Commentary on Propositions I.1–I.15: Triangles, Congruence & Perpendiculars — Ελληνικό Κείμενο (Friedlein 1873)¶
Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. Gottfried Friedlein (Leipzig: B. G. Teubner, 1873, pp. 208–305; CTS urn:cts:greekLit:tlg4036.tlg011.opp-grc1).
Prop. I.1: Equilateral Triangle, Cases & Zeno of Sidon’s Objection¶
Euclid: [I.1]
Ταῦτα δὲ πάντα τὰ προειρημένα σκεψώμεθα ἐπὶ τοῦ πρώτου τούτου προβλήματος. ὅτι μὲν γὰρ πρόβλημά ἐστι δῆλον. ἐπιτάττει γὰρ ἡμῖν τριγώνου μηχανήσασθαι γένεσιν ἰσοπλεύρου. συνέστηκεν δὲ ἡ ἐν
τούτῳ πρότασις ἔκ τε τοῦ δεδομένου καὶ τοῦ ξητουμένου. δέδοται μὲν γὰρ εὐθεῖα πεπερασμένη, ζητεῖται δέ, πῶς ἂν ἐπ’ αὐτῆς συσταίη τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, καὶ ἡγεῖται τὸ δεδομένον, ἕπεται δὲ τὸ ξητούμενον, ἵνα καὶ συνημμένον πλέξῃς, εἴ ἐστιν εὐθεῖα πε-
περασμένη, δυνατὸν ἐπ᾽ αὐτῆς συστήσασθαι τρίγωνον ἰσέπλευφον. οὔτε γὰρ μὴ εὐθείας οὔσης συσταίη ἂν τρίγωνον — ὑπὸ γὰρ εὐθειῶν περιέχεται γραμμῶν - οὔτε μὴ πεκερασμένης᾽ οὐ γὰρ δύναται γωνία γενέσθαι [εἰ μὴ] πρὸς ἑνὶ σημείῳ᾽ τῆς δὲ ἀπείρου
ιὸ πέρας σημεῖον οὐκ ἔστιν.
Μετὰ δὲ τὴν πρότασιν ἑξῆς ἡ ἔκθεσις· Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἥδε. καὶ ὁρᾶς ὅτι τὸ δεδομένον αὐτὸ λέγει μόνον ἡ ἔκθεσις, οὐ προσποιησομένη τὸ ξητούμενον. καὶ ἐπὶ ταύτῃ ὁ διορισμός·
“0 Ζεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ἐκτεθείσης πεπερασμένης εὐθείας τρίγῶνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι. τρόπον τινὰ προσἐχείας ἐστιν αἴτιος ὁ διορισμός. προσεχεστέρους γὰρ ἡμᾶς ποιεῖ πρὸς τὴν ἀπόδειξιν ἀναφωνῶν τὸ ξητούμενον, ὥσπερ ἡ ἔκθεσις εὐ] μαθεστέρους ἀπεργάξεται
0 πρὸ ὀμμάτων ποιουμένη τὸ δεδομένον. μετὰ δὲ τὸν
διορισμὸν ἡ κατασκευή Κέντρῳ μὲν τῷ ἑτέρῳ πέρατι τῆς εὐθείας διαστήματι δὲ τῷ λοιπῷ γεγράφθω κύκλος. καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ πρότερον [διαστήματι], διαστήματι δὲ τῷ κέντρῳ γεγράφθω κύκλος, καὶ ἀπὸ τοῦ κοίνου σημείου τῆς τῶν κύχλων τομῆς ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας ἐπεξεύχθωσαν εὐθεῖαι. καὶ ὁρᾶς ὅτι πρὸς τὴν κατασκευὴν χρῶμαι τοῖς αἰτήμασιν, τῷ τε ἀπὶ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν καὶ τῷ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράψαι. καθόλου γὰρ τὰ μὲν αἰτήματα συντελεῖ ταῖς κατασκευαῖς, τὰ δὲ ἀξιώματα ταῖς ἀποδείξεσιν ἐφεξῆς οὖν ἡ ἀπόδειξις Ἐπειδὴ θάτερον σημεῖον τῶν ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας κέντρον ἐστὶν τοῦ περιέχοντος αὐτὸ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ. διὰ ταῦτα δὴ καὶ ἐπεὶ τὸ λοιπὸν σημεῖον τῶν
ἐπὶ τῆς δοθείσης τοῦ περιέχοντος αὐτὸ κύκλου κέντρον ἐστίν, ἴση ἐστὶν ἡ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῶν κύκλων τῇ δοθείσῃ εὐθεία. καὶ τούτων ὑπόμνησις ἀπὸ τοῦ ὁρισμοῦ τοῦ κύκλου, ὃς ἔλεγεν ἴσας εἶναι τὰς ἐκ τοῦ κέντρου πάσας. ἑκατέρα ἄρα τῇ αὐτῇ ἐστιν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα ᾿ διὰ τὸ ἃ ἀξίωμα. αἴ τρεῖς ἄρα ἴσαι. συνέστη ἄρα ἐπὶ ταύτης τῆς εὐθείας ἰσόπλευρον τρίγωνον. τοῦτο μὲν τὸ πρό-
τερον συμπέρασμα τῇ ἐχθέσει ἑπόμενον. ἐπὶ δὲ τούτῳ͵
τὸ καθόλου᾽ Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συνέστη. κἂν γὰρ τὴν διπλασίαν τῆς νῦν ἐχτεθείσης ποιήσῃς δεδομένην, αἱ αὐταὶ κατασκευαὶ καὶ ἀποδείξεις ἁρμόσουσιν, κἂν τριπλασίαν κἂν ἄλ-
ὃ λὴν ὁπωσοῦν μείζονα ταύτης ἢ ἐλάσσονα λάβῃς. τούτοις δὲ προσέθηκεν τὸ ὕπερ ἔδει ποιῆσαι, δεικνὺς ὅτι τὸ συμπέρασμα προβληματικόν. καὶ γὰρ ἐπὶ τῶν θεωρημάτων προστίθησι τὸ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. τὰ μὲν γὰρ ποίησιν ἐπαγγέλλεταί τινος, τὰ δὲ δεῖξιν καὶ εὕρε-
ἴὸ σιν ὄντος. ὅλως μὲν οὖν ἐπάγει ταῦτα τοῖς συμπεράσμασιν ἐνδεικνύμενος, ὅτι τὰ τῆς προτάσεως γέγονεν, καὶ τέλος ἀρχῇ συνάπτων καὶ μιμούμενος τὸν ἀνελιχθέντα νοῦν καὶ πάλιν εἰς τὴν ἀρχὴν ἐπιστρέφοντα. οὐ ταὐτὸν δέ, ἀλλ᾽ ὅτε μὲν τὸ ὅπερ ἔδει ποι-
18 ἦσαι, ὅτε δὲ τὸ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. διὰ τὴν τῶν προβλημάτων πρὸς τὰ θεωρήματα διαφορᾶν.
Ἡμεῖς μὲν οὖν ἐφ᾽ ἑνὸς τοῖ πρώτου προβλήματος ἐγυμνάσαμεν πάντα ταῦτα καὶ σαφῆ πεποιήκαμεν. δεῖ ὃὲ τοὺς ἀκούοντας καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ταῦτα ξητεῖν,
ἡ τίνα μὲν παραλαμβάνεται, τίνα δὲ παραλείπεται τῶν κεφαλαίων καὶ ποσαχῶς τὸ δεδομένον δέδοται. καὶ ἀπὸ ποίων ἀρχῶν ἢ τὰς κατασκευὰς ἢ τὰς ἀποδείξεις λαμβάνομεν. ἡ γὰρ τούτων συνοπτικὴ θεωρία γυμνασίαν οὐκ ὀλίγην ἐμποιεῖ καὶ μελέτην τῶν ἐν γεω-
μετρίᾳ λόγων. ἀλλ᾽ ἐπειδὴ καὶ ταῦτα διώρισται, φέρε καὶ περὶ τῶν συνηρτημένων τούτοις βραχέα διέλθω-
μεν, τί λήμμα, τί πτῶσις, τί πόρισμα, τί ἔνστασις, τί ἀπαγωγή.
Τὸ μὲν οὖν λῆμμα πολλάκις καὶ κατὰ πάσης προτάσεως εἰς κατασχευὴν ἄλλου λαμβανομένης κατηγοροῦσιν, ἐκ τοσῶνδε λημμάτων αὐτοῖς τὴν ἀπόδειξιν γεγονέναι φάσκοντες. ἰδίως δὲ τὸ ἐν τοῖς γεωμετρου-
μένοις λῆμμα πρότασίς ἐστι δεομένη πίστεως. ὅταν
γὰρ ἢ περὶ τὴν κατασχευὴν ἢ περὶ τὴν ἀπόδειξιν λάβωμέν τι τῶν μὴ δεδειγμένων ἀλλὰ λόγου δεομένων, τότε τὸ ληφθὲν ὡς ἀμφίβολον καθ᾽ αὑτὸ ζητήσεως ἀξιώσαντες λῆμμα αὐτὸ προσαγορεύομεν τοῦ αἰτήματος καὶ ἀξιώματος διαφέρον τῷ ἀποδεικτὸν ὑπάρχειν, ἐκείνων ἄνευ ἀποδείξεως εἰς πίστιν ἄλλων αὐτόθεν παραλαμβανομένων. περὶ δὲ τὴν εὕρεσιν τῶν λημμάτων τὸ μὲν ἄριστον τῆς διανοίας ἐστὶ πρὸς τοῦτο ἐπιτηδειότης. πολλοὺς γὰρ ἔστιν ἰδεῖν ὀξεῖς περὶ τὰς λύσεις ] καὶ οὐ μεθόδοις τοῦτο ποιοῦντας, ὥσπερ καὶ ὁ καθ᾽ ἡμᾶς Κράτιστος ἱκανὸς μὲν ἦν θηρᾶσαι τὸ ξητούμενον ἐκ πρώτων καὶ ἐλαχίστων ὡς δυνατόν. ἐχρήσατο δὲ τῇ φύσει πρὸς τὴν εὕρεσιν. μέθοδοι δὲ ὅμως παραδίδονται, καλλίστη μὲν ἡ διὰ τῆς ἀναλύσεως ἐπ᾽ ἀρχὴν ὁμολογουμένην ἀνάγουσα τὸ ξητούμενον, ἣν καὶ ὁ Πλάτων ὡς φασὶν ΔΠεωδάμαντι παραδέδωκεν, ἀφ᾽ ἧς καὶ ἐκεῖνος πολλῶν κατὰ γεωμετρίαν εὑρετὴς ἰστόρηται γενέσθαι. δευτέρα δὲ ἡ διαιρετική, κατ᾽ ἄρθρα μὲν διαιροῦσα τὸ προκείμενον γένος, ἀφορμὴν δὲ τῇ ἀποδείξει παρεχομένη διὰ τῆς τῶν ἄλλων ἀναιρέσεως τῆς τοῦ προκειμένου κατασκευῆς, ἣν καὶ αὐτὴν ὁ Πλάτων ἐξύμνησεν ὡς πάσαις
ὃ ἄλλων Ο. 8 ἀπόδοσιν δς, 6, ᾿ἀοιιομδίσδι μοι δ, “85-
ταῖς ἐπιστήμαις ἐπίκουρον γινομένην. τρίτη δὲ ἡ διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς οὐχ αὐτὸ δεικνῦσα τὸ ξητούμενον αὐτόθεν, ἀλλὰ τὸ ἀντικείμενον ἐλέγχουσα καὶ κατὰ συμβεβηκὸς τὸ ἀληθὲς εὑρίσκουσα.
Τὸ μὲν οὖν λῆμμα τοιαύτην ἔχει θεωρίαν, ἡ δὲ πτῶσις διαφόρους τῆς κατασκευῆς τρόπους ἐπαγγέλλεται καὶ θέσεων ἐξαλλαγὴν τῶν σημείων μετατιθεμένων ἢ τῶν γραμμῶν ἢ τῶν ἐπιπέδων ἢ τῶν στερεῶν. καὶ ὅλως πᾶσα αὐτῆς ἡ ποικιλία περὶ τὴν
καταγραφὴν ὁρᾶται, διὸ καὶ πτῶσις ἀποκαλεῖται μετάθεσις οὖσα τῆς κατασκευῆς.
Τὸ δὲ πόρισμα λέγεται μὲν καὶ ἐπὶ προβλημά-
τῶν τινῶν, οἷον τὰ Εὐκλείδῃ γεγραμμένα πορίσματα. λέγεται δὲ ἰδίως, ὅταν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἄλλο
1 τι συναναφανῇ θεώρημα μὴ προθεμένων ἡμῶν, ὃ καὶ διὰ τοῦτο πόρισμα κεκλήκασιν, ὥσπερ τι κέρδος ὃν τῆς ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως πάρεργον.
Ἢ δὲ ἔνστασις κωλύει τὴν ὅλην ἀτραπὸν τοῦ λόγου ἥτοι πρὸς τὴν κατασκευὴν ἢ πρὸς τὴν ἀπόδει-
2). ἕξιν ἀπαντῶσα, καὶ οὐχ ὥσπερ τὴν πτῶσιν προθέμενον ἀναγκαῖον ἐπιδεικνύναι τὴν πρότασιν ἐπαληθεύουσαν,
᾿ οὕτω καὶ τὴν ἔνστασιν, ἀλλὰ ἀνελεῖν δεῖ τὴν ἔνστασιν καὶ δεῖξαι τὸν χρώμενον αὐτῇ ψευδόμενον.
Ἡ δὲ ἀπαγωγὴ μεταβασίς ἐστιν ἀπ᾿ ἄλλου προ-
βλήματος ἢ θεωφήματος ἐπ᾽ ἄλλο, οὗ γνωσθέντος ἢ πορισθέντος καὶ τὸ προχείμενον ἔσται καταφανές, οἷον ὥσπερ καὶ τοῦ διπλασιασμοῦ τοῦ κύβου ξητηθέντος μετέθεσαν τὴν ξήτησιν εἰς ἄλλο, ᾧ τοῦτο ἔπεται, τὴν εὕρεσιν τῶν δύο μέσων, καὶ τὸ λοιπὸν ἐξήτουν. πῶς ὧν δύο δοθεισῶν εὐἰθειῶν δύο μέσαι ἀνάλογον εὑρεθεῖεν. πρῶτον δέ φασι τῶν ἀπορουμένων διαγραμμάτων τὴν ἀπαγωγὴν ποιήσασθαι Ἱπποκράτην τὸν Χῖον, ὃς καὶ μηνίσκον ἐτετραγώνισε καὶ ἄλλα πολλὰ κατὰ γεωμετρίαν εὗρεν εὐφυὴς περὶ τὰ διαγράμματα τὸ εἴπερ τις ἄλλος γενόμενος.
Τοιαῦτα καὶ περὶ τουτων᾽ ἐπὶ δὲ τὸ προκείμενον ἐπανέλθωμεν πρόβλημα.
Τὸ μὲν οὖν ἰσόπλευρον τρίγωνον ὅτι κάλλιστον ἐν τοῖς τριγώνοις καὶ τῷ κυκλῳῷ συγγενέστατον τῷ ιὸ πάσας ἰσας ἔχοντι τὰς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ μίαν καὶ ἁπλῆν τὴν ἔξωθεν αὐτὸ ὁρίζουσαν γραμμὴν παντὶ καταφανές. ἔοικεν δὲ ἡ τῶν δύο κύκλων περίληψις, καὶ τούτων ἐκ μέρους ἑκατέρου — οὐ γὰρ εἰς ὅλον ἑκάτερον ἐγγέγραπται. ἀλλ᾽ εἰς τὸ ἕκτον ἑκατέρου — δηλοῦν ὡς ἐν εἰκόσιν, ὅπως καὶ τὰ προελθόντα ἀπὸ τῶν ἀρχῶν τὸ τέλειον καὶ τὸ ταὐτὸν καὶ τὸ ἴσον ἀπ᾽ ἐκείνων καταδέχεται. κατὰ γὰρ τοῦτον τὸν τρόπον καὶ τὰ ἐπ᾽ εὐθείας κινούμενα κύκλῳ περιάγεται διὰ τῆς ἀεὶ γενεσίας, καὶ αἴ ψυχαὶ μεταβατικὰς ἔχουσαι νοήσεις διὰ τῶν ἀποκαταστάσεων καὶ τῶν περιόδων
ἀπεικονίξουσι τὴν ἀμετάβατον ἐνέργειαν τοῦ νοῦ. λέγεται δὲ καὶ ὑπὲ δύο νοῶν ἡ ξωογόνος πηγὴ περιἔχεσθαι τῶν ψυχῶν. εἰ τοίνυν ὁ μὲν κύκλος εἰκών ἐστι τῆς νοερᾶς οὐσίας, τὸ δὲ τρίγωνον τῆς πρωτίδστης ψυχῆς διά τε τὴν ἰσότητα καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν γωνιῶν καὶ πλευρῶν, εἰκότως ἂν καὶ τοῦτο διὰ τῶν κύκλων ἐν αὐτοῖς μέσον ἀπολαμβανόμενον ἰσόπλευρον ἀποδεικνύοιτο. εἰ δὲ καὶ πᾶσα ψυχὴ πρόεισιν ἀπὸ νοῦ καὶ ἐπιστρέφει πρὸς νοῦν καὶ μετέχει τοῦ ιονοῦ δυαδικῶς, εὖ ἂν ἔχοι καὶ ταύτῃ τὸ τρίγωνον τῆς τριφυοῦς τῶν ψυχῶν ὑποστάσεως σύμβολον ὃν ὑπὸ δυεῖν κύκλων περιληφθὲν λαμβάνειν τὴν γένεσιν. ᾿Δλλὰ ταῦτα μὲν ὡς ἐξ εἰκόνων ἡμᾶς ἀναμιμνηιὸ σκέτω τῆς τῶν πραγμάτων φύσεως. ἐπειδὴ δέ τινες πρὸς τὴν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου σύστασιν ἐνέστησαν οἰόμενοι τὴν ὅλην γεωμετρίαν διελέγχειν βραχέα καὶ πρὸς τούτους ἀπαντήσομεν. λέγει δὴ Ζήνων ἐχεῖνος, οὗ καὶ πρότερον ἐμνήσθην, ὅτι, κἂν ταῖς 2 ἀρχαῖς τις ἐπιτρέψῃ τῶν γεωμετρῶν, οὐκ ἂν συσταίη τὰ ἐφεξῆς, μὴ συγχωρηθέντος αὐτοῖς ὅτι δύο εὐθειῶν τὰ αὐτὰ τμήματα οὐκ ἔστιν. εἰ γὰρ τοῦτο μὴ δοθείη, τὸ ἰσόπλευρον οὐ δείκνυται τρίγωνον. ἔστω γάρ φη-
σιν ἡ αβ εὐθεῖα, ἐφ᾽ ἧς δεῖ συστήσασθαι τὸ ἰσόπλευ-
φον τρίγωνον. καταγεγράφθωσαν οἵ κύκλοι καὶ ἀπὸ τῆς κοινῆς αὐτῶν τομῆς ἐπεξεύχθωσαν αἵ γεα γεβ κοινὸν ἔχουσαι τὸ γε τμῆμα.
συμβαίνει τοίνυν τὰς μὲν ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς ἴσας εἷναι τῇ
αβ τῇ δοθείσῃ, οὐκέτι δὲ τὰς τοῦ τριγώνου ἴσας, ἀλλὰ ἐλάσ-
σονας τὰς δύο ] τῆς αβ. τούτου
ὃὲ μὴ συστάντος οὐδ᾽ ἂν τὰ ἐφεξῆς ἔτι σύστασιν λάβοι. μήποτε οὖν, φησὶν ὁ Ζήνων, καὶ τῶν ἀρχῶν υυ δοθεισῶν οὐχὶ ἕπεται τὰ ἑξῆς, εἰ μὴ καὶ τοῦτο προ-
ληφθείη τὸ μήτε σεριφερῶν μήτε εὐθειῶν εἶναι τμήματα κοινα.
Πρὸς δὴ ταῦτα ῥητέον πρῶτον μέν, ὅτι τοῦτο τρόπον τινὰ προείληπται ἐν ταῖς ἀρχαῖς τὸ δύο εὐ- ι10 θειῶν μὴ εἶναι τμῆμα κοινόν — καὶ γὰρ ὁ τῆς εὐθείας ὁρισμὸς τοῦτο εἶχεν, εἴπερ εὐθεῖά ἐστιν ἡ ἐξ ἴσου κειμένη τοῖς ἐφ᾽ ἑαυτῆς σημείοις. τὸ γὰρ ἴσον εἶναι τὸ διάστημα τῶν σημείων τῇ εὐθείᾳ μίαν ποιεῖ τὴν συνἄπτουσαν αὐτὰ καὶ ἐλαχίστην, ὥστε, εἴ τις αὐτὴν κατὰ : μέρος ἐφαρμόσοι, καὶ κατὰ λοιπὸν μέρος ἐφαρμόττειν. ἐπ᾽ ἄκρον γὰρ τεταμένη διὰ τὸ ἐλαχίστην εἶναι ὅλη ἐπὶ ὅλην πίπτειν ἀναγκασθήσεται — καὶ δὴ καὶ ὅτι ἐν τοῖς αἰτήμασι τοῦτο προδήλως εἴληπται. τὸ γὰρ καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν ἐπ᾽ εὐθείας ἐκβάλλειν δεικνύει σαφῶς, ὅτι μίαν εἶναι δεῖ τὴν ἐκβαλλομένην καὶ κατὰ μίαν κίνησιν ἐκβάλλεσθαι. εἰ δὲ δεῖ καὶ
8–9Ἔ9ὃ [ὴ Η ἰγἱδηραϊαπι δοααϊ]δίοσαπι ὁδί ἀθρίοίαπι οἱ 4 ἱπίγα γ Ῥοβίζαπι, 16 τὸ] τῶν δ. 18 ἑαυτοῖς Η. 21 ἐφαρμόσσοι ὦ. 23 ἐπ᾿ ἄκρων Π. 51 κατὰ τὴν μίαν Ὁ.
ὥσπερ λήμματος τούτου λαβεῖν ἀπόδειξιν, ἔστω. εἰ δυνατόν, ἡ αβ τμῆμα κοινὸν τῆς ἂν καὶ τῆς αδ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ β. διαστήματι δὲ τῷ
βα γεγράφθω κύκλος ὁ αγδ. ἐπεὶ δ᾽ οὖν εὐθεῖά ἐστι διὰ τοῦ κέντρου ἡ
αβγ, ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ αεγ, καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα διὰ τοῦ κέντρου ἡ
αβδ. ἡμικύκλιον τὸ αεδ. ἴσα ἄρα ἀλλήλοις τὰ αεγ
(εδ ὅπερ ἀδύνατον.
Πρὸς δὴ ταύτην τὴν ἀπόδειξιν ὁ Ζήνων εἴποι ἄν, ὅτι καὶ τὸ τὴν διάμετρον δίχα τέμνειν τὸν κύκλον ἀποδέδεικται προλαβόντων ἡμῶν, ὅτι οὐκ ἔστι δύο περιφερειῶν ἕν τμῆμα κοινόν. ] οὕτω γὰρ ἐλαμβάνομὲν τὴν ἑτέραν ἐπὶ τὴν ἑτέραν ἐφαρμόττειν τῶν περι· φερειῶν, ἢ μὴ ἐφαφμόττουσαν ἐκτὸς πίπτειν ἢ ἐντός.
κωλύει δέ, φησὶν, οὐδὲν μὴ ὅλην ἐφαρμόξειν πρὸς ὕλην, ἀλλὰ κατά τι μέρος. ξως δ᾽ ἂν μὴ ἀποδεικνύηται τὸ τὴν διάμετρον δίχα τέμνειν τὸν κύχλον οὐδὲ τὸ προκείμενον δειχθήσεται.
9 ῈΞΠρὸς ταῦτα καὶ ὁ Ποσειδώνιος. ὀρθῶς ἀπήντηδεν ἐπισχώψας τὸν δριμὺν Ἐπίκουρον ὡς οὐ συνεἰδότα, κἂν κατὰ μέρος μὴ ἐφαρμόττωσιν αἴ ἴα φέρειαι, ὦ Ἰ προχωφοῦσαν τὴν ἀπόδειξιν. καθ᾽ ὃ γὰρ
οὐχ ἐφαρμόξουσι μέρος, ἡ μὲν ἐντός, ἡ δὲ ἐκτὸς ἔσται, καὶ τὰ αὐτὰ ἄτοπα, τῆς εὐθείας ἀπὸ τοῦ κέντρου προβληθείσης ἐπὶ τὴν ἐκτὸς περιφέρειαν. ἔσονται γὰρ ἴσαι αἱ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι, ἥ τε μείξων ἡ ἐπὶ τὴν ἐχτὸς καὶ ἡ ἐλάσσων ἡ ἐπὶ τὴν ἐντός. ἢ οὖν ὅλη πρὸς ὕλην ἐφαρμόσει καὶ ἴσαι εἰσίν, ἢ κατὰ μέρος ἐφαρμόζουσα παραλλάττει καθ᾽ ἕτερον, ἢ οὐδὲν μέρος αὐτῆς οὐδενὶ ἐφαρμόξει, καὶ εἰ τοῦτο, ἢ ἐκτὸς πίπτει ἢ ἐντός᾽ πάντα δὲ ταῦτα ὡσαύτως διελέγχεται.
Ταῦτα μὲν ὑπὲρ τούτων᾽ ὁ δὲ Ζήνων ἕτέραν ἀπόδειξιν ἀναγράφει τοιαύτην, ἣν καὶ διαβάλλειν ἐπιχειρεῖ. ἔστω γὰρ δύο εὖ- ι ᾿
θειῶν τῶν ἃ αὃ τμῆμα κοινὸν ἡ κβ καὶ ἤχθω τῇ ἂγ πρὸς ὀρθὰς ἡ βε. ὀρθὴ ἄρα δ·
ἡ ὑπὸ εβγ. εἰ μὲν οὖν καὶ ἡ ὑπὸ εβὸ ὀρθή, ἴσαι ἔσονται, ὅπερ ἀδύνατον, εἰ δὲ μή, ἤχθω τῇ αὃ πρὸς ὀρθὰς ἡ
ἐβ. ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ἔβα· ἦν δὲ χαὶ ἡ ὑπὸ βα ὀρθή᾽ ἴσαι ἄρα εἰσὶν ἀλλήλαις, ὅπερ ἀδύνατον. ἡ μὲν τ οὖν ἀπόδειξις αὕτη διαβάλλει δὲ αὐτὴν ὡς προλαμβάνουσάν τι τῶν ὕστερον, ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ [εὐθεῖαν] πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν. ὁ δὲ Ποσειδώνιος οὐδαμοῦ μὲν ἐν ταῖς στοιχειώσεσιν απόδειθι τοιαύτην φέρεσθαί φησιν, ἀλλὰ τὸν
Ζήνωνα συκοφαντεῖν τοὺς ἐφ᾽ ἑαυτοῦ γεωμέτρας ὡς μοχθηρᾷ ἀποδείξει χρωμένους εἶναι δέ τινα καὶ ὑπὲρ ταύτης λόγον εἰπεῖν. ἐπεὶ γάρ ἐστί τις πάντως ἑκατέρα τῶν εὐθειῶν πρὸς ὀρθάς — πᾶσαι γὰρ δύο εὐθεῖαι δύνανται ποιεῖν ὀρθήν. καὶ τοῦτο προειλήφαμεν ὁριξόμενοι τὴν ὀρθήν. παρὰ γὰρ τὴν τοιάνδε κλίσιν μόνην ὑφιστάνομεν τὴν ὀρθήν — ἔστω ἦδε τυχὸν ἣν ἀνεστήσαμεν. πρὸς τὸ καὶ αὐτὸν τὸν Ἐπίκουρον συγχωρεῖν καὶ τοὺς ἄλλους φιλοσόφους πολλὰ μὲν 1. δυνατὰ πολλὰ δὲ καὶ τῆς ἀδυνάτου ὕλης ὑποτίθεσθαι τῆς τοῦ ἀκολούθου ἕνεκα θεωρίας. ] Τοσαῦτα περὶ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου. δεῖ δὲ καὶ τὰ λοιπὰ συστήσασθαι καὶ πρότερον τὸ ἰσοσκελές.
ἔστω οὖν ἡ αβ, ἐφ᾽ ἧς δεῖ συστήσασθαι τὸ ἰσοσκελές. καὶ γεγράφθωσαν κύκλοι ὡς ἐπὶ τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἑκάτερα ἡ
αβ ἐπὶ τὰ γ ὃ σημεῖα. ἴσα ἄρα ἡ γβ τῇ αδ. κέντρῳ
320 οὖν τῷ β, διαστήματι δὲ
τῷ γβ γεγράφθω κύκλος ὁ γὲ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ α, διαστήματι δὲ τῷ δα ὁ δὲ
κύκλος. καὶ ἀπὸ τοῦ ε, καθ᾽ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἵ κύκλοι ἐπὶ τὰ α β σημεῖα ἐπεξζεύχθωσαν αἵ ξαὰ εβ.
ἐπεὶ οὖν ἴσή ἡ μὲν ξα τῇ αδ, ἡ δὲ εβ βγ, ἴση δὲ ἡ
αὃ τῇ βγ, ἴση καὶ ἡ τα τῇ εβ. ἀλλὰ καὶ μείξους τῆς αβ. ἰσοσκελὲς ἄρα ἐστὶν τὸ αβε τρίγωνον, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
᾿Δλλὰ δὴ προστετάχθω σκαληνὸν συστήσασθαι τρίγωνον ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας τῆς αβ. καὶ γεγράφθωσαν οἷ κύχλοι κέντροις καὶ διαστήμασιν ὡς ἐπὶ τῶν πρότερον. καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τοῦ κέντρον ἔχοντος τὸ α σημεῖον
τὸ γ καὶ ἐπεξεύχθω ἡ αγ, καὶ
ἐπὶ ταύτῃ σημεῖον τὸ ὃ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ δβ. ἐπεὶ οὖν κέντρον τὸ α, ἴση δὲ ἡ αβ τῇ ἂγ, μείξων ἄρα ἡ αβ τῆς αδ. κέντρον δὲ καὶ τὸ β. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ εβ τῇ αβ. μείζων ἄρα ἡ ὃδβ τῆς βα: ἡ δὲ βα τῆς αὸ μείξων. αἵ τρεῖς ἄρα δβ βα αὃ ι’ ἄνισοί εἰσιν᾽ σκαληνὸν ἄρα τὸ τρίγωνόν ἐστιν, ὥστε συνεστάθη τὰ τρία τρίγωνα.
Ταῦτα μὲν οὖν πολυθρύλητα, τὸ δὲ ἐν τούτοις γλαφυρόν, ὅτι τὸ μὲν ἰσόπλευρον πανταχόθεν ἴσον ὃν μοναχῶς συνίσταται, τὸ δὲ ἰσοσκελὲς ἐν δύο μόναις ) πλευραῖς ἰσότητα ἔχων διχῶς συνίσταται᾽ ἡ γὰρ δοθεῖσα εὐθεῖα ἢ ἐλάσσων ἐστὶν ἀμφοτέρων τῶν ἴσων,
Props. I.2–I.3: Transferring & Subtracting Segments¶
Euclid: [I.2]
ὡς ἡμεῖς ἐποιήσαμεν, ἣ μείζων ἀμφοτέρων, τὸ δὲ σκαληνὸν πάντη ἄνισον ὃν τριχῶς συνίσταται᾽ ἡ γὰρ δοθεῖσα ἢ μεγίστη ἐστίν, ἢ ἐλαχίστη τῶν τριῶν, ἢ τῆς μὲν μείζων, τῆς ὃὲ ἐλάσσων. καὶ ἔξεστιν ἑκάστην ἑαυτῷ ἢ προτείναντα ἢ συστείλαντα τῶν ὑποθέσεων γυμνάξεσθαι· ἡμῖν δὲ ἀρκείτω τὰ ἐκκείμενα. Καθόλου δὲ θεωρήσομεν, ὅτι τῶν προβλημάτων τὰ μὲν μοναχῶς γίγνεται, τὰ δὲ πλεοναχῶς. τὰ δὲ ἀπειραχῶς. λέγεται δὲ, ὡς φησὶν ᾿μφίνομος, τὰ μὲν μοναχῶς συνιστάμενα [τεταγμένα], τὰ δὲ πλεοναχῶς ·} καὶ κατὰ ἀριθμὸν ὡρισμένον μέσα, τὰ δὲ ἀπειραχῶς ποικιλλόμενα ἄτακτα. πῶς μὲν οὖν μοναχῶς ἢ πλεοναχῶς συσταίη ἂν προβλήματα, δῆλον ἐπὶ τῶν εἰρημένων τριγώνων. τὸ μὲν γὰρ ἰσόπλευρον μοναχῶς,
τῶν δὲ λοιπῶν τὸ μὲν διχῶς συνίσταται, τὸ δὲ τριχῶς. ἀπειραχῶς δὲ τὰ τοιαῦτα προβλήματα γένοιτο ὥν᾽ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν εἰς τρία ἀνάλογα. εἰ μὲν γὰρ εἰς διπλάσιον λόγον τμηθείη καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος παρὰ τὴν μείζονα παραβληθείη ἐλλεῖπον
.5 εἴδει τετραγώνῳ, ἔσται εἰς τρία ἴσα τετμημένη. εἰ δὲ
τὸ μεῖξον τμῆμα τοῦ ἐλάσσονος εἴη μεῖξον ἢ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον καὶ παραβληθείη τῷ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος
ἴσον παρὰ τὴν μείξονα ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, ἔσται εἰς ἄνισα τρία ἀνάλογον τετμημένη. ἐπεὶ οὖν ἀπειραχῶς ἂν εἰς δύο τμηθείη, ὧν τὸ μεῖζόν [τοῦ ἐλάσσονος μεῖζον] ἐστιν ἢ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον -ἐπ᾿ ἄπειρον γὰρ ὁ πολλαπλάσιος πρόεισι λόγος — ἀπειραχῶς καὶ εἰς τρία ἀνάλογα τμηθήσεται.
Δεῖ δὲ εἰδέναι καὶ ὅτι τὸ πρόβλημα λέγεται πλεοναχῶς. καὶ γὰρ πᾶν τὸ προτεινόμενον πρόβλημα καλεῖται, εἶτε μαθήσεως ἕνεκα προτείνοιτο εἴτε καὶ ποιήσεως. ἰδίως δὲ ἐν τοῖς μαθήμασι καλεῖται πρόβλημὰ τὸ προτεινόμενον εἰς ποίησιν τὴν θεωρητικήν. καὶ γὰρ τὸ ποιούμενον ἐν τούτοις τέλος ἔχει τὴν θεωοίαν᾽ καὶ πολλάκις μὲν καὶ τῶν ἀδυνάτων τινὰ προβλήματα καλοῦσιν, ἰδιώτερον δὲ τὸ δυνατὸν καὶ μήτε πλεονάζον μήτε ἐλλεῖπον ἔχει τὴν ἐπωνυμίαν ταύτην. ἔστιν δὲ πλεονάζον μὲν τὸ τοιόνδε τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι ἔχον τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ διμοίρον ὀρθῆς. τοῦτο γὰρ παρέλκει καὶ περιττῶς πρόσκειται. παντὶ γὰρ ὑπάρχει τῷ ἰσοπλεύρῳ τριγώνῳ. τῶν δὲ πλεοναζόντων ὅσα μὲν ἀσυμβάτοις πλεονάζει συμπτώμασι καὶ ἀνυπάρκτοις ἀδύνατα ταῦτα προσαγορεῖι-ουσιν, ὅσα δὲ συμβαίνειν δυναμένοις μείζονα ἣ προυβλήματα ταῦτα καλοῦσιν. ἐλλειπὲς δέ ἐστι πρόβλημα. ᾿ χαλεῖται ἔλασσον ἢ πρόβλημα, τὸ προσθήκης ἄλλης δεόμενον, ἵνα ἐκ τῆς ἀοριστίας εἰς τάξιν καὶ ὅρον
ἐπιστημονικὸν ἀχθῇ᾽ οἷον εἰ λέγοι τις ἰσοσκελὲς συστήσασθαὶι τρίγωνον. ἐλλειπὲς γὰρ τοῦτο καὶ ἀοριστῶδὲς καὶ δεῖ τοῦ προσθήσοντος. ὁποῖον ἰσοσκελές, τὸ ἔχον μείζονα τὴν βάσιν ἢ τὸ ἐλάσσονα ἔχον τῶν ἴσων ὃ ἑκατέρας, καὶ πότερον τὸ ἔχον τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν διπλὴν ἑκατέρας τῶν πρὸς τῇ βάσει, οἷον τὸ ἡμιτετράγωνον, ἢ τὸ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βαεἰ [ τῆς πρὸς τῇ κορυφῇ διπλὴν ἢ κατ᾽ ἄλλον τινὰ λόγον τὰς γωνίας ταύτας ἔχον, τριπλάσιον ἢ τετραπλάσιον. δυνατὸν γὰρ ἀπειραχῶς ποικίλλειν. φανερὸν οὖν ἐκ τούτων, ὅτι τὰ κυρίως λεγόμενα προβλήματα βούλεται τὴν ἀοριστίαν διαφεύγειν καὶ μὴ εἶναι τῶν ἀπειραχῶς γινομένων. λέγεται δὲ ὅμως κἀκεῖνα προβλήματα διὰ τὴν ὁμωνυμίαν τοῦ προβλήματος. τὸ δὴ πρώτιστον πρόβλημα τῶν στοιχείων καὶ ταύτῃ πλεονεκτεῖ τῷ μήτε πλεονάξον εἶναι μήτε ἐλλειπὲς μήτε ἀόριστον καὶ πολλαχῶς ἢ ἀπειραχῶς συνιστάμενον. ἔδει γὰρ τοιοῦτον εἶναι τὸ τῶν ἄλλων στοιχεῖον ἐσόμενον.
ΡΥορ. 1Π, ῥγοῦ]. Πι Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Τῶν προβλημάτων τὰ μὲν ἄπτωτά ἐστιν, τὰ δὲ πολύπτωτα, ὥσπερ καὶ τῶν θεωρημάτων. ὅσα μὲν οὖν τὴν αὐτὴν δύναμιν ἔχει διὰ πλειόνων πεφοιτη-
κυῖαν διαγραμμάτων καὶ τὰς θέσεις ἐξαλλάττοντα τὸν αὐτὸν φυλάττει τῆς ἀποδείξεως τρόπον, ταῦτα λέγεται πτώσεις ἔχειν. ὅσα δὲ κατὰ μίαν θέσιν καὶ κατασκευὴν μίαν προκόπτει, ταῦτα ἄπτωτά ἐστιν. ἁπλῶς γὰρ ἡ πτῶσις περὶ τὴν κατασκευὴν ὁρᾶται καὶ τῶν
θεωρημάτων καὶ τῶν προβλημάτων. ἐστὶν οὖν τὸ β πρόβλημα πολύπτωτον, δέδοται δὲ ἐν αὐτῷ τὸ μὲν
σημεῖον τῇ θέσει — ταύτῃ γὰρ καὶ δίδοται μόνον -“— ἡ δὲ εὐθεῖα τῷ τε εἴδει — οὐ γὰρ ἁπλῶς ἐστι γραμμή, ἀλλὰ τοιάδε — καὶ τῇ θέσει. ζητεῖται δὲ ταύτῃ τῇ εὐθείᾳ ἴσην θέσθαι πρὸς τῷ σημείῳ, ὅπου ποτ᾽ ἂν ἡ τοῦτο κείμενον. πρόδηλον ὃΣ ὅτι πάντως ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τὸ σημεῖόν ἔστιν, ἐν ᾧ καὶ ἡ εὐθεῖα καὶ οὐκ ἐν μετεωροτέρῳ. πᾶσι γὰρ τοῖς τῶν ἐπιπέδων προβλήμασιν καὶ θεωρήμασιν ἕν ἐπίπεδον ὑποκεῖσθαι χρὴ νομίζειν. εἰ δέ τις ἀποροίη, πῶς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ θέσθαι ἴσην παρακελεύεται — τί γάρ, εἰ ἄπειρος δέδοται; τὸ γὰρ δοθὲν τοῦτο καὶ ἐπὶ τὴν πεπερασμένην φέρει καὶ ἐπὶ τὴν ἄπειρον᾽ σημαίνει γὰρ τὸ ἐκκείμενον πᾶν καὶ ὑποβεβλημένον ἡμῖν εἰς τὴν ξήτησιν. δηλοῖ δὲ καὶ αὐτὸς ὅτε μὲν λέγων, ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης συστήσασθαι τρίγωνον ἐσόπλευρον, ὅτε δὲ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον κάθετον ἀγαγεῖν — εἴ τις οὖν ταῦτα διαποροίη, λεκτέον ὅτι τὴν ἴσην τῇ δοθείσῃ πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ θέσθαι παρακελευσάμενος πῶς οὐχὶ δῆλόν σοι πεποίηκεν αὐτόθεν, ὅτι ἡ δοθεῖσα πεπέρασται; πάντως γὰρ ἡ πρὸς τῷ σημείῳ τεθησομένη πεπέρασται
κατ᾽ αὐτὸ τὸ σημεῖον, ὥστε πολλῷ πρότερον ἐκείνη πεπέρασται, ἧ ἐστιν ἴση ἡ τιθεμένη. ἅμα τε οὖν εἶπεν πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ καὶ ἀμφοτέρας περατοῖ τὰς εὐθείας καὶ τὴν δοθεῖσαν καὶ ἣν ἐκείνῃ τίθησιν ἴσην. 6. ὋὍὈτι δὲ αἵ πτώσεις τούτου τοῦ προβλήματος γίνονται παρὰ τὴν τοῦ σημείου διάφορον θέσιν, δῆλον. ἥ γὰρ ἔξω κεῖται τὸ δοθὲν σημεῖον τῆς δοθείσης εὐθείας ἢ ἐπ᾽ αὐτῆς, καὶ εἰ ἐπ᾽ αὐτῆς, ἢ τῶν περάτων αὐτῆς ἔσται θάτερον ἢ ἐν τῷ μεταξὺ κείσεται τῶν ι᾽ο ἄκρων, καὶ εἰ ἔξω αὐτῆς, ἢ ἐκ πλαγίου, ὥστε τὴν ἀπ᾿ αὐτοῦ πρὸς τὸ πέρας τῆς εὐθείας ἐπιξευγνυμένην γωνίαν ποιεῖν ἢ ἐπ᾽ εὐθείας τῇ δεδομένῃ, ὥστε ἐκβαλλομένην αὐτὴν ἐπὶ τὸ σημεῖον πίπτειν. ὃ μὲν οὖν γεωμέτρης ἔλαβεν τὸ σημεῖον ἔξω κείμενον καὶ ἐκ .5 πλαγίου, γυμνασίας δὲ ἕνεκα πάσας ληπτέον τὰς θέσεις, ὧν ἡμεῖς ἐκθησόμεθα τὴν δυσκολωτέραν. ἔστω γὰρ ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ αβ καὶ τὸ σημεῖον τὸ δοθὲν τὸ γ κείμενον ἐπ᾽ αὐτῆς ἐν τῷ μεταξὺ τῶν περάτων, καὶ γεγονέτω τὰ αὐτὰ τῷ στοιχείῳ, τρίγωνον ἰσύ-
πλευρον ἐπὶ τῆς γα τὸ ὃγα, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἴ ὃγ δα, καὶ κέντρῳ τῷ
ἃ) διαστήματι δὲ τῷ αβ κύκλος ὁ βε, καὶ πάλιν
ἢ ἐστιν ἴση τῇ τιθεμένῃ 7,,, ἢ. “ᾳπδλθ εἷ, 486 μομίζιι,
κέντρῳ τῷ ὃ, διαστήματι δὲ τῷ δὲ κύκλος ὁ εξ. ἐπεὶ οὖν κέντρον τὸ α, ἴση ἡ βα τῇ αε. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἴση ἡ δὲ τῇ δη, ὧν ἡ ὃγ τῇ δα ἴση — τρίγωνον γὰρ ἰσόπλευρον τὸ δαγ – λοιπὴ ἄρα ἡ αε τῇ γὴ ἴση ἐστίν. ἦν δὲ ἡ αε τῇ αβ ἴση, ὡς δέδεικται. καὶ ἡ γῆ ἄρα ἴση τῇ αβ. πρὸς τῷ δοθέντι ἄρα σημείῳ τῷ γ
ἴση ἡ γη ἐτέθη τῇ αβ.
Ὡς μὲν οὖν πρὸς τὴν τοῖ σημείου θέσιν τοσαῦται γίνονται πτώσεις, ὡς δὲ πρὸς τὴν τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου σύστασιν καὶ τὰς τῶν πλευρῶν ἐκβολὰς τ χαὶ τὰς τῶν κύκλων γραφὰς ἔτι πόλλῳ πλείους. ] εἰλήφθω γὰρ ὡς ἐν τῷ στοιχείῳ τὸ α σημεῖον καὶ ἡ
βγ εὐθεῖα, καὶ ἐπεξζεύχθω ἡ βα. Γ᾽
τρίγωνον οὖν ἐπ᾽ αὐτὴν ἰσόπλευ-
ρον μὴ συνεστάτω ἄνω ἔχον τὴν 1δ κορυφὴν διὰ τὸ μὴ εἷναι τόπον,
ἀλλὰ κάτω καὶ ἔστω τὸ αδβ. οὐκοὖν ἤτοι ἴση ἡ αὃ τῇ βγ ἢ μείξων ἢ ἐλάσσων. εἰ μὲν οὖν ἴση, γέγονεν τὸ προ-
ταχθέν, εἰ δὲ ἐλάσσων, κέντρῳ τῷ ἢ, διάστηματι δὲ νο
τῷ βγ κύχλος γεγράφθω καὶ ἐχβεβλήσθωσαν αἵ ᾿αὃ βὸ ἐπὶ τὰ ηξ, καὶ κέντρῳ τῷ ὃ, διαστήματι δὲ τῷ δη κύκλος γεγράφθω ὁ ἢε. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ δη τῇ δε, ἐκ κέντρου γάρ, ἀλλὰ καὶ ἡ αὃ τῇ ὃβ, ἰσόπλευρον γάρ᾽ ὅλη ἄρα ἡ ἂε ὅλῃ τῇ βη ἴση· ἀλλ᾽ ἡ βη τῇ βγ ἴση, ἐκ κέντρου γάρ᾽ ἡ ἄρα αε ἴση τῇ βγ, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. εἰ δὲ μείξων ἡ αὃ τῆς βγ — τοῦτο γὰρ ὑπόλοιπον — κέντρῳ τῷ β, διαστήματι δὲ τῷ βγ κύκλος γεγράφθω. τεμεῖ ἄρα την ὃβ ὁ γὲ κύκλος. πάλιν
κέντρῳ ὃ, διαστήματι δὲ δὲ κύ-
κλος γεγράφθω. τεμεῖ ἄρα τὴν δα ὁ ἢξ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὃ
κέντρον τοῦ εξ, ἴση ἡ ὃ τῇ δε ἦν δὲ καὶ ἡ δα τῇ ὃβ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ αἡ ἴση τῇ βε᾽ ἀλλὰ ἡ βὲ ἴση ἐστὶν τῇ βγ᾽ ἐκ κέντρου γάρ εἰσιν ἀμφότεραι· ἡ ἄρα
αἢ ἴση ἐστὶν τῇ βγ καὶ κεῖται πρὸς τῷ α, ὅπερ ἔδει
ποιῆσαι. πολλῶν δὲ καὶ ἑτέρων πτώσεων οὐσῶν ἀρκεῖ
καὶ ταύτας πρὸς τὸ παρὸν ἀναγράψασθαι· καὶ γὰρ ἀπὸ τούτων δυνατὸν καὶ περὶ τὰς ἄλλας γυμνάσασθαι τοῖς ζητητικωτέροις.
Ἤδη δέ τινες ἀφελόντες τὴν τοῦ στοιχείου τούτου κατασκευὴν καὶ ποικιλίαν εἰρήκασιν οὕτως ἔστω τὸ
πα τὸ δοθὲν σημεῖον, ἡ δὲ βγ ἡ δο-
θεῖσα εὐθεῖα καὶ κέντρῳ μὲν τῷ α διαστήματι δὲ τοσούτῳ, ὅση ἐστὶν ἡ
βγ, κύκλος γεγράφθω ὁ εὃ καὶ Ὁ προσεχβεβλήσθω τις εὐθεῖα ἀπὸ τοῦ
« ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἡ αδ. αὕτη ἄρα ἴση τῇ βγ᾽ τοσαύτη γὰρ ἦν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ὅση ἡ βγ; ! καὶ γέγονεν τὸ ἐπιταχθέν. εἴ τις οὖν ταῦτα λέγοι, τὸ ἐν ἀρχῇ αἰτεῖται. ὅταν γὰρ λέγῃ κεντρῷ τὸ α, διαστήματι δὲ τῷ βγ γράφεσθαι τὸν εὃ κύκλον, ἴσην ἔλαβεν ἤδη τρύπον τινὰ τῇ βγ πρὸς τῷ α κειμένην πέρατι, καὶ φυλάττον τὸ αἴτημα τοῦ διαστήματος τοῦτο μὲν ἐποίει κέντρον, τῷ δὲ ἔγραφεν τὸν κύκλον, ἐνταῦθα δὲ ὥλλο
μὲν τὸ κέντρον, ἀλλαχοῦ δὲ τὸ διάστημα τοῦ κύκλου. πάντη ἄρα τὸν τρόπον τοῦτον τῆς ἀποδείξεως οὐ προσθησόμεθα.
ΠΙ, ρὑγοῦἹ. ΠΙ Ζύο δοθεισῶν εὐθειῶν
δἀνίδων ἀπὸ τῆς μείξονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην
ἀφελεῖν.
Τρίτον πρόβλημα τοῦτο δεδομένας μὲν ἔχον δύο εὐθείας κατὰ τὸ μέγεθος ἀνίσους, προστάττον δὲ ἀφελεῖν ἀπὸ τῆς μείξονος ἴσην τῇ ἐλάσσονι. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πολύπτωτον. αἴ γὰρ δοθεῖσαι ἄνισοι εὐθεῖαι
ἢ διεστᾶσιν ἀπ’ ἀλλήλων, ὡς παρὰ τῷ στοιχειωτῇ, ἢ καθ᾽ ἕν πέρας συνάπτονται, ἢ τέμνουσιν ἀλλήλας, ἢ ἡ ἕτέρα κατὰ τὸ πέρας ἑαυτῆς τέμνει τὴν ἑτέραν, καὶ τοῦτο διχῶς, ἢ γὰρ ἡ μείζων τὴν ἐλάσσω, ἢ ἡ ἐλάσσων τὴν μείζονα. ἀλλ᾽’ εἰ μὲν καθ᾽ ὃν συνἅπτοιντο πέρας, δήλη ἡ ἀπόδειξις. τῷ γὰρ κοινῷ πέρατι κέντρῳ χρησάμενος διαστήματι δὲ τῇ ἐλάσσονι τῶν εὐθειῶν γράψεις κύκλον καὶ τὴν μείζονα τεμεῖς καὶ ἀφαιρήσεις ἴσην τῇ ἐλάσσονι. ὅσον γὰρ τῆς μείξονος ὁ κύκλος ἐντὸς ἀποτέμνεται, τοσοῦτον ἴσον ἔσται τῇ ἐλάσσονι. εἰ δὲ ἡ ἑτέρα τέμνοι τὴν ἑτέραν κατὰ τὸ ἑαυτῆς πέρας, ἤτοι ἡ μείξων τὴν ἐλάσσονα τέμνει ἢ ἀνάπαλιν, καὶ εἰ ἀλλήλας τέμνοιεν, ἢ εἰς ἴσα τέμνον-
3 τὸν τρόπον τοῦτον] ει πο ἀἰββί πιο οδὲ τῷ τρόπῳ τούτῳ ἴυϊ8856 βουϊρίτιη. βΒι« α. ὃ προυῦ σόμεθα) ἕΔρρτο-
ται ὑπ᾿ ἀλλήλων ἢ εἰς ἄνισα, ἢ ἡ μὲν εἰς ἴσα, ἡ δὲ εἰς ἄνισα, καὶ τοῦτο διχῶς. ταῦτα γὰρ πάντα ποικιλίαν ἡμῖν θαυμαστὴν παρέχεται γυμνασίας᾽ παρακείσθω δὲ καὶ ἡμῖν ὀλίγα ] ἐκ πολλῶν. ἔστωσαν ἄνισοι εὐθεῖαι ἡ αβ καὶ ἡ γδ, μείξων δὲ ἡ γδ, καὶ τεμνέτω τὴν αβ · τῷ ἑαυτῆς πέρατι τῷ γ᾽ καὶ κέντρῳ τῷ α, διαστήματι δὲ τῷ αβ κύκλος ὁ βξ καὶ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἐπὶ τῆς αγ τὸ αεγ᾽ καὶ ἐχβεβλήσθωσαν αἱ ἕα εγ᾽ καὶ πάλιν κέν-
τρῷ τῷ ε, διαστήματι δὲ τῷ εξ κύχλος ὃ θηκ᾽ καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ γ, διαστήματι δὲ τῷ γη κύκλος ὁ ηλ ἐπεὶ οὖν ἡ εξ ἴση τῇ ἕη, κέντρον γὰρ τὸ ε, ὧν τὸ ἡ ξὰ ἴση τῇ ἐγ, λοιπὴ ἡ αξ ἴση τῇ γη᾽ ἀλλὰ καὶ ἡ αξ ἴση τῇ αβ, κέντρον γὰρ τὲ α, καὶ αὕτη τῇ γλ, κέντρον γὰρ τὸ γ᾽ ἴση ἄρα τῇ αβ ἀφῇρηται ἡ γλ. ᾿Δλλὰ δὴ ἔστω ἐλάσσων τῆς αβ ἡ γδ, καὶ τε-
μνέτω τὴν αβ κατὰ τὸ Ὑ τῷ ἑαυτῆς πέρατι. ἢ οὖν ὦ κατὰ τὸ μέσον αὐτὴν τεμεῖ ἢ οὐ κατὰ τὸ μέσον.
ὃ γεγράφθω κύκλος 6. 18 ὁ πὰ Ὁ. 16 ἥὰ Ἡ, κλσ, 10. 11.118 γ1] γὸὃ ΜΙ αἰτοηὰο ἴοοο. 18 κέντρον γὰρ … ἡ γᾶ οι. Ω, δὰἀὰ. Ο. 19 τῆρ αν Ο, τῆς αβ 0.
, 20 ἦ ἑαυτῆς πέραστι Μ. ἢ γοῦν Ο. ᾿ ΦῚ ἰδ ὸ αὐτὴν Ο
πρότερον τεμνέτω κατὰ τὸ μέσον᾽
οὐκοῦν ἡ γὸ ἣ ἡμίσειά ἐστι τῆς
α; ( . αβ καὶ ἴση ἡ ἂγ τῇ γὸ – ἢ Ν .-) 2 ἐλάσσων τῆς ἡμισείας· καὶ κέν-: τρῳ τῷ γ, διαστήματι δὲ τῷ γὸ
γράψας κύχλον ἀφαιρήσεις ἀπὸ
τῆς ἂν ἴσην τῇ γὸ – ἢ μείζων
Ξ 4 τῆς ἡμισείαρ᾽ καὶ πρὸς τῷ α ση-
μείῳ θέμενος ἴσην τῇ γὸ τὴν
ὄ αξ καὶ γράψας κύκλον κέντρῳ
τῷ ἃ διαστήματι τῷ αξ
ἀφαιρήσεις ἀπὸ τῆς αβ
ἴσην τῇ αξ, τουτέστιν τῇ γὸ.
Εἰ δὲ μὴ κατὰ τὸ μέσον τέμνει τὴν αβ ἡ γὸ, ἔστω ἡ γα τῆς ἡμισείας αὐτῆς μείζων. εἰ τοίνυν ἡ γὸ ἢ ἡμίσειά ἐστιν τῆς
1-4 Εἰζυζαῖι οὐ. 3. 4 γα Π. δὅ—8 Εἰχατδὰ ΟἿ.
αβ ἢ ἐλάσσων, κέντρῳ χρησάμένος τῷ γ, διαστήματι δὲ τῷ γὸ ἀφαιφήσεις ἀπὸ τῆς ἃγ ἴσην τῇ γὸ – ἢ μείζων ἐστὶ τῆς ἡμισείας τῆς αβ ἡ γδ, καὶ ἤτοι ἴση τῇ αγ — καὶ γέγονεν τὸ προσταχθέν — ἢ Ϊ καὶ ταύτης μείζων — καὶ πάλιν πρὸς ὡς τῷ α θέμενος ἴσην τῇ γὸδ τὰ αὐτὰ ποιήσεις· κέντρῳ γὰρ τῷ α διαστήματι δὲ τῷ ξα γράψεις κύκλον ἀφαιροῦν- ξ τα ἀπὸ τῆς αβ ἴσην τῇ αξ, τουτέστιν τῇ γὸ.
Εἰ δὲ τέμνοιεν ἀλλή-
λας ὡς αἴ γὸ αβ, κέντρῳ β
τῷ β, διαστήματι δὲ τῷ ·
βα κύκλος γεγράφθω ὁ αξ καὶ ἐπκιξευχθεῖσα ἡ βγ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ ξ. ἐπεὶ οὖν
1–ο Εἴχυγδιι ρῥγίογθηι οὔ. ΤΠ, Ζ, οὐπὶ δοαιδηΐο οοηἰπηχὶϊ 3.
8 ἀπὸ τῆς αβ τῇ γδ ἴσην αὶ 4–α ἢ μείζων ἐστὶ …
δύο εὐθεῖαί εἰσιν ἄνισοι ἡ
, βὲ καὶ ἡ γδ, καὶ ἡ γὸ κατὰ τὸ πέρας ἑαυτῆς τέμνει τὴν
ἃ ἯΤΝἢ βξ, δυνατὸν ἴσην ποιῆσαι τῇ
: βὲ ἀπὸ τῆς βὸ (Ὁ). δέδεικται γὰρ ἀμφότερα. δυνατὸν ἄρα
καὶ τῇ αβ ἴσην ἀφελεῖν ἀπὸ
τῆς αβ τῇ γὃ (Ὁ) ἡ γὰρ αβ καὶ ἡ βξ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
Ἡμεῖς μὲν οὖν ἐκ διαιρέσεως λαβόντες τὰς πτώσεις ἐπιδεῖξαι τὴν ποικιλίαν αὐτῶν ἐπειράθημεν. θαυμαστὴ δὲ ἡ τοῦ στοιχειωτοῦ ἀπόδειξις᾽ πάσαις γὰρ ἐκείνη ταῖς εἰρημέναις κατασκευαῖς ἐφαρμόττει, καὶ δυνατὸν ἐπὶ πάσης θέσεως πρὸς τῷ πέρατι τῆς μείξο-
ἴδνος ἴσην τῇ ἐλάσσονι θέντι γράφειν τῷ αὐτῷ πέρατι κέντρῳ χρώμενον καὶ διαστήματι τῇ θέσει κύκλον, ὃς ἀπὸ τοῦ μείζονος ἴσην ἀφαιρήσει τῇ ἐλάσσονι,
ἃ αἴ Βὲ γὃ Ο. ἃ ΑἸίοτυπι καὶ ἡ γδ οι. Η. 4–ὃ δυ-
νατὸν ἴσην ποιῆσαι τῇ βὲ ἀπὸ τῆς γ 8,, Ο, “Ῥοβδὶθὶ]6 οδὲ 8 Ὁ
Prop. I.4: First Congruence Theorem (SAS), Superposition & Carpus¶
Euclid: [I.4]
εἴτε τέμνοιεν ἀλλήλας, εἴτε ἡ ἑτέρα τὴν ἑτέραν, εἴθ᾽
ὁπωσοῦν ἄλλως ἔχοιεν θέσεως.
Ῥγχορ. 1ΠΙ, ἰβοοσ. 1. Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ, ἑκατέ-
ραν ἑκατέρᾳ, ἔχει δὲ καὶ γωνίαν γωνίᾳ ἴσην·
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων πλευρῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἔξει καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται καὶ αἴ λοιπαὶ γωνίαι 9 “᾿ ΦὋ΄ »ο ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, υφ᾽ ἂς αἴ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
Τοῦτο πρῶτον θεώρημα ἐν τῇ στοιχειώσει παρεἰλήφαμεν, τὰ δὲ πρὸ τούτου πάντα προβληματικὰ ἦν, τὸ μὲν πρῶτον Ϊ περὶ τὴν τῶν τριγώνων γένεσιν πραγματευόμενον, τὸ δὲ δεύτερον καὶ τρίτον ἴσην εὐθεῖαν ὥλλην ἄλλῃ πορίσασθαι προτιθέμενα, καὶ τούτῶν τὸ μὲν ἀπὸ τοὺ οὐχ ἴσου τὴν ἴσην ὑφίστατο, τὸ δὲ ἀπὸ τοὺ ἀνίσου κατὰ ἀφαίρεσιν τὸ ἴσον εὕρισκεν. τῆς οὖν ἰσοτήτος. ἣ τὸ πρώτιστον ἐστιν ἐν τῷ ποσῷ συμπτωμα, πεπορισμένης κατά τε τὸ τρίγωνον καὶ εὐθείας, τοῦτο πρῶτον ὅπερ ἐξεθέμεθα θεώρημα παραδέδωσιν ἐπ᾽ ἐκχείνοις. καὶ πῶς γὰρ ἔμελλεν μὴ προὑποστήσας τὰ τρίγωνα μηδὲ πορισάμενος τὴν γένεσιν
αὐτῶν περὶ τῶν καθ᾽ αὑτὸ συμβεβηκότων αὐτοῖς διδάσκειν καὶ γωνιῶν τῶν ἐν αὐτοῖς ἰσότητος καὶ
πλευρῶν, πῶς δὲ ἂν ἔλαβεν πλευρὰς ἴσας πλευραῖς καὶ εὐθείας ἄλλαις εὐθείαις μὴ τοῦτο διαπραγματευ-
σάμενος προβληματικῶς καὶ μηχανησάμενος τὴν τῶν ἴσων εὐθειῶν εὕρεσιν; λεγέτω γὰρ εἰ τύχοι πρὸ τῆς ἐχείνων ποιήσεως, ὅτι ἐὰν δύο τρίγωνα τόδε τι τὸ σύμπτωμα ἔχῃ, ἕξει καὶ τόδε πάντως. ἄρα οὖν οὐ ῥάδιον παντὶ πρὸς αὐτὸν ἀπαντᾶν ἴσμεν γὰρ ὅλως,
εἰ συνίστασθαι δύναται τρίγωνον; ἐπαγέτω δὲ καὶ ὅτι κἂν τὰ δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ἴσας ἔχῃ ταῖς δύο πλευραῖς —.- οὐκ ἂν τις καὶ πρὸς τοῦτο διηπόρῃσεν, μήποτε οὐδὲ δυνατὸν εὐθείας ἀλλήλαις ἴσας εἷναι; καὶ μάλιστα ἐπὶ τῶν γεωμετρίας εἰδῶν, ἐν οἷς
οὐ πάντως ἀνισότητος οὔσης καὶ ἰσότης ἐστίν. μαθησόμεθα γοῦν ὅτι ἡ κερατοειδὴς ἀεὶ ἄνισος τῇ ὀξείᾳ καὶ οὐδέποτε ἴση, καὶ ἡ τοῦ ἡμικυκλίου ὡσαύτως. καὶ ἡ μετάβασις ἀπὸ τοῦ μείξονος ἐπὶ τὸ ἔλασσον οὐ πάντως διὰ τοῦ ἴσου γίνεται.
Ταῦτα τοίνυν ὁ στοιχειωτὴς προαναιρῶν καὶ τῶν τριγώνων τὴν σύστασιν παραδέδωκεν — κοινὴ γάρ
ἐστι τῶν τριῶν εἰδῶν — καὶ τὰς τῶν ἴσων εὐθειῶν γενέσεις καὶ ταύτας διττάς, τὴν μὲν γὰρ μὴ οὖσαν
ὅλως ὑφίστησι, τὴν δὲ ἀπὸ τῆς ἀνίσου κατὰ ἀφαίρεσιν πορίζεται. καὶ τούτοις εἰκότως ἐπιφέρει τὸ θεώρημα, δι’ οὗ δείκνυται, πῶς τὰ τρίγωνα τὰ ἔχοντα δύο πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας, ἑκατέραν ὁχατέρα καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνέᾳ ἴσην τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων περιεχομένην ἀναφαίνεται καὶ τὴν βάσιν ἴσην ἔχοντα τῇ βάσει καὶ τὸ ἐμβαδὸν τῷ ἐμβαδῷ καὶ τὰς λοιπὰς γωνίας ταῖς λοιπαῖς ἴσας. τρία γάρ ἐστι τὰ δεικνύμενα, δύο δὲ τὰ διδόμενα περὶ τὰ τρίγωνα. δέδοται μὲν οὖν δύο πλευρῶν ἰσότης καὶ δύο πλευραί — καὶ δῆλον τὺ ὅτι τῷ λόγῳ δέδοται — καὶ γωνίας αὖ τῆς ὑπὸ τῶν ἴσων περιεχομένης πρὸς γωνίαν ἰσότης. ζητεῖται δὲ τρία, ἢ τῆς βάσεως πρὸς τὴν βάσιν ἰσότης ἢ τοῦ
τριγώνου πρὸς τὸ τρίγωνον ἢ τῶν λοιπῶν γωνιῶν πρὸς τὰς λοιπάς. ἐπειδὴ δὲ δυνατὸν ἦν τὰς μὲν δύο ιὉ πλευρὰς ἴσας ἔχειν ταῖς δύο ᾿ πλευραῖς, οὐ μέντοι τὸ θεώρημα ἀληθεύειν τῷ μὴ εἶναι ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην, ἀλλὰ ἅμα ἀμφοτέρας, διὰ τοῦτο προσέθηκεν ἐν τοῖς δεδομένοις τὸ ἴσας εἷναι τὰς πλευρὰς οὐχ ἁπλῶς, ἀλλ᾽ ξδκατέραν ἑκατέρα. εἰ γὰρ ἔτυχεν τῶν τριγώνων Ὁ θάτερον ἔχον τὴν μὲν τῶν πλευρῶν τριῶν μονάδων, τὴν δὲ τεττάρων, τὸ δὲ ὑπόλοιπον τὴν μὲν πέντε, τὴν δὲ δυεῖν, ὀρθῆς οὔσης τῆς ὑπὸ τούτων περιεχομένης γωνίας, ἦσαν μὲν ἂν αἱ δύο ἅμα πλευραὶ ταῖς δύο ἴσαι — ἑπτὰ γὰρ καὶ αὗται καὶ ἐκεῖναι — οὐκ τὸ ἐδείκνυτο δὲ ἴσον τῷ τριγώνῳ τὸ τρίγωνον ὅπου μὲν γὰρ τὸ ἐμβαδόν ἐστιν ξξ, ὅπου δὲ πέντε, καὶ τὸ
τοῦδε αἴτιον, ὅτι οὐχὶ καὶ ἑκατέρα ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ. πολλσὶ γοῦν ἐν διανομαῖς τισι χωρίων τοῦτο μὴ παραφυλάξαντες τὸ μεῖξον λαβόντες χωρίον δικαίων ἀπηνέγχαντο δόξαν ὡς τὸ ἴσον ἑλόμενοι διὰ τὸ συναμφοτέρας τὰς περιεχούσας ἴσας εἶναι συναμφοτέραις. δεὶ τοίνυν καὶ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ λαμβάνειν ἴσην καί, ὅπου ὧν ὁ στοιχειωτὴς τοῦτο προστιθῇ, ἐπισημαίνεσθαι ὡς οὐ μάτην προστίθησιν᾽ ἐπεὶ καὶ περὶ τῆς τῶν γωνιῶν ἰσότητος τῶν δεδομένων ἴσων διαλεγόμενος προσέθηκἂν τὸ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων περιεχομένην, ἵνα μὴ ἀδιορίστῶς φηθέντος τῶν πρὸς τὴν βάσιν τινὰς λάβωμεν γωνιῶν. καὶ μὴν καὶ τὴν βάσιν ἐπὶ τῶν τριγώνων, μηδεμιᾶς μέν πω προωνομασμένης, τὴν πρὸς τῇ ὄψει κειμένην πλευράν, τῶν δὲ δυεῖν ἤδη προειλημμένων, ι ἐξ ἀνάγκης τὴν λοιπὴν εἶναι βάσιν ὑποθετέον. διὸ καὶ ἐνταῦθα ὁ στοιχειωτὴς τὰς δύο προλαβὼν ἴσας ταῖς δύο πλευραῖς τὰς ὑπολοίπους βάσεις τῶν τριγώνῶν ἐκάλεσεν. τρίγωνον δὲ αὖ ἴσον τριγώνῳ λέγεται τηνικαῦτα, ἡνίκα ἂν τὸ ἐμβαδὸν αὐτῶν ἴσον ἧ. δυὺ νατὸν γὰρ τῶν περιμέτρων ἴσων ὑπαρχουσῶν διὰ τὴν ἀνισότητα τῶν γωνιῶν καὶ τὰ ἐμβαδὰ ἄνισα εἶναι. καλῶ δὲ ἐμβαδὸν αὐτὸ τὸ χωρίον τὸ ὑπὸ τῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν ἀπολαμβανόμενον, ὥσπερ δὴ περίμέτρον τὴν συγχειμένην ὶ γραμμὴν ἐκ τριῶν τριγωνι: κῶν πλευρῶν. ἄλλο οὖν ἑκάτερον καὶ δεῖ μετὰ τῆς τῶν περιμέτρων ἰσότητος κατὰ μίαν πλευρὰν καὶ τὰς
γωνίας ἴσας εἶναι, εἰ μέλλοι καὶ τὸ ἐμβαδὸν εἶναι τῷ ἐμβαδῷ ἴσον. συμβαίνει δὲ ἐπέ τινων καὶ τῶν ἐμβαδῶν ἴσων ὄντων ἀνίσους εἶναι τὰς περιμέτρους καὶ τῶν περιμέτρων ἴσων οὐσῶν ἄνισα τὰ ἐμβαδά. ὃδυεἴν γοῦν ὄντων τριγώνων ἰσοσκελῶν, ὧν ἑχάτερον ἔχει τὰς ἴσας πλευρὰς ἀπὸ πέντε μονάδων, τῶν δὲ βάσεων τὸ μὲν ὀχτώ, τὸ δέ ξξ᾽ τούτων ὁ μὲν ἄπειρος γεωμετρίας εἴποι ἂν μεῖξον εἶναι τὸ ἔχον ὀχτὼ τὴν βάσιν. πᾶσα γὰρ ἔσται ἡ περίμετρος ὀκτωκαίδεκα. ὁ δ᾽ αὖ γεωμετρικὸς εἴποι ἂν ὅτι ἑκατέρου τὸ ἐμβα- ι0 ὁδόν ἐστι δώδεκα. καὶ ταῦτα ἀποδείξει κάθετον ἀγαγὼν ἐν ἑκατέρῳ τῶν τριγώνων ἀπὸ τῆς κορυφῆς καὶ ποιήσας ταύτην ἐπὶ θατέρῳ μέρει τῶν τῆς βάσεως τμημάτων. ἔστιν δὲ ὥσπερ ἐφην καὶ τῶν περιμέτρων ἰσαξομένων ἄνισα εἶναι τὰ χωρία. καὶ ἤδη τινὲς κοι- ι΄: νωνοὺς ἑαυτῶν ἐν διανομαῖς χωρίων παρεκρούσαντο διὰ τῆς κατὰ τὴν περίμετρον ἰσότητος μεῖξον λαβόντες χωρίον.
Βάσις δὲ αὖ ἴση λέγεται εἶναι βάσει καὶ ὅλως εὐθεῖα ἴση ἐστὶν ἄλλῃ εὐθείᾳ, ἐπειδὰν αὐτὼν τὰ πέθατα συναπτόμενα ὅλην ὅλῃ ποιήσει ἐφαρμόσαι. πᾶσα μὲν γὰρ εὐθεῖα ἐπὶ πᾶσαν ἐφαρμόττει. τῶν δὲ ἴσων καὶ κατὰ τὰ πέρατα γίνεται ἡ ἐφαρμογή. γωνία δὲ ἴση γωνίᾳ λέγεται ἡ εὐθύγραμμος τῇ εὐθυγράμμῳ, ὅταν μιᾶς τῶν περιεχουσῶν τὴν ἑτέραν πλευρῶν τιθεμένης
ὃ καὶ ρμοδὶ εἶναι δἀὰ, ὦ. ὅ Εἴρσυγαβ ἐγϊδηραϊοταπι δάάϊι
ἐπὶ μέαν τῶν τῆς ἑτέρας καὶ ἡ λοιπὴ τῇ λοιπῇ ἐφαρμόξῃ. ὅταν δὲ ἡ λοιπὴ ἔξω πίπτῃ τῆς λοιπῆς, μείζων ἐστὶν ἡ γωνία, ἧς ἡ πλευρὰ ἔξω πέπτωκεν. ὅταν δὲ ἐντός, ἐλάσσων. ὅπου μὲν γὰρ περιλαμβάνει τὴν ἑτέραν, ὕπου δὲ περιλαμβάνεται ὑπ’ αὐτῆς. τὴν δὲ ἰσότητα τῶν γωνιῶν ληψόμεθα κατὰ τὴν ἐφάρμοσιν τῶν πλευρῶν ἐπὶ τῶν εὐθυγράμμων καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν ὁμοειδῶν, οἷον τῶν μηνοειδῶν, τῶν ᾿ϊ ξυστροεἰδῶν, τῶν ἀμφικύρτων. ἐπεὶ δυνατὸν καὶ ἴσας εἶναι
καὶ μὴ ἐφαρμόττειν ἀλλήλαις τὰς πλευράς. ἴση γάρ ἐστιν ἡ ὀρθὴ μηνοειδεῖ τινὶ γωνίᾳ, καὶ ἀδύνατον ἐφαρμόσαι ταῖς εὐθείαις τὰς περιφερείας. ἔτι τοίνυν ἐκεῖνο προληπτέον, ὅτι ὑποτείνειν λέγονται γωνίας αἴ πλευραὶ αἴ κατ᾽ ἀντικρὺ κείμεναι. πᾶσα γὰρ τρι1 γωνικὴ γωνία περιέχεται μὲν ὑπὸ δύο τῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν, ὑποτείνεται δὲ ὑπὸ τῆς λοιπῆς. διὸ καὶ ὁ γεωμέτρης τῷ καὶ τὰς γωνίας ἴσας εἶναι προσἔθηκεν τὸ ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἵνα μὴ νομίσωμεν ἀδιάφορον εἶναι οἵαν ποτὲ γωνίαν λα0 βεῖν καὶ ταύτην ἴσην εἰπεῖν τῇ τυχούσῃ τῶν λοιπῶν δύο τοῦ τριγώνου γωνιῶν. ἀλλὰ ἴσας λέγωμεν, ἃς ὑποτείνουσιν αἵ ἴσαι πλευραί, καὶ μὴν τῶν ἴσων πλευρῶν ἡ μὲν ὑποτείνει τὴν ἑτέραν. ἡ δὲ μία τῶν περιἐχουσῶν τὴν λοιπήν. Πρὸς μὲν οὖν τὴν σαφήνειαν τοῦ θεωρήματος τοσαῦτα προειλήφθω, πρὸς δὲ τὴν ἀπόδειξιν ἐκεῖνο
τῇ λοιπῇ οτη. Ἡ. 8 ὅτε σ, ὅταν Ὁ. 9. καὶ μὴ
ἴσας γ καὶ ἴσας 6. 16 τῶν τοῦ τριγώνου) τοῦ ἰτον ΜΠ.
προλάβωμεν, ὅτι δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ περιέχουσι. τοῦτο γὰρ ὡς ὁμολογούμενον ὁ γεωμέτρης ἔλαβεν. εἰ γὰρ τὰ πέρατα, φησίν, ἐφαρμόσει τῶν βάσεων ἀλλήλοις, ἐφαρμόσουσι καὶ αἴ βάσεις, εἰ δὲ μή, δύο
φ φ Φ᾿ .« εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσι. πόθεν οὐν, οτι τοῦτο
ἀδύνατον; ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι περιέχουσαι χωρίον
αἴ αγβ αὃβ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ’ ἄπειρον. καὶ κέντρῳ
τῷ 8, διαστήματι δὲ τῷ αβ γεγράφθω κύκλος ὁ αεξ. ἐπεὶ οὖν διάμετρος ἡ αγβξ, ἡμίσεια τῆς περιφερείας ἐστὶν ἡ αεξ. πάλιν
ας ςω
ἐπεὶ διάμετρος ἡ αδβε, ἡμίσεια τῆς τοῦ κύχλου περιφερείας ἐστὶν ἡ αε. [περιφέρειαι] ἄρα ἴσαι εἰσὶν αἴ
αὲ αεΐξ, ὕπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δύο εὐθεῖαι χωρίον
περιέχουσιν, ὁ ὃ χαὶ ὁ στοιχειωτὴς εἰδὼς ἐν τῷ πρώτῳ τῶν αἰτημάτων ἔλεγεν, ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν, ὡς ἂν μιᾶς ἀεὶ δυναμένης εὐθείας ἐπιζευγνύναι τὰ δύο σημεῖα καὶ
οὐ δυεῖν. περιφέρειαι μὲν γὰρ πλείους ἐπιξευγνύουσιν »·
καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐπὶ τὰ ἐναντία. οὕτω γὰρ καὶ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου ἐπιξεύγνυται διὰ δύο
ὨΟΙΘΙΩ᾽ Ζ2, “δάνοσβδυὶδ οὐἱθοϊϊ θη), πῃ Ἰηδυρίηθ “ΘΟ; Βίγα-
ἩοΘπι· 8. 4 ἐφαρμόζξουσι 6. 10 κύκλος ὁ αθὲ γε-
γράφθω ΘΟ. 1· αβὲ 6, οἱ Η͂ γυῖπια πᾶ. 14 ἡ αβὲ 6. μὐν μά δδ ραν αὐ, Κη. 17]. 1 ἡ αε αβὲ ΜἩ γεῖταα ὔδηιυ,
αβε, αβξ 6, αἱ κε αεξ Κη. 11. 19 ἐπιξευγνῦσθαι Ο, ΠΥ ΔΕΙΣ, Ο. ἢ τὰ δύο σημεῖα… ἐπιξευγνύουσι οτα, σ.
μὲν περιφερειῶν, μιᾶς δὲ εὐθείας. δυνατὸν δὲ καὶ ἐχτὸς τῶν ἡμικυκλίων καὶ ἐντὸς ἀπείρους γράψαι περιφερείας ] ἐπιξευγνυούσας τὰ δοθέντα σημεῖα. τὸ ὃὲ αἴτιον, ὅτε ἡ εὐθεῖα ἐλαχίστη ἐστὶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν. ἕν δὲ πανταχοῦ τὸ ἐλάχιστον καὶ ἀεὶ μέτρον γίνεται τῶν ἄλλων. ὥσπερ οὖν ἡ ὀρθὴ μία οὖσα μέτρον γίνεται τῆς ἀπειρίας τῶν ἄλλων γωνιῶν — διὰ γὰρ ταύτης κἀκείνας εὑρίσκομεν — οὕτω χαὶ ἡ εὐθεῖα συντελεῖ πρὸς τὴν καταμέτρησιν τῶν μὴ εὐθειῶν. Τοσαῦτα καὶ περὶ τούτων ὅτι δὲ ἡ σύμπασα τούτου τοῦ θεωρήματος ἀπόδειξις ἀπὸ κοινῶν ἐννοιῶν ἤρτηται καὶ ὡς αὐτοφυής ἐστι καὶ ἀπ᾿ αὐτῆς ὡρμημένη τῆς τῶν ὑποθέσεων ἐναργείας παντὶ καταφανές. διότε μὲν γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ δύο πλευραὶ ταῖς δυσίν, ἑκατέρα ἑχατέρα, ἐφαρμόξουσιν ἀλλήλαις. διότι δὲ αἴ ὑπὸ τῶν ἴσων περιεχόμεναι γωνίαι ἴσαι, καὶ αὗται ἐφαρμόττουσι. τῆς δὲ γωνίας ἐπὶ τὴν γωνίαν ἁρμοξούσης καὶ τῶν πλευρῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς ἐφαρμόσει . χαὶ τὰ πέρατα κάτω τῶν πλευρῶν, εἰ δὲ ταῦτα, καὶ ἡ βάσις ἐφαρμόσει τῇ βάσει, εἰ δὲ αἱ τρεῖς ταῖς τρισί, καὶ ὅλον τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ πάντα πᾶσιν. ἡ ἄρα ἰσότης ἐν ὁμοειδέσιν ὀφθεῖσα τῆς ὕλης ἀποδείξεως αἰτία ἀνεφάνη. δύο γάρ ἐστιν ἐνταῦθα ἀξιώματα “5 συνεχτικὰ τῆς συμπάσης μεθόδου τοῦ προκειμένου θεωρήματος, ὃν μὲν ὅτι τὰ ἐφαρμόξοντα ἴσα ἀλλήλοις -α τοῦτο ἁπλῶς ἀληθὲς καὶ οὐδὲ ἑνὸς προσδιορισμοῦ
δεόμενον, ᾧ χρῆται ὁ στοιχειωτὴς ἐπί τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ ἐμβαδοῦ καὶ τῶν λοιπῶν γωνιῶν ταῦτα γάρ φησιν, διότι ἐφαρμόξει, ἴσα ἐστίν — ἕτερον δὲ ὅτι τὰ ἴσα ἐφαρμόξει ἀλλήλοις —- τοῦτο δὲ οὐκ ἐπὶ πᾶντῶν ἀληθές, ἀλλ᾽ ἐπὶ τῶν ὁμοειδῶν. ὁμοειδῆ δὲ λέγω οἷον εὐθεῖαν εὐθείᾳ καὶ περιφέρειαν περιφερείᾳ τοῦ αὐτοῦ κύκλου καὶ γωνίας γωνίαις ὑπὸ ὁμοίων ὁμοίως κειμένων περιεχομέναις. τούτων δὲ ὅτι τὰ δεδομένα ἴσα, ἐφαρμόξει ἀλλήλοις᾽ ὥστε εἶναι συνελόντι φάναι τὴν πᾶσαν ἀπόδειξιν τοιαύτην δέδοται ἴσα τάδε
τοῖσδε, πλευραὶ δύο δυσὶ καὶ γωνίαι αἱ ὑπ᾿ αὐτῶν περιεχόμεναι, καὶ ἐφαρμόττει ἀλλήλοις ταῦτα. εἰ δὲ ταῦτα ἐφαρμόττει ἀλλήλοις, καὶ ἡ βάσις τῇ βάσει καὶ πᾶντα πᾶσιν᾽ εἰ δὲ ἐφαρμόττει ταῦτα, καὶ ἴσα ἐστίν· εἰ ἄρα δέδοται ἴσα τάδε τοῖσδε, συναποδείκνυται καὶ ὅτι πάντα πᾶσιν ἴσα. καὶ οὗτος πρῶτος ἀναφαίνεται τρύπος τῆς γνώσεως τῶν ἴσων πάντη τριγώνων. ᾿4λλὰ περὶ μὲν τῆς ὕλης ἀποδείξεως τοσαῦτα᾽ Κάρπος δὲ ὁ μηχανικὸς ἐν τῇ ἀστρολογικῇ πραγματείᾳ τὸν περὶ τῶν προβλημάτων καὶ θεωρημάτων λόγον ἀνακινήσας — εἰ μὲν κατὰ καιρὸν ἢ μή, παρείσθω πρὸς τὸ παρόν — ἐμβαλὼν δὲ ὅμως εἰς τὴν
8– σα ἐστίν… ἐφαρμόξει οπν. ἢ, ὅ δέ ταῦτα λέγω (,
τούτων διάκρισιν τῇ τάξει πρότερον τὸ προβληματικὸν γένος εἶναί φησι τῶν θεωρημάτων. τὰ γὰρ ὑποκείμενα, περὶ [ἃ] τὰ συμπτώματα ξητεῖται, διὰ τῶν προβλημάτων ἀνευρίσκεσθαι. καὶ τοῦ μὲν προβλήματος τὴν πρότασιν ἁπλὴν εἶναι καὶ πάσης ἐντέχνου συνἐσεῶς ἀπροσδεὰᾶ — τόδε γάρ τι φανερῶς ποιῆσαι παρακελεύεται᾽ συστήσασθαι τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον, ἢ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῇ ἐλάσσονι ἀπὸ τῆς μείξονος ἴσην ἀφελεῖν. τί γὰρ τούτων ἀσαφὲς καὶ περιεἰργασμένον; — τοῦ δὲ θεωρήματος ἐργώδη καὶ πολλῆς δεομένην ἀκριβείας καὶ ἐπιστημονικῆς κρίσεως, ἵνα μήτε πλεονάξουσα φαίνηται μήτ᾽ ἐλλείπουσα τῆς ἀληθείας, οἷον δὴ καὶ τοῦτο πρώτιστον ὃν τῶν θεωρημάτων. καὶ ἐπὶ μὲν τῶν προβλημάτων μία τις ἔστιν ὁδὸς ἡ διὰ τῆς ἀναλύσεως εὑρημένη κοινή, καθ᾽ ἣν προιόντες δυνάμεθα κατορθοῦν. οὕτω γὰρ τὰ ἀσαφέστερα θηρᾶται τῶν προβλημάτων. ἐπὶ δὲ τῶν θεωρημάτων δύσληπτος ἡ μεταχείρησις, ὡς μέχρις ἡμῶν, φησί, μηδένα δύνασθαι κοινὴν παραδοῦναι μέθοδον τῆς τούτων εὑρέσεως, ὥστε καὶ διὰ τὴν ῤῥαστώνην
ἁπλούστερον ἂν εἴη τὸ προβληματικὸν γένος. τούτων ὃξ διωρισμένων ..Διὰ ταῦτα ἄρα, φησί, καὶ ἐν τῇ στοιχειώσει τὰ προβλήματα προηγεῖται τῶν θεωρημάτῶν, καὶ ἀπὸ τούτων ἡ στοιχείωσις ἄρχεται, καὶ τὸ
διότι τὸ πέμπτον ἐξ αὐτῶν δείκνυται, ἀλλ᾽ ὅτι, καὶ εἰ μηδὲν τῶν πρὸ αὐτοῦ δεῖται πρὸς τὴν ἀπόδειξιν, ἔδει πρωτεύειν ἐχεῖνα, διότι προβλήματα ἦν, τοῦτο δὲ θεώρημα. παντελῶς γὰρ ἐπὶ τούτου ταῖς κοιναῖς ἐννοίαις] χρῆται καὶ τρόπον τινὰ τὸ αὐτὸ τρίγωνον ἐν διαφόροις λαμβάνει τόποις κείμενον. καὶ γὰρ ἡ ἐφαρμογὴ καὶ ἡ ἀπὸ ταύτης ἰσότης δεικνυμένη παντάπασιν ἔχεται τῆς αἰσθητῆς καὶ ἐναργοῦς ὑπολήψεως. ἀλλ᾽ ὅμως καὶ τοιαύτης οὔσης τῆς τοῦ πρώτου θεωρήματος ἀποδείξεως εἰκότως προηγήσατο τὰ προβλήματα. διότι το καθόλου τὴν προηγουμένην ἐκεῖνα τάξιν ἔλαχεν.·
Καὶ ἴσως τῇ μὲν τάξει τὰ προβλήματα πρὸ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ καὶ μάλιστα τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὰ αἰσθητὰ στρεφομένων τεχνῶν ἀνιοῦσιν Ϊ ἐπὶ θεωρίαν. τῇ δὲ ἀξίχ τὰ θεωρήματα προυπάρχει τῶν προβλη- 1 μάτων. καὶ ἔοικεν ἡ ὕλη γεωμετρία, καθ᾽ ὃ μὲν συνἅπτει ταῖς πολλαῖς τεχναῖς, ἐνεργεῖν προβληματικῶς, καθ᾽ ὃ δὲ τῇ πρώτῃ ἐπιστήμῃ γειτνιᾷ, θεωρηματικῶς ἀνάγεσθαι ἀπὸ τῶν προβλημάτων ἐπὶ τὰ θεωρήματα, ἀπὸ δευτέρων ἐπὶ πρῶτα καὶ [ἐκ] τεχνικωτέρων εἰς ἐπιστημονικώτερα. μάταιον οὖν τὸν Γεμῖνον αἰτιᾶσθαι ὡς τὸ θεώρημα τελειότερον εἶναι τοῦ προβλήματος λέγοντα. καὶ γὰρ αὐτὸς ὁ Κάρπος τοῖς προβλήμασι τὸ προηγεῖσθαι κατὰ τὴν τάξιν ἀποδέδωκεν, ὁ δὲ Γεμῖνος κατὰ τὴν τελειοτέραν ἀξίαν. καὶ μὴν καὶ περὶ τοῦ τετάρτου θεωρήματος εἴπομεν, ὅπως τρόπον τινὰ δεῖται τῶν πρὸ αὐτοῦ προβλημάτων, ἐν οἷς καὶ τῶν τριγώνων τὰς γενέσεις καὶ τῆς ἰσότητος τὴν εὕρεσιν ἐμάθομεν.
ἀ ἐπὶ τούτοις αΘ. ὅ ἐν διαφόροις ἀοῖ. ποῖ. ὦ. 18 θεω-
Prop. I.5: Isosceles Base Angles (Thales & Pappus’s Symmetry Proof)¶
Euclid: [I.5]
Προκείσθω δὲ νῦν καὶ ὅτι ὡς μὲν ἐν θεωρήμασιν ἁπλούστατόν ἐστι καὶ ἀρχοειδέστατον. ἀπ᾽ αὐτῶν γὰρ ὡς εἰπεῖν μόνων αὐτοφυῶς δείκνυται τῶν πρώτων ἐννοιῶν. σύμπτωμα δὲ τι περὶ τὰ τρίγωνα φαινόμε-
γον τὰ ἔχοντα τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δίο πλευραῖς ἴσας καὶ τὰς ὑπ᾽ αὐτῶν περιεχομένας γωνίας ἀποδεικνύον εἰκότως μετὰ τὰ προβλήματα τέτακται, δι᾽ ὧν τὰ ὑποκείμενα τῷ συμπτώματι τούτῳ καὶ ὅλως τὰ δεδομένα κατεσκευάζξετο.
Ῥτορ. Υ͂, ἰῃθου. 11. Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἵ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι εἰσίν᾽ καὶ προσἐκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν
βάσιν γωνίαι ἴσαι εἰσί.
Τῶν θεωρημάτων τὰ μέν ἐστιν ἁπλᾶ, τὰ δὲ σύνιόθετα. λέγω δὲ ἁπλᾶ μέν, ὅσα κατὰ τὰς ὑποθέσεις καὶ κατὰ τὰ συμπεράσματα ἀδιαίρετά ἐστιν, ἕν ἔχοντα τὸ δεδομένον καὶ τὸ ζητούμενον ἕν᾽ οἷον εἰ οὕτως ἔλεγεν ὁ στοιχειωτής᾽ πᾶν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας — σύνθετα δὲ τὰ ἐκ γυ πλειόνων ἢ τὰς ὑποθέσεις ἔχοντα συγκειμένας ἢ τὰ συμπεράσματα τῆς ὑποθέσεως οὔσης ἁπλῆς ἢ καὶ ἀμφότερα. καὶ τούτων τὰ μέν ἐστι συμπεπλεγμένα, τὰ ὃὲ ἀσύμπλεκτα. ἐστὶ δὲ ἀσύμπλεκτα μέν, ὅσα σύνθετα ὄντα μὴ δύναται διαιρεῖσθαι εἰς ἁπλᾶ θεωρήὁ ματα, ὥσπερ τὸ τέταρτον. ἐν ἐκείνῳ γὰρ καὶ τὸ δεδομένον σύγκειται καὶ τὸ ἑπόμενον, ἀλλ᾽ οὐ δύναται
διαιρεθῆναι τὸ δεδομένον εἰς ἁπλᾶ καὶ ποιήσασθαι θεωρήματα. οὐ γάρ, ἐὰν ἴσας ἔχῃ μόνας τὰς πλευρὰς τὰ τρίγωνα ἣ μόνην τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν, συμβαίνει τὰ λοιπά. συμπεπλεγμένα δέ, ὅσα διαιρεῖται εἰς ἁπλᾶ, οἷον ἐκεῖνο τὸ θεώρημα᾽ τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ταῖς βάσεσι. δυνατὸν Ϊ γὰρ καὶ διελόντα εἰπεῖν᾽ τὰ τρίγωνα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ταῖς βάσεσι, καὶ ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων ὁμοίως. πάντων δὲ τῶν συνθέτων τὰ μὲν κατὰ τὸ συμπέρασμα συντίθεται ἀπὸ τῆς αὐτῆς ὑποθέσεως ὁρμηθέντα, τὰ δὲ κατὰ τὰς ὑποθέσεις ἔχει τὴν σύνθεσιν καὶ τὸ αὐτὸ πάσαις ἐπάγει συμπέρασμα, τὰ δὲ κατὰ τὸ συμπέρασμα καὶ τὰς ὑποθέσεις συνθετά ἐστι. κατὰ μὲν οὖν τὸ συμπέρασμα ἐνταῦθα (9) σύνθεσίς ἐστιν. ἐπὶ τούτου γὰρ τοῦ θεωρήματος τρία ἐστὶ τὰ συναγόμενα᾽ ὅτι αἱ βάσεις ἴσαι. ὅτι τὰ τρίγωνα ἴσα, ὅτι αἴ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι, ὑφ᾽ ἃς αἴ ἴσαι
πλευραὶ ὑποτείνουσιν — κατὰ δὲ τὰς ὑποθέσεις ἐπὶ τοῦ κοινοῦ τῶν τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων θεωρήματος, τῶν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντων — κατ᾽ ἀμφότερα δὲ ὡς ἐπ᾽ ἐκείνου· αἵ διάμετροι τῶν κύκλων καὶ τῶν ἐλλείψεων τά τε χωρία διχὰ διαιροῦσι καὶ τὰς περιεχούσας τὰ χωρία γραμμάς. τῶν δὲ συμπεπλεγμένῶν τὰ μέν ἐστι καθολικά, τὰ δὲ ἐκ τῶν ἐπὶ μέρους συνάγει τὸ καθόλου. ἐὰν γὰρ εἴπωμεν, ὅτι ἡ διάμετρος τὸν κύκλον καὶ τὴν ἔλλειψιν καὶ τὰ παραλληλό-
γραμμα διαιρεῖ, ἕκαστον μὲν τῶν συμπεπλεγμένων οἱ καθόλου λαμβάνομεν, τὸ δὲ ἐκ πάντων καθόλου ποιοὔμεν, ἐὰν δὲ εἴπωμεν᾽ ἐν κύκλῳ πᾶσαι αἴ διὰ τοῦ κέντρου διχοτομοῦσιν ἀλλήλας καὶ τὰς τῶν τμημάτων πάντων γωνίας ἴσας ποιοῦσι, καθόλου λέγομεν. ἐπὶ γοῦν τῆς ἐλλείψεως οὔτε πᾶσαι αἴ τῶν τμημάτων γωνίαι ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ μόνων τῶν ὑπὸ τοῦ ἄξονος γινομένων. ὅλως δὲ τὰς συνθέσεις ταύτας ἐμηχανήσαντο οἵ γεωμέτραι διά τε τὴν συντομίαν καὶ διὰ τὰς ἀναλύσεις. πολλὰ γὰρ ἀσύνθετα μὲν ὄντα οὐκ ἀναλύεται, συντεθέντα δὲ μόνως εὐοδίαν παρέχει πρὸς τὴν ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἀνάλυσιν. Τούτων δὴ προτεθεωρημένων τὸ πέμπτον θὲεὥρημα σύνθετον πάντως ῥητέον καὶ κατ᾽ ἀμφότερα σύν θετον, κατά τε τὸ δεδομένον καὶ κατὰ τὸ ξητούμένον, ἃ καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἐνδεικνύμενος ὃν ὃν αὐτὸ ἐμέρισεν καὶ χωρὶς ἑκάτερα παρέθετο τὰ διδόμενα καὶ τὰ ζητούμενα, τῶν ἰσοσκελῶν εἰπὼν αἵ πρὸς τῇ βάσει ἴσαι, καὶ πάλιν ἑξῆς καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων 0 αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν ἴσαι. οὐ γὰρ δύο δεῖ νομέξειν εἶναι θεωρήματα, ἀλλ᾽ ἕν, σύνθετον δὲ ὃν καὶ κατὰ τὸ δεδομένον καὶ χατὰ τὸ ζητούμενον. καὶ τῶν συγκειμένων ἑκάτερον τέλειον καὶ ἀληθές, διὸ καὶ ἡ ἀνάλυσις ἀληθὴς ἀφ᾽ ἑκατέρου. εἴτε γὰρ αἵ πρὸς τῇ :Ὁ βάσει ἴσαι, ἰσοσκελὲς τὸ τρίγωνον, εἴτε αἱ ὑπὸ τὴν
βάσιν, ἴσαι εὐθεῖαι προσεκβέβληνται καὶ τὸ Ϊ τρίγωνον ἰσοσκελές. ἀλλ᾽ ὁ στοιχειωτὴς πρὸς μὲν τὸ τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας ἴσας εἶναι ποιήσεται τὴν ἀντιστροφήν, πρὸς δὲ τὸ τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν ἴσας οὐκέτι. καίτοι καὶ τοῦτο ἀληθές.
Τούτου μὲν οὖν τὴν αἰτίαν ὕστερον λέξομεν, νῦν ὁὲ ἐκεῖνο πρῶτον ζητήσωμεν, δι’ ἣν αἰτίαν ὅλως τοῦτο προσαπέδειξεν τὸ τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν ἴσας εἶναι. οὐδαμῶς γὰρ τούτῳ χρήσεται πρὸς ἄλλων ἢ κατασκευὴν ἢ ἀπόδειξιν προβλημάτων ἢ θεωρημάτων. ἄχρηστον οὖν ἐσόμενον τί ἔδει παρεμβάλλειν τῷ θεὠρήματι τούτῳ; ῥητέον δὴ πρὸς ταύτην τὴν ζήτησιν, ὕτε καὶ εἰ μηδαμοῦ χρῆσθαι μέλλοι τῷ καὶ τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν τῶν ἰσοσχελῶν γωνίας ἴσας εἷναι, ἀλλὰ πρός γε τὰς τῶν ἐνστάσεων ἀνατροπὰς καὶ τὰς διαλύσεις τῶν ἀντιπιπτόντων τοῖς θεωρήμασιν ἔσται τοῦτο χρήσιμον. ἐπιστημονικὸν δὲ καὶ τεχνικὸν προοικονομεῖσθαι τὰς λύσεις τῶν μαχομένων τοῖς ῥηθήσεσθαι μέλλουσι καὶ τῶν ἀπαντήσεων προκαταβάλλεσθαι τὰς ἀφορμάς, ἵνα μὴ μόνον αἱ τῶν ἀληθῶν ἀποδείξεις διὰ τῶν προαποδεδειγμένων, ἀλλὰ καὶ οἵ τοῦ ψεύδους ἔλεγχοι δι᾿ ἐκείνων γένονται. καὶ λάβοις ἂν καὶ ἐκ τούτου πρὸς ῥητορικὴν ὄφελος τῆς ἐν γεωμετρίᾳ τάἕξεως. ὁ γὰρ καὶ ἐν ἐκείνοις τοῖς λόγοις τοῦτο δυνάμενος ποιῆσαι καὶ προιδεῖν τὰ μαχόμενα τοῖς ἐφεξῆς κεφαλαίοις καὶ πρὸ τῆς ἐκείνων μεταχειρήσεως ὡς δὴ
πάρεργον ἄλλοις προηγουβένοις συγκατασκευάσαι τὰς λύσεις αὐτῶν, οὗτος ἀσφαλεστάτην ἂν μάλιστα μέθοδον προέσταιτο τῶν ἀγώνων. τοῦτο τοίνυν καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἔργῳ διδάσκων ἡμᾶς πρὸ τῶν θεωρημάτῶν, οἷς τὰ ἀντιπίπτοντα διαλύσομεν τῷ νῦν δεικνυμένῳ χρώμενοι, συναποδείχνυσιν τὸ καὶ τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν τῶν ἰσοσκελῶν γωνίας ἴσας εἷναι καὶ προευτρεπίζει τὸν τοῦ ψεύδους ἐπ᾽ ἐκείνων ἔλεγχον. ἔσται. δὲ προιοῦσιν δῆλον ὅτι καὶ ἐπὶ τοῦ ἑβδόμου θεωρήματος
ιὸ καὶ ἐπὶ τοῦ ἐνάτου τὰς φερομένας ἐνστάσεις ἀπὸ τούτου διαλύσομεν. ἐκ δὴ τούτου φανερὸν καὶ δι’ ἣν αἰτίαν οὐκ ἀντέστρεψεν καὶ ἀπὸ τούτου τὸ ἔχτον, ὡς οὐδὲ τούτου προηγουμένην ἔχοντος χρείαν, ἀλλὰ κατὰ συμβεβηκὸς ἡμῖν πρὸς τὴν ὅλην ἐπιστήμην συνιὸ τελοῦντος. Εἰ δέ τις ἡμᾶς ἀπαιτοίη καὶ μὴ προσεχβάλλοντας τὰς ἴσας εὐθείας ἀποδεικνύναι τῶν ἰσοσκελῶν ἴσας
τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας — οὐ γὰρ χρῆναι διὰ τῶν ὑπὸ τὴν βάσιν ἀποδεικνύναι καὶ ταύτας ἴσας — τρό-
90 πον τινὰ μεταθέντες τὴν κατασκευὴν καὶ τὰς ἔξω ποιἥσαντες ἐντὸς τοῦ ἰσοσκελοῦς δείξομεν τὸ προκείμενον.
ἔστω γὰρ ἰσοσκελὲς τὸ αβγ καὶ εἰλήφθω σημεῖον τυχὸν ἐπὶ τῆς αβ τὸ ὃ, καὶ ἀπὸ τῆς ἂγ ἴση τῇ αὃ ἡ αε καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἴ βε ὃγ δε. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ
αβ τῇ ἂγ καὶ ἡ αὃ τῇ ἷ αε καὶ γωνία ἡ α κοινή, ἔσται καὶ ἡ βε ἴση τῇ ὃγ καὶ αἷ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς, ὥστε ἡ ὑπὸ αβε τῇ ὑπὸ «
αγὸ ἴση ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὃβ
ἴση τῇ ἐγ καὶ ἡ βε τῇ ὃγ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ὃὅβε τῇ ὑπὸ εγὸ ἴση,
καὶ ἡ δὲ βάσις κοινή, καὶ πάντα
ἴσα πᾶσιν, ὥστε ἡ μὲν ὑπὸ εδβ “ 7 ἴση τῇ ὑπὸ δεγ, ἡ δὲ ὑπὸ δεβ ἴση τῇ ὑπὸ εδὃγ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ εδβ ἴση τῇ ὑπὸ δεγ, ὧν ἀφήρηνται ἴσαι τὸ αἴ ὑπὸ δεβ εὃγ, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ βὸγ γεβ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ βὸ ὃγ πλευραὶ ἴσαι ταῖς γε εβ
ἑκατέρα ἑκατέρᾳ καὶ ἡ βγ κοινὴ βάσις, καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν, ὥστε καὶ αἴ λοιπαὶ γωνίαι, ὑφ᾽ ἃς αἵ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴσαι εἰσίν. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ δβγυ τῇ ὑπὸ εγβ’ ὑποτείνει γὰρ τὴν μὲν ὑπὸ δβγ ἡ ὃγ, τὴν δὲ ὑπὸ εἐγβ ἡ εβ. τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν αἱ πρὸς τῇ βάσει ἴσαι καὶ μὴ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν.
Ἔτι δὲ συντομώτερον ἀποδείκνυσιν ὁ Πάππος ᾿
μηδεμιᾶς προσθήκης δεηθεὶς οὕτως ἔστω τὸ αβγ
9—10 ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ δὲεβ ἴση τῇ ὑπὸ 5δγ Ο,, οοττ. Ὁ.
ἰσοσκελὲς καὶ ἴση ἡ αβ τῇ αγ. νοήσωμεν οὖν τοῦτο
τὸ ἕν ὡς δύο τρίγωνα, καὶ λέγωμεν οὕτως᾽ ἐπεί ἐστι
καὶ ἢ αβ ἴση τῇ αγ καὶ ἡ αγ τῇ αβ, δύο αἱ αβ αγ ἴσαι δυσὶ ταῖς
ἂν αβ καὶ ἡ ὑπὸ βαγ ἴση τῇ ὑπὸ γαβ, ἡ αὐτὴ γάρ, ἔστιν ἄρα 2 γ αὶ πάντα πᾶσιν ἴσα, ἡ μὲν βγ
τῇ βγ, τὸ δὲ αβγ τρίγωνον τῷ «βγ, ἡ δὲ ὑπὸ αβγ τῇ ὑπὸ αγβ καὶ ἡ ὑπὸ αγβ τῇ
᾿. ὑπὸ αβγ γωνία᾽ ὑπὸ γὰρ ταύτας αἵ ἴσαι πλευραὶ
ὑποτείνουσιν αἴ αβ αγ᾽ τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν αἴ πρὸς τῇ βάσει ἴσαι. καὶ ἔοικεν τὸν τρόπον τοῦτον τῆς ἀποδείξεως εὑρεῖν κατανοήσας ὅτι καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἐπὶ τοῦ τετάρτου θεωρήματος ἑνώσας τὰ δύο τρέγωνα 1 καὶ ἐφαρμόσας ἀλλήλοις καὶ ἐκ δυοῖν ὃν ἀποτελέσας οὕτως αὐτῶν τὴν ἰσότητα τὴν κατὰ πάντα τεθέαται. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὖν καὶ ἡμᾶς δυνατὸν ἐν τῷ ἕνὶ τούτῳ παρὰ τὴν λῆψιν τὰ δύο τρίγωνα θεωροῦντας ἀποδεικνύναι τὴν ἰσότητα τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν. ψ0 Τῷ μὲν οὖν Θαλῇ τῷ παλαιῷ πολλῶν τε ἄλλων εὑρέ σεως ἕνεκα καὶ τοῦδε τοῦ θεωρήματος χάρις. λέγεται γὰρ δὴ πρῶτος ἐκεῖνος ἐπιστῆσαι καὶ εἰπεῖν, ὡς ὥρα παντὸς ἰσοσκελοῦς αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι
ὦ ἐπεί ἐστιν ἡ αβ 6. 4 δύο δὴ αἱ αν αβ 6. ἃ. τῷ αβγ τριγώνῳ 6. 9. αβγ… αβγ… αβγ… αβγ α. 10–11 ὑπὸ γὰρ… αβ ἂγ οπ. δ. [0 αὐτῶν μὲν ἰσό-
τητα αὶ 19 τὴν βάσιν (Ὁ.
ἴσαι εἰσίν, ἀρχαϊκώτερον δὲ τὰς ἴσας ὁμοίας προσεἰρηκέναι. μειξόνως δὲ ἄν τις ἀγασθείη τῶν νεωτέρων τοὺς ἀποδείξαντας ἔτι καθολικώτερον — ὧν ἐστι καὶ Γεμῖνος — τὰς ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου προσπιπτούσας εὐθείας ἴσας ἐπὶ μίαν ὁμοιομερῆ γραμμὴν ἴσας γωνίας ποιούσας, ὥστ᾽ εἴτε εὐθεῖαν ἔχοι βάσιν εἴτε περιφέρειαν εἴτε ἕλικα κυλινδρικήν, ἴσας αὐτῶν εἶναι τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας. τούτῳ γὰρ ὁ Γεμῖνος τῷ θεωρήματι χρώμενος δείκνυσιν, ὅτι μόναι τρεῖς εἰσι γραμμαὶ καὶ οὐ πλείους αἴ ὁμοιομερεῖς εὐθεῖα καὶ περιφερὴς καὶ ἡ περὶ κύλινδρον ἕλιξ. καὶ τοῦτό ἐστι τὸ κυρίως καθόλου ᾧ πρώτῳ τὸ σύμπτωμα ὑπάρχει, καθάπερ δὴ καὶ τὸ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείξους ἔχειν τριγώνῳ παντὶ δειχθήσεται καθ᾽ αὑτὸ ὑπάρχον. οὐκ ἔστιν ἄρα καθόλου τοῦ ἰσοσκελοῦς, εἰ καὶ παντὶ αὐτῷ ὑπάρχει τὸ τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας ἴσας ἔχειν, ἀλλὰ τῶν πρὸς ὁμοιομερῆ γραμμὴν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν. ἐχείναις γὰρ πρώτως ὑπάρχει τὸ ἴσας ὑποτείνειν γωνίας.
Ῥχον. Υ͂Ι, ἔθου. 1Π. ᾿ξὰν τριγώνου αἱ δύο γωνίαι ἴσαι ὦσιν καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι εἰσί.
Τοῦτο τὸ θεώρημα δύο ταῦτα ἐπεδείξατο πρώτι-
στον τῶν θεωρημάτων τήν τε ἀντιστροφὴν καὶ τὴν
Prop. I.6: Converse of I.5, Conversion Theory & Reductio ad Absurdum¶
Euclid: [I.6]
εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγήν. ἀντιστρέφει μὲν γὰρ τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι, δείκνυται δὲ διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. δεῖ δὲ περὶ ἀμφοτέρων εἰπεῖν, ὅσα πρὸς τὴν παροῦσάν ἐστι πραγματείαν οἰκεῖα.
3 “ἔγεται τοίνυν ἡ ἀντιστροφὴ παρὰ τοῖς γεωμέτραις ἡ μὲν προηγουμένως καὶ κυρίως, ὅταν τὰ συμπεράσματα καὶ τὰς ὑποθέσεις ἀλλήλων ἀντιμεταλαμβάνῃ τὰ θεωρήματα, καὶ τὸ μὲν τοῦ προτέρου συμπέρασμα ὑπόθεσις ἐν τῷ δευτέρῳ γίνηται, ἡ δὲ
υυ ὑπόθεσις Ι ὦ ὡς συμπέρασμα ἐπάγηται· οἷον τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἴ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι — ὑπόθεσις μὲν τὸ ἰσοσκελὲς ἐνταῦθα τρίγωνον, συμπέρασμα δὲ ἡ ω τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν ἰσότης —- καὶ ὧν αἵ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι, ταῦτα ἰσοσκελῆ, ὃ δὴ καὶ
ιὸ τὸ ἔχτον λέγει θεώρημα, ὑπόθεσιν μὲν ποιησάμενον τὸ ἴσας εἶναι τὰς πρὸς τῇ βάσει γωνίας, συμπέρασμα δὲ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας ἐκεένας γωνίας. ἡ δέ ἐστιν ἀντιστροφὴ κατὰ μόνην τὴν ποιὰν τῶν συγκειμένων ἐναλλαγήν. ἐὰν γὰρ
·0 ἢ θεώρημα σύνθετον ἀπὸ πλειόνων ὑποθέσεων ἀρχόμενον καὶ λῆγον εἴς τι συμπέρασμα, λαβόντες τὸ συμπέρασμα καὶ μίαν τῶν ὑποθέσεων συμπέρασμα ποιοὔνται μίαν τῶν ὑποθέσεων ἢ καὶ πλείους. καὶ κατὰ ΓΡ νμο κυ τ ᾿ ἐν ενώεεν βάσιν ἮΝ “ ἐφ μοι ς πρὸς τὴν βάσιν Ἡ, Ο. ᾿] καὶ. ὧν… ἔσαι οτὰ. ὦ. 14 ταῦτα
τοῦτον τὸν τρόπον τῷ τετάρτῳ θεωρήματι τὸ ὄγδοον ἀντιστρέψει. τὸ μὲν γάρ φησιν ὑπὸ ἴσας πλευρὰς καὶ γωνέας βάσεις ἴσαι ὑποτείνουσι, τὰ δὲ ἐπ᾿ ἴσων βάσεων ἴσαι πλευραὶ κείμεναι γωνίας ἴσας περιέχουσιν,
ὧν τὸ μὲν ἐπὶ ἴσων βάσεων συμπέρασμα ἦν τοῦ προτέρου, τὸ δὲ ἴσαι πλευραὶ κείμεναι μία τῶν ἐν ἐχείνῳ προειλημμένων ὑποθέσεων. δύο δὴ τούτων οὐσῶν ἀντιστροφῶν ἡ μὲν προηγουμένη μονοειδής ἐστι καὶ ὡρισμένη, ἡ δὲ ἑτέρα ποικίλη καὶ εἰς ἀριθμὸν πρόεισι πολὺν θεωρημάτων καὶ οὐκ ἐν ἑνὶ ἀντιστρέφουσα ἀλλ᾽ ἐν πολλοῖς διὰ τὸ πλῆθος τῶν ἐν τοῖς συνθέτοις θεωρήμασιν ὑποθέσεων. πολλάκις δὲ καὶ τῷ ἀπὸ δυεῖν [ἢ πλειόνων] ὑποθέσεων ἀρχομένῳ ὃν ἀντιστρέφομεν, ὅταν αἱ ὑποθέσεις μὴ πᾶσαι ὦσιν ὡρισμέναι ἀλλ᾽ ἔνιαι ἀοριστώδεις.
Δεῖ δὲ ἐφιστάνειν καὶ ἐν τούτοις, ὅτι πολλαὶ ἀντιστροφαὶ γίγνονται ψευδεῖς καὶ οὐκ εἰσὶ κυρίως ἀντιστροφαί· οἷον πᾶς ἕξάγωνος ἀρυθμὸς τρίγωνός ἐστιν, ἀλλ᾽ οὐκ ἔτι ἀληθὲς, ὅτι πᾶς τρίγωνος ἐξάγωνός ἐστιν. αἴτιον δὲ ὅτι τὸ μέν ἐστι κοινότερον, τὸ δὲ μερικώτε-
ρον καὶ κατὰ παντὸς λέγεται μόνον θατέρου θάτερον.
ἐφ᾽ ὧν δὲ τὸ πρώτως ὑπάρχον καὶ τὸ ἦ αὐτὸ λαμ-
βάνεται, ἐπ᾽ ἐκείνων καὶ ἀντιστροφὴ παρακολουθεῖ.
καὶ ταῦτα οὐδὲ τοὺς περὶ τὸν Μέναιχμον καὶ ᾿4μδφίνομον λέληθεν μαθηματικοῦς.
Αὐτῶν δὲ τῶν ἀντιστρεφόντων θεωρημάτων τὰ μὲν εἰώθασι καλεῖν προηγοίμενα, τὰ δὲ ἀντίστροφα. ὅταν μὲν γὰρ ὑποθέμενοί τι γένος ἀποδεικνύωσι τὸ περὶ αὐτὸ σύμπτωμα, προηγούμενον τοῦτο λέγουσιν,
τὸ ὅταν δὲ ἀνάπαλιν ὑπόθεσιν μὲν ποιῶνται τὸ σύμπτῶμα, Ι συμπέρασμα δὲ τὸ γένος, ᾧ τοῦτο συμβέβηκεν, ἀντίστροφον τὸ τοιόνδε προσαγορεύουσι. πᾶν ἰσοσκελὲς τρίγωνον ἴσας ἔχει τὰς πρὸς τῇ βάσει, τοῦτο
προηγούμενον — ὑπόκειται γὰρ τὸ τῇ φύσει προηγού-
ι μενον, λέγω δὴ τὸ γένος αὐτὸ τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον - πᾶν τρίγωνον δύο γωνίας ἴσας ἔχον καὶ τὰς ὑποτεινούσας πλευρὰς ἴσας ἔχει καί ἐστιν ἰσοσκελές, τοῦτο ἀντιστρέφον. ἐναλλάττει γὰρ τὸ ὑποκείμενον καὶ τὸ τούτου πάθος, καὶ τὸ μὲν ὑποτίθησι, τὸ δὲ ἀπὸ τού-
του δείκνυσι.
Τοσαῦτα περὶ τῶν γεωμετρικῶν ἀντιστροφῶν εἴχομεν λέγειν. αἴ δὲ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαὶ πάντως μὲν εἰς ἀδύνατον τελευτῶσιν ἐναργές, καὶ οὗ τὸ ἀντικείμενον ὡμολόγηται, συμβαίνει δὲ τὰς μὲν αὐτῶν
·5 ἐπὶ τὰ μαχόμενα ταῖς κοιναῖς ἐννοίαις ἤτοι αἰτήμασιν ἢ ταῖς ὑποθέσεσι τελευτᾶν, τὰς δὲ ἐπὶ τὰ τοῖς προἀποδεδειγμένοις ἀντιφάσκοντα. τὸ μὲν γὰρ ἕκτον
τοῦτο θεώρημα τὸ συμβαῖνον ἀδύνατον ἐπιδείκνυσι διὰ τὸ κοινὴν ἔννοιαν ἀνατρέπειν τὴν τὸ ὅλον τοῦ μέρου: μεῖξον λέγουσαν, τὸ δὲ ὄγδοον καταντᾷ μὲν εἰς ἀδύνατον, ἀλλ᾽ οὐ κοινῆς ἐννοίας ἀνατρεπτικόν,
ἀλλὰ τοῦ δεδειγμένου διὰ τοῦ ἑβδόμου θεωρήματος:. :
ὃ γαρ ἀπέφησεν τὸ ἔβδομον, τοῦτο ἐχεῖνο δείκνυσι καταφασκόμενον τοῖς μὴ συγχωροῦσι τὸ ξητούμενον. Πᾶσά γε μὴν εἰς τὸ ἀδύνατον ἀπαγωγὴ λαβοῦσα τῷ ξητουμένῳ τὸ μαχόμενον καὶ τοῦτο ὑποθεμένη πρόεἰσιν. ἕως ἂν εἰς ὁμολογούμενον ἄτοπον καταντύσῃ καὶ δι᾿ ἐκεῖνο τὴν ὑπόθεσιν ἀνελοῦσα βεβαιώσηται τὸ ἐξ ἀρχῆς ξητούμενον. ὅλως γὰρ εἰδέναι χρὴ ὅτι πᾶσαι αἱ μαθηματικαὶ πίστεις ἢ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν εἰσιν ἢ ἐπὶ τὰς ἀρχάς, ὥς πού φησι καὶ ὁ Πορφύριος. καὶ
αἴ μὲν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν διτταὶ καὶ αὐταὶ τυγχάνουσιν, ‘:
ἢ γὰρ ἀπὸ τῶν κοινῶν ἐννοιῶν ὥρμηνται καὶ τῆς ἐναργείας μύνης τῆς αὐτοπίστου, ἣ ἀπὸ τῶν προδεδειγμένων᾽ αἷ δὲ ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἢ θετικαὶ τῶν ἀρχῶν εἰσιν ἢ ἀναιρετικαί. ἀλλὰ θετικαὶ μὲν οὖσαι τῶν ἀρχῶν ἀναλύσεις καλοῦνται, καὶ ταύταις αἴ συνθέσεις ἀντίκεινται — δυνατὸν γὰρ ἀπὺ τῶν ἀρχῶν ἐκείνων προελθεῖν εὐτάχτως ἐπὶ τὸ ζητούμενον. καὶ τοῦτό ἐστιν ἡ σύνθεσις — ἀναιρετικαὶ δὲ οὖσαι εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαὶ προσαγορεύονται. τὸ γὰρ τῶν ὦμολογημένων τι καὶ ἐναργῶν ἀνατρέψαι ταύτης ἔργον νῆς ἐφόδου. καί ἐστι καὶ ἐπὶ ταύτης συλλογισμός τις,
ἀλλ᾽’ οὐχ ὁ αὐτὸς ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἀναλύσεως. ἐν γὰρ ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς ἡ πλοκὴ κατὰ τὸ δεύτερόν ἐστιν τῶν ὑποθετικῶν, οἷον εἰ μή εἰσιν τῶν ἴσας ἐχόντων γωνίας τριγώνων αἵ ὑποτείνουσαι πλευὃ ραὶ τὰς ἴσας γωνίας ] ἴσαι, τὸ ὅλον ἴσον ἐστὶν τῷ μέρει ἀλλὰ τοῦτο ἀδύνατον᾽ εἰσὶν ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων δύο γωνίας τριγώνων αἷ ὑποτείνουσαι πλευραὶ τὰς ἴσας γωνίας καὶ αὐταὶ ἴσαι. Τοσαῦτα καὶ περὶ τῆς παρὰ τοῖς γεωμέτραις εἰς ιο τὸ ἀδύνατον ἀπαγωγῆς χρῆται δέ, ὅπερ ἔφαμεν, ὁ στοιχειωτὴς τῇ μὲν ἀντιστροφῇ κατὰ τὴν πρότασιν, τὸ συμπέρασμα τοῦ πέμπτου θεωρήματος ὡς δεδομένον λαβὼν καὶ τὴν ὑπόθεσιν τὴν ἐχείνου προστιθεὶς ὡς ξητούμενον, τῇ δὲ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῇ περί τε τὴν ι5 κατασχευὴν καὶ τὴν ἀπόδειξιν. εἰ δέ τινες ἐνίσταιντο
λέγοντες ὅτι τὸν τῇ αβ ἀπὸ τῆς ἂγ ἴσην ἀφαιροῦντα οὐ δεῖ πρὸς τῷ γ ποιεῖσθαι τὴν ἀφαίρεσιν, ἀλλὰ πρὸς τῷ α, θέμενοι καὶ ταύτην τὴν ὑπόθεσιν εἰς τὸ αὐτὸ ε καταντήσομεν ἀὲ ἀδύνατον. ἔστω γὰρ γυ ἴση ἡ αὃ τῇ α αβ καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ βα καὶ κείσθω ἴση ἡ αἂε τῇ ὃγ. ὕλη ἄρα ἡ βε ἴση τῇ αγ. καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ἐγ. ἐπεὶ οὖν ἡ ἂγ ἴση τῇ βε, κοινὴ δὲ ἡ βγ, δύο δυεῖν 26 ᾿ς ἔσαι, καὶ ἡ πρὸς τῷ β γωνία ἴση τῇ ὑπὸ αγβ — οὕτω γὰρ κεῖται - - καὶ πάντα ἄρα ῷ τὸν δεύτερον Η͂. 16 ἀνίστανται Θ. 420 ἡ αβ τῇ
αὃ Ο, ᾿οτν, Ο, 242 Ῥοκὶ τῇ 7 τἄάϊε ὦ: κοινὴ δὲ ἡ βγ.
πᾶσιν ἴσα διὰ τὸ τέταρτον, ὥστε καὶ τὸ εβγ τρίγωνον
τῷ αβγ τριγώνῳ ἴσον, τὸ ὅλον τῷ μέρει, ὅπερ ἀδύνατον.
᾿4λλ᾽ ἐπεὶ καὶ τοῦτο δήλον, ἑπόμενόν ἐστι καὶ τὸ λοιπὸν δεῖξαι τῆς ἀντιστροφῆς. ὁ μὲν γὰρ στοιχειωτὴς πρὸς μέρος ἀντέστρεψεν τοῦ πέμπτου θεωρήματος ὅλον τὸ ἕκτον. δεῖ δὲ καὶ τὴν λοιπὴν ἀντιστροφὴν προσθεῖναι. αὕτη δέ ἐστιν ἡ λαμβάνουσα μὲν ὡς ὑπόθεσιν τὸ εἶναι τριγώνου τινὸς τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίας ἴσας, δεικνύουσα δὲ ἰσοσκελὲς τὸ τρίγωνον. τ΄ὖὺ
ἔστω τοίνυν τὸ αβγ τρίγωνον καὶ
ἐκβεβλήσθωσαν αἴ αβ ἂγ καὶ ἔστωσαν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν ἴσαι. λέγω ὅτι ἰσοσκελές ἐστιν τὸ αβγ. εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς αε σημεῖον 1 τὸ ε καὶ ἴση τῇ βε ἡ γέ καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἱ ἐγ βὲ εξ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ βε τῇ γξ, κοινὴ ἡ βγ,
δύο δυσὶν ἴσαι, καὶ ἡ ὑπὸ εβγ γωνία τῇ ὑπὸ ἔγβ
γωνίᾳ ἴση, καὶ γὰρ ὑπὸ τὴν βάσιν, καὶ πάντα ἄρα Ὁ
ὑπὸ βγε, ὑπὸ γὰρ αὐτὰς αἵ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἦν δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ εβγ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ξγβ ἴση, ἀφ᾽ ὧν ἡ ὑπὸ ξβγ ἴση τῇ ὑπὸ εγβ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ εβξ ἴση τῇ ὑπὸ ἔγε. ἐστὶν δὲ ἡ βε τῇ γξ ἴση καὶ ἡ 8 βξ τῇ εγ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ βεξ τῇ ὑπὸ γξε ἴση, ὥστε καὶ ἡ αε τῇ αξ ἴση δι’ αὐτὸ τὸ ἕκτον — δέδεικται γάρ — ἀφ’ ὧν ἡ βε τῇ γξ ἴση — οὕτως γὰρ ἀφἤρηται — λοιπὴ ἄρα ἡ αβ τῇ ἂγ ἴση. ἰσοσκελὲς
ἄρα ἐστὶν τὸ αβγ τρίγωνον. ἐάν τε ἄρα τὰς δύο γωνίας ἴσας ἔχῃ, ἰσοσκελές ἐστιν, ἐάν τε τῶν πλευρῶν ἐκβληθεισῶν τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν ἴσας ἔχῃ. καὶ οὕτως ἰσοσκελὲς ἔσται τὸ δοθὲν τρίγωνον.
Τί οὖν αἴτιον, δι’ ὃ οὐκ ἀντέστρεψεν ὁ στοι-
χειωτὴς καὶ τὸ λοιπὲν μέρος; ἦ ὅτι καὶ ἐπὶ τοῦ πέμπτου θεωρήματος τὸ τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίας ἴσας εἶναι πάρεργον ἦν, ἄλλων ἕνεκα ἀπόρων διαλύσεως ἐκβεβλημένον, τὸ δὲ τῶν ὑπὸ τὴν βάσιν ἴσων οὐσῶν ἰσοσκελὲς εἶναι τρίγωνον οὔτε πρὸς ἀπόδειξιν προ-
ἡγουμένην οὔτε πρὸς διάλυσιν αὐτῷ συντελεῖ τῶν ξητουμένων πρὸς τῷ καὶ διὰ τῶν ἑξῆς θεωρημάτων ἀποφαίνεσθαι τοῦτο καὶ ἀφορμὰς αὐτῷ κἀκεῖνα παρἔχειν τοῦ τῶν ὑπὸ τὴν βάσιν γωνιῶν ἴσων οὐσῶν
Props. I.7–I.8: Rigidity Lemma & SSS Congruence (Philo’s Proof)¶
Euclid: [I.8]
δείκνυσθαι καὶ τὸ τρίγωνον ἰσοσκελές; εἰ γὰρ εὐθεῖα πᾶσα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα καὶ ποιοῦσα δύο γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ, τῶν ὑπὸ τὴν βάσιν γωνιῶν δεδομένων ἴσων καὶ αἱ πρὸς τῇ βάσει ᾿ πάντως ἴσαι ἔσονται, τούτων δὲ ἴσων οὐσῶν καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ὃ αὐτὰς ἴσαι. τούτῳ τοίνυν χρώμενος ἐν πάσῃ τῇ στοιχειώσει ἠδύνατο λαμβάνειν ὅτι τῶν ὑπὸ τὴν βάσιν
ἴσων οὐσῶν τὸ τρίγωνον ἰσοσκελές ἐστιν εἴπερ ἐδεῖτο καὶ τούτου πρός τινῶν θεωρημάτων 1 ἀπόδειξιν. οὐ γὰρ μετὰ πολλὰ φανήσεται δεικνύμενον ὅτι, ἐὰν εὐ- τὸ θεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν στᾶσα γωνίας ποιῇ, ἥτοι δύο ὀρθὰς ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει. καὶ τὰ μὲν πρὸ τούτου οὐδὲν δεῖ τῆς ἀντιστροφῆς ταύτης, τὰ δὲ ἑξῆς, εἰ δέοιτο, διὰ τούτου τὴν πίστιν ἕξει τοῦ θεωρήματος.
ΥἹΙ, ἔθου. 1Π Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι οὐ σταθήσονται ἑκατέρα ἑκατέρα πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις.
Ἐστὶ μὲν τὸ θεώρημα τοῦτο σπάνιόν τι πεπονθὸς καὶ οὐ πάνυ ταῖς ἐπιστημονικαῖς προτάσεσιν εἰωθός. τὸ γὰρ ἀποφατικῶς σχηματίξεσθαι καὶ μὴ καταφατικῶς οὐ σφόδρα αὐταῖς οἰκεῖον. τὰ γοῦν πολλὰ καταφάσεις εἰσὶν αἴ προτάσεις τῶν τὲ γεωμετρικῶν καὶ τῶν ἀριθμητικῶν θεωρημάτων. αἴτιον δέ, ὡς φησὶν
᾿Αφιστοτέλης, ὅτι τὸ καθόλου καταφατικὸν ταῖς ἐπιστήμαις ἐστὶ μάλιστα προσῆκον ὡς αὐταρκέστερον καὶ μηδὲν τῆς ἀποφάσεως προσδεόμενον, τὸ δὲ καθόλου ἀποφατικὸν δεῖται καὶ τῆς καταφάσεως, εἰ μέλλοι
δείκνυσθαι. ἄνευ γὰρ καταφάσεως οὔτε ἀπόδειξίς
ἐστιν, οὔτε συλλογισμὸς οὐδείς, καὶ διὰ τοῦτο αἴ ἀποδεικτικαὶ τῶν ἐπιστημῶν τὰ μὲν πλεῖστα καταφατικὰ δεικνύουσι, σπανίως δὲ χρῶνται καὶ τοῖς ἀποφατικοῖς συμπεράσμασι.
Θαυμαστῆς δὲ ἀκριβείας ἐστὶν ἡ πρότασις τοῦ θεωρήματος πλήρης καὶ πάσαις ἠσφάλισται ταῖς προσθήκαις, δι’ ὧν ἀνέλεγκτος ἀποτετέλεσται καὶ ἀναμφισβήτητος τοῖς συκοφαντεῖν ἐπιχειροῦσι. πρῶτον μὲν γὰρ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας εἴληπται, ἵνα ἡ ἐπ’ ἄλλης δίο δυσὶν ἴσας δεικνύωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ παραλογιξώμεθα τοὺς τῇ προτάσει χρωμένους. ἔπειτα μιᾶς εὐθείας οὔσης οὐ φησὶν ἐπὶ ταύτην συσταθήσεσθαι τὰς δύο ταῖς δυσὶν ἴσας οὐχ ἁπλῶς – τοῦτο γὰρ δυνατίν — ἀλλ᾽ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. τί γὰρ θαυμαστὸν ἀμφοτέρας ἀμφοτέραις ἴσας λαβεῖν τῶν ἐπισυνισταμένων, τὴν μὲν ἐκχτείναντα, τὴν δὲ συστείλαντα᾽ ἀλλ᾽ ἑκατέραν ἑκατέρα φησὶν ἀδύνατον.
4 τῆς καταφάσεως] καταφάσεων ἢ, ν». 210. [{ εἰ κα με
τρίτον προστέθησιν τὸ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ. τί γάρ, εἴ τις ταῖς προὐφεστώσαις δύο ποιήσας ἴσας ἄλλας δύο καὶ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἐφαρμόσειεν ταύτας ἐκείναις καὶ πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ τῷ κορυφοῦντι τὰς ὑποχειμένας εὐθείας καὶ ταύτας συστήσαιτο; πάντως γὰρ ἴσων οὐσῶν τῶν εὐθειῶν καὶ τὰ πέρατα ἐφαρμόσει. [ τέταρτον τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη. τί γάρ, εἰ μιᾶς εὐθείας ὑποκειμένης τὰς μὲν ἐπὶ τὸ ἕτερον αὐτῆς μέρος ποιήσαιμεν τῶν εὐθειῶν, τὰς δὲ ἐπὶ τὸ ἕτερον, ὥστε τὴν εὐθεῖαν κοινὴν εἶναι βάσιν τὸ τριγώνων δυεῖν τὰς κορυφὰς ἀντικειμένας ἐχόντων; ἵνα οὖν μὴ τοῦτο παθόντες τὴν αὑτῶν ἀπάτην ἐπὶ τὸν στοιχειωτὴν μεταγάγωμεν προσέθηκεν τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη. πέμπτον ἐπήνεγχε τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθείαις. καὶ γὰρ ἦν δυ- τὸ νατὸν ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο δυσὶν ἴσας ἑκατέραν ἑκατέρᾳ συστήσασθαι πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ὅλῃ τῇ εὐθείᾳ χρησάμενον καὶ ἐπὶ ταύτῆς τὰς δύο συνιστάντα, τῶν συνισταμένων οὐ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐκείναις ἐχουσῶν ἀλλὰ ἕτερα. ἐὰν γοῦν τὸ νοήσωμεν ἐν τετραγώνῳ δύο διαγωνίους ἐπὶ μιᾶς τῶν τοῦ τετραγώνου πλευρῶν, ἔσονται δύο δυσὶν ἴσαι, πλευρὰ καὶ διάμετρος τῇ παραλλήλῳ πλευρᾷ καὶ τῇ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ, ἀλλ᾽ οὐχ αἱ ἴσαι τὰ αὐτὰ πέρατα ξξουσιν᾽ οὔτε γὰρ αἴ παράλληλοι οὔτε αἵ διάμετροι τὰ αὐτὰ ἕξουσιν ἀλλήλαις, αὗται δὲ ἦσαν ἴσαι.
Τούτων οὖν πάντων τῶν διορισμῶν φυλαττομέ-
νῶν ἥ τὲ πρότασις ἀληθὴς καὶ ὁ συλλογισμὸς ἀναμφισβήτητος ἀποδείκνυται. τάχα δ᾽ ἂν τινες καὶ ἐπὶ τούτοις ἅπασι τοῖς ἐπιστημονικοῖς ὅροις ἐνίστασθαι τολμήσειαν λέγοντες, ὅτι καὶ τούτων ὑποκειμένων δυνατόν ἐστιν, ὅ φησιν ὁ γεωμέτρης ἀδύνατον εἶναι.
ἔστω γὰρ ἡ αβ εὐθεῖα καὶ ἐπὶ ταύτης δύο ταῖς ἂν γβ δύο ἴσαι αἴ αὃ ὃβ καὶ ἔστωσαν αὐταὶ ἐντὸς ἐκείνῶν, ἵνα καὶ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ γ καὶ
ιο τῷ ὃ ὦσι καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχωσι ταῖς ἐξ ἀρχῆς
εὐθείαις τὸ ἃ καὶ τὸ β, καὶ ἡ μὲν ἂγ τῇ αὃ ἴση, ἡ δὲ βγ τῇ βδ. πρὸς δὴ τοὺς οὕτως ἐνισταμένους ἀπαντησόμεθα τὴν μὲν ὃγ ἐπι-
ξεύξαντες, τὰς δὲ αγ καὶ αὃ ἐκβάλλοντες. τούτων γὰρ καταδσκευασθέντων πρόδηλον ὅτι ἰσο-
σχελὲς μὲν τὸ αγὸ τρίγωνον, ἴσης
οὔσης, ὡς ἐκείνων λόγος, τῆς αὃ ᾿ 8 τῇ ἀγ. αἱ δὲ ὑπὸ τὴν βάσιν ἴσαι, ἡ ὑπὸ εγδ τῇ ὑπὸ ξδγ. [μείζων δὲ τῆς ὑπὸ βγδ ἡ ὑπὸ εγδ], μείξων ἄρα τῆς ὑπὸ βγὸ ἡ ὑπὸ ξδγ, πόλλῳ
ἄρα μείξων ] ἡ ὑπὸ βὸὃγ τῆς ὑπὸ βγδ. ἀλλ᾽ ἐπειδὴ πάλιν ἴση ἡ ὃβ τῇ γβ;, ἴσαι καὶ αἴ ) πρὸς τῇ βάσει ἡ ὑπὸ βὸγ τῇ ὑπὸ βγὸ, ἡ αὐτὴ ἄρα καὶ μείξων πολλῷ καὶ ἴση, ὅπερ ἀδίνατον. καὶ τοῦτο ἦν ἄρα, ὅπερ ἐξηγούμενοι τὸ πέμπτον ἐλέγομεν ὅτι τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἷναι, καὶ εἰ μὴ πρὸς τὰς ἀποδείξεις τῶν ἑξῆς θεωφημάτων, ἀλλὰ πρός γε τὰς τῶν ἐνστάσεων διαλύσεις ἔσται χρήσιμον. καὶ γὰρ νῦν
τὴν ἔνστασιν διηλέγξαμεν λαβόντες ὅτι τῶν αγ αὃ ἴσων οὐσῶν ἔσονται καὶ αἴ ὑπὸ εγὸ ξὸγ γωνίαι ἴσαι. τὸ φανήσεται δὲ ὡσαύτως καὶ ἐπ᾿ ἄλλων θεωρημάτων ἡμῖν τοῦτο συντελοῦν εἰς τὰς τῶν ἀπορουμένων διαλύσεις.
Εἰ δὲ λέγοι τις ὅτι ἔστωσαν ἐπὶ τῆς αβ εὐθείας ταῖς αγ αὃ ἴσαι αἱ βὸ βγ, ὧν ἡ μὲν βγ ἴση τῇ αγι ἡ δὲ βὸ τῇ αὃ πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ τῷ α καὶ τῷ β, τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι ταῖς αγ αὃ τὸ γ καὶ
τὸ ὃ σημεῖον, τί ἐροῦμεν πρὸς τοῦτον τὸν λόγον; ἡ ὅτι δεῖ καὶ τὰς ἐξ 90
ΞΘ ΝΣ ε: ἀρχῆς εὐθείας ἐπὶ τῆς αβ εὐθείας τ συνεστάναι καὶ τὰς ταύταις ἴσας ἐπὶ τῆς αὐτῆς συν-
ίστασθαι τῆς αβ εὐθείας; οὕτως γὰρ καὶ ὁ στοιχι ιωτὴς ἐν τῇ προτάσει λέγει. αἴ δὲ αγ καὶ αὃ εὐθεῖαι
οὐκ εἰσὶν ἐπὶ τῆς αβ εὐθείας, ἀλλὰ πρός τινι σημείῳ τῆς αβ εὐθείας τὴν σύστασιν ἔσχον καὶ οὐκ ἐπ᾽ αὐτῆς, ὥστε ἄλλαι μέν εἰσιν αἴ ἐπὶ τῆς αβ εὐθείας, οἷον αἴ
ἂγ γβ καὶ αἵ αὃ ὃδβ, καὶ ἄλλαι αἵ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖαι ὃ καὶ αἴ ταύταις ἴσαι, δέον πως τὰς συνισταμένας
εὐθείας ἴσας ταύταις εἶναι, αἱ ἦσαν ἐπὶ τῆς αβ εὐθείας. Τοσαῦτα καὶ πρὸς ταύτην εἰρήσθω τὴν ζήτησιν᾽ ὅτι δὲ τὸ θεώρημα τοῦτο δέδεικται παρὰ τῷ στοι1 χειωτῇ διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς καὶ ὅτι τὸ ἀδύνατον μάχεται πρὸς κοινὴν ἔννοιαν τὴν λέγουσαν τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖξον καὶ τὸ αὐτὸ μεῖζον καὶ ἴσον εἷναι ἀδύνατον, πρόδηλον. ἔοικεν δὲ εἶναι τοῦτο τὸ θεώρημα λῆμμα προλαμβανόμενον τοῦ ὀγδόου 16 θεωρήματος. Ϊ εἰς γὰρ τὴν ἀπόδειξιν ἐκείνου συντελεῖ καὶ οὔτε στοιχεῖόν ἐστιν ἁπλῶς οὔτε στοιχειῶδες. οὐ γὰρ ἐπὶ πολλὰ διατείνει τὴν ἑαυτοῦ χρείαν. σπανιωτάτην γοῦν αὐτοῖ παρὰ τῷ γεωμέτρῃ τὴν χρῆσιν εὑρήσομεν.
ΥἼΠ], ἰμθοσ. Υ. Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.
Τὸ ὄγδοον θεώρημα ἀντίστροφον μέν ἐστι τοῦ τετάρτου, οὐ κατὰ τὴν προηγουμένην ἀντιστροφὴν ληφθέν — οὐ γὰρ ὅλην τὴν ὑπόθεσιν ἐκείνου ποιεἴται συμπέρασμα καὶ ὅλον τὸ συμπέρασμα ὑπόθεσιν – ἀλλὰ τὸ μὲν τῆς ὑποθέσεως τοῦ τετάρτου τὸ δὲ το. τῶν ἐκείνῳ ξητουμένων συμπλέχον δείκνυσιν ἔν τι τῶν ἐκεῖ δεδομένων. τὸ μὲν γὰρ τὰς δύο πλευρὰς ἴσας εἷναι ταῖς δύο πλευραῖς ὑπόθεσίς ἐστιν ἐν ἀμφοτέραις, τὸ δὲ τὴν βάσιν ἴσην τῇ βάσει ἐν ἐχείνῳ μὲν τῶν ξητουμένων ἦν, ἐν δὲ τούτῳ δέδοται. τὸ δὲ τὸ τὴν γωνίαν ἴσην τῇ γωνίᾳ δεδομένον μὲν ἐν ἐκείνῳ, ξητούμενον δὲ ἐν τούτῳ᾽ μόνη τοίνυν ἡ ἐναλλαγὴ τῶν δεδομένων καὶ ξητουμένων ποιεῖ τὴν ἀντιστροφήν. εἰ δέ τις ἐπιποθοίη μαθεῖν τὴν αἰτίαν, δι’ ἣν
ὄγδοον τέτακται καὶ οὐ μετὰ τὸ τέταρτον εὐθὺς ὡς ἀντίστροφον ἐκείνῳ, καθάπερ δὴ μετὰ τὸ πέμπτον τὸ
ἔχτον ἀντίστροφον ὃν τοῦ πέμπτου — καὶ γὰρ τὰ
πλεῖστα τῶν ἀντιστρεφόντων ἔπεται τοῖς προηγουμέ-
τοιοῦτόν ἐστιν, ἀπὸ τοῦ ἑβδόμου γνώριμον γίνεται. τοῦτο δ᾽ αὖ πάλιν εἰς τὴν ἀπόδειξιν ἐδεῖτο τοῦ πέμπτου. προείληπται τοίνυν ἀναγκαίως καὶ τὸ ἕβδομον καὶ τὸ πέμπτον τοῦ δειχνυμένου νυνὶ θεωρήματος. ἐπειδὴ δὲ καὶ τὸ ἀντίστροφον τῷ πέμπτῳ ῥάδιον εἶχεν καὶ ἀπὸ τῶν πρώτων τὴν ἀπόδειξιν, εἰκότως εὐθὺς μετὰ τὸ πέμπτον ἐτάχθη διά τε τὴν πρὸς ἐκεῖνο συγγένειαν καὶ ὅτι διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δεικνύμενον ἀπὸ τῶν κοινῶν ἐννοιῶν ἐλέγχει τὸ ἀδύνατον, καὶ οὐχ ὡς τὸ ὄγδοον ἀπ᾽ ἄλλου θεωρήματος. ἐναργέστερα γὰρ εἰς ἔλεγχον τὰ ταῖς κοιναῖς ἐννοίαις μαχόμενα τῶν τοῖς θεωρήμασιν ἀντιφασχομένων. ταῦτα γὰρ ᾿ διὰ ἀποδείξεως εἴληπται, ἐκείνων δὲ ἡ γνῶσις χρείττων ἀποδείξεως.
Ὁ μὲν οὖν στοιχειωτὴς διὰ τοῦ προαποδειχθέντος ἑβδόμου θεωρήματος τὸ προκείμενον δείκνυσιν, οἵ δὲ περὶ Φίλωνα μηδὲν τούτου προσδεηθέντες φασὶν ἀπο-
δείξειν τὸ ὄγδοον.
« ὁ ἐννοήσθω γαρ, φα-
σίν, δύο τριγώνων
ὄντων τοῦ αβγ καὶ
δεξ καὶ ἐχόντων δύο
β » 8 ξ πλευρὰς δυσὶν ἴσας καὶ τὴν βγ βάσιν
τῇ εξ ἐφαρμοξομένην τὴν βάσιν τῇ βάσει
Ἵ καὶ τιθέμενον τὸ αβγ
τρίγωνον τῷ δεξ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ μὲν ἐπιπέδου, ἵνα μὴ
κλίσις ἦ τῶν δύο ἡ βάσις, ἐπὶ θάτερα δὲ τῆς εξ τυχὸν εὐθείας, ὥστε ἀντικειμένας αὐτῶν εἶναι τὰς κορυφάς.
καὶ ἀντὶ τοῦ αβγ ἔστω τεθὲν οὕτως τὸ εζη, καὶ ἴση
τῇ μὲν δὲ ἡ ξη, τῇ δὲ δξ ἡ ξη. ἡ τοίνυν ξη ἢ ἐπ᾿
εὐθείας κείσεται τῇ δξ, ἢ οὐκ ἐπ’ εὐθείας, καὶ εἰ μὴ ἐπ᾽ εὐθείας, [ ἢ κατὰ τὸ ἐντὸς ποιήσει γωνίαν πρὸς αὐτὴν ἢ κατὰ τὸ ἐκτός. ἔστω πρότερον ἐπ᾽ εὐθείας. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ δὲ τῇ εη καὶ μία εὐθεῖα ἡ ὃ ξη, ἰσοσκελὲς τὸ δεη τρίγωνον καὶ ἴση ἡ πρὸς τῷ ὃ γω-
νία τῇ πρὸς τῷ ἡ. εἰ δὲ μὴ ἐπ᾽ εὐθείας ἐστίν, ἐντὸς ποιείτω τὴν γωνίαν καὶ ἐπεζεύχθω ἡ
δη. ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ δὲ ξη καὶ ἡ βάσις ἡ δη, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ εδῃ γωνία τῇ ὑπὸ εηδ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ δὲ τῇ ξη καὶ βάσις ἡ δη, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ξδη γωνία τῇ ὑπὸ ξηδ. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ἐδη ἴση τῇ ὑπὸ εηδ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ εδξ ἴση ἐστὶν ἵ
, 1 τῷ δεῖ) καὶ τὸ δεξ α. 5 ἡ βάσις τῶν δύο Ο, τῶν δύο ἢ βάσις Οὅ.ὨὌ 8 εἶναι αὐτῶν αΘ. [10 ἄρα γροεὶ ἰσοσκελὲς δᾶ-
ἅϊι σ. 18 αἴ δεη Οὅ. 11 ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ἔδη γωνία 6. 19 ὑδθαὰο δὰ ρ. 268 1 ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ εδὲ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ δέη γωνία τῇ ὑπὸ ξηδ’ ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ἐδη ἴση τῇ
ὑπὸ εδη᾽ ὅλη ὥρα καὶ ὑπὸ εδὲ ἴση ἐστὶν ὅλη τῇ ὑπὸ εἰ ηξ γωνίᾳ ἢ.
ὕλῃ τῇ ὑπὸ εηξ ] γωνέᾳ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. τὸ ὃν τρίτον κατὰ τὸ ἐκτὸς ποιείτω γωνίαν πρὸς τὴν δξ ἡ ὁ ἔζη καὶ ἐπεξεύχθω ἐκτὸς ἡ δη.
ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἴ δὲ ξη καὶ
βάσις ἡ δη, ἴσαι αἴ ὑπὸ εδη δηε
ε γωνίαι. πάλιν ἐπεὶ ἴσαι αἱ ὃδξ ξη καὶ βάσις ἡ δη, ἴση ἐστὶν ἡ
ὑπὸ ξδη γωνία τῇ ὑπὸ ξηδ. ἧσαν
δὲ καὶ ὅλαι αἱ ὑπὸ εδη δηε γω-
νίαι ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ λοιπαὶ ἄρα
αἱ ὑπὸ εδξ ξηε γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν καὶ εὕρη-
ται τὸ προτεθὲν κατὰ πᾶσαν θέσιν τῆς ζη εὐθείας ἡμῶν τὸ θεώρημα ἀποδεδειχότων, καὶ οὐδαμοῦ τῷ ἑβδόμῳ προσεχρησάμεθα.
Μήποτε οὖν, φασί, περιττῶς ἐκεῖνο παρεισκεκύκληται τῷ στοιχειωτῇ; εἰ γὰρ μόνου τοῦ ὀγδόου ἕνεκα αὐτὸ παρειλήφαμεν, δέδεικται δὲ καὶ ἄνευ ἐκείνου τὸ ὄγδοον, πῶς οὐχὶ παντελῶς ἄχρηστον ἀναφαίνεται τὸ ἕβδομον; πρὸς δὴ ταῦτα λεκτέον ἃ καὶ οἱ πρὸ
0 ἡμῶν, ὅτι τὸ ἕβδομον ἀποδειχθὲν χρησιμώτατόν ἐστι
τοῖς τὰ ἀστρονομικὰ δεινοῖς εἰς τὸν περὶ τῶν ἐκλείψεῶν τόπον. τούτῳ γάρ φασιν χρώμενοι δεικνύναι ὅτι τρεῖς ἐφεξῆς ἐκλείψεις ἴσον ἀπέχουσαι ἀλλήλων
οὐκ ἂν γένοιντο, λέγω δὲ ὥστε τοσούτῳ χρόνῳ τὴν δευτέραν διεστάναι τῆς πρώτης, ὅσῳ τὴν τρίτην τῆς δευτέρας· οἷον εἰ μετὰ τὴν πρώτην ἡ δευτέρα γέγονεν ἕξ μηνῶν παρελθόντων καὶ εἴκοσιν ἡμερῶν, οὐκ ἂν γενέσθαι τὴν τρίτην ὕστερον τοσούτῳ χρόνῳ τῆς δευτέρας, ἀλλ᾽ ἤτοι πλέονι ἢ ἐλάσσονι. τοῦτο δὲ οὕτως
ἔχον ἀποδείχνυσθαι διὰ τοῦ ἑβδόμου θεωρήματος. καὶ οὐ τοῦτο μόνον τὸν στοιχειωτὴν ὡς πρὸς ἀστρονομίαν ἡμῖν συντελοῦν ὅδου πάρεργον δεικνύναι, ἀλλὰ καὶ ἄλλα θεωρήματα πολλά τε καὶ προβλήματα. τὸ γοῦν τελευταῖον ἐν τῷ τετάρτῳ, καθ᾽ ὃ τὴν τοῦ πεντεκαιδεκαγώνου πλευρὰν ἐγγράφει τῷ κύκλῳ, τίνος ἕνεκά φησίν τις αὐτὸν προβάλλειν ἢ τῆς πρὸς ἀστρονομίαν τούτου τοῦ προβλήματος ἀναφορᾶς; ἐγγράψαντες γὰρ εἰς τὸν διὰ τῶν [ πόλων κύκλον τὸ πεντεκαιδεκάγωνον ἔχουσι τὴν ἀπόστασιν τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ ξῳδιακοῦ. πεντεκαιδεκαγωνικὴν γὰρ ἀλλήλων πλευρὰν ἀφεστήκασιν. ἔοικεν οὖν ὁ στοιχειωτὴς καὶ πρὸς τὴν ἀστρονομίαν βλέπων πολλὰ προδεικνύναι προευτρεπίξων ἡμᾶς καὶ εἰς ἐκείνην τὴν ἐπιστήμην. συνιδὼν δὲ ὅτι τοῦτο τὸ ἕβδομον δείκνυται ἀπὸ τοῦ πέμπτου καὶ δείκνυσι χωρὶς ἁπάσης ποικιλίας τὸ ὄγδοον ταύτην αὐτῷ τὴν τάξιν δέδωκεν, ἐπεὶ ἤ γε τοῦ Φίλωνος ἐπιβολὴ καλὴ μέν, τῇ δὲ ποικιλίᾳ τῶν πτώσεων πρὸς στοιχείωσιν ἀνεπιτήδειος.
Πρὸς μὲν οὖν τὴν ξήτησιν ταύτην εἰρήσθω τοσαῦτα. εἰ δέ τις ἀποροίη, πῶς οὐχὶ καὶ ἐπὶ τοῦ ὀγδόου προσέθηχεν, ὅσα ἐπὶ τοῦ τετάρτου, λέγω δὲ τὸ καὶ τὰ τρίγωνα ἴσα εἷναι καὶ τὰς λοιπὰς γωνίας,
Ὁ πλείονι Ο. 14 ἀναφοράν 7, Ο, 48 δὲ τὸ] δὴ 6.
Props. I.9–I.10: Angle & Line Bisection, Trisection & Indivisible Lines¶
Euclid: [I.9]
ἐροῦμεν ὅτι τῆς πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίας ἴσης ἀποδειχθείσης εἵπετο καὶ τὸ πάντα εἶναι πᾶσιν ἴσα διὰ τὸ τέταρτον. τοῦτο οὖν ἔδει μόνον καθ᾽ αὑτὸ ἀποδεικνύναι, τὰ δ᾽ ἄλλα ὡς ἑπόμενα λαμβάνειν.
Ἔοικεν δὲ τὴν ἰσότητα τῶν πρὸς ταῖς κορυφαῖς γωνιῶν ἥ τε τῶν περιεχουσῶν πλευρῶν τὰς γωνίας καὶ ἡ τῶν βάσεων ἰσότης ποιεῖν. οὔτε γὰρ ἀνίσων οὐσῶν τῶν βάσεων αἷ αὐταὶ γωνίαι μένουσι τῶν περιἐχουσῶν ὑποκειμένων, ἀλλὰ τῆς βάσεως ἐλαττουμένης
συνελασσοῦται ἡ γωνία καὶ αὐξομένης συναύξεται, οὔτε τῶν αὐτῶν βάσεων οὐσῶν, τῶν δὲ πλευρῶν ἀνισαζομένων μένει ἡ γωνία. ἀλλ᾽ ἑλασσουμένων μὲν αὔξεται, αὐξανομένων δὲ ἐλασσοῦται. πάσχουσι γὰρ ἐναντίον πάθος αἴ γωνίαι ταῖς περιεχούσαις. καὶ
1 γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως εἰ νοήσειας εἰς τὸ κάτω διελκομένας τὰς πλευράς, αὐτὰς μὲν ἐλαττοῖς, αὔξεις ὃ τὴν γωνίαν τὴν ὑπ᾽ αὐτῶν περιεχομένην καὶ πλείω ποιεῖς αὐτῶν τὴν ἀπ’ ἀλλήλων διάστασιν, εἰ δὲ ἀνἀγομένας καὶ προσθήκην δεχομένας, ἐλαττοῖς τὴν γω-
320 νίαν, ἣν περιλαμβάνουσι. συμπίπτουσι γὰρ ἐπὶ πλέον τῆς κορυφῆς αὐτῶν πορρωτέρω γινομένης τῆς βά-
σεως. ἀσφαλὲς οὖν λέγειν καὶ τὴν βάσιν τὴν αὐτὴν οὖσαν καὶ τὰς πλευρὰς ἴσας ὑπαρχούσας τὴν ἰσότητα τῆς γωνίας ἀφορίζξειν.
χορ. Υ̓ἼΠΠ]Ι, ὑγοόῦὶ]ὶ. ΠΠΠ. Τὴν δοθεῖσαν εὐθύγραμμον γωνίαν δέχα τεμεῖν. .
Τοῖς προβλήμασιν ἀναμίγνυσι τὰ θεωρήματα καὶ τοῖς θεωρήμασι συμπλέχει τὰ προβλήματα καὶ δι᾽ ἀμφοτέρων τὴν ὅλην συμπεραίνει στοιχείωσιν τότε μὲν τὰ ὑποκείμενα ποριζόμενος, τότε δὲ τὰ περὶ αὐτὰ συμπτώματα Ϊ θεωρῶν. δείξας τοίνυν διὰ τῶν πρόσθεν καὶ περὶ ἕν τρίγωνον τῇ ἰσότητι τῶν πλευρῶν ἑπομένην τὴν ἰσότητα τῶν γωνιῶν καὶ ἀνάπαλιν, καὶ περὶ δύο τρίγωνα ὡσαύτως, πλὴν ὅτι τῆς ἀντιστροφῆς ὁ τρόπος διαφέρων ἦν ἐπί τε τοῦ ἑνὸς τριγώνου καὶ τοῖν δυοῖν, μέτεισιν ἐπὶ τὰ προβλήματα καὶ ἐπιτάττει τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν. καὶ δῆλον ὅτι δέδοται μὲν ἐνταῦθα κατὰ τὸ εἶδος ἡ γωνία. εὐθύγραμμος γὰρ εἴρηται καὶ οὐχ ἡ τυχοῦσα. τὸ γὰρ πᾶσαν γωνίαν δίχα τεμεῖν οὐχ ἔστιν κατὰ στοιχείωσιν, ὅπου καὶ ἀμφισβητήσιμον, εἰ καὶ δυνατὸν πᾶσαν διχοτομῆσαι γωνίαν. τὴν γὰρ κερατοειδῇ γωνίαν εἰ δυνατὸν δίχα διελεῖν ἀπορήσειας ἄν.
᾿φωρισταί γε μὴν καὶ ὁ λόγος τῆς τομῆς, καὶ
τοῦτο πάλιν εἰκότως, τὸ γὰρ εἰς τὸν τυχόντα λόγον διελεῖν ἐκβαίνει τὴν παροῦσαν παρασκευήν, οἷον εἰς τρία ἴσα ἢ τέτταρα ἢ πέντε. τὴν μὲν γὰρ ὀρθὴν τρίχα τεμεῖν δυνατὸν ὀλίγοις χρησάμενον τῶν ἑξῆς, τὴν δὲ
ὀξεῖαν ἀδύνατον μὴ ἐπ᾽’ ἄλλας μεταβάντα γραμμᾶς, 55
αἵ τοῦ μικτοῦ εἰσιν εἴδους. δηλοῦσι δὲ οἵ πρόθεσιν ποιησάμενοι ταύτην τὴν δοθεῖσαν εὐθύγραμμον γωνίαν τρέχα τεμεῖν. Νικομήδης μὲν γὰρ ἐκ τῶν κογχοειδῶν γραμμῶν, ὧν καὶ τὴν γένεσιν καὶ τὴν τάξιν καὶ τὰ συμπτώματα παραδέδωκεν, αὐτὸς εὕρετὴς ὧν τῆς ἰδιότητος αὐτῶν, πᾶσαν εὐθύγραμμον γωνίαν ἐτριχοτόμησεν. ἕτεροι δὲ ἐκ τῶν Ἱππίου καὶ Νικομήδους τετραγωνιζουσῶν πεποιήχασι τὸ αὐτό, μικταῖς καὶ οὗτοι χρησάμενοι γραμμαῖς ταῖς τετραγωνιξούσαις. ἄλλοι δὲ ἐκ τῶν ᾿ἀρχιμηδείων ἑλίκων ὁρμηθέντες εἰς τὸν δοθέντα λόγον ἔτεμον τὴν δοθεῖ-
σαν εὐθύγραμμον γωνίαν᾽ ὧν τὰς ἐπινοίας δυσθεωρήτους οὔσας τοῖς εἰσαγομένοις παραλείπομεν ἐν τῷ παρόντι. μᾶλλον γὰρ ἂν κατὰ καιρὸν ἐξετάσαιμεν ἴσως ἐν τῷ τρίτῳ βιβλίῳ τοῦ στοιχειωτοῦ τὴν δοθεῖσαν περιφέρειαν δίχα τέμνοντος. καὶ γὰρ ἐκεῖ ὁ αὐτὸς τρόπος τῆς ξητήσεως μὴ δίχα μόνον, ἀλλὰ καὶ τρίχα τεμεῖν, καὶ ἀπὸ τῶν αὐτῶν γραμμῶν αἱ ἐπιβολαὶ τοῖς παλαιοῖς γεγόνασι τῆς εἰς τρία ἴσα πάσης 80 περιφερείας διαιρέσεως. εἰκότως ἄρα καὶ ὁ μεμνημένος [Ὁ] εὐθείας καὶ περιφερείας, τὰ δὲ ἐκ τούτων ὑφιστάμενα κατὰ μίξιν εἴδη δυσεξέλικτα ὄντα καὶ δυσαρίθμητα μὴ περιεργαξόμενος πάσας τὰς τοιαύτας ξητήσεις παρίησιν, ὅσαι τῶν μικτῶν προσδέονται παρέδωκεν Ο, παραδέδωκεν (. ὃ εὐπεποιήκασι Ο.
γραμμῶν, ἐπὶ τῶν πρωτίστων καὶ ἁπλουστάτων εἰδῶν καὶ τὰ ἐκ τούτων μόνων ἢ πορίζεσθαι δυνάμενα ἢ θεωρεῖσθθαι προτιθεὶς εἰς ζήτησιν᾽ ὁποῖον δὴ καὶ τὸ νῦν προκείμενόν ἐστι πρόβλημα τὸ τὴν δοθεῖσαν ! εὐθύγραμμον γωνίαν δίχα τεμεῖν. χρῆται γὰρ ἐν τούτῳ πρὸς μὲν τὴν κατασκευὴν αἰτήματι ἑνὶ καὶ τῷ πρώτῳ καὶ τρίτῳ θεωρήματι, πρὸς δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῷ ὀγδόῳ μόνῳ θεωρήματι. δεῖται γὰρ πάντως ἀποδείξεως καὶ τὰ προβλήματα, ὡς καὶ πρότερον εἴπομεν, καὶ τὸ ἐπιστημονικὸν ἀπὸ ταύτης προσλαμβάνει. Ἴσως δ᾽ ἄν τινες ἐνσταῖεν τῷ γεωμέτρῃ τὸ συνἐστάμενον ἰσόπλευρον ἐπ᾽ αὐτοῦ λέγοντες τὴν κορυφὴν οὐκ ἐντὸς ἔχειν τῶν δύο εὐθειῶν, ἀλλ᾽ ἥτοι ἐπὶ τῆς ἑτέρας ἢ καὶ ἐκτὸς ἀμφοτέρων, γίγνεσθαι δὲ σαφὲς τὸ λεγόμενον διὰ τῶν στοιχείων. ἔστω γωνία ἡ ι5
ὑπὸ βαγ, ἣν δεῖ διχοτομῆσαι, καὶ α ἐπὶ τῆς αβ σημεῖον τὸ β καὶ ἴση τῇ βα ἡ γα καὶ ἐπεξεύχθω ἡ βγ καὶ ἐπὶ ταύτης ἰσόπλευρον τρίγωνον τὸ βγδ. τοῦτο δὴ τὸ ὃ σημεῖον γυ ἢ μεταξὺ ἔσται τῶν αβ ἂγ εὐθειῶν ἢ ἐπὶ τῆς αβ ἢ ἐπὶ τῆς αγ ἢ ἐκτὸς ἑκατέρας. ὁ μὲν οὖν στοιχειωτὴς μεταξὺ ἔλαβεν αὐτό, καὶ διὰ τοῦτο κωλύοντες καὶ τὴν
ἀπόδειξιν ἐμποδίξοντές φασιν ἢ ἐπὶ τῆς ἑτέρας αὐτὸ 0
κεῖσθαι τῶν εὐθειῶν ἢ καὶ ἐκτὸς ἀμφοτέρων. κείσθω τοίνυν ἐπὶ τῆς αβ τὸ δ, ὥστε εἶναι ἰσόπλευρον τὸ βγὸ. ἴση ἄρα ἡ ὃβ τῇ ὃγ καὶ αἱ πρὸς τῇ βάδει ἴσαι ἡ ὑπὸ γβὸ καὶ ἡ ὑπὸ βγδ, μείξων ἄρα ὅλη ἡ ὑπὸ ὃ βγε τῆς ὑπὸ γβὸ γωνίας. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ βα τῇ γα, ἰσοσκελὲς τὸ αβγ καὶ ἴσας ἕξει τὰς ὑπὸ βγ βάσιν.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ βγε τῇ ὑπὸ γβδ. ἦν δὲ καὶ μείξων, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δύναται ἡ τοῦ ἰσοπλεύρου
κορυφὴ ἐπὶ τῆς εὐθείας εἶναι τῆς αβδ. ὁμοίως δείξομὲν ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τῆς αγε. κείσθω οὖν ἐκτὸς ἀμ-
φοτέρων, εἰ δυνατόν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ βὸ τῇ γὸ, ἴσαι αἴ πρὸς τῇ βάσει ἡ ὑπὸ βγὸ καὶ ἡ ὑπὸ γβδ. μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ βγὸ τῆς ὑπὸ γβε. πόλλῳ ἄρα μείξων ἡ ὑπὸ βγξ τῆς ὑπὸ γβε. ἀλλὰ καὶ ἴση, εἶ γὰρ ὑπὸ τὴν βγ βάσιν τοῦ
αβγ ἰσοσκελοῦς, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνα-
τον. οὐκ ἄρα τὸ ὃ σημεῖον ἔξω κείσεται ᾿ κατὰ ταῦτα τὰ μέρη τῶν δύο εὐθειῶν. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ κατὰ τὰ
ἕτερα. καὶ ὁρᾷς πάλιν ὅτι τὸν ἔλεγχον πεποιήμεθα
τῶν ἐνστάσεων προσχρώμενοι τῷ τὰ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίας ἴσας ἔχειν. τοῦτο ἐκεῖνο, ὃ καὶ πρότερον ἐλέγομεν ὅτι πολλὰ τῶν τῇ ἐπιστήμῃ μαχομένων σαθρὰ καὶ εὐέλεγκτα διὰ τούτου δείκνυται τοῦ θεωρήμα [τος καὶ ὡς ταύτην ἀποπληροῖ τῷ γεωμέτρῃ τὴν χρείαν.
Εἰ δὲ λέγοι τις τόπον μὴ εἰδέναι ὑπὸ τὴν βγ βάσιν, δέον ἔσται συστήσασθαι τὸ ἰσόπλευρον ἐπὶ τὰ
αὐτὰ ταῖς βα αγ. ἀνάγκη τοίνυν ἢ αὐταῖς ταῖς βὰ αγ τὰς συνισταμένας ἐφαρμόξειν, εἴπερ καὶ αὐταὶ ἴσαι τὸ τῇ γβ, ἢ ἐκτὸς αὐτῶν πίπτειν, εἰ αὐταὶ ἐλάσσους τῆς βγ, ἢ ἐντός, εἰ μείξους αἵ βα αγ τῆς βγ. ἐφαρμοξέτωσαν πρῶτον, καὶ ἰσόπλευρον αὐτὸ τὸ βαγ, καὶ σημεῖον Ἷ ἐπὶ τῆς αβ τὸ ὃ, καὶ ἀπὸ τῆς Σ 1 αγ τῇ αὃ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ κε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἵ δε, βε, 2 γ γὸ, αξ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ αβ τῇ ἂν καὶ ἡ αὃ τῇ ἀε, δύο αἱ βα ἀε δυσὶν ἴσαι ταῖς γα αδ, καὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν περιέχουσιν, ὥστε καὶ πάντα ἴσα πᾶσιν καὶ ἡ ὑπὸ δβε γωνία ἴση τῇ ὑπὸ
εγδ, ἴση δὲ καὶ ἡ ὃβ τῇ ἐγ καὶ ἡ βε τῇ γὸ, καὶ
Ὡ τῇ βάσει Ἡ, 6. 8 καὶ οἴη. Ο, αἀᾶ. Ο6. 71: εἰδέναι) εἶναι
πάντα ἄρα πᾶσιν, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ δεβ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ εὃγ, ὑπὸ γὰρ ταύτας αἵ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα καὶ ἡ δ τῇ εξ διὰ τὸ ἕκτον. ἐπεὶ οὖν ἡ ἀε ἴση τῇ αὃ καὶ ἡ αξ κοινὴ καὶ ἡ δ τῇ ξε ἴση [Ὁ], τέτμηται ἡ ὑπὸ δαε γωνία εἰς ἴσα, ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
εἰ δὲ ἐχτὸς πίπτοιεν τῶν βα αγ εὐθειῶν αἵ τοῦ ἰσοἃ πλεύρου τριγώνου πλευραί, ἔστωσαν αἴ βὸ ὃγ καὶ ἐπιξευχθεῖσα ἡ δα ἐκβεβλήσθω ἐπὶ το ε. ἐπεὶ οὖν ἴσαι αἱ βὸ ὃγ, κοινὴ δὲ ἡ 2 ᾽ δα, καὶ αἴ βα αγ ἴσαι, καὶ ἡ ὑπὸ βδα γωνία ἴση τῇ ὑπὸ γδα
διὰ τὸ ὄγδοον. πάλιν ἐπεὶ αἱ βὸ ὃγ ἴσαι καὶ ἡ δὲ κοινὴ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ὡς δέδεικται. ἴση καὶ ἡ βὲ τῇ ἐγ βάσει διὰ τὸ τέταρτον. [ ἐπεὶ οὖν ἡ αβ κ τῇ αγ ἴση καὶ ἡ αε κοινή, καὶ ἡ
ὑπὸ βαε γωνία ἴση τῇ ὑπὸ γαε. ὅπερ ἔδει δεῖξαι. εἰ δὲ ἐντὸς τῶν βα αγ πίπτοιεν αἱ τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου πλευραί, ὡς αἵ
βὸ ὃγ, ἐπεξεύχθω πάλιν ἡ αὃ.
7 ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ βα τῇ ἂ7
2 ταῦταις Ἡ, ταύτης ΟΘ. 4 τῇ οὖ αδ οι. Ἢ, δ Απῖθ [6 τέτμη-
ται οχοϊαϊι ΠΟΥΤΡΡΡΕῚ καὶ ἡ ὑπὸ δαξ ἐμ τῇ ὑπὸ ταΐ καὶ.
Βι τα Μ. 6 αἵ τοῦ) αὐτοῦ τοῦ Ο, αἴ ε 10 κοινὸν Οὗ, ἃ τὸ ΛΜ.
κοινὴ Ο. 14 ὡς) οὐ Μι 11 γὰ 21 ΠΡ μον σ.
καὶ ἡ αὃ κοινή, βάσις δὲ ἡ βδ βάσει τῇ γδ ἴση ἐστίν, καὶ ἡ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ βαδ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ γαὸδ ἴση διὰ τὸ ὄγδοον. δίχα ἄρα τέμνεται ἡ πρὸς τῷ α γωνία, ὕπως ἂν συνιστῆται τὸ ἰσόπλευρον.
᾿Α4λλ᾽ ἐπειδὴ καὶ ταύτας συνεκεφαλαιωσάμεθα, τῶν ἑξῆς ἐχώμεθα θεωρημάτων τοιοῦτον προστιθέντες περὶ τοῦ δεδόσθαι τὴν γωνίαν ὅτι τετραχῶς δύναται δίδοσθαι᾽ καὶ γὰρ θέσει, ὡς ὅταν λέγωμεν πρὸς τῇδε τῇ εὐθείᾳ καὶ τῷδε τῷ σημείῳ κεῖσθαι τὴν γωνίαν καὶ εἶναι δεδομένην αὐτὴν οὕτως — καὶ εἴδει, οἷον τὸ ὅταν ὀρθὴν λέγωμεν ἢ ὀξεῖαν ἢ ἀμβλεῖαν ἢ ὅλως εὐθύγραμμον ἢ μικτήν — καὶ λόγῳ, ὅταν διπλασίαν λέγωμεν τῆςδε καὶ τριπλασίαν ἢ ὅλως μείζονα καὶ ἐλάσσονα — καὶ μεγέθει, ὥσπερ ὅταν τρίτον ὀρθῆς λέγωμεν. ἡ δὲ νῦν κατὰ τὸ εἶδος δέδοται μόνον.
Χ, ὑγοόῦὶ]. Υ. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.
Πρόβλημα καὶ τοῦτο πεπερασμένην μὲν εὐθεῖαν ὑποτιθέμενον, ἐπειδὴ κατ᾽ ἀμφότερα ἄπειρον οὐδαμῶς
ἐστιν ὁρίσαι, τῆς δὲ κατὰ θάτερα μόνον ἀπείρου, ὅπουπερ ἂν ληφθῇ σημεῖον, εἰς ἄνισα ἡ τομὴ γίνεται· μείξων γὰρ ἐξ ἀνάγκης ἡ ἐφ᾽ ἃ ἡ ἄπειρος τῆς λοιπῆς πεπερασμένης οὔσης. λείπεται οὖν ἐπ’ ἄμφω πεπερασμένην λαμβάνειν τὴν δίχα τέμνεσθαι μέλλουσαν. ἴσως δ᾽ ἄν τινες ἐκ τούτου ) κινούμενοι τοῦ προβλή-
ματος ὑπονοήσειαν ὅτι προείληπται παρὰ τοῖρ γεωμέτραις ὡς ὑπόθεσις τὸ μὴ εἶναι τὴν γραμμὴν ἐξ ἀμερῶν. εἰ γὰρ εἴη, ἢ ἐκ περιττῶν ἐστιν ἡ πεπερασμένη ἢ ἐξ ἀρτίων. ἀλλ᾽ εἰ ἐκ περιττῶν, ἔοικεν καὶ τὸ ἀμερὲς τέμνεσθαι δίχα τῆς εὐθείας τεμνομένης, ἐπεὶ θάτερον αὐτῆς μέρος ἐκ πλειόνων ἀμερῶν ὑπάρχον ἔσται μεῖξον τοῦ λοιποῦ. οὐκ ἄρα δυνατὸν ἔσται τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν δίχα τεμεῖν, εἴπερ ἐξ ἀμερῶν τὸ μέγεθος. εἰ δὲ μὴ ἐξ ἀμερῶν, ἐπ᾽’ ἄπειρον διαἱρεῖται. ἔοικεν οὖν, φασίν, ὡμολογῆσθαι τοῦτο καὶ εἶναι ἀρχὴ γεωμετρικὴ τὸ μέγεθος τῶν εἰς ἄπειρον εἶναι διαιρουμένων. ἡμεῖς δέ γε τὸ τοῖ Γεμίνου πρὸς ταῦτα ἐροῦμεν, ὅτι τὸ μὲν διαιρετὸν εἶναι τὸ συνεχὲς κατὰ κοινὴν ἔννοιαν οἵ γεωμέτραι προλαμβάτὸ νουσιν. τοῦτο γὰρ εἷναί φαμεν συνεχὲς τὸ ἐκ μερῶν συνημμένων ὑφευτώς. πάντως δὲ τοῦτο καὶ διαιρεῖσθαι δυνατόν. ὅτι δὲ καὶ ἐπ᾽ ἄπειρον διαιρεῖται τὸ συνεχὲς οὐ προειλήφασιν ἀλλ᾽ ἀποδεικνύουσιν ἐκ τῶν οἰκείων ἀρχῶν. ὅταν γὰρ δεικνύωσιν ὅτι ἔστιν τὸ ἀσύμμετρον ἐν τοῖς μεγέθεσι καὶ οὐ πάντα σύμμετρα ἀλλήλοις, τί ἄλλο δεικνύναι φήσει τις αὐτοὺς ἢ ὅτι πᾶν μέγεθος εἰς ἀεὶ διαιρεῖται καὶ οὐδέποτε ἥξομεν εἰς τὸ ἀμερές, ὃ ἐστι κοινὸν μέτρον τῶν μεγεθῶν ἐλάχιστον. τοῦτο οὖν ἀποδεικτόν ἐστιν, ἐκεῖνο δὲ ἀξίωμα, ὅτι πᾶν συνεχὲς διαιρετόν, ὥστε καὶ ἡ πεπερασμένη γραμμὴ συνεχὴς διαιρετή ἐστιν. καὶ ἀπὸ ταύτης τῆς
θ ἐπι θάτερον Ἡ. 1 ἐστὶ ΟΘ.ςἁἩ 10 φησὶν ο Ι ὁμολογεῖσθαι Ὁ. 11 ἀρχὴν γεω δτρικὴν σ. 18 ἐνταῦθα Ὁ, πρὸς ταῦτα Ο6. 14 προσλαμβάνουσι Θ. 16 συνημμένον ΗἮ, ἐροπέθηςι8᾽ 8, “οοηθηυϊδ᾽ Ζ, [[ὑ ἐστῶς Ἡ, ὑφεστός Ο. 11τὸ
ἐννοίας ὁ στοιχειωτὴς διχοτομεῖ τὴν πεπερασμένην εὐθεῖαν, ἀλλ᾽ οὐχ ὡς προλαμβάνων ὅτι εἰς ἄπειρον
διαιρετή ἐστιν. οὐ γὰρ ταὐτὸν διαιρετὸν εἶναί τι καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον διαιρετόν. ἐλέγχοιτο δ᾽ ἂν διὰ τοῦ προ-
βλήματος τούτου καὶ ὁ Ξενοκράτειος λόγος ὁ τὰς ὁ
ἀτόμους εἰσάγων γραμμάς. ὅλως γὰρ δἰ ἔστι γραμμή, ἢ εὐθεῖά ἐστι καὶ δυνατὸν αὐτὴν δίχα τε] μεῖν, ἢ περιφερὴς καὶ μείζων ἐστὶν εὐθείας τινός — πᾶσα γὰρ περιφερὴς πάντως ἔχει τινὰ εὐθεῖαν ἐλάσσονα — ἢ μικτὴ καὶ πολλῷ πλέον αὕτη διαιρετή ἐστιν. εἴπερ ἐξ ἁπλῶν ἐστι διαιρετῶν.
᾿4λλὰ ταῦτα μὲν εἰς ἄλλην ἀναβεβλήσθω θεωρίαν. τέμνει δὲ δίχα τὴν πεπερασμένην εὐθεῖαν ὁ γεωμέτρης εἰς μὲν τὴν κατασκευὴν τῷ πρώτῳ καὶ τῷ ἐνάτῳ χρώμενος, εἰς δὲ τὴν ἀπόδειξιν τῷ τετάρτῳ μόνῳ. διὰ γὰρ τῶν γωνιῶν δείκνυσιν ἴσας τὰς βάσεις. ᾿4πολλώνιος δὲ ὁ Περγαῖος τέμνει τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τοῦτον τὸν τρόπον. ἔστω, φησίν,
ἡ αβ εὐθεῖα πεπερασμένη, ἣν δεῖ δίχα τεμεῖν, καὶ
ὦ α, διαστήματι δὲ τῷ αβ γεγράφθω κύκλος,
καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ β, διαστήματι δὲ τῷ βα ἕἔτερος κύκλος, καὶ ἐπεξζεύ-
ἐπεξεύχθωσαν γὰρ αἴ γα γβ — ἑκατέρα γὰρ ἴση τῇ αβ, κοινὴ δὲ ἡ γδ, καὶ ἡ δα τῇ δβ ἴση διὰ τὰ αὐτά· ἡ ἄρα ὑπὸ αγὸδ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ βγδ, ὥστε δίχα
τέτμηται ὁ αβ διὰ τὸ τέταρτον. τοιαύτη τίς ἐστιν καὶ
Ὁ ἡ κατὰ ᾿4πολλώνιον τοῦ προκειμένου προβλήματος ἀπόδειξις, ἀπὸ μὲν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ αὐτὴ ληφθεῖσα, ἀντὶ δὲ τοῦ λαβεῖν δίχα τεμνομένην τὴν πρὸς τῷ γ γωνίαν δεικνύουσα ὅτι δίχα τέτμηται διὰ τὴν ἰσότητα τῶν βάσεων. πολλῷ δὴ οὖν κρείττων ἡ
τοῦ στοιχειωτοῦ ἀπόδειξις καὶ ἁπλουστέρα καὶ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν.
χορ. ΧΙ, ὑγόθὶ 1. Τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἀπο τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
1ὅ Εἴτε πεπερασμένην κατ᾿ ἀμφότερα τὴν εὐθεῖαν λάβοιμεν, εἴτε κατ᾽ ἀμφότερα ἄπειρον, εἴτε ὡδὶ μὲν ἄπειρον, ὧδὶ δὲ πεπερασμένην καὶ τὸ σημεῖον ἐπ᾽ αὐτῆς, τοῦ γεωμέτρου προχωρεῖ ἡ κατασκευὴ τοῦ προκειμένου προβλήματος. κἂν γὰρ ἐπ᾽ ἄχρας τῆς 0 εὐθείας ἦ τὸ δοθὲν σημεῖον, προσεκβάλλοντες τὴν εὐθεῖαν τὰ αὐτὰ ποιήσομεν. δῆλον δὲ ὅτι τὸ μὲν σημεῖον ἐνταῦθα τῇ θέσει δέδοται ἐπὶ τῆς εὐθείας κείμενον μοναχῶς κατὰ τὴν θέσιν, ἡ δὲ εὐθεῖα κατὰ τὸ
4 τέμνεται ΟΘὄ. 8. τέμνεται ΟΘ. 10 καὶ δείο ἁπλουστέρα
Props. I.11–I.12: Perpendiculars, Apollonius & Oenopides’ Gnomon¶
Euclid: [I.12]
εἶδος δέδοται· μέγεθος γὰρ αὐτῆς ἢ ἢ λόγος ἣ θέσις οὐκ ἀφώρισται. ὁ μὲν οὖν στοιχειωτὴς τῷ πρώτῳ χρησάμενος θεωρήματι καὶ τῷ τρίτῳ καὶ ἑνὶ τῶν αἰτημάτων καὶ τῷ πρώτῳ καὶ τῷ ὀγδόῳ πρὸς τούτοις θεω-
ρήματι καὶ τῷ ὅρῳ τῆς πρὸς ὀρθὰς δείκνυσι τὸ προ-
κείμενον. εἰ δέ τινες τὸ σημεῖον ἐπ᾽ ἄχρας τῆς εὐθείας τιθέντες ἀξιοῖεν μὴ προσεχβάλλοντας ἡμᾶς ἄγειν ἀπὸ τούτου τὴν πρὸς ὀρθάς, δυνατὸν καὶ τοῦτο δείξομεν. [
ἔστω γὰρ αβ καὶ τὸ δοθὲν σημεῖον α, καὶ εἰλήφθω
ἐπὶ τῆς αβ τυχὸν τὸ γ ση- ε μεῖον καὶ ἀπὸ τούτου τῇ ᾿ αβ πρὸς ὀρθάς, ὡς ἐν τῷ στοιχείῳ μεμαθήχαμεν ἡ γε. καὶ ἴση ἀπὸ τῆς γὲ
ἀφῃφήσθω τῇ ἂγ ἡ ὃγ καὶ τετμήσθω δίχα ἡ πρὸς τῷ γ γωνία ὑπὸ τῆς γξ καὶ ἀπὸ τοῦ ὃ τῇ ἐγ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα συμπιπτέτω [ἡ δὲ] τῇ γξ κατὰ τὸ ξ, καὶ ἀπὸ τοῦ ξ ἐπὶ τὸ ἃ ἐπεξεύχθω ἡ ξα. λέγω ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ α γω-
τῷ ὃ. ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ πρὸς τῷ α. δέδεικται μὲν οὖν
τὸ προβληθέν᾽ ὁ δὲ στοιχειωτὴς οὐδὲν δεῖται τῆς
ἐπινοίας ταύτης. ἐπέταξεν γὰρ πρὸς ὀρθὰς γωνίας
ἀγαγεῖν γραμμήν, ἀλλ᾽ οὐ πρὸς μέαν ὀρθήν᾽ δεῖ οὖν
μὴ ἐπ᾽ ἄκρας τῆς εὐθείας λαμβάνειν τὸ σημεῖον, ἵνα
ἡ ἀγομένη εὐθεῖα γωνίας ποιῇ πρὸς τὴν ὑποχειμένην εὐθεῖαν, ἀλλὰ μὴ μίαν γωνίαν.
᾿Δπολλώνιος δὲ τὴν πρὸς ὀρθὰς ἄγει τὸν τρό-
πον τοῦτον. ἐπὶ τῆς αγ τυχὸν τὸ ὃ, καὶ ἀπὸ τῆς γβ
ἴση τῇ γὸ ἡ γε, καὶ κέντρῳ τῷ ὃ, τῷ δὲ εὃ διαστή-
· ματι γεγράφθω κύ-
. κλος. καὶ πάλιν κέν-
τρῷ τῷ ε, διαστήματι
δὲ τῷ δὲ κύκλος γε-
ι γράφθω, καὶ ἀπὸ τοῦ ξ ἐπὶ τὸ γ ἤχθω [ἡ ξγ7], λέγω ὅτι αὕτη ἐστὶν ἡ πρὸς ὀρθάς. ἐὰν γὰρ ἐπιξευχθῶσιν
αἴ ξὸ ξε, ἴσαι ἔσονται᾽ ἴσαι δὲ καὶ αἵ ὃ γε καὶ
κοινὴ ἡ ἔγ, ὥστε καὶ αἴ πρὸς τῷ γ γωνίαι ἴσαι διὰ τὸ ὄγδοον. ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν.
Πάλιν οὖν ὁρᾷς, ὅτι Ϊ ποικιλωτέρα ἡ ἀπόδειξις αὕτη τῆς παρὰ τῷ στοιχειωτῇ ἡ καὶ προσδεηθεῖσα τῆς τῶν κύκλων γραφῆς, ἐξὸν αὐτόθεν ἐπὶ τῆς δὲ γράψαι τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον καὶ δεῖξαι τὸ προκείμενον. πάντα γὰρ τὰ ἄλλα κοινὰ ταῖς ἀποδείξεσίν ἐστιν. τὴν
ὃΣ διὰ τοῦ ἡμικυκλίου δεῖξιν οὐδὲ λέγειν ἄξιον. πολλὰ γὰρ προλαμβάνει τῶν ὕστερον καὶ τῆς ἐν τῇ στοιχειώσει τάξεως ἀποπίπτει παντελῶς.
ΧΙ], ῥσοῦ]. 11. Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ὁ ἐπ᾿’ αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Τοῦτο τὸ πρόβλημα πρῶτον Οἰνοπίδης ἐξή τησεν χρήσιμον αὐτὸ πρὸς ἀστρολογίαν οἰόμενος. ὀνομάξει δὲ τὴν κάθετον ἀρχαϊκῶς κατὰ γνώμονα, διότι καὶ ὁ γνώμων πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ὁρίζοντι. τῆς δὲ τὸ πρὸς ὀρθὰς ἡ κάθετός ἐστιν αὕτη διαφέρουσα τῇ σχέσει μόνον, κατὰ τὸ ὑποκείμενον ἀδιάφορος οὖσα, ὥσπερ φασὶ καὶ ἡ κάθοδος. διττὴ δ᾽ αὖ κάθετός ἐστιν, ἡ μὲν ἐπίπεδος, ἡ δὲ στερεά. καὶ ὅταν μὲν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἡ τὸ σημεῖον, ἀφ᾽ οὗ ἡ κάθετος, καὶ ἡ εὐθεῖα, ἐπίπεδος λέγεται κάθετος, ὅταν δὲ μετέρον τὸ σημεῖον καὶ ἔξω τοῦ ὑποχειμένου ἐπιπέδου, στερεά. καὶ ἡ μὲν ἐπίπεδος πρὸς εὐθεῖαν ἄγεται, ἡ ὃὲ στερεὰ πρὸς ἐπίπεδον. διὸ καὶ ἀναγκαῖον ἐκείνην οὐ πρὸς μίαν εὐθεῖαν ποιεῖν γωνίας ὀρθάς, ἀλλὰ πρὸς πάσας τὰς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ. πρὸς γὰρ το ἐπίπεδον ἦν ἠγμένη κάθετος. ἐν τούτῳ τοίνυν ἡ στοιχειωτὴς τῷ προβλήματι κάθετον ἄγειν ἐπίπεδον προ-
τίθεται. πρός τὸ γὰρ εὐθεῖαν ἡ ἀγωγὴ προτίέθεται καὶ ὡς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ πάντων ὑποχειμένων ὁ λόγος πρόεισιν. Ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρὸς ὀρθάς, ἐπειδὴ τὸ σημεῖον
ἐπ᾿’ αὐτῆς εἴληπτο τῆς εὐθείας, οὐδὲν ἐδεόμεθα τῆς ἀπειρίας, ἐπὶ δὲ τῆς καθέτου τὴν δοθεῖσαν ἄπειρον ὑποτίθεται, ἐπειδὴ τὸ σημεῖον, ἀφ᾽ οὗ κάθετος ἀχθήσεται, ἔξω που κεῖται τῆς εὐθείας. εἰ γὰρ μὴ ἦν ἄπειρος, ἐξῆν οὕτω τὸ σημεῖον λαβεῖν, ὥστε ἔξω μὲν εἶναι τῆς δοθείσης, ἐπ᾿ εὐθείας δὲ ταύτῃ κείμενον ὡς ἐκβαλλομένην τὴν εὐθεῖαν ἐπ᾽ αὐτὸ πίπτειν, καὶ οὐ προἐχώρει τὸ πρόβλημα. διὸ ἄπειρον ἔθετο τὴν εὐθεῖαν, ἐὰν ἐφ᾽ ἑκάτερα αὐτῆς μόνως λαμβάνηται τὸ σημεῖον, μηδαμοῦ. χώρας ὑπολειπομένης αὐτῷ, καθ᾽ ἣν ἐπ᾽ 1· εὐθείας ἔσται τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ, εἰ μὴ μέλλοι πρὸς αὐτῇ κείσεσθαι καὶ οὐκ ἔξω αὐτῆς. ἄπειρος μὲν οὖν ἡ εὐθεῖα δέδοται διὰ [ τοῦτο, ἐφ᾽ ἣν ἡ κάθετος ἀχθήσεται’ πῶς δὲ ὅλως ὑπόστασιν ἔχει τὸ ἄπειρον, ἄξιον θεωρῆσαι. δῆλον γὰρ ὅτι 3. εὐθείας ἀπείρου οὔσης ἔσται καὶ ἐπίπεδον ἄπειρον, καὶ ταῦτα κατ᾽ ἐνέργειαν, εἴπερ ἔσται τὸ προβληθέν. ὅτι μὲν οὖν ἐν τοῖς αἰσθητοῖς οὐδέν ἐστι μέγεθος ἄπειρον κατ᾽ οὐδεμίαν διάστασιν, ἱχανῶς ὅ τὸ δαιμόνιος ᾿Αριστοτέλης καὶ οἵ ἀπ’ αὐτοῦ παραδεξάμενοι : τὴν φιλοσοφίαν δεικνύουσιν. οὔτε γὰρ τὸ χύχλω κινούμενον ἄπειρον εἷναι ἐνδέχεται οὔτε τῶν ἄλλων
σωμάτων τῶν ἁπλῶν οὐδέν. ἔστι γὰρ ἑχάστου τόπος ὡρισμένος. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ἐν τοῖς χωριστοῖς καὶ ἀμεφέσι λόγοις εἷναι τὸ τοιοῦτον ἄπειρον δυνατόν. εἰ γὰρ μηδὲ διάστασίς ἐστιν ἐν ἐχείνοις μήτε μέγεθος,
σχολή, εἰ ἄπειρον εἴη μέγεθος. λείπεται δὴ οὖν ἐν τῇ
φαντασίᾳ τὸ ἄπειρον ὑφίστασθαι μόνον οὐ νοούσης τὸ ἄπειρον τῆς φαντασίας. ἅμα γὰρ νοεῖ καὶ μορφὴν ἐπάγει τῷ νοουμένῳ καὶ πέρας, καὶ τῇ νοήσει τὴν τοῦ φαντάσματος ἴστησι διέξοδον, καὶ διέξεισιν αὐτὸ καὶ περιλαμβάνει. οὐ νοούσης τοίνυν ἐστὶν τὸ ἄπειρον ἀλλ᾽ ἀορισταινούδης περὶ τὸ νοούμενον καὶ μὴ νοούσης μᾶλλον καί, ὅσον ἀκαταμέτρητον ἀφίησι καὶ ἀπερίληπτον νοήσει, τοῦτο ἄπειρον λεγούσης. ὥσπερ γὰρ τὸ σκότος τῷ μὴ ὁρᾷν ἡ ὄψις γινώσκει, οὕτως ἡ φαντασία τὸ ἄπειρον τῷ μὴ νοεῖν. γεννᾷ μὲν οὖν αὐτὸ τῷ δύναμιν ἔχειν ἀμερῆ προϊέναι δυναμένην ἀκαταλήκτως, νοεῖ δὲ ὡς ὑποστὰν ὅτι μὴ νοεῖ τὸ ἄπει-
ρον. ὃ γὰρ ἀφῆκεν ὡς ἀδιεξίτητον, τοῦτο ἄπειρον λέγει, ὥστε τὴν ἄπειρον γραμμὴν τὴν δοθεῖσαν ἐν τῇ φαντασίᾳ θέμενοι, καθάπερ δὴ καὶ τὰ ἄλλα πάντα γεωμετρίας εἴδη, τὰ τρίγωνα, τοὺς κύκλους, τὰς γωνίας, τὰς γραμμάς, οὐ θαυμασόμεθα, πῶς κατ᾽ ἐνέργειαν ἄπειρός ἐστι γραμμὴ καὶ προστίθησιν ἀορισταίνουσα ταῖς ὡρισμέναις νοήσεσιν. ἡ δὲ διάνοια, παρ᾽ ἧς οἷ λόγοι καὶ αἴ ἀποδείξεις, οὐ πρὸς τὴν ἐπιστήμην χρῆται τῷ ἀπείρῳ — τὸ γὰρ ἄπειρον ὅλως ἐπιστήμῃ
σχολή, εἰ] σχολὴ γ᾽ ἂν δὼ Ο, σχολῆς γ᾽ ἂν Ο4, “ναλ 0 τηΐὨπ8᾽ 2, τι τ λ τὸ ἣν δὴ] δὲ Ὁ. ᾿ 8 ν οτὴ. Οἵ, δὰᾷ, Ο.
περιληπτὸν οὐχ ἔστιν — ἀλλ᾽ ἐξ ὑποθέσεως παραλαβοῦσα τῷ πεπερασμένῳ μόνῳ χρῆται πρὸς τὴν ἀπόδειξιν, καὶ οὐ τοῦ ἀπείρου ἕνεκα τὸ ἄπειρον ἀλλὰ τοῦ πεπερασμένου λαμβάνει, ἐπεί, εἴ γε δοίης αὐτῇ, μήτε ἐπ’ εὐθείας κεῖσθαι τῇ πεπερασμένῃ τὸ δοθὲν σημεῖον, μήτε οὕτως ἀφεστάναι τῆς εὐθείας, ὥστε μηδὲν μέρος αὐτῆς ὑποκεῖσθαι τῷ σημείῳ, οὐδὲν ἔτι τοῦ ἀπείρου δεήσεται. ἵν᾽ οὖν τῇ πεπερασμένῃ χρωμένη ἀνελέγκτως χρήσηται καὶ ἀναμφισβητήτως, εἶναι τὸ
ἄπειρον ὑποτίθεται τῇ τῆς φαντασίας ᾿ ἀοριστίᾳ τῆς τοῦ ἀπείρου γενέσεως ὑποβάθρᾳ χρωμένη.
Περὶ μὲν οὖν τῆς ὑποθέσεως τοῦ ἀπείρου τοσαῦτα πρὸς τὸ παρὸν ἀρκέσει. μετὰ δὲ ταῦτα χωρῶμεν ἐπὶ τὰς ἐνστάσεις τὰς πρὸς τὴν κατασκευὴν τοῦδε τοῦ
1 προβλήματος. εἰλήφθω γάρ, φασίν, εὐθείας οὔσης
ἀπείρου τῆς αβ καὶ σημείου δοθέντος, ἀφ᾽ οὗ δεῖ τὴν κάθετον ἀγαγεῖν, τοῦ γ ἐπὶ θάτερα Ξὺς σημεῖον τὸ ὃ, καθά φησιν ὁ
ὃ αν γεωμέτρης, ἀλλ᾽ ὁ κχύχλος ὁ τέμνων τὴν αβ εὐθεῖαν κατά
ἐπεξζεύχθω ἡ γθ καὶ ἐχβεβλήσθω μέχρι τῆς περιφερείας, καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἴ γα γβ. ] ἐπεὶ οὖν αὗται ἐκ κέντρου, καὶ ἡ αθ’ τῇ 9β ἴση, κοινὴ δὲ ἡ γθ, πάντα ἴσα πᾶσιν. ὀρθὰς ἄρα ποιεῖ πρὸς τῷ ὃ γωνίας ἡ γθ. πάλιν ἐπεὶ ἡ γα γβ ἴσαι, γωνίας ἴσας ποιοῦσι πρὸς κ5
τοῖς ἃ καὶ β σημείοις. ἀλλὰ καὶ ἡ γα τῇ γξ ἴση, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ γαξ ἴση τῇ ὑπὸ [γξα, καὶ ἡ γβ τῇ γξ ἴση, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ γξβ ἴση τῇ ὑπὸ] γβξ. ἐπεὶ οὖν αἱ πρὸς τῷ ἃ καὶ β ἴσαι, καὶ ἡ ὑπὸ γξα τῇ ὑπὸ γξβ ἴση, καί εἰσιν ἐφεξῆς, ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν. ἐστὶν δὲ τὸ ὀρθὴ καὶ ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ ὃ, ἴση ἄρα ἡ γθ τῇ γξ, ἀλλὰ καὶ ἡ γξ τῇ γὸ ἴση – ἐκ κέντρου γάρ — ἡ ἄρα γθ8 τῇ γὸ ἴση, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα κατ᾽ ἄλλο σημεῖον ὁ κύκλος τέμνει τὴν αβ εὐθεῖαν. εἰ δὲ λέγοι τις ὅτι ὁ γραφόμενος κύκλος κατὰ τὸ ξ διχοτομείτω τὴν αβ, πάλιν τὸ αὐτὸ δείξομεν ἀδύνατον.
γεγράφθω γὰρ καὶ ἡ ξβ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ θ.
ῷ γὰ γβ]) “ε6, 6·, οὉ 8. ἢ ῬΡοδὲ γβ αἀδυπὶ ΠΥ, δ: καὶ ἡ αθ τῇ θβ ἴση κοινὴ ἡ γθ8 καὶ ἐκβεβλήσθω μέχρι τῆς περι-
ἐπεὶ οὖν ἴσαι αἴ αξ ἐβ, κοινὴ δὲ ἡ γξ, καὶ βάσις ἡ γα τῇ γβ ἴση, πάντα ἴσα Ι πᾶσιν, ὥστε ὀρθαὶ αἵ πρὸς τῷ ξ γωνίαι. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ ἐθ
Ἷ τῇ ὃβ καὶ κοινὴ ἡ γθ, ἐπιξευ-
ὄ χθεῖσα δὲ ἡ γξ βάσις ἴση τῇ γβ εν - ἐκ κέντρου γάρ — ὐὀρθαί εἰσιν 5. αἴ πρὸς τῷ ὃ γωνίαι. ἴσαι γάρ
εἰσι καὶ ἐφεξῆς. ἐπεὶ οὖν ν ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ γέξθ
γθξ, ἴση ἐστὶν ἡ γέ τῇ γθ. ἀλλὰ ἡ γέ τῇ γε ἴση –
1 ἐκ κέντρου γάρ εἰσιν — ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ γθ τῇ γε, ὕπερ ἀδύνατον. λείπεται δὴ τὴν τρίτην ἔνστασιν διἐλθεῖν. τεμνέτω γάρ, φασίν, ὁ γραφόμενος κύκλος
τὴν εὐθεῖαν κατά τε τὰ α β καὶ κατὰ τὰ ξ 8. σημεῖα.
“πος τεμόντες οὖν ἡμεῖς δίχα τὴν 1δ ΄ Ἔς αβ κατὰ τὸ κ καὶ ἐπιξεύξαντες Ἷ ᾿ ἷ τὰς γα γξ γχα γβ δείξομεν τὸ
.-:-285Ξ:-: ἀδύνατον. ἐπεὶ γὰρ ἴσαι αἴ ακ Ἕ χ᾽ Α ν,ᾳβ καὶ κοινὴ ἡ γα καὶ αἵ βάσεις αἴ γα γβ ἴσαι [ὀρθαὶ αἴ πρὸς τῷ κ], καὶ αἴ πρὸς
80 τοῖς α β γωνίαι ἴσαι. ἀλλὰ ἴση ἑκατέρα [τῶν γα γβ] τῇ γξ᾽ ὀρθαὶ ἄρα καὶ αἱ πρὸς τῷ ξ — ἴσαι γάρ εἰσιν
δὲ] καὶ δ. 6θ ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν ΟΘὅ. 11 δὴ] δὲ 6.
ἐφεξῆς οὖσαι — ἴση ἄρα ἡ γξ τῇ γκ᾽ ὀρθὰς γὰρ ὑποτείνουσιν. ἀλλὰ ἡ γᾷ ἴση ἐστὶν τῇ γὸ — ἐκ κέν-
τρου γάρ εἰσιν — ἡ ἄρα γὸ τῇ γκ ἴση ἐστίν, ὕπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δυνατὸν οὔτε καθ᾽ ἕν σημεῖον
οὔτε κατὰ δύο ἄλλα τὸν γραφόμενον κύκλον τέμνειν
τὴν αβ εὐθεῖαν παρὰ τὰ α β σημεῖα.
Αἱ μὲν οὖν ἐνστάσεις αὗται εἰσὶν δὲ καὶ πτώσεις τῆς τοῦ προβλήματος κατασχευῆς, ἃς δεῖ χωρίξειν ἀπὸ τῶν ἐνστάσεων. οὐ γὰρ ταὐτὸν πτῶσις καὶ ἔνστασις, ἀλλ᾽ ἡ μὲν τὸ αὐτὸ δείκνυσιν ἄλλως, ἡ δὲ εἰς ἀτοπίαν ἐπάγει τὸ ἐνιστάμενον. οἵ ὃὲ ἐξηγηταὶ μὴ διακρίνοντες ταῦτα ἀπ᾿ ἀλλήλων, πάντα φέρουσιν εἰς ταὐτὸ καί εἰσιν ἄδηλοι, πότερον πτώσεις ἡμῖν ἢ ἐνστάσεις ἐπαγγέλλονται γράφειν. ἡμεῖς οὖν διελόμενοι χωρὶς μετὰ τὰς ἐνστάσεις τὰς πτώσεις συνάγομεν. ἔστω οὖν εὐθεῖα ἄπειρος ἡ
αβ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον δ· τὸ γ. λέγει οὖν τις ὅτι ; οὐχ ἔστιν τόπος ἐπὶ θά- Σ ‘
τερα τῆς εὐθείας, ἀλλ᾽ ἐφ᾽ κα ᾿
Γ νι γΓπ ’ “᾿ θ ἃ κεῖται τὸ [γ. [[ λαβόντες
οὖν ἐπὶ τῆς εὐθείας} σημεῖον τὸ ὃ κέντρῳ τῷ γ καὶ
διαστήματι τῷ γδ κύκλου περιφέρειαν γράψομεν τὴν
1 ὀρθαὶ 11. ὃ ἀλλὰ Ἡ, ·ἀλλὰ Οθ. 14 ἀπαγγέλλονται Ο, ἐπαγγέλλονται Ὁ. δ τὰς πτώσεις οτὴ. Ἦ,, 6.
Props. I.13–I.15: Adjacent & Vertical Angles (Thales) & Porisms¶
Euclid: [I.15]
δεξ καὶ τεμόντες δίχα κατὰ τὸ ὃ τὴν δξ ἐπιξεύξομεν τὰς γὸ γθ γξ᾽ ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ὁ τῇ δ, κοινὴ δὲ ἡ γὃ καὶ ἡ γὸ τῇ γξ ἴση – ἐκ κέντρου γάρ –, αἵ πρὸς τῷ ὃ ἄρα γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἐφεξῆς, ὀρθαὶ ἄρα ὁ εἰσίν. κάθετος ἄρα ἡ γθ ἐπὶ τὴν δξ. καὶ μὴν καὶ εἴ τις λέγοι τὸν γραφόμενον κύχλον μὴ τέμνειν τὴν αβ εὐθεῖαν, ἀλλ’ ἐφάπτεσθαι ὡς τὸν δε, λαβόντες ἐξωτέ-
ρω σημεῖον τὸ ε κέντρῳ τῷ
γ χρώμενοι καὶ διαστήματι τῷ γε ὥσπερ ἐπὶ τοῦ λεχθέντος ἕξομεν τὸ ζητούμένον.
Τοσαῦτα καὶ περὶ τῶν τοῦ προβλήματος πτώσεων
εἰρήσθω γυμνασίας ἕνεκα τῶν ἐντυγχανόντων᾽ εἰ δὲ δεῖ καὶ θεωρίαν προσθεῖναι τοῖς δύο τούτοις προβλήμασιν, ἔοικεν ἡ μὲν πρὸς ὀρθὰς ἀναγομένη μιμεῖσθαι ξωὴν αἰρομένην εἰς ὕψος ἀπὸ τῶν κοιλοτέρων καὶ ἀχράντως ἀνιοῦσαν καὶ μένουσαν ἄκλιτον πρὸς τὰ
χείρονα, ἡ δὲ κάθετος ζωῆς μὲν εἰκὼν εἶναι κατιούσης τὴν κάθοδον καὶ τῆς κατὰ γένεσιν ἀοριστίας οὐκ ἀναπιμπλαμένης. ἡ γὰρ ὀρθὴ γωνία τῆς ἀκλινοῦς ἐστι καὶ τῇ ἰσότητι καὶ τῷ ὅρῳ καὶ τῷ πέρατι συνεχομένης
ἐνεργείας σύμβολον, ὅθεν δὴ καὶ ὁ Τίμαιος τὸν θατέρου κύχλον τὸν τοὺς λόγους ἔχοντα τῶν αἰσθητῶν ἐπὶ τῆς θείας ψυχῆς ὀρθὸν προσείρηκεν. ἐπὶ γὰρ τῶν ἡμετέρων κλᾶται παντοίας κλάσεις καὶ διαστροφὰς ὑπομένει ποικίλας ἀπὸ τῆς γενέσεως, ἐπὶ δὲ τῶν ὅλων ἄχραντος καὶ ἀρρεπὴς ἴδρυται πρὸ τῶν αἰσθητῶν. εἰ δὲ καὶ ἡ εὐθεῖα ἡ ἄπειρος σύμβολόν ἐστιν τῆς γενέσεως ὕλης τῆς ἀπείρως καὶ ἀορίστως κινουμένης καὶ αὐτῆς τῆς ὕλης τῆς μηδένα ὅρον μηδὲ μορφὴν λαχούσης, τὸ δὲ ἔξω κείμενον σημεῖον τῆς ἀμεροῦς οὐσίας καὶ τῶν ἐνύλων ἐξηρημωμένης εἰκόνα φέροι, πάντως ποῦ καὶ ἡ ἀγομένη κάθετος ἀπομιμοῖτο ἂν τὴν ἐχ τοῦ ἑνὸς καὶ ἀμερίστου προϊοῦσαν ξωὴν ἀχράντως εἰς τὴν γένεσιν. εἰ δὲ καὶ οὐκ ἄλλως δείκνυται οὖσα ἡ κάθετος ἢ ἀπὸ τῶν κύκλων, ἔχοι ἂν ἔνδειξιν καὶ τὸ τοῦτο ] τῆς διὰ τὸν οῦν ταῖς ἑωαῖς ὑπαρχούσης ἀρρεψίας. αὐτὴ μὲν οὖν καθ᾽ ἑαυτὴν ἡ ζωὴ ἅτε κίνησις οὖσα ἀόριστός ἐστιν, ὁρίξεται δὲ καὶ ἀχράντου πληροῦται δυνάμεως νοῦ μετασχοῦσα καὶ νῷ συμπροϊοῦσα.
Ι Ργορ. ΧΙΠ, ἰβθοσ. ΥἿ. Ὡς ἂν εὐθεῖα ἐπ’ εὐ- Ὁ θεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθάς, ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.
Πάλιν ἐπὶ τὰ θεωρήματα μεταβέβηκεν ἑπόμενος τοῖς διὰ τῶν προβλημάτων δεδειγμένοις. ἐπεὶ γὰρ
ὅτι 6. 8 ὀρθὴν κοοποήμεν Ὁ : 4 κλύσεις (.
ἧκται κάθετος ἐπὶ εὐθεῖαν καὶ πρὸς ὀρθάς, ἑπόμενον ἦν ξητῆσαι, εἰ μὴ κάθετος εἴη, τίνας ποιήσει γωνίας καὶ πῶς ἐχούσας πρὸς τῇ εὐθείᾳ ἡ ἐπ᾽ αὐτῆς σταθεῖσα. τοῦτο τοίνυν καθόλου δείκνυσιν, ὅτι πᾶσα εὐθεῖα ἐπ᾽
εὐθείας τινὸς σταθεῖσα καὶ ποιοῦσα γωνίας ἢ δύο ποιεῖ ὀρθάς, εἰ ἀπαρέγκλιτος αὐτῆς ἡ στάσις εἴη καὶ ἀρρεπὴς ἐφ᾽ ἑκάτερα, ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, εἰ τῇ μὲν ἐπικλίνοιτο, τῇ δὲ πλέον ἀφεστήκοι τῆς ὑποκχειμένης εὐθείας. ὅσον γὰρ ἀφαιρεῖ τῆς μιᾶς ὀρθῆς κατὰ τὴν
ἐπὶ θάτερα κλέσιν, τοσοῦτον προστίθησι τῇ λοιπὴ κατὰ τὴν ἀπόστασιν.
Δεῖ δὲ ἐφιστάνειν, ὕπως κἀν ταύτῃ τῇ προτάσει τῆς ἀκριβείας ὁ γεωμέτρης ἐφρόντισεν. οὐ γὰρ ἁπλῶς εἶπεν ὅ ὅτι πᾶσα εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθείας στᾶσα ἢ δύο ὀρθὰς
τὸ ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, ἀλλὰ ἐὰν γωνίας ποιῇ. τί γάρ, εἰ ἐπ᾿ ἄκρας ἱσταμένη τῆς εὐθείας μίαν ποιεῖ γωνίαν, ἐνδέχεται ταύτην ἴσην εἶναι δύο ὀρθαῖς: ἀδύνατον δήπου. πᾶσα γὰρ εὐθύγραμμος γωνία δύο ὀρθῶν ἐλάσσων ἐστίν, ὥσπερ πᾶσα στερεὰ τεττάρων
ὀρθῶν ἐλάσσων. κἂν τὴν ἀμβλυτάτην οὖν δοκοῦσαν εἶναι λαμβάνῃς, αὐξήσεις καὶ ταύτην ὡς οὔπω τὸ μέτρον ἀπολαβοῦσαν τῶν δύο ὀρθῶν. δεῖ τοίνυν οὕτως ἐφιστάναι τὴν εὐθεῖαν, ὥστε γωνίας ποιεῖν.
Τοῦτο μὲν οὖν, ὅπερ ἔφην, τῆς ἐπιστημονικῆς
45 ἀχριβείας. τί δὲ βουλόμενος προσέθηκεν τὸ ἢ δύο ὀρθὰς ποιεῖν ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας; καὶ γάρ, ὅταν
8–,΄ἢὸδΘ ᾽ πῶς ἐχούσας … ποιοῦσα γωνίας Οἵα, Ο, Ο αἀᾶϊὶ πῶς ἐχούσας… σταθεῖσα, οταῖδεϊς τοῦτο τοίνυν ἜΣ τινὸς σταθεῖσα, δὐάϊξ καὶ ποιοῦσα γωνέας. ὁ εἴη] ἢ Ἡ, ἡ 6.
ποιῇ δύο ὀρθᾶς, δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ. ἑαυταῖς γὰρ ἴσαι αἱ ὀρθαί. ἦ τὸ μέν ἐστι κοινὸν καὶ τῶν ἴσων (9) γωνιῶν, τὸ δὲ ἴδιον τῶν ἴσων μόνων; εἰώθαμεν δέ, ὅταν μὲν καὶ τὸ ἴδιον ᾿ ἀληθεύῃ, καὶ τὸ κοινὸν ἀπὸ τοῦ ἰδίου σημαίνειν ἕκαστον, ὅταν δὲ ἐκείνου μὴ τυγχάνωμεν, ἀρκεῖσθαι τῷ κοινῷ πρὸς τὴν δήλωσιν τῶν ὑποκειμένων πραγμάτων. τὸ μὲν οὖν ἴσας ὀρθαῖς εἶναι τὰς ἐφεξῆς κοινόν ἐστι καὶ τῶν ὀρθῶν, ἀλλ᾽ οὐ μόνων αὐτῶν κατηγορεῖται, τὸ δὲ ὀρθὰς εἶναι τῆς ἰσότητος αὐτῶν ἐξαίρετον ὑπάρχει. μόνον δὴ οὖν ῥηθὲν τὸ ἴσας εἶναι δυσὶν ὀρθαῖς τὰς ἀνίσους σημαίνει᾽ ταύταις γὰρ ἐπαληθεύεται μόνον, ταῖς δὲ ἴσαις οὔ. καὶ τοῦτο καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἀντιδιαιρεῖται ταῖς δυσὶν ὀρθαῖς. αὐτὸ γὰρ καθ᾽ ἑαυτὸ τοῦτο λεγόμενον τῶν ἐφ᾽ ἑκάτερα ἀνίσων ἐστὶν σημαντικόν. ἔξεστί γε μὴν καὶ διὰ τούτων συνορᾶν, ὅπως ἡ ἰσότης καὶ τῆς ἀνισότητός ἐστι μέτρον καὶ ὅρος. εἰ γὰρ καὶ ἀόριστός ἐστι καὶ ἄπειρος ἡ τῆς ἀμβλείας γωνίας καὶ τῆς ὀξείας μείωσίς τε καὶ αὔξησις, ὅμως περαίνεσθαι καὶ ἀφορίξεσθαι λέγεται παρὰ τῆς ὀρθῆς. καὶ ἑκατέρα μὲν χωρὶς ἀφίσταται (9) καὶ ἀφίσταται τῆς πρὸς ἐκείνην ὁμοιότητος, ἀμφότεραι δὲ κατὰ μίαν ἕνωσιν ἐπανἄγονται πρὸς τὸν ὅρον τὸν ἐκείνης. ἐπειδὴ δὲ πρὸς τὴν ἁπλότητα τῆς ὀρθῆς ἀδυνατοῦσιν ἐξισοῦσθαι,
διπλασιαξζομένης αὐτῆς τὴν ἰσότητα καταδέχονται. παράδειγμα τῆς ἀπειρίας αὐτῶν ἡ δυὰς ἀόριστος οὖσα καθ᾽ αὑτήν. καὶ τοῦτο ἐναργῆ φέρειν ἔοικεν εἰκόνα τῆς τῶν πρωτουργῶν αἰτίων καὶ καθ᾽ ἕνα ὅρον ἑστώὅτων ἀεὶ ὡσαύτως περὶ τὴν ἀπειρίαν τῆς γενέσεως προόδου. πῶς γὰρ ἄλλως ἡ γένεσις ἡ τοῦ μᾶλλον μετέχουσα καὶ ἧττον καὶ ἀορίστως φερομένη συναρμόξεται τοῖς νοητοῖς καὶ συνεξισοῦταί πως αὐτοῖς διὰ τῆς μεθέξεως ἢ ταῖς γονίμοις δυνάμεσιν ἐχείνων προἰόντων καὶ ἑαυτὰ πολλαπλασιαζόντων μόνον; τὰ γὰρ ἐν τῇ ἑαυτῶν ἁπλότητι καὶ ἀμερείᾳ παντελῶς ἐξήρηται τῶν γενητῶν. Τοσαῦτα καὶ ἀπὸ τούτου τοῦ θεωρήματος εἰς τὴν τῶν ὅλων γνῶσιν παραληπτέον.
Ῥγορ. ΧΙΠΙῚ, ἐμοοσ. ΥΠ. Ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι ἑξῆς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀὁρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ᾽ εὐθείας ἔσονται ἀλλή-
λαις αἱ εὐθεῖαι.
Τοῦτο τὸ θεώρημα τοῦ ἀποδειχθέντος ἐστὶν ἀντίστροφον. ἕπεται γὰρ ἀεὶ τὰ ἀντίστροφα τοῖς προηγουμένοις θεωρήμασιν. ἐκείνου τοίνυν συστήσαντος εὐθεῖαν ἐπ᾽ εὐθείας καὶ δείξαντος ὅτι τὰς ἐφεξῆς ἢ δύο ὀρθὰς ποιεῖ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας, τοῦτο λαμβάνει
μὲν πρὸς εὐθείᾳ τινὶ δύο γιγνομένας ὀρθάς, ] δείκνυσι
ὃδ ὅτι μία ἐστὶν εὐθεῖα ἡ ταῦτα ποιοῦσα πρὸς τῇ εἰρημένῃ εὐθείᾳ. τὸ τοίνυν ἐν ἐκείνῳ δεδομένον ἐν τούτῳ ζητεῖται καὶ δείχνυται διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς. οὕτω γὰρ φιλεῖ τὰ ἀντίστροφα δείκνυσθαι τῶν θεωρημάτων. ἐν δέ γε τοῖς προβλήμασι καὶ προηγουμένας ἐπιδέχεται κατασκευάς.
Ἔξεστι δὲ κἀν τούτῳ τὴν ἀκροτάτην ἀχρίβειαν καὶ ἀνυπέρβλητον τῆς ἐπιστημονικῆς ἑρμηνείας ὁρᾶν.
πρῶτον μὲν γὰρ εἰπὼν Ἐὰν πρός τινι εὐθθεία προστίθησιν καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείφ. τί γάρ, εἰ το δύο περάτων ὄντων τῆς εὐθείας ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἤχθη, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, καὶ δύο ἐποίουν ὀρθαῖς ἴσας τὰς πρὸς τῇ εὐθείᾳ γωνίας; ἀρα διὰ τοῦτο ἐπ᾽ εὐθείας εἷναι ἠδύναντο; καὶ πῶς αἴ ἀπὸ διαφό ρων τῆς αὐτῆς εὐθείας ἠγμέναι σημείων; διὰ δὴ τοῦτο ιτὅ προσέθηκεν τὸ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ ἀμφοτέφας πρὸς ἑνὶ σημείῳ κεῖσθαι βουλόμενος. δεύτερον δέ, ἐπειδὴ καὶ πρὸς τῷ αὐτῷ τῆς εὐθείας εἶναι σημείῳ τὰς ἀγομένας δυνατὸν ἦν καὶ μὴ εἶναι ἐφεξῆς — μυρίας γὰρ εὐθείας πρὸς ἑνὶ σημείῳ λαβεῖν ἐνδέχεται - προσέθηκεν τὸ δύο εὐθεῖαι ἑξῆς. τρίτον δέ, ἐπεὶ τὸ ἑξῆς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐφ᾽ ἑκάτερα θεωρεῖται, τὰς δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κειμένας ἑξῆς ἐπ᾿ εὐθείας ἀλλήλαις ἀδύνατον εἶναι, τοῦτο μὲν ἀπἔφησεν, παρέσχεν δὲ ἡμῖν ἐννοεῖν ὅτι ἐφ᾽ ἑκάτερα ληπτέον τῇ θέσει τὰς ἐφεξῆς. αὗται γὰρ δυνήσονται
εὐθείᾳ δύο εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη αἱ βγ βὸ. αὗται τοίνυν ἑξῆς μέν εἰσιν ἀλλήλαις· ἄλλη γὰρ αὐτῶν οὐκ ἔστιν εὐθεῖα μεταξύ. ταῦτα δὲ ἦν ἐφεξῆς, ὧν μηδέν ἐστιν ὅμοιον μεταξύ. καὶ γὰρ κίονας τού.Ὑ τοὺυς ἐφεξῆς λέγομεν, ὧν μή ἐστιν
ἄλλη κίων ἐν μέσῳ᾽ καίτοι γε ἀήρ
ἐστι πάντως μέσος, ἀλλ᾽ οὐδὲν ὁμο-
γενὲς μεταξύ. διὰ δὴ οὖν τὸ ἐπὶ τὰ
αὐτὰ μέρη κεῖσθαι τὸ ἐπ᾽ εὐθείας δ᾽ οὐκ ἔχουσιν, εἰ καὶ δύο ποιοῦσι γω-
νίας ὀρθαῖς ἴσας τὰς πρὸς τῇ αβ γωνίας. κωλύει γὰρ οὐδὲν μιᾶς μὲν εἶναι καὶ τρίτου τὴν ὑπὸ αβδ, τοῦ
δὲ λοιποῦ διμοίρου τὴν ὑπὸ αβγ.
15 ] Τοσαῦτα περὶ τῆς προτάσεως· ἐν δὲ τῇ κατασχευῇ χρῆται ἑνὶ αἰτήματι τῷ δευτέρῳ τῷ πᾶσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἐπ᾽ εὐθείας ἐκβάλλειν αἰτουμένῳ, καθάπερ ἐν τῇ ἀποδείξει τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι, καὶ δυσὶν ἀξιώμασι, τῷ τε τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα
0 [καὶ ἀλλήλοις ἴσα] καὶ τῷ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ τὰ λοιπὰ εἶναι ἴσα, πρὸς δὲ τὴν τοῦ ἀδυνάτου συναγωγήν, ὅτι τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζόν ἐστιν. ἦν δὲ καὶ ἴσον μιᾶς τῆς κοινῆς γωνίας ἀφῃρημένης, ὕπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
Ὅτι δὲ ἄρα δυνατὸν πρὸς τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθείας ἑξῆς κειμένας ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέντοι μέρη δύο ποιεῖν ὀρθαῖς ἴσας τὰς πρὸς τῇ μιᾷ εὐθείᾳ γωνίας, δείξομεν οὕτως, ὥσπερ Πορφύριος. ἔστω τις εὐθεῖα ἢ αβ καὶ σημεῖον τὸ τυχὸν ἐπ᾽ αὐτῆς τὸ γ, καὶ τῇ αβ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ γδ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ὃγβ τῇ γε, καὶ ἀπὸ τοῦ ε κάθετος ἡ εβ, καὶ · ἐκβεβλήσθω ἡ εβ, καὶ κείσθω τῇ εβ ἴση ἡ βξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ γξ ἐπεὶ οὖν
ἴση ἡ εβ τῇ βξ, κοινὴ δὲ ἡ βγ καὶ γωνίας ἴσας περι-
ἔχουσιν — ὀρθαὶ γάρ εἰσιν —, βάσις ἄρα ἡ εγ βάσει ιὉ
τῇ γξ ἴση καὶ πάντα δὴ πᾶσιν. ἡ ἄρα ὑπὸ εγβ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ἔγβ᾽ ἡμίσεια δὲ ὀρθῆς ἡ ὑπὸ εγβ — δίχα γὰρ τέτμηται ὀρθὴ τῇ ἐγ — ἡμέσεια ἄρα ὀρθῆς ἐστιν ἡ ὑπὸ ξἔγβ’ μιᾶς ἄρα καὶ ἡμισείας ὀρθῆς ἐστιν
ἡ ὑπὸ δγξ᾽ ἐστὶν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ δγε ἡμίσεια ὀρθῆς· Ὁ
πρὸς τῇ γὸ ἄρα εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ
ὁ τὸ δοίθ ευχὸν οι. Ο. 14 κοινὴ δέ ἐστιν ἡ βγ Ο.} ἴσας οι. Μ. 18 τέμνεται α. ἢ ὀρθῆ ΜΗ. τῇ ξγ]) ἡ ἐγξσ,
οοττ. (. ἢ ἡμίσεια “τὰ ἡμισείας ὀρθῆς Μ. ιθὴ ὑπὸ ἔγβ᾽
γ δύο εὐθεῖαι ἑξῆς κεῖνται ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη αἴ γε γξ ποιοῦσαι δύο ὀρθαῖς ἴσας γωνίας, ἡμίσειαν μὲν ἡ γε, μίαν δὲ καὶ ἡμίσειαν ἡ γξ. ἵν᾽ οὖν μὴ ξητῶμεν
ἀδύνατα, πῶς αἴ γε γξ, ποιοῦσαι τὰς πρὸς τῇ ὃγ 6 γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας, ἀλλήλαις εἰσὶν ἐπ᾽ εὐθείας,
προσέθηκεν ὁ γεωμέτρης τὸ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
δεῖ τοίνυν ἐφ᾽ ἑκάτερα τῆς εὐθείας κεῖσθαι τὰς ποι-
οὔσας πρὸς αὐτὴν δυσὶν [ ὀρθαῖς ἴσας τὰς γωνίας,
ἀφ᾽ ἑνὸς μὲν ὡρμημένας σημείου, φερομένας δὲ τὴν 1ὼὸ μὲν ἐπὶ τάδε τὴν δὲ ἐπ᾽ ἐκεῖνα τῆς εὐθείας.
ΧΥ͂, ἰβοοσ. ΥἼΠ1. Ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιοῦσι.
Τὰς ἐφεξῆς γωνίας τῶν κατὰ κορυφὴν διαφέρειν φαμέν· τῶν μὲν γὰρ ἡ γένεσις κατὰ τὴν τομὴν γίνεται τῶν δύο εὐθειῶν, τῶν δὲ τῆς ἑτέρας μόνον περὶ τὴν ἑτέραν διαιρουμένης. ἐὰν γὰρ ἢ εὐθεῖα αὐτὴ μὲν ἄτμητος, τέμνουσα δὲ τῷ ἑαυτῆς πέρατι ἐκείνην δύο ποιῇ γωνίας, ταύτας καλοῦμεν ἐφεξῆς, ἐὰν δὲ ὑπ᾽ ἀλλήλων
τμηθῶσι δύο εὐθεῖαι κατὰ κορυφὴν ἀποτελοῦνται γωνίαι. καλοῦνται δὲ οὕτως, ὅτι τὰς κορυφὰς εἰς ταὐτὸ συμβαλλούσας ἔχουσι σημεῖον. κορυφαὶ δὲ αὐτῶν τὰ σημεῖα, πρὸς ἃ συναγόμενα τὰ ἐπίπεδα τὰς γωνίας ποιεῖ.
4 ἀδύνατον α΄, 6–Ἴ προσέθηκεν …. τῆς εὐθείας
Τοῦτο τοίνυν τὸ θεώρημα δείκνυσιν, ὅτι δύο εὐθειῶν ἀλλήλας τεμνουσῶν αἴ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσίν, εὑρημένον μὲν, ὡς φησὶν Εὔδημος ὑπὸ Θαλοῦ πρώτου, τῆς δὲ ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως ἠξιωμένον παρὰ τῷ στοιχειωτῇ. δείκνυται δὲ οὐκ ἐκ πάντων τῶν κεφαλαίων. ἡ μὲν γὰρ κατασκευὴ ἐκλέλοιπεν ἐνταῦθα, ἡ δὲ ἀπόδειξις, ἣν πάντως ἀναγκαῖον ὑπάρχειν, ἤρτηται τοῦ τρισκαιδεκάτου θεωρήματος, προσχρῆται δὲ καὶ ἀξιώμασι δυοῖν, ὧν τὸ μέν ἐστι τὰ
τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα, τὸ δὲ ἐὰν ἀπὸ ἴσων
ἴσα ἀφαιρεθῇ τὰ λοιπὰ ἴσα ἐστίν.
᾿Αλλὰ τὸ μὲν Εὐκλείδιον θεώρημα φανερόν· ἀντιστρέφει δὲ τῷ θεωρήματι ἄλλο τοιοῦτον· ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ εὐθεῖαι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ληφθεῖσαι
ποιῶσι τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας, ἐπ᾽ εὐθείας ι5
ἔσονται ἀλλήλαις αἴ εὐθεῖαι. ἔστω γάρ τις εὐθεῖα ἡ αβ καὶ ἐπ᾽ αὐτῆς [ τυχὸν σημεῖον κα: τὸ γ, καὶ πρὸς τῷ γ δύο εὐθεῖαι αἴ γὃ γε μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη εἰλήφθωσαν ἴδας ποιοῦσαι τὰς
ὑπὲ αγὸ βγε γωνίας· λέγω ὅτι
ἐπ᾽ εὐθείας εἰσὶν αἴ γὸ γε. ἐπεὶ ἕ
γὰρ ἡ γὸ ἐπὶ τὴν αβ ἐφέστηκεν, δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ τὰς ὑπὸ ὃγα δγβ᾽ ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ δγα ἴση ἐστὶν
δ–Θ. Ἢ ἰπ πιαιρίηθ: ση. ὅτε οὐκ ἐκ πάντων δείκνυται
τοῦτο τὸ θεώρημα τῶν κεφαλαίων. 8 εἴρηται Ο, ἸΤΉταΙ σ.
τῇ ὑπὸ βγε’ αἵ ἄρα ὑπὸ ὃγβ βγε δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ϊ ἐπεὶ οὖν πρός τινι εὐθείᾳ τῇ βγ δύο εὐθεῖαι ἑξῆς αἱ γὸδ γε οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ἐφεξῆς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν, ἐπ᾽ εὐθείας εἰσὶν ἀλλήλαις αἱ γὃ γε. δέδεικται οὖν τὸ ἀντίστροφον τῷ προκειμένῳ θεωρήματι᾽ ἔοικεν δὲ ὁ γεωμέτρης αὐτὸ παραλιπεῖν ὡς ῥάδιον κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς δεικνύναι καὶ τοῦτο, καθ᾽ ἣν τὸ πρὸ αὐτοῦ δεδείχαμεν. τῶν γὰρ αὐτῶν ὑποκειμένων λέγω, ὅτι ἐπ᾿ εὐθείας ἐστὶν ἡ γὸ τῇ γε. εἰ γὰρ μή ἐστιν, εἰλήφθω τῇ γὸ ἐπ᾽ εὐθείας ἡ γξ. ἐκεὶ
οὖν δύο εὐθεῖαι τέμνουσιν ἀλλή-
ἐξ τρυο
λας αἱ αβ δξ τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ποιοῦσιν ἴσας· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ὑπὸ αγὸ βγξ᾽ ἀλλ᾽ ἦσαν ἴσαι καὶ αἱ ὑπὸ αγὸ βγε᾽ ἡ ἄρα ξ ) ὑπὸ βγε ἴση τῇ ὑπὸ βγξ, ἡ μείξων τῇ ἐλάσσονι, ὅπερ ἀδύνατον:
τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς αὐτὸ καὶ διὰ τῆς δεικτικῆς ἐφόδου κατεσκευάσαμεν.
Ἔοικεν δὲ τοῦτο τὸ πεντεκαιδέκατον θεώρημα τῇ ὁμοιομερεέᾳ τῶν εὐθειῶν καὶ τῇ ἐπ᾽ ἄκρον τάσει θαρ-
ρεῖν, διότι τὰς οὕτως ἐχούσας γραμμὰς καὶ φερομένας ὁ
δι᾿ ἀλλήλων ἀναγκαῖον ὁμοίας ἔχειν τὰς κλίσεις πρὸς ἀλλήλας ἐφ᾽ ἑκάτερα καὶ τὰς αὐτάς. αἱ γοῦν περιφέρειαι καὶ ὅλως αἱ μὴ εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλλήλας τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας οὐ ποιοῦσιν ἐξ ἀνάγκης ἴσας, ἀλλὰ ποτὲ μὲν ἴσας, ποτὲ δὲ ἀνίσους. ἐὰν γὰρ δύο ἴσοι κύκλοι διὰ τῶν κέντρων τέμνωσιν ἀλλήλους ἢ καὶ μὴ διὰ τῶν κέντρων, τὰς μηνοειδεῖς γωνίας ἴσας ποιοῦσι κατὰ κορυφὴν οὔσας, ἀλλ᾽ οὐκέτι τὰς λοιπάς, τήν τε ἀμφίχυρτον καὶ τὴν ἀμφίχοιλον, ἀλλὰ μείξω τὴν ἑτέραν. ἐπὶ δὲ τῶν εὐθειῶν ἡ ἐπ᾽ ἄκρον τάσις ἴσην τῶν τῆς ἑτέρας τμημάτων ᾿ πρὸς τὰ τὴς ἑτέρας τμήματα ποιεῖ τὴν ἀπόστασιν.
Ῥογίθιιἃ. Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς τέτταρας γωνίας τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν.
Ἔν τι τῶν γεωμετρικῶν ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόριόμα. τοῦτο δὲ σημαίνει διττόν καλοῦσι γὰρ πορίσματα καὶ ὅσα θεωρήματα συγκατασκευαζξεται ταῖς μη 2 ι ΑΙ ἢ - “ ἄλλων ἀποδείξεσιν, οἷον ἕρμαια καὶ κέρδη τῶν ξητουντῶν ὑπάρχοντα, καὶ ὅσα ζητεῖται μέν, εὑρέσεως δὲ χρήξει καὶ οὔτε γενέσεως μόνης οὔτε θεωρίας ἁπλῆς.
ὅτι μὲν γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἴ πρὸς τῇ βάσει ἴσαι θεωρῆσαι δεῖ, καὶ ὄντων δὴ τῶν πραγμάτων ἐστὶν ἡ
τοιαύτη γνῶσις. τὴν δὲ γωνίαν δίχα τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασθαι ἢ ἀφελεῖν ἢ θέσθαι, ταῦτα πάντα ποίησίν τινος ἀπαιτεῖ, τοῦ δὲ δοθέντος κύχλου τὸ κέντρον εὑρεῖν, ἢ δύο δοθέντων συμμέτρων μεγεθῶν τὸ μέγιστον καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν, ἢ ὅσα τοιάδε, μεταξύ πώς ἐστι προβλημάτων καὶ θεωρημάτων. οὔτε γε γενέσεις εἰσὶν ἐν τούτοις τῶν ξητουμένων, ἀλλ᾽ 1ὸ εὑρέσεις, οὔτε θεωρία ψιλή. δεῖ γὰρ ὑπ᾽ ὄψιν ἀγαγεῖν καὶ πρὸ ὀμμάτων ποιήσασθαι τὸ ξητούμενον. τοιαὕτα ἄρα ἐστὶν καὶ ὅσα Εὐκλείδης πορίσματα γέγραφε, γ βιβλία πορισμάτων συντάξας. .4λλὰ περὶ μὲν τῶν τοιούτων πορισμάτων παρείσθω λέγειν, τὰ δὲ ἐν τῇ στοιχειώσει πορίσματα συνἀναφαίνεται μὲν ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν, αὐτὰ δὲ προηγουμένης οὐ τυγχάνει ξητήσεως· οἷον καὶ τὸ νῦν προκείμενον. ἐξητεῖτο μὲν γάρ, εἰ δύο εὐθειῶν τεμνουσῶν ἀλλήλας αἴ κατὰ κορυφὴν γωνίαι ἴσαι εἰσί. τούτῳ ὧ ὁξ δεικνυμένῳ συναποδέδεικται τὸ καὶ τὰς τέτταρας γωνίας εἶναι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας. ὅτε γὰρ ἐλέγομεν· Ἐ 4 ἔστωσαν εὐθεῖαι δύο αἴ αβ γὸ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ ε σημεῖον᾽ ἐπεὶ οὖν ἡ αε ἐπὶ τὴν γὃ ἐφέστηκεν, ποιεῖ τὰς γ 4 Σἐἐφεξῆς ᾿ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας,
καὶ πάλιν ἐπεὶ ἡ βε ἐπὶ τὴν γδ ἐφέστηκεν, ποιεῖ τὰς ἐφεξῆς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας᾽ τότε συναπεδείκνυμεν τῷ ξητουμένῳ ὅτι αἱ περὶ τὸ ε σημεῖον γωνίαι τέτταρσιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ἐστὶν οὖν τὸ πόρισμα θεώρημα διὰ τῆς ἄλλου 6
προβλήματος ἢ θεωρήματος ἀποδείξεως ἀπραγματεύτως ἀναφαινόμενον. οἷον γὰρ κατὰ τύχην περιπίπτειν ἐοίκαμεν τοῖς πορίσμασιν᾽ οὐ γὰρ προθεμένοις οὐδὲ ξητήσασιν ἀπαντᾷ, ὅθεν αὐτὰ καὶ τοῖς ἑρμαίοις εἰκάσαμεν. καὶ ἴσως οἷ δεινοὶ τὰ μαθήματα κατ᾽ αὐτὴν αὐτοῖς ἔθεντο τὴν ἐπωνυμίαν ἐνδεικνύμενοι τοῖς πολλοῖς καὶ περὶ τὸ φαινόμενον κέρδος ἐπτοημένοις ὅτι ἄρα τὰ ἀληθὴ τοῦ θεοῦ δῶρα καὶ τὰ ἕρμαια ταῦτά ἐστιν, οὐχ οἷα ἐκείνοις δοκεῖ. ταῦτα γὰρ ὁ ἐν ἡμῖν πόρος ἀπογεννᾷ καὶ ἡ γόνιμος δύναμις τῆς ἐπιστήμης προσβάλλει ταῖς προηγουμέναις ξητήσεσιν εὐπορίας ἀφθόνους ! θεωρημάτων ἀναφαίνουσα.
Τὴν μὲν οὖν ἰδιότητα τῶν πορισμάτων τοιαύτην εἶναι λεκτέον. διαιρετέον δὲ αὐτὰ πρῶτον μὲν κατὰ
τὰς ἐπιστήμας — ἐστὶ γὰρ τὰ μὲν γεωμετρικὰ τὰ δὲ ἀριθμητικὰ τῶν πορισμάτων. τὸ μὲν γὰρ προκείμενον πόρισμα γεωμετρικόν ἐστι. τὸ δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ δευτέ-
ρου θεωρήματος τοῦ ξ βιβλίου τῶν ἀριθμητικῶν — ἔπειτα δὲ κατὰ τὰ προηγουμένα ξητήματα — τὰ μὲν
1—2 καὶ παλιν …. ὀρθαῖς ἴσας οἱ. Ο. δ τοῦ ἀἄλλου ὦ. 10 μαθηματικά Ο. ᾿ κατὰ ταύτην Ο, κατ᾽ αὐτὴν 6.
γὰρ προβλήμασιν ἕπεται, τὰ δὲ θεωρήμασι᾽ τοῦτο μὲν γὰρ θεωρήματός ἐστι, τὸ δὲ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ κείμενον προβλήματος — τρίτον δὲ αὖ κατὰ τὰς δείἕξεις — τὰ μὲν γὰρ ταῖς δεικτικαῖς ἐφόδοις, τὰ δὲ ε ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς συγκατασκευάξεται· τὸ μὲν προκείμενον τῇ ἐπ᾽ εὐθείᾳ δείξει, τὸ δὲ τῷ πρώτῳ τοῦ τρίτου βιβλίου συναποδεδειγμένον τῇ εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῇ συνανεφάνη. πολλαχῶς δὲ καὶ ἄλλως τὰ πορίσματα διαιρεῖν δυνατόν ἀλλ᾽ ἡμῖν γε ἀρκέσει 1. καὶ ταῦτα πρὸς τι παρόν.
Τοῦτο δὲ τὸ πόρισμα, περὶ οὗ πρόκειται λέγειν, διδάσκον ἡμᾶς ὅτι ὁ περὶ ἕν σημεῖον τόπος εἰς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας γωνίας διανέμεται, παρέσχεν ἀφορμὴν κἀκείνῳ τῷ παραδόξῳ θεωρήματι τῷ δεικνύντι
1 μόνα τρία ταῦτα πολύγωνα πληροῦν δυνάμενα τὸν περὶ ἕν σημεῖον ὅλον τόπον, τὸ ἐσόπλευρον τρίγωνον καὶ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ ἐξάγωνον τὸ ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον. ἀλλὰ τὸ μὲν ἰσόπλευρον τρίγωνον ἑξάκις παραληφθέν — ἕξ γὰρ δίμοιρα ποιήσει τὰς
90 τέσσαρας ὀρθᾶς — τὸ δὲ ἐξάγωνον τρὶς γενόμενον — ἑκάστη γὰρ ἑξαγωνικὴ γωνία ἴση ἐστὶ μιᾷ ὀρθὴ καὶ τρίτῳ — τὸ δὲ τετράγωνον τετράκις — ἑκάστη γὰρ τετραγωνικὴ γωνία ὀρθή ἐστιν. ξξ οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα συννεύσαντα κατὰ τὰς γωνίας τὰς τέσσαρας ὁρ-
)5 θὰς συμπληροῖ ‘ καὶ τρία ἐξάγωνα καὶ τετράγωνα τέσσαρα. καὶ ἕκαστον δὲ τῶν ἄλλων πολυγώνων ὁπωσοῦν ἐπισυντυθέμενον κατὰ τὰς γωνίας ἢ ἐλλείπει τῶν τεσ-
σάρων ὀρθῶν ἢ πλεονάξει᾽ μόνα δὲ ταῦτα κατὰ τοὺς εἰρημένους ἀριθμοὺς ἐξισοῦται ταῖς τέτρασιν ὀρθαῖς. καί ἐστι τὸ θεώρημα τοῦτο Πυθαγόρειον.
Διὰ τοῦτο δὲ τὸ πόρισμα κἂν πλείους εὐθεῖαι
τῶν δυεῖν δι’ ἑνὸς σημείου τέμνωσιν ἀλλήλας, οἷον
τρεῖς ἢ τέτταρες ἢ ὁποσαιοῦν, αἴ γινόμεναι γωνίαι πᾶσαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι δείκνυνται· μερίξονται γὰρ τὸν τεσσάρων τόπον. δῆλον δὲ ὅτι διπλασίους ἀεὶ γενήσονται τῶν εὐθειῶν αἵ γωνέαι᾽ καὶ οὕτω δύο μὲν εὐθειῶν τεμνουσῶν ἀλλήλας ἔσονται γωνίαι τέσσαρες ἴσαι τέτρασιν ὀρθαῖς, τριῶν δὲ ξξ γωνίαι, τεσσάρων δὲ ὀχτώ᾽ καὶ ἐπ᾽ ἄπειρον ὁμοίως. ἀεὶ γὰρ διπλασιάξεται μὲν τὸ πλῆθος τῶν εὐθειῶν. αἱ δὲ γωνίαι κατὰ μὲν τὸ πλῆθος αὔξονται, κατὰ δὲ τὸ μέγεθος ἐλασσοῦνται, διότι τὸ διαιρούμενον ἀεὶ ταὐτόν ἐστιν, αἴ τέσσαρες ὀρθαί.
Ργορ. ΧΥ͂Ι, μθοσ. ΥΠΠ]Ι. Παντὸς τριγώνου μιᾶς
πλευρᾶς προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώ-
νου γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείξων ἐστίν.
Ταύτην τὴν πρότασιν οἱ μὲν ἐλλειπῶς προενεγκάμενοι χωρὶς τοῦ μιᾶς πλευρᾶς προσεκβληθείσης ἀφορμὴν παρέσχον ἴσως μὲν καὶ ἄλλοις τισίν, αὐτὰρ καὶ Φιλίππῳ, καθάπερ φησὶν ὁ μηχανικὸς ἬἭρων, διαβολῆς. οὐ γὰρ πάντως, ἡ τρίγωνόν ἐστιν, καὶ ἐκτὸς ἔχει γωνίαν. ὅσοι δὲ περιγράφειν τὴν αἰτίασιν ταύ-
4–ὦ πληθὺς εὐθεῖαι τὰ ἐν δθυεὶν Ἡ, 6. 8 τὸν τῶν
τεσσάρων τόπον Ο. 17 Ἡ ἴὰ τοαγρὶηθ ἕξ. 20 μεῖξον Ἡ. 26 ἔχοι Τ.