $AB$, so kann ein Punkt, der keiner der beiden Strecken $AC$, $BC$ angehört, nicht zur Strecke $AB$ gehören (außer $C$ selbst).
VI. Grundsatz. Sind $A$ und $B$ beliebige Punkte, so kann man den Punkt $C$ immer auf solche Art wählen, daß $B$ innerhalb der Strecke $AC$ liegt.
VII. Grundsatz. Liegt der Punkt $B$ innerhalb der Strecken $AC$ und $AD$, so liegt entweder $C$ innerhalb der Strecke $BD$ oder $D$ innerhalb der Strecke $BC$ (sofern $C$ und $D$ verschieden sind).
VIII. Grundsatz. Zwei verschiedene gerade Linien können nicht zwei verschiedene Punkte gemein haben.
Begriff der vollständigen Geraden und Lehrsätze 1–23. Die gerade Linie $[AB]$ umfaßt $A, B$, alle Punkte innerhalb $AB$, alle Punkte $Y$, für welche $B$ innerhalb $AY$ liegt, und alle Punkte $Z$, für welche $A$ innerhalb $ZB$ liegt.
4. Lehrsatz. Jede Gerade ist durch beliebige zwei ihrer Punkte vollständig bestimmt.
12. Lehrsatz. Jeder Punkt $O$ einer Geraden $g$ teilt sämtliche übrigen Punkte von $g$ in zwei getrennte Klassen (entgegengesetzte Strahlen): zwei Punkte $P, Q$ gehören derselben Seite von $O$ an, wenn $O$ außerhalb $PQ$ liegt, verschiedenen Seiten, wenn $O$ innerhalb $PQ$ liegt.
19. Lehrsatz. Irgend vier verschiedene Punkte einer Geraden lassen sich stets eindeutig (bis auf Umkehrung) so mit $A, B, C, D$ bezeichnen, daß $B$ innerhalb $AC$ und $AD$, $C$ aber innerhalb $AD$ und $BD$ liegt.