Hypotheses, Postulates, Axioms & Propositional Form — Ελληνικό Κείμενο (Friedlein 1873)¶
Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. Gottfried Friedlein (Leipzig: B. G. Teubner, 1873, pp. 178–207; CTS urn:cts:greekLit:tlg4036.tlg011.opp-grc1).
Distinction of Hypotheses, Postulates & Axioms¶
Τῶν γεωμετρικῶν ἀρχῶν τριχῇ διῃρημένων εἴς τε ὑποθέσεις καὶ αἰτήματα καὶ ἀξιώματα τὴν μὲν πρὸς ἀλλήλας τούτων διαφορὰν ἐν τοῖς πρόσθεν γεγραμμένοις παραδεδώχαμεν, περὶ δὲ αἰτήματος καὶ ἀξιώματος ἰδίᾳ προκείσθω νυνὶ διελθεῖν ἀκριβέστερον. ἅτε δὴ καὶ περὶ αὐτῶν ἡμῖν ὄντος ἐνταῦθα τοῦ λόγου προηγουμένως. τὰς γὰρ ὑποθέσεις καὶ τοὺς καλουμένους ὄρους ἐν τοῖς προειρημένοις ἐσκέμμεθα. Κοινὸν μὲν οὖν ἐστι τοῖς τε ἀξιώμασι καὶ τοῖς 1 «ἰτήμασι τὸ μὴ προσδεῖσθαί τινος ἀποδείξεως μηδὲ γεωμετρικῶν πίστεων, ἀλλ᾽ ὡς γνώριμα λαμβάνεσθαι καὶ ἀρχὰς ταῦτα γίψνεσθαι τῶν ἐφεξῆς. διέστηκεν δὲ ἀπ᾽ ἀλλήλων, ἦ καὶ τὰ θεωρήματα τῶν προβλημάτων διώρισται. καθάπερ γὰρ ἐν μὲν τοῖς θεωρήμασι τὼ ἀκόλουθον ἰδεῖν καὶ γνῶναι τοῖς ὑποκειμένοις προτι-
θέμεθα, ἐν δὲ τοῖς προβλήμασι πορίσασθαι καὶ ποιῆσαί τι προσταττόμεθα, κατὰ ταῦτα δὴ καὶ ἐν μὲν τοῖς ἀξιώμασι ταῦτα λαμβάνεται, ὅσα αὐτόθεν εἰς γνῶσίν ἐστι καταφανὴ καὶ πρόχειρα ταῖς ἀδιδάκτοις ἡμῶν ἐννοίαις, ἐν δὲ τοῖς αἰτήμασι ταῦτα ζητοῦμεν λαβεῖν, ὁ ῦσα ἐστὶν εὐπόριστα καὶ εὐμήχανα, τῆς διανοίας οὐ καμνούσης περὶ τὴν λῆψιν αὐτῶν, οὐδὲ ποικιλίας δεόμενα οὐδὲ κατασκευῆς. γνῶσις ἄρα ἐναργὴς καὶ ἀναπόδεικτος καὶ λήψις ἀκατάσχευος διορίζουσι τά τὸ αἰτήματα καὶ τὰ ἀξιώματα, ὥσπερ καὶ γνῶσις ἀπο- τὸ δεικτικὴ καὶ λῆψις τῶν ξητουμένων μετὰ παρασκευῆς τὰ θεωρήματα τῶν προβλημάτων διέκρινεν. δεῖ γὰρ δὴ πανταχοῦ τὰς ἀρχὰς τῶν μετὰ τὰς ἀρχὰς διαφέρειν τῇ ἁπλότητι, τῷ ἀναποδείχτῳ, τῷ αὐτοπίστῳ. καθόλου
γάρ, φησὶν ὃ Σπεύσιππος, ὧν ἡ διάνοια τὴν θήραν τὸ ποιεῖται τὰ μὲν οὐδεμίαν ποικίλην ποιησαμένη διἕξοδον προβάλλει καὶ προευτρεπίξει πρὸς τὴν μέλλουσαν Ϊ ξήτησιν καὶ ἔχει τούτων ἐναργεστέραν ἐπαφὴν μᾶλλον ἢ τῶν ὁρατῶν ἡ ὄψις, τὰ δὲ ἐκ τοῦ εὐθέως αἴρειν ἀδυνατοῦσα κατὰ μετάβασιν ἐπ᾽ ἐχεῖνα διαβαίνουσα κατὰ τὸ ἀκόλουθον αὐτῶν ἐπιχειρεῖ ποιεἴσθαι τὴν θήραν. οἷον τὸ μὲν ἀπὸ σημείου γραμμὴν εὐθεῖαν ἐπὶ σημεῖον ἀγαγεῖν ὡς πρόχειρον λαμβάνει καὶ εὐπόριστον. τῇ γὰρ ὁμαλῇ ῥύσει τοῦ σημείου συγκινουμένη καὶ συμπροιοῦσα τῷ μηδαμοῦ μᾶλλον
καὶ ἧττον ἀπονεύειν εἰς τὸ ἕτερον καταντᾷ σημεῖον. πάλιν εὐθείας τὸ μὲν τῶν περάτων μένον, τὸ δὲ περὶ αὐτὸ κινούμενον ἀπραγματεύτως γέγραφεν τὸν κύκλον. εἰ δέ τις ἕλικα μονόστροφον γράφειν ἐθελήσειεν, ποικιλωτέρας δεῖται μηχανῆς — καὶ γὰρ κινήσεις ποικίλαι γεννῶσιν αὐτήν — καὶ εἴ τις τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι, κἀνταῦθα δεήσεται μεθόδου τινὸς εἰς τὴν τοῦ τριγώνου σύστασιν. ἐρεῖ γὰρ ὁ γεωμετρικὸς νοῦς, ὅτι νοήσας εὐθεῖαν κατὰ μὲν θάτερον τῶν περάτων μένουσαν κατὰ δὲ θάτερον κινουμένην περὶ ἐκεῖνο καὶ σημεῖον ἀπὸ τοῦ μένοντος ἐπ᾽ αὐτῆς κινοίύμενον γέγραφα τὴν μονόστροφον ἕλικα ἅμα γὰρ καὶ τὸ πέρας τῆς εὐθείας κυχλογραφοῦν καὶ τὸ σημεῖον ἐπὶ τῆς εὐθείας κινούμενον εἰς ταὐτὸ καταστάντα καὶ συμπεσόντα ποιεῖ μοι τὴν τοιαύτην ἕλικα. καὶ πάλιν κύκλους ἴσους γράψας καὶ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς εἰς τὰ κέντρα τῶν κύχλων ἐπιξεύξας καὶ ἀπὸ θατέρου τῶν κέντρων ἐπὶ θάτερον εὐθεῖαν ἀγαγὼν ξξω τὸ ἰσόπλευρον τρίγωνον. πολλοῦ ἄρα δεῖ ταῦτα δι᾽ 40 ἁπλῆς ἐπιβολῆς ἀποτελεῖσθαι καὶ τῆς πρώτης ἐπινοίας. ἀγαπῴημεν γὰρ ἀκολουθοῦντες αὐτῶν ταῖς γενέσεσι. Τὸ μὲν οὖν ῥᾶον τὰ τοιαῦτα πορίξεσθαι ἢ καὶ χαλεπώτερον, καὶ ἢ διὰ πλειόνων δείκνυσθαι μέσων ἢ δι᾿ ἐλαττόνων παρὰ τὰς ξξεις γίγνεται τῶν μεταχει-
ριξζομένων, τὸ δὲ ὅλως ἀποδείξεως δεῖσθαι καὶ κατασκευῆς παρὰ τὴν ἰδιότητα τῶν ξητουμένων τῆς τῶν αἰτημάτων καὶ ἀξιωμάτων ἐναργείας ἀπολειπομένην. ἄμφω μὲν οὖν τὸ ἁπλοῖν ἔχειν δεῖ καὶ εὔληπτον, τό τε αἴτημα λέγω καὶ τὸ ἀξίωμα, ἀλλὰ τὸ μὲν αἴτημα προστάττει ἡμῖν μηχανήσασθαι καὶ πορίσασθαί τινὰ ὕλην εἰς συμπτώματος ἀπόδοσιν ἁπλῆν ἔχουσαν καὶ εἰπετῇ τὴν λῆψιν, τὸ δὲ ἀξίωμα συμβεβηκός τι καθ’ αὑτὸ λέγειν γνώριμον αὐτόθεν τοῖς ἀκούουσιν, ὥσπερ καὶ τὸ θερμὸν εἶναι τὸ πῦρ ἢ ἄλλο τι τῶν περιφανεστάτων, ἐφ᾽ ὧν τοὶς ἀποροῦντας ἢ αἰσθήσεως ἢ κολάσεως δεῖσθαι λέγομεν, ὥστε ὁμογενὲς μὲν τὸ αἴτημα τῷ ἀξιώματι, διαφέρον δὲ αὐτοῦ τὸν εἰρημένον τρόπον. ἑκάτερον γάρ ἐστιν ἀρχὴ ἀναπόδεικτος, ἀλλὰ τὸ μὲν ὠδί, τὸ δὲ ἄλλως, καθάπερ εἴπομεν. 1δ Ἤδη δὲ οἵ μὲν πάντα αἰτήματα ᾿) καλεῖν ἀξιοῦσιν, ὥσπερ καὶ προβλήματα τὰ ξητούμενα πάντα. καὶ γὰρ ὁ ᾿ἀρχιμήδης τῶν ἀνισορροπιῶν ἀρχόμενος: »Αὐἰτούμεθα, φησί, τὰ ἴσα βάρη ἀπὸ τῶν ἴσων μηκῶν ἰσορροπεῖν.““ καίτοι τοῦτο μᾶλλον ἀξίωμα ἄν τις προσείποι. οἱ δὲ πάντα ἀξιώματα προσαγορεύουσιν, ὥσπερ δὴ καὶ θεωρήματα πάντα τὰ ἀποδείξεως δεόμενα. κατὰ τὴν αὐτὴν γὰρ ὡς ἔοικεν ἀναλογίαν ἀπὸ τῶν ἰδίων ἐπὶ τὰ κοινὰ μεταβεβήκασιν ὀνόματα. δι-
ἕστηκεν δὲ ὅμως ὥσπερ πρόβλημα θεωρήματος οὕτως καὶ αἴτημα ἀξιώματος, εἰ καὶ ἀμφότερα ἀναπόδεικτά ἔστι, καὶ τὸ μὲν ὡς εὐπόριστον λαμβάνεται, τὸ δὲ ὡς εὔγνο: στον ὁμολογεῖται.
Γεμῖνος μὲν οὖν κατὰ τοῦτον τὸν χδγοὺ: τὰ αἰτήματα διαιρεῖ τῶν ἀξιωμάτων, ἄλλοι δ᾽ ἂν φαῖεν, ὅτι τὰ μὲν ἴδια τῆς γεωμετρικῆς ἐστιν ὕλης, τὰ δὲ κοινὰ πάσης τῆς περὶ τὸ ποσὸν καὶ πηλίκον θεωρίας.
τὸ μὲν γὰρ τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας εἶναι καὶ πᾶσαν
εὐθεῖαν πεπερασμένην ἐπ᾽ εὐθείας ἐκβάλλειν ὁ γεωμέτρης οἷδεν, τὸ δὲ τὰ τῷ αὐτῷ ἰσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα εἶναι κοινή ἐστιν ἔννοια καὶ ὅ τὸ ἀριθμητικὸς αὐτῇ χρῆται καὶ ἕχαστος τῶν ἐπιστημόνων ἐφαρμόξων τῇ ἑαυτοῦ ὕλῃ τὸ κοινόν. ὁ δὲ ᾿Δριστοτέλης, ὥς που
καὶ πρότερον εἴπομεν, αἴτημά φησιν ἀποδεικτὸν ὃν καὶ μὴ συγχωρούμενον ὑπὸ τοῦ ἀκούοντος ὅμως ἀρχὴν λαμβάνεσθαι, τὸ δὲ ἀξίωμα ἀναπόδεικτον ὑπάρχειν καθ’ αὑτὸ καὶ πάντας ἂν ὁμολογῆσαι κατὰ διάθεσιν, εἰ καὶ λόγου ἕνεκα τινὲς διαμφισβητοῖεν πρὸς
αὐτό.
Τριῶν δὴ τούτων ὄντων διορισμῶν κατὰ μὲν τὸν πρῶτον, ὃς τῷ πορίσασθαι καὶ τῷ γνῶναι μόνον τὸ αἴτημα διίστησι τοῦ ἀξιώματος, δῆλον ὅτι τὸ πάσας ὀρθὰς ἴσας εἶναι τὰς γωνίας οὐκ ἔστιν αἴτημα, οὐδὲ
46 τὸ πέμπτον τὸ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖά τις ἐμπίπτουσὰ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο
ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς εὐθείας συμπίπτειν, ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσδονες. ταῦτα γὰρ οὐκ εἰς κατασχευὴν λαμβάνεται οὐδὲ πορίσασθαί τι ἀξιοῖ, ἀλλὰ σύμπτωμά τι δηλοῖ ταῖς ὀρθαῖς γωνίαις συνυκάρχον καὶ ταῖς ἀπ᾽ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐχβαλλομέναις. κατὰ δὲ τὸν δεύτερον οὐχ ἔσται ἀξίωμα τὸ δύο εὐθείας χωρίον μὴ «εδριέχειν, ὃ καὶ νῦν τινες ὡς ἀξίωμα προσγράφουσι. καὶ γὰρ τοῦτο τῆς γεωμετρικῆς ὕλης ἐστίν, ὥσπερ τὸ πάσας τὰς ὀρθὰς ] ἴσας εἶναι γωνίας, κατὰ δὲ τὸν τρίτον τὸν ᾿Δριστοτελικὸν πάντα μέν, ὅσα δι᾽ ἀποδείξεως αιστοῦταί τινος, ἔσται αἰτήματα, ὅσα δὲ ἀναπόδεικτά ἐστιν, ἀξιώματα. μάτην οὖν τῶν ἀξιωμάτων ᾿4πολλώνιος ἐπεχείρησεν ἀποδείξεις παραδιδόναι. ὀρθῶς γὰρ καὶ ὁ Γεμῖνος ἐπέστησεν, ὅτι οἵ μὲν καὶ τῶν ἀναποδείχτων ἀποδείξεις ἐπενόησαν καὶ ἀπὸ ἀγνωστοτέρων μέσων τὰ γνώριμα πᾶσιν κχατασχευαζξειν ἐπεχείρησαν — ὃ δὴ πέπονθεν ὁ ᾿4πολλώνιος δεικνύναι βουλόμενος ὅτι ἀληθὲς τὸ ἀξίωμα τὸ λέγον τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα εἷναι — οἵ δὲ καὶ τὰ ἀποδείξεως δεόμενα ἐν τοῖς ἀναποδείκτοις προσειλήφασιν, ὡς αὐτὸς Εὐκλείδης τό τὸ πέμπτον αἴτημα
καὶ τὸ τέταρτον. καὶ γὰρ τοῦτό τινες ὡς ἀμφίβολον ἀποδείξεως δεῖσθαί φασι. καὶ πῶς γὰρ οὐ γελοῖον, ὧν τὰ ἀντίστροφα θεωρήματά ἐστιν ἀποδεικτά, ταῦτα ὡς ἀναπόδεικτα προστάττειν. ὅτι γὰρ τῶν συμπιπτουσῶν εὐθειῶν αἴ ἐντὸς ἐλάσσους εἰσὶ δυεῖν ὀρθαῖν, αὐτὸς ὁ Εὐκλείδης δείκνυσιν ἐν ἐκείνῳ τῷ θεωρή-
ματι παντὸς τριγώνου αἴ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι.“ ἀλλὰ καὶ ὅτι οὐ πάντως ἡ τῇ ὀρθῇ ἴση ὀρθή ἐστι δείκνυται σαφῶς· οὐκ ἄρα ἀναπόδεικτα τὰ τούτοις ἀντιστρέφοντα εἶναι συγχωρητέον, φησὶν ὁ Γεμῖνος. ἔοικεν οὖν κατὰ τὴν τούτου διάταξιν τρία μὲν εἶναι αἰτήματα, τὰ δὲ λοιπὰ δύο δεῖσθαι τῆς ἀποδεικτικῆς ἐπιστήμης, αὐτά τε καὶ τὰ ἀντιστρέφοντα αὐτοῖς, ἐν δὲ τοῖς ἀξιώμασι τὸ δύο εὐθείας χωρίον μὴ περιέχειν προσκεῖσθαι περιττῶς, εἴπερ δι᾽ ἀποδείξεως ἔχοι τὸ πιστόν.
Περὶ μὲν οὖν τῆς διαφορᾶς τῶν αἰτημάτων καὶ ἀξιωμάτων τοσαῦτα, πάλιν δὲ αὖ τῶν ἀξιωμάτων τὰ μέν ἐστιν ἀριθμητικῆς ἴδια, τὰ δὲ γεωμετρίας, τὰ δὲ κοινὰ αὐταῖς ἀμφοτέραις. τὸ μὲν γὰρ πάντα ἀριθμὸν
1 ὑπὸ μονάδος μετρεῖσθαι ἀξίωμα ἀριθμητικόν ἐστι, τὸ δὲ ..».αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἐφαρμόξουσιν ἀλλήλαις“ καὶ τὸ πᾶν μέγεθος ἐπ᾽ ἄπειρον εἶναι διαιρετὸν ἀξιώματα γεωμετρικά ἐστιν, τὸ δὲ τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα εἷναι, καὶ ὅσα τοιαῦτα, κοινά ἐστιν ἀμφοῖν. χρῆ-
80 ται δὲ ἑκατέρα καὶ τούτοις ἐφ᾽ ὅσον τὸ ὑποκείμενον ἀπαιτεῖ, οἷον ἡ μὲν γεωμετρία ἐπὶ μεγεθῶν, ἡ δὲ ἀριθμητικὴ ἐπ᾿ ἀριθμῶν. ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν αἰτημάτων τὰ μὲν ἴδια τῶν [ ἐπιστημῶν ἐστιν, τὰ δὲ κοινά. τὸ μὲν γὰρ διελεῖν τὸν ἀριθμὸν εἰς τὰ ἐλάχιστα μέρη
2 τῆς ἀριθμητικῆς ἴδιον ἂν φαίης αἴτημα, τὸ δὲ πᾶσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἐπ᾽ εὐθείας ἐχβαλεῖν τῆς γεωμετρίας, τὸ δὲ εἰς ἄπειρον αὔξειν τὸ ποσὸν κοινὸν ἀμφοτέρων. καὶ γὰρ ὁ ἀριθμὸς καὶ τὸ μέγεθος τοῦτο δύναται πάσχειν.
ὃ παντὸς Ο. 4 τὰ ππηίθ τούτοις οπ. Ἡ, Ο, ἴὰ Ἢ γοείεγα
Postulates 1–3: Straightedge & Compass Constructibility (Geminus)¶
Euclid: [I.post.1]
Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ᾽ εὐθείας ἐκβαλεῖν καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράψαι.
Ταῦτα τὰ τρία καὶ ἐναργείας ἕνεκα καὶ τοῦ πορί-
σασθαί τι προστάττειν ἡμῖν ἐν τοῖς αἰτήμασιν ἐξ ἀνάγχης ταχθήσεται κατώ γε τὸν Γεμῖνον. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν ἑπόμενόν ἐστι τῷ ῥύσιν εἷναι τοῦ σημείου τὴν γραμμὴν καὶ τὴν εὐθεῖαν ὁμαλὴν καὶ ἀπαρέγκλιτον ῥύσιν. νοήσαντες οὖν τὸ σημεῖον κινούμενον τὴν ὁμαλὴν καὶ ἐλαχίστην κίνησιν ἐπὶ θάτερον σημεῖον καταντήσομεν, καὶ τὸ πρῶτον αἴτημα γέγονεν οὐδὲν ποικίλον ἡμῶν ἐπινενοηκότων. εἰ δὲ δὴ τῆς εὐθείας τ σημείῳ περατουμένης ὡσαύτως νοήσαιμεν τὸ πέρας αὐτῆς κινούμενον τὴν ἐλαχίστην καὶ ὁμαλὴν κίνησιν, ἔσται τὸ δεύτερον αἴτημα πορισθὲν ἀπὸ εὐμηχάνου καὶ ἁπλῆς ἐπιβολῆς. εἰ δὲ αὖ μένουσαν μὲν τὴν πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ θάτερον, κινουμένην δὲ περὶ τὸ μένον κατὰ τὸ λοιπόν, τὸ τρίτον ἂν εἴη γένος. κέντρον μὲν γὰρ ἔσται τὸ μένον σημεῖον, διάστημα δὲ ἡ εὐθεῖα. ὅση γὰρ ἂν αὕτη τυγχάνῃ, τοσοῦτο ἔσται τὸ ἀπόστημα τοῦ κέντρου πρὸς πάντα τὰ μέρη τῆς περιφερείας. εἰ δέ τις ἀποροίη, πῶς κινήσεις ἐπεισάγομεν τοῖς γεωμετρητοῖς ἀκινήτοις οὖσιν, πῶς δὲ
τὰ ἀμερῆ κινοῦμεν — ταῦτα γὰρ ἀδύνατα εἶναι παντελῶς — ἀξιώσομεν αὐτὸν μὴ παντάπασιν δυσχεραίνειν μεμνημένον τῶν ἐν ἀρχῇ, προαποδεδειγμένων, ὡς ἄρα περὶ τῶν ἐν φαντασίᾳ κειμένων οἵ λόγοι γράφουδσιν ἐκεῖ πάντα τὰ τῆς διανοίας εἰκόνας ὧν ἔχει λόγων. τὸ γὰρ ἄγραφον γραμματεῖον οὗτος ἦν ὁ τελευταῖος νοῦς καὶ παθητικός. ἀλλ᾽ οὐδὲν ἡμῖν ὁ λόγος οὗτος. ὁ γάρ τοι νοῦς ὃ τὰ εἴδη δεχόμενος ἀλλαχόθεν διὰ κινήσεως αὐτὰ δέχεται. τὴν δὲ κίνησιν μή τοι σωμα1. τικὴν ἀλλὰ φανταστικὴν νοήσωμεν καὶ τὰ ἀμερὴ τὰς μὲν σωματικὰς κινήσεις κινεῖσθαι μὴ συγχωρῶμεν τὰς δὲ αὖ φανταστικάς διεξόδους ὑπομένειν. καὶ γὰρ ὁ νοῦς ἀμερὴς ὧν κινεῖται καὶ οὐ τοπικῶς καὶ ἡ φαντασία κατὰ τὸ ἑαυτῆς ᾿ ἀμερὲς ἔχει κίνησιν ἰδίαν· ὁ ἡμεῖς δὲ εἰς τὰς σωματικὰς κινήσεις ἀποβλέποντες ἀπογινώσκομεν τῶν ἐν τοῖς ἀδιαστάτοις κινήσεων. τοῦ μὲν οὖν σωματικοῦ τόπου καὶ τῶν ἔξω κινήσεων τὰ ἀμερῆ καθαρεύει᾽ κινήσεως δὲ ἄλλο εἶδος καὶ τόπος ἄλλος ἐπ᾽ αὐτῶν θεωρεῖται ταῖς κινήσεσι σύστοιχος, ἐπεὶ καὶ θέσιν ἔχειν τὸ σημεῖον ἐν τῇ φαντασία λέγομὲν καὶ οὐ ξητοῦμεν, πῶς ἀμερὲς ἔτι δύναται μένειν
τὸ κινούμενόν που καὶ περιεχόμενον ὑπὸ τοῦ τόπου. τόπος γὰρ τῶν μὲν διαστατῶν διαστατός ἐστι, τῶν δὲ ἀμερῶν ἀδιάστατος. ἄλλα οὖν τὰ ἰδίως τῶν γεωμετρητῶν εἴδη καὶ ἄλλα τὰ ἀπ᾽ ἐκείνων ὑφιστάμενα, καὶ ἄλλη τῶν σωμάτων κίνησις, ἄλλη τῶν ἐν φαντασίᾳ
νοουμένων, καὶ ἄλλος ὁ τῶν διαστατῶν τόπος. ἄλλος
ὁ τῶν ἀμερῶν. καὶ χρὴ ταῦτα διελομένους μὴ συγχεῖν
μηδὲ ἐπιταράττειν τῶν πραγμάτων τὰς οὐσίας. Ἔοικεν μὴν τῶν τριῶν τούτων αἰτημάτων τὸ μὲν
πρῶτον ἐν εἰκόσιν ἡμῖν ἐμφανίζειν, ὅπως τὰ ὄντα
περιέχεται ἐν τοῖς αὐτῶν αἰτίοις ἀμερεστέροις οὖσι καὶ ὁρίζεται ἀπ᾽ αὐτῶν, καὶ ὅτι καὶ πρὶν ὑποστῇ πανταχόθεν ὑπ᾽ ἐκείνων περιείληπται — καὶ γὰρ ἡ εὐθεῖα τῶν σημείων ὄντων ἐπὶ θάτερον ἀπὸ θατέρου ἐπιξεύγνυται καὶ περατοῦται ὑπ᾽ αὐτῶν καὶ μεταξὺ αὐτῶν ἀπείληπται — τὸ δὲ δεύτερον, ὅπως τὰ ὄντα ἐχόμενα τῶν οἰκείων ἀρχῶν πρόεισιν ἐπὶ πάντα τήν τε πρὸς ἐχεῖνα συνέχειαν φυλάττοντα καὶ μὴ ἀποσπώμενα ἀπ᾽ αὐτῶν, ἀλλὰ διὰ τὴν ἀπειροδύναμον αἰτίαν πάντη ἐπειγόμενα χωρεῖν, τὸ δὲ τρίτον, ὅπως τὰ προελθόντα πάλιν ἐπιστρέφεται πρὸς τὰς οἰκείας ἀρχάς. ἡ γὰρ τοῦ κινουμένου περὶ τὸ μένον στροφὴ τὸν κύκλον ἀπογεννῶσα μιμεῖται τὴν κατὰ κύκλον ἐπάνοδον. Ζεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι τὸ ἐπ᾽ ἄπειρον ἐκβάλλεσθαι οὐ πάσαις ὑπάρχει γραμμαῖς· οὔτε γὰρ τῇ κυκλικῇ οὔτε τῇ κισσοειδεῖ οὔτε ὅλως ταῖς σχηματογραφούσαις, ἀλλ᾽ οὐδὲ ταῖς μὴ ποιούσαις σχῆμα. οὐδὲ γὰρ ἡ μονόστροφος ἕλιξ ἐπ᾿ ἄπειρον ἐκβάλλεται —- μεταξὺ γὰρ δύο σημείων ἔχει τὴν σύστασιν — οὐδὲ τῶν ἄλλων οὐδεμία γραμμῶν τῶν οὕτω γεννωμένων. ἀλλ᾽ οὐδὲ ἀπὸ παντὸς σὴμείου δυνατὸν ἐπὶ πᾶν πᾶσαν ἐπιξευγνύναι γραμμήν᾽ οὐ γὰρ πᾶσα μεταξὺ πάντων σημείων ὑφίστασθαι δύναται. Τοσαῦτα καὶ περὶ τούτων᾽ ἐπὶ δὲ τὰ ἑξῆς ἴωμεν.
Postulate 4: Equality of All Right Angles¶
Euclid: [I.post.4]
Ρεί. Π.[ Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. Τοῦτο εἰ μὲν ὡς ἐναργὲς καὶ μὴ δεόμενον ἀπο-
δείξεως συγχωροῦμεν, αἴτημα μὲν οὐκ ἔστιν κατὰ τὸν Γεμῖνον. ἀξίωμα δέ. συμβεβηκὸς γάρ τι καθ᾽ αὑτὸ λέγει ταῖς ὀρθαῖς, ἀλλ᾽ οὐ πορίσασθαί [τι] δι’ ἁπλῆς ἐπινοίας ἀξιοῖ. ἀλλ᾽ οὐδὲ κατὰ τὴν ᾿Δριστοτέλους διαίρεσιν αἴτημά ἐστι. τὸ γὰρ αἴτημα κατ᾽ ἐχεῖνον δεῖται ἀποδείξεως τινός. εἰ δὲ ἀποδεικτὸν αὐτὸ φαῖμεν εἶναι καὶ ζητοῖμεν αὐτοῦ τὴν ἀπόδειξιν, οὐδ᾽ ὡς κατὰ τὸν Γεμῖνον ἐν τοῖς αἰτήμασι ταχθήσεται. προφαίνεται μὲν οὖν καὶ κατὰ τὰς κοινὰς ἡμῶν ἐπινοίας ἡ τῶν ὀρθῶν ἰσότης, μονάδος δὲ ἔχουσα λόγον ἢ ὅρον πρὸς τὴν ἐπ᾽ ἄπειρον αὔξησιν καὶ ἐλάττωσιν τῶν ἐφ᾽ ἑκάτερα γωνιῶν ἴση ἐστὶ πρὸς πᾶσαν ὀρθήν. καὶ γὰρ τὴν πρώτην οὕτως ὑπεστήσαμεν ] τὴν ὀρθήν, ἴσας τὰς ἐφ᾽ ἑκάτερα γωνίας
ἤ δ ποιήσαντες τῆς ἐφεστώσης εὐθείας, πρὸς ἣν ἐφ22 ἕστηκεν. εἰ δὲ δεῖ καὶ ἀπόδειξιν αὐτοῦ παρα. ᾿ θέσθαι γραμμικήν, ἔστω-
σαν δύο ὀρθαὶ αἱ ὑπὲὶ
αβγ καὶ ὑπὸ δεξ. λέγω 28 δὴ ὅτι ἴσαι εἰσίν. εἰ γὰρ μή, ἡ ἑτέρα μείξων. ἔστω ἡ
πρὸς τὸ β. ἐφαρμοξομένης ἄρα τῆς δὲ ἐπὶ τὴν αβ ἡ
εξ ἐντὸς πεσεῖται, πιστεύω ὡς ἡ βη; καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ βγ ἐπὶ τὸ ὃ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ αβγ, ὀρθὴ καὶ ἡ ὑπὸ αβθ καὶ ἴσαι ἀλλήλαις – ἔχομεν γὰρ ἐν τοῖς ὅροις ὅτε ἡ ὀρθὴ γωνία ἴση τῇ ἐφεξῆς — ἡ ἄρα ὑπὸ αβθ μείζων τῆς ὑπὸ αβγ. πάλιν ἐκβεβλήσθω ἡ βη ἐπὶ τὸ π. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὲ αβη, καὶ ἡ ἐφεξῆς
ὀρθὴ διὰ ταῦτα καὶ ἴση τῇ ὑπὸ αβη. ἡ ἄρα ὑπὸ αβκχ ᾿ἔση τῇ ὑπὸ αβη, ὥστε ἡ ὑπὸ αβθ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ αβη, ἀλλὰ μείζων, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὀρθὴ μείζων ὀρθῆς.
Τοῦτο μὲν οὖν καὶ ἄλλοις δέδεικται τῶν ἐξηγητῶν καὶ οὐ πολλῆς ἐδεῖτο πραγματείας, ὁ δὲ Πάππος ἐπέστησεν ἡμᾶς ὀρθῶς, ὅτι τὸ ἀντίστροφον οὐκέτι ἀληθές, τὸ τὴν ἴσην τῇ ὀρθῇ γωνίαν ἐκ παντὸς εἶνα: ὀρθήν, ἀλλ᾽ εἰ μὲν εὐθύγραμμος εἴη, πάντως ὀρθὴν εἶναι, δύνασθαι δὲ καὶ περιφερόγραμμον ) γωνίαν ἴσην ὀρθῇ δειχθῆναι, καὶ δῆλον, ὡς οὐκέτι τὴν τοιαὐτην ὀρθὴν (εἶναι δύνασθαι ὃ) προσαγορεύσομεν. κατὰ γὰρ τὴν τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν τομὴν τὴν ὀρθὴν ἐλαμβάνομεν ὑφιστάντες αὐτὴν ὑπὸ εὐθείας ἐφεστώσης ἀκλινῶς πρὸς τὴν ὑποκειμένην, ὥστε ἡ ἴση τῇ
ὀρθῇ οὐ πάντως ὀρθή ἐστιν, εἴπερ μηδὲ εὐθύγραμμος.
νενοήσθωσαν οὖν εὐθεῖαι δύο ἴσαι αἴ αβ βγ ποιοῦσαι
τὴν πρὸς τὶ β ὀρθήν, καὶ ἔστωσαν ἴσα καὶ ἐπ᾽ αὐτῶν ἡμικύχλια κέντρῳ καὶ διαστήματι γραφέντα τὰ αεβ - βξγ. ἐπεὶ οὖν ἴσα τὰ ἡμικύκλια, ἐφαρμόσει ἀλλήλοις, καὶ ἴση ἡ
ο΄ ὑπὸ εβα γωνία τῇ ὑπὸ ξβγ. Ἃ κοινὴ προσχείσθω ἡ λοιπὴ ἡ ᾿ ὑπὸ αβξ᾽ ὅλη ἄρα ἡ ὀρθὴ ἴση ἐστὶ τῇ μηνοειδεῖ τῇ ὑπὸ εβξ.
καὶ ὅμως οὐκ ἔστιν ἡ μηνοειδὴς ὀρθή. τῷ δὲ αὐτῷ
τὸ τρόπῳ καὶ ἀμβλείας οὔσης ἢ ὀξείας τῆς ὑπὸ αβγ δειχθήσεται αὐτῇ ἴση γωνία ἡ μηνοειδής. τοῦτο γάρ ἐστι τὸ εἶδος τῶν περιφερογράμμων γωνιῶν τὸ συμβιβαζόμενον ταῖς εὐθυγράμμοιρ᾽ πλὴν τό γε τοσοῦτον ἰστέον ἐκὶ μὲν τῆς ἐρθῆς καὶ τῆς ἀμβλείας προσθεῖναι δεῖ τὴν μεταξὺ γωνίαν τῆς
αβ εὐθείας καὶ βξ περιφερείας, ἐπὶ δὲ τῆς ὀξείας ἀφελεῖν. ἡ γὰρ αβ εὐθεῖα τέμνει τὴν βξ περιφέρειαν. ἐκκείσθω οὖν ἕκατέρας τῶν ὑποθέσεων τὰ δια-
γράμματα.
Ταῦτα μὲν οὖν ἀναγεγράφθω δεικνύντα καὶ ὅτι πᾶσαι αἰ ὀρθαὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ καὶ ὅτι οὐ πάντως ἡ τῇ ὀρθῇ ἴση ὀρθή ἐστιν. εἰ γὰρ μηδὲ εὐθύγραμμος εἴη, πῶς ἂν ὀρθήν τις εἴποι τὴν τοιαύτην;
Φανερὸν δὲ καὶ ἐκ τοῦδε τοῦ αἰτήματος, ὅτι ἢ ὀρθότης τῆς γωνίας τῇ ἰσότητι συγγενής ἐστιν, ὥσπερ ἡ ὀξύτης καὶ ἀμβλύτης τῇ ἀνισότητι. καὶ γάρ ἐστιν ἡ μὲν ὀρθότης αὐτῇ τῇ ἰσότητι σύστοιχος — ἀμφότεραι γὰρ ὑπὸ τὸ πέρας, ὥσπερ δὴ καὶ ἡ ὁμοιότης —-
ἡ δὲ ὀξύτης καὶ ἀμβλύτης τῇ ἀνισότητι, καθάπερ καὶ το ἡ ἀνομοιότης᾽ ἀπειρίας γὰρ ἔχγονοι πᾶσαι. [ διὸ καὶ οὗ μὲν τὸ ποσὸν ὁρῶντες τῶν γωνιῶν τὴν ὀρθὴν ἴσην τῇ ὀρθῇ λέγουσιν, οἱ δὲ τὸ ποιὸν ὁμοίαν. ὅπερ γάρ ἐστιν ἐν ποσοῖς «ἡ ἰσότης τοῦτο ἐν τοῖς ποιοῖς ἡ ὁμοιότης. 1δ
Ῥοΐ. Υ. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάττονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς εὐθείας ἐπ᾽ ἄπειρον συμπίπτειν, ἕφ᾽ ἃ μέρη
εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλλάττονες.
Τοῦτο καὶ παντελῶς διαγράφειν χρὴ: τῶν αἰτημάτων θεώρημα γάρ ἐστι, πολλὰς μὲν ἀπορίας ἐπιδεχόμενον, ἃς καὶ ὁ Πτολεμαῖος ἔν τινι βιβλίῳ διαλῦσαι προύθετο, πολλῶν δὲ εἰς ἀπόδειξιν δεόμενον καὶ ὅρων καὶ θεωρημάτων. καὶ τό γε ἀντιστρέφον
Postulate 5: The Parallel Postulate & Asymptotic Curves¶
Euclid: [I.post.5]
καὶ ὁ Εὐκλείδης ὡς θεώρημα δείκνυσιν. ἴσως δὲ ἄν τινες ἀπατώμενοι καὶ τοῦτο τάττειν ἐν τοῖς αἰτήμασιν ἀξιώσειαν, ὡς διὰ τὴν ἐλάττωσιν τῶν δύο ὀρθῶν αὐτόθεν τὴν πίστιν παρεχόμενον τῆς τῶν εὐθειῶν ὃ συνεύσεως καὶ συμπτώσεως. πρὸς οὺὗς ὁ Γεμῖνος ὀρθῶς ἀπήντησε λέγων ὅτι παρ᾽ αὐτῶν ἐμάθομεν τῶν τῆς ἐπιστήμης ταύτης ἡγεμόνων μὴ πάνυ προσέχειν τὸν νοῦν ταῖς πιθαναῖς φαντασίαις εἰς τὴν τῶν λόγῶν τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παραδοχήν. ὅμοιον γάρ φησι καὶ ᾿Δριστοτέλης ῥητορικὸν ἀποδείξεις ἀπαιτεῖν καὶ γεωμέτρου πιθανολογοῦντος ἀνέχεσθαι, καὶ ὁ παρὰ τῷ Πλάτωνι Σιμμίας, ὅτι τοῖς ἐκ τῶν εἰχότων τὰς ἀποδείξεις ποιουμένοις σύνοιδα οὖσιν ἀλαξόσι“. κἀνταῦθα τοίνυν τὸ μὲν ἠλαττωμένων τῶν ὀρθῶν συνεύειν τὰς εὐθείας ἀληθὲς καὶ ἀναγκαῖον, τὸ δὲ συνευούσας ἐπὶ πλέον ἐν τῷ ἐκβάλλεσθαι συμπεσεῖσθαί ποτὲ πιθανόν, ἀλλ᾽ οὐκ ἀναγκαῖον, εἰ μή τις ἀποδείξειεν λόγος, ὅτι ἐπὶ τῶν εὐθειῶν τοῦτο ἀληθές. τὸ γὰρ εἷναί τινας γραμμὰς συνιούσας μὲν ἐπ᾽ ἄπειρον, 2. ἀσυμπτώτους δὲ ὑπαρχούσας, καίτοι δοχοῦν ἀπίθανον εἶναι καὶ παράδοξον, ὕμως ἀληθές ἐστι καὶ πεφώραται ἐπ’ ἄλλων εἰδῶν τῆς γραμμῆς. μήποτε οὖν τοῦτο καὶ ἐπὶ τῶν εὐθειῶν δυνατόν, ὕπερ ἐπ᾿ ἐκείνων τῶν γραμμῶν; ἕως γὰρ ἂν δι’ ἀποδεί] ἕξεως αὐτὸ καταδησώ26 μεθα, περισπᾷ τὴν φαντασίαν τὰ ἐπ᾽ ἄλλων δεικνύμενα γραμμῶν. εἰ δὲ καὶ οἷ διαμφισβητοῦντες λόγοι πρὸς τὴν σύμπτωσιν ᾿ πολὺ τὸ πληκτικὸν ἔχοιεν, πῶς οὐχὶ πολλῷ πλέον ἂν τὸ πιθανὸν τοῦτο καὶ τὸ ἄλογον ἐκβάλλοιμεν τῆς ἡμετέρας παραδοχῆς;
.4λλ᾽ ὅτι μὲν ἀπόδειξιν χρὴ ζητεῖν τοῦ προκειμένου θεωρήματος δῆλον ἐκ τούτων, καὶ ὅτι τῆς τῶν αἰτημάτων ἐστὶν ἀλλότριον ἰδιότητος, πῶς δὲ ἀποδεικτέον αὐτὸ καὶ διὰ ποίων λόγων ἀναιρετέον τὰς πρὸς
αὐτὸ φερομένας ἐνστάσεις, τηνικαῦτα λεκτέον, ἡνίχα ὃ
ἂν καὶ ὁ στοιχειωτὴς αὐτοῦ μέλλῃ ποιεῖσθαι μνήμην ὡς ἐναργεῖ προσχρώμενος. τότε γὰρ ἀναγκαῖον αὐτοῦ δεῖξαι τὴν ἐνάργειαν οὐχ ἀναποδείκτως προφαινομένην ἀλλὰ δι’ ἀποδείξεων γνώριμον γιγνομένην.
Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα, καὶ ἐὰν ἴσα ἴσοις προστεθῇ, τὰ ὅλα ἴσα ἐστίν, καὶ ἐὰν ἴσων ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἐστίν, καὶ τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖξον, καὶ τὰ ἐφαρμόξοντα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Ταῦτ᾽ ἐστὶ τὰ κατὰ πάντας ἀναπόδεικτα καλούμενα ἀξιώματα, καθόσον ὑπὸ πάντων οὕτως ἔχειν ἀξιοῦται, καὶ διαμφισβητεῖ καὶ πρὸς ταῦτα οὐδείς. πολλάκις μὲν γὰρ καὶ τὰς προτάσεις ἁπλῶς ἀξιώματα καλοῦσιν, ὁποῖαί ποτε ἂν ὦσιν εἴτε ἄμεσοι κυρίως εἴτε καὶ δεομεναί τινος ὑπομνήσεως, καὶ οἵ γε ἀπὸ
Common Notions (Axioms 1–5): Apollonius, Heron & Pappus¶
Euclid: [I.cn.1]
τῆς Στοᾶς ἅπαντα λόγον ἁπλοῦν ἀποφαντικὸν ἀξίωμα προσαγορεύειν εἰώθασιν. καὶ ὅταν διαλεκτικὰς ἡμῖν γράφωσι τέχνας περὶ ἀξιωμάτων, τοῦτο διὰ τῶν ἐπιγραμμάτων δηλοῦν ἐθέλουσιν. ἀκριβέστερον δέ τινες · ἀπὸ τῶν ἄλλων προτάσεων διακρίνοντες τὸ ἀξίωμα τὴν ἄμεσον καὶ αὐτόπιστον δι᾿ ἐνάργειαν πρότασιν οὕτως ὀνομάζουσιν, ὥσπερ καὶ ὁ ᾿ἀριστοτέλης καὶ οἱ γεωμέτραι λέγουσιν. ταὐτὸν γάρ ἐστιν κατὰ τούτους ἀξίωμα καὶ ἔννοια [ κοινή. πολλοῦ ἄρα δεήσοτὸ μὲν ἡμεῖς τὸν γεωμέτρην ᾿Απολλώνιον ἐπαινεῖν, ὃς καὶ τῶν ἀξιωμάτων ὡς οἴεται γέγραφεν ἀποδείξεις, ἀπεναντίας Εὐκλείδῃ φερόμενος. ὁ μὲν γὰρ καὶ τὲ ἀποδειχτὸν ἐν τοῖς αἰτήμασι κατηρίθμησεν, ὁ δὲ καὶ τῶν ἀναποδείκτων ἐπεχείρησεν ἀποδείξεις εὑρίσκειν. ιό ἦν δὲ ἄρα διωρισμένα ταῦτα ἀπ᾽’ ἀλλήλων τῇ φύσει καὶ τῶν ἐπιστημῶν διαφέρον τὸ γένος τῶν τε περὶ τὰς ἀμέσους προτάσεις καὶ πάντη δι᾽ ἐνάργειαν προσ-
πιπτούσας καὶ τῶν ταῖς ἀποδείξεσι᾿ χρωμένων. αἵ τὰς ἀρχὰς ἀπ᾽ ἐκείνων λαμβάνουσι καὶ λαβοῦσαι χρῶνται ὦν πρὸς τὰ οἰκεῖα συμπεράσματα δεόντως. ὅτι δὲ καὶ ἡ ἀπόδειξις, ἣν ὁ ᾿4πολλώνιος εὑρηκέναι πέπεισται τοῦ πρώτου τῶν ἀξιωμάτων, οὐδὲν μᾶλλον ἔχει τὸ μέσον τοῦ συμπεράσματος γνωριμότερον, εἰ μὴ καὶ πλέον ἀμφισβητούμενον, μάθοι τις ἂν ἐπιβλέψας εἰς
1 αὐτὴν καὶ σμικρόν. ἔστω γάρ, φησὶ, τὸ α τῷ β ἴσον,
τοῦτο δὲ τῷ γ, λέγω ὅτι καὶ τὸ α τῷ γ ἴσον. ἐπεὶ , . “πὸ. Ὁ 4 5… ». α , , γὰρ τὸ ἃ τῷ β ἴσον τὸν αὐτὸν αὐτῷ κατέχει τόπον,
καὶ ἐπεὶ τὸ β τῷ γ ἴσον, τὸν αὐτὸν καὶ τούτῳ κατέχει τόπον. καὶ τὸ α ἄρα τῷ γ 3 3.· ’ ·Ὅ»ἬἌ ( τὸν αὕτον κατέχει τόπον. ἴσα ἄρα ἐστίν.“ ν δη τουτοις δυο προλαβεῖν ἀναγκαῖον, ἕν μὲν ὅτι τὰ τὸν αὐτὸν κατέχοντα τόπον ἀλλήλοις ἴσα ἐστίν, ἕτερον δὲ ὅτι τὰ τῷ αὐτῷ τὸν αὐτὸν κατέχοντα τόπον καὶ ἀλλήλοις τὸν αὐτὸν κατέχει τόπον. ταῦτα δὲ ὅτι πολλῷ ἀσαφέστερα τοῦ προτεθέντος ἀξιώματος ἐναργές· πῶς γὰρ τὰ τὸν αὐτὸν ἐχπληροῦντα τόπον ἴσα ἐστίν; καθ᾽ ὅλα ἢ κατὰ κι] ᾿ . .Ἁ , 4 3
μέρος ἡ κατὰ σχηματισβμὸν λόγου; διί καὶ οὐκ ἔστι παντελῶς εὐπαράδεκτον τὸ μεταβαίνειν ἐπὶ τὸν τόπον, ὃς ἐστιν ἀγνωστότερος ἡμῖν τῶν ἐν τόπῳ ὄντων. χαλεπὴ γοῦν καὶ ἡ εὕρεσις τῆς οὐσίας καὶ ἀμφισβητήσιμος. ἵν᾽ οὖν μὴ μακρηγορῶμεν, πάντα ἀξιώματα ὡς ἄμεσα καὶ αὐτοφανῆ παραδοτέον, γνώριμα ἀφ᾽ ἕαυτῶν ὄντα καὶ πιστά. ὁ γὰρ τοῖς φανερωτάτοις ἀπόδειξιν προσάγων οὐ βεβαιοῖ τὴν περὶ αὐτῶν ἀλήθειαν,
ἀριθμοῖς καὶ κινήσεσι καὶ χρόνοις. καὶ τοῦτο ἀναγκαίως. τὸ γὰρ ἴσον καὶ ἄνισον καὶ τὸ ὅλον καὶ τὸ μέρος [ καὶ τὸ μεῖξον καὶ τὸ ἔλασσον κοινὰ καὶ τῶν διῃρημένων ἐστὶ ποσῶν καὶ τῶν συνεχῶν. ῆ τε οὖν
6 περὶ τοὺς χρόνους θεωρία δεῖται πάντων τούτων ὡς ἐναργῶν καὶ ἡ περὶ τὰς κινήσεις καὶ ἡ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς καὶ τὰ μεγέθη, καὶ ἐπὶ πάντων ἀληθές, καὶ τὸ τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἴσα εἶναι καὶ τῶν λοιπῶν, ὅπερ ἂν λάβωμεν. κοινοῖς δὲ οὖσιν ἕκαστος
χρῆται κατὰ τὴν οἰκεῖαν ὕλην, ἐφ᾽ ὅσον αὐτὴ ἀπαιτεῖ, καὶ ὁ μὲν ὡς ἐπὶ μεγεθῶν, ὁ δὲ ὡς ἐπ᾿ ἀριθμῶν, ὁ δὲ ὡς ἐπὶ χρόνων αὐτῷ προσχρῆται. καὶ οὕτως ἴδια γίνεται τὰ συμπεράσματα καθ᾽ ἑκάστην ἐπιστήμην κἂν ἡ τὰ ἀξιώματα κοινά.
Καὶ μὴν καὶ τὸν [ ἀριθμὸν αὐτῶν οὔτε εἰς ἐλάχιστον δεῖ συναιρεῖν, ὡς ἬἭρων ποιεῖ τρία μόνον ἐκθέμενος — ἀξίωμα γὰρ καὶ ὅτι τὸ ὅλον τοῦ μέρους μεῖζον, καὶ ὁ γεωμέτρης πολλαχοῦ καὶ τοῦτο παραλαμβάνει πρὸς τὰς ἀποδείξεις, καὶ ὅτε τὰ ἐφαρμό-
ζοντα ἴσα᾽ καὶ γὰρ τοῦτο εὐθὺς ἐν τῷ τετάρτῳ συντελέσει πρὸς τὸ ξητούμενον — οὔτε αὖ προστιθέναι ἄλλα ἐπ᾽ ἄλλοις, ὧν τὰ μέν ἐστιν ἴδια τῆς γεωμετρικῆς ὕλης, ὡς δύο εὐθείας χωρίον μὴ περιέχειν, καίτοι τῶν ἀξιωμάτων τοῦ κοινοῦ γένους ὄντων, ὡς εἴπομεν.
“5. τὰ δὲ ἔπεται τοῖς ἐκκειμένοις, οἷον τὸ ἴσα εἶναι τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια. τοῦτο γὰρ ἀκολουθεῖ τῷ ἂν ἴσοις ἴσα προστεθῖ τὰ ὅλα ἴσα εἶναι. τὰ γὰρ ἴσον τῷ
ἡμίσει προσλαβίντα αὐτὸ τὸ ἥμισυ διπλάσια γίνεται τοῦ αὐτοῦ καὶ ἴσα ἀλλήλοις διὰ τὴν ἴσην προσθήκην. καὶ κατὰ τοῦτον τὸν λόγον οὐ τὰ διπλάσια μόνον, ἀλλὰ καὶ τὰ τριπλάσια καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ πολλαπλάσια πάντα ἴσα φανήσεται. Τούτοις δὲ τοῖς ἀξιώμασιν ὁ Πάππος συναναγράφεσθθαί φησιν ὅτι καὶ ἂν ἴσοις ἄνισα προστεθῇ» ἡ τῶν ὅλων ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶν τῇ τῶν προστεθέντων, καὶ ἀνάπαλιν, ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, ἡ τῶν ὅλων ὑπεροχὴ ἴση ἐστὶ τῇ τῶν ἐξ ἀρχῆς. καί ἐστι καὶ ταῦτα 1 προφανὴ μὲν ἀφ᾽ ἑαυτῶν, δείκνυται δὲ ὅμως τοῦτον
τὸν τρόπον. ἔστω ἴσα τὰ α β, καὶ προσκείσθω αὐτοῖς
ἄνισα τὰ 7 ὃ, μεῖζον δὲ τὸ Ὑ τοῦ ὃ τῷ
ε, Γ᾿ ἐπεὶ οὖν τὸ ἃ τῷ β ἴσον καὶ τὲ ξ ; )
τῷ ὃ, τὸ αξ τῷ βὸ ἴσον. ἐὰν γὰρ ἴσοις ξ ὃς
ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἴσα. ᾿ἶτὸ ἄρα γα
τοῦ βὸ τῷ ε μόνῳ ὑπερέχει, ᾧ καὶ τὸ 7 ω
μόνον ὑπερεῖχεν τοῦ ὃ. πάλιν ἄνισα τὰ γ ὃ καὶ προσκχείσθω ἴσα τὰ α β, καὶ ἔστω τοῦ γ πρὸς
ἕξι ἣ · τ τ τως τὸ ὃ ὑπεροχὴ τὸ ε. ] ἐπεὶ οὖν τὸ ἃ τῷ β ἴσον 0
Ἴ ἴσοις ἴσα Ο., 9. ἀινίσας ἴσοις Ο, ἀνίσοις ἴσας Ο. ἢ ἴὰ Ἢ δἀβοτὶρίαγη οδθὲ ἰπ τρδυρίηθ: τὸ ἄνισα οὐκ πρὸς ἄλληλα ἀκουστέον ἀλλὰ πρὸς τά, πρὸς ἃ προστίθεται. 18 τὰ ὃ 7 Μ᾿ δέ τοι γὙ Ο, δὲ τὸ 7 0. ᾿ τῷ εἸ τοῦ ε δ… ἢ Ῥοεῖ τῷ Σ δἄᾶϊ! ἸΘ]ααῦπι νθγὸ οἱῦ {᾽, αυοᾶ, οὐπὶ ὁχ ἀϊαθτδηιτηδία ροβθὶϊ ἴη(6}]1Πσὶ, παπᾶ βοῖο δὰ ἄθ δο 3 δάϊβοουϊ, 1ὅ, 16 ἔσα ἴσοις Ο.
Απίθ τὸ ἄρα Θαυΐάθιῃ ραΐο ὀχοϊάϊδδθ: μεῖζον δὲ τὸ αὙ τοῦ αἕ τῷ ε.} γα] γὃ Ἡ, δ. 50 τοῦ τ 6. ἢ Ῥοεὶ τὸ ξ δἅαι 3. “Το ααστλ σοσοὸ ἔ᾽,
καὶ [ἶτὸ αξ ἴσον τῷ βδ, ὅλον ἄρα τὸ ἂγ τοῦ βὸ τῷ ε
μόνῳ ὑπερέχει, ᾧ ὦ καὶ τὸ γ τοῖ ὃ. Ταῦτα οὖν ἔπεται τοῖς προειρημένοις ἀξιώμασι καὶ εἰκότως ἐν τοῖς πλείστοις ἀντιγράφοις παραλείπε6ται, ὁσα δὲ ἄλλα τούτοις προστίθησιν, προείληπται διὰ τῶν ὅρων καὶ ἐκείνοις ἀκόλουθα, οἷον ὅτι πάντα τοῦ ἐπιπέδου τὰ μόρια καὶ τῆς εὐθείας ἀλλήλοις ἐφαρ-
μύττει — τὰ γὰρ εἰς ἄκρον τεταμένα τοιαύτην ἔχει φύσιν — καὶ ὅτι γραμμὴν μὲν διαιρεῖ σημεῖον, ἐπιφάνειαν δὲ γραμμή, στερεὸν δὲ ἐπιφάνεια — πάντα
γὰρ διαιρεῖται τούτοις, ὑφ᾽ ὧν καὶ περατοῦται προσ-
εχῶς — καὶ ὅτι τὸ ἄπειρον ἐν τοῖς μεγέθεσίν ἐστιν
καὶ τῇ προσθέσει καὶ τῇ ἐπικαθαιρέσει, δυνάμει δὲ
ἑχάτερον᾽ πᾶν γὰρ συνεχὲς ἐπ᾽ ἄπειρον διαιρετόν ἐστι καὶ αὐξητόν.
Ιοΐεν καὶ οἵ τὸ αὗ δχοΐαΐ589 νἱἀθίαν τὸ ξ τῷ ὃ; 8 αἄᾶιϊι
Problems vs. Theorems & The Six Canonical Parts of a Proposition¶
᾿.4λλ᾽ ἐπεὶ καὶ ταῦτα συνεκεφαλαιωσάμεθα, τῶν μετὰ τὰς ἀρχὰς λοιπῶν τὴν ἐπίσκεψιν ποιησόμεθα᾽· μέχρι γὰρ τούτων αἴ ἀρχαί. τῶν δὲ πρὸς γεωμετρίαν ἐνστάντων οἵ μὲν πλεῖστοι πρὸς τὰς ἀρχὰς ἠπόρησαν
ἀνυπόστατα τὰ μέρη δεικνύναι σπουδάσαντες — ὧν καὶ’
οὗ λόγοι διατεθρύληνται, τῶν μὲν καὶ πᾶσαν ἐπιστήμην ἀναιρούντων καὶ ὥσπερ πολεμίων καρποὺς ἐξ ἀλλοτρίας χώρας καὶ γονίμου τῆς φιλοσοφίας ἀφανιξόντων ὥσπερ τῶν Ἐφεκτικῶν, τῶν δὲ τὰς γεωμετρικὰς μόνας ἀρχὰς ἀνατρέπειν προθεμένων, ὥσπερ τῶν Ἐπικουρείων — οἵ δὲ ἤδη καὶ ταῖς ἀρχαῖς ἐπιτρέψαντες οὐ φασὶ τὰ μετὰ τὰς ἀρχὰς ἀποδείκνυσθαι, μὴ συγχωρηθέντος αὐτοῖς καὶ ἄλλου τινύς, ὃ μὴ
προείληπται ἐν ταῖς ἀρχαῖς. τοῦτον γὰρ τὸν τρόπον τῆς ἀντιρρήσεως μετῆλθεν Ζήνων ὁ Σιδώνιος μέν.
τῆς δὲ ᾿Επικούρου μετασχὼν αἱρέσεως, πρὸς ὃν καὶ ὁ Ποσειδώνιος ὅλον γέγραφε βιβλίον δεικνὺς σαθρὰν αὐτοῦ πᾶσαν τὴν ἐπίνοιαν. ᾿4λλ᾽ αἱ μὲν ὑπὲρ τῶν ἀρχῶν ἀντιλογίαι μετρίως ἡμῖν διὰ τῶν ἔμπροσθεν ἠνύσθησαν, τὴν δὲ τοῦ Ζήνῶνος ἐπιβολὴν μικρὸν ὕστερον ἐπισκεψόμεθα. νυνὶ ὃΣ ἀναλαβόντες ἐπὶ βραχὺ τὸν τῶν θεωρημάτων καὶ προβλημάτων λόγον καὶ περὶ τῆς διαφορᾶς αὐτῶν καὶ τῶν ἑκατέρου μερῶν καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς διαιρέσεων ἐπὶ τὴν ἐξήγησιν τραπώμεθα τῶν δεικνυμένων ὑπὸ τοῦ στοιχειωτοῦ, τὰ μὲν γλαφυρώτερα τῶν εἰς αὐτὰ γεγραμμένων τοῖς παλαιοῖς ἀναλεγόμενοι καὶ τὴν ἀπέραντον αὐτῶν πολυλογίαν συντέμνοντες, τὰ δὲ ] τεχνικώτερα καὶ μεθόδων ἐπιστημονικῶν ἐχόμενα ιὸ παραδιδόντες, τῇ τῶν πραγμάτων ἐπεξεργασίᾳ πλέον ἀπονέμοντες ἢ τῇ ποικιλίᾳ τῶν πτώσεων καὶ τῶν λημμάτων, οἷς ὡς τὸ πολὺ τοὺς νεαροπρεπεῖς ἐπιτρέχον᾿ τὰς ὁρῶμεν.
Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας 2) πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
Τῆς ἐπιστήμης πάσης διττῆς οὔσης καὶ τῆς μὲν περὶ τὰς ἀμέσους προτάσεις ἀσχολουμένης, τῆς δὲ περὶ
τὰ ἐξ ἐκείνων δειχνύμενα καὶ ποριζόμενα καὶ ὅλως περὶ τὰ ἀκόλουθα ταῖς ἀρχαῖς ἐξελιττούσης τὴν ἑαυτῆς
πραγματείαν, αὕτη πάλιν ἐν τοῖς γεωμετρητοῖς λόγοις διεῖλεν ἑαυτὴν εἴς τε τὴν τῶν προβλημάτων ἀπεργασίαν καὶ τὴν τῶν θεωρημάτων εὕρεσιν, προβλήματα μὲν καλέσασα, ἐν οἷς τὰ μὴ ὄντα πω πορίσασθαι προτίθεται καὶ εἰς ἐμφανὲς παραγαγεῖν καὶ προσμηχανήσασθαι, θεωρήματα δέ, ἐν οἷς τὸ ὑπάρχον ἢ μὴ ὑπάρχον ἰδεῖν καὶ γνῶναι καὶ ἀποδεῖξαι προαιρεῖται. τὰ μὲν γὰρ γενέσεις καὶ θέσεις καὶ παραβολάς, ἀναγρα- τὸ φὰς καὶ περιγραφὰς καὶ ἐναρμόσεις καὶ ἐπαφὰς καὶ ὅσα τοιαῦτα ὑποστήσασθαι παρακελεύεται, τὰ δὲ τὰ συμπτώματα καὶ τὰ καθ᾽ αὑτὰ ὑπάρχοντα τοῖς ὑποκειμένοις τῇ γεωμετρίᾳ πιέσαι καὶ καταδήσασθαι σπεύδει διὰ τῶν ἀποδείξεων. περὶ ὅσων γε μὴν ξη- τὸ τήσεις γενέσθαι δυνατόν, περὶ τούτων πάντων ἡ γεωμετρία ποιεῖται τὸν λόγον, τὰ μὲν εἰς τὰ προβλήματα ἀναφέρουσα, τὰ δὲ εἰς τὰ θεωρήματα. καὶ γὰρ τὸ τί ἐστι ξητεῖ, καὶ τοῦτο διχῶς, ἢ γὰρ τὸν λόγον ξητεῖ καὶ τὴν νόησιν, ἢ τὴν οὐσίαν αὐτὴν τοῦ ὑποκειμένου. λέγω δὲ οἷον ὅταν ζητῇ, τίς ἡ ὁμοιομερὴς γραμμή. τοῦτο γὰρ ζητοῦσα ἢ τὸν ὅρον εὑρεῖν ἐθέλει τῆς τοιαὐτῆς γραμμῆς, ὅτι ὁμοιομερής ἐστι γραμμὴ ἡ πάντα τὰ μόρια πᾶσιν ἐφαρμόξοντα ἔχουσα, ἢ αὐτὰ τὰ εἴδη τῶν ὁμοιομερῶν γραμμῶν λαβεῖν, οἷον ὅτι ἢ εὐθεῖά
ἐστιν, ἢ περιφερής, ἢ περὶ κύλινδρον ἕλιξ. καὶ πρὸς τούτῳ Ἰ τὸ εἴ ἐστιν αὐτὸ καθ᾿ αὑτὸ ξητεῖ — καὶ τοῦτο μάλιστα ἐν τοῖς διορισμοῖς ἐξετάζουσα, εἰ ἀδύνατον τὸ διὰ τοῦτο ζητούμενον ἢ δυνατόν, καὶ μέχρι τίνος 6 ἐγχωρεῖ καὶ ποσαχῶς — καὶ μὴν καὶ τὸ ὁποῖόν τί ἐστιν᾽ ὅταν γὰρ τὰ καθ᾽ αὑτὰ συμβεβηκότα τῷ τριγώνῳ καὶ τῷ κύκλῳ καὶ ταῖς παραλλήλοις ἐπισχοπῇ, δῆλον ὅτι τὸ ὁποῖόν ἐστιν ἐνταῦθα ξητεῖ. Τήν γε μὴν αἰτίαν καὶ τὸ διὰ τί πολλοῖς μὲν ἔδοξεν ἥ γεωμετρία μὴ θεωρεῖν — ταύτης γάρ ἐστι καὶ ὁ “μφίνομος τῆς δόξης Αριστοτέλους κατάρξαντος – εὔροι δ᾽ ἄν τις, φησὶν ὁ Γεμῖνος, καὶ τὴν τούτου ξήτησιν ἐν γεωμετρίᾳ. πῶς γὰρ οὐχὶ γεωμέτρου τὸ ζητῆσαι, δι᾽ ἣν αἰτίαν ἐν μὲν τοῖς κύχλοις ἄπειρα πολυγώνια ἐγγράφεται ἰσόπλευρα, ἐν δὲ ταῖς
σφαίραις οὐκέτι πολύεδρα σχήματα ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια καὶ ἐξ ὁμοίων ἐπιπέδων συγκείμενα δυνατὸν ἐγγφάφειν ἄπειρα; τίνος γὰρ ἂν εἴη τοῦτο καὶ ξητῆσαι καὶ εὑρεῖν ἢ τοῦ γεωμέτρου; ὅταν μὲν οὖν ὁ συλλο0 γισμὸς ἡ δι’ ἀδυνάτου τοῖς γεωμέτραις, ἀγαπῶσι τὸ σύμπτωμα μόνον εὑρεῖν, ὅταν δὲ διὰ προηγουμένης ἀποδείξεως, τότε πάλιν, εἰ μὲν ἐπὶ μέρους αἱ ἀποδεὶἕξεις γίγνοιντο, οὕπω δῆλον τὸ αἴτιον, εἰ δὲ καθ᾽ ὅλον καὶ ἐπὶ πάντων τῶν ὁμοίων, εὐθὺς καὶ τὸ διὰ 46 τί γίγνεται καταφανές.
Περὶ μὲν οὖν τῶν ξητουμένων τοσαῦτα πᾶν δὲ πρόβλημα καὶ πᾶν. θεώρημα τὸ ἐκ τελείων τῶν ἑαυτοῦ μερῶν συμπεπληρωμένον βούλεται πάντα ταῦτα ἔχειν ἐν ἑαυτῷ· πρότασιν, ἔκθεσιν, διορισμόν, κατασκευήν,
ἀπόδειξιν, συμπέρασμα. τούτων δὲ ἡ μὲν πρότασις
λέγει, τίνος δεδομένου τί τὸ ξητούμενόν ἐστιν. ἡ γὰρ τελεία πρότασις ἐξ ἀμφοτέρων ἐστίν. ἡ δ᾽ ἔκθεσις αὐτὸ καθ᾽ αὑτὸ τὸ δεδομένον ἀποδιαλαβοῦσα προευτρεπίξει τῇ ξητήσει. ὁ δὲ διορισμὸς χωρὶς τὸ ξητού[κι 4 Α 3 μενον, ὅτι ποτέ ἐστιν, διασαφεῖ. ἡ δὲ κατασχευὴ τὰ ἐλλείποντα τῷ δεδομένῳ πρὸς τὴν τοῦ ξητουμένου θηραν προστίθησιν. ἡ δὲ ἀπόδειξις ἐπιστημονικῶς ἀπὺ τῶν ὁμολογηθέντων συνάγει τὸ προκείμενον. τὸ δὲ συμπέρασμα πάλιν ἐπὶ τὴν πρότασιν ἀναστρέφει βεβαιοῦν τὸ δεδειγμένον. καὶ τὰ μὲν σύμπαντα μέρη τῶν τε προβλημάτων καὶ τῶν θεωρημάτων ἐστὶ τοσαῦτα᾽ τὰ δὲ ἀναγχαιότατα καὶ ἐν πᾶσιν ὑπάρχοντα πρότασις καὶ ἀπόδειξις καὶ συμπέρασμα. δεῖ γὰρ καὶ προειδέναι τὸ ξητούμενον καὶ δείκνυσθαι τοῦτο διὰ τῶν μέσων καὶ συνάγεσθαι τὸ δεδειγμένον. καὶ τοίτῶν τῶν τριῶν ἐχλείπειν τι τῶν ἀδυνάτων ἐστίν. τὰ δὲ λοιπὰ πολλαχοῦ μὲν παραλαμβάνεται, πολλαχοῦ δὲ καὶ οὐδεμίαν παρέχοντα χρείαν παραλείπεται. διορισμός τε γὰρ καὶ ἔκθεσις οὐκ ἔστιν ἐν ἐκείνῳ τῷ
προβλήματι ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει διπλασίαν τῆς λοιπῆς, ἢ κατασκευὴ δὲ ἐν πλείστοις πάνυ θεωρήμασιν οὐκ ἔστι τῆς ἐχθέσεως ἀποχρώσης ἄνευ προσθήχης ἄλλης ἐκ τῶν δεδομένων δεῖξαι τὸ προχείμενον. πότε οὖν ἐκλιμπάνειν τὴν ἔκθεσέν φαμεν; ὅταν ἐν τῇ προτάσει μηδὲν ἡ δεδομένον, ὅτι ἡ πρότασις διήρηται ὡς ἐπίπαν εἰς δεδομένον καὶ ξητούμενον. οὐ μὴν τοῦτο ἀεὶ γένεται, ἀλλ᾽ ἐνίοτε μόνον λέγει τὸ ζητούμενον, ὃ δεῖ 0 γνῶναι ἢ πορίσασθαι, ὡς ἐπὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος. οὐ γὰρ προλέγει, τίνος δεδομένου δεῖ συστήσασθαι τὸ ἰσοσκελὲς ἔχον ἑχατέραν τῶν ἴσων διπλασίαν τῆς λοιπῆς, ἀλλ᾽ ὅτι δεῖ πορίσασθαι. καὶ γίνεται μὲν κἀνταῦθα ἐκ προγινωσκομένων ἡ τοῦ ιᾶ προκειμένου λῆψις. καὶ γὰρ τί τὸ ἰσοσκελὲς καὶ τί τὸ ἰδον ἢ διπλάσιον εἰδότες τυγχάνομεν. τοῦτο δὲ ἁπάδης διανοητικῆς μαθήσεως ἴδιόν φησιν ᾿ἀριστοτέλης. ὑπόκειται δὲ ὅμως οὐδὲν ἡμῖν ὥσπερ ἐπ᾽ ἄλλων προβλημάτων, οἷον ὅταν λέγῃ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεἡ περασμένην δίχα τεμεῖν. ἐνταῦθα γὰρ εὐθεῖα δέδοται, προσταττόμεθα δὲ αὐτὴν δίχα διελεῖν, καὶ διώρισται, τί μὲν τὸ δεδομένον χωρίς, τί δὲ τὸ ξητούμενον. ὅταν μὲν οὖν ἡ πρότασις ἀμφότερα ἔχῃ, τότε καὶ διορισμὸς εὑρίσκεται καὶ ἔκθεσις, ὅταν δὲ ἐκλείπῃ τὸ ·9 δεδομένον, ἐχλιμπάνει καὶ ταῦτα. ἡ γὰρ ἔκθεσις
1 προβλήματι) Ἐπε]. 1Ὑ,10.Ὁ. 4 ἐκθέσεως) “Ἐχροπί ἱοηο᾽
τοῦ δεδομένου ἐστίν καὶ ὁ διορισμός. ἔσται γὰρ ὁ αὐτὸς τῇ προτάσει. τί γὰρ ἄλλο ἂν εἴποις διοριξόμενος ἐπὶ τοῦ προρρηθέντος προβλήματος, ἢ ὅτι δεὶ εὑρεῖν ἰσοσκελὲς τοιόνδε; τοῦτο δ᾽ ἦν τ πρότασις. ἐὰν ἄρα ἡ πρότασις μὴ ἔχῃ τὸ μὲν δεδομένον, τὸ δὲ ξητούμενον, ἡ μὲν ἔχκθεσις σιωπᾶται τῷ μὴ εἶναι τὸ δεδομένον, ὁ δὲ διορισμὸς παραλείπεται, ἵνα μὴ ὁ
αὐτὸς γένηται τῇ προτάσει. πολλὰ δ᾽ ἂν εὕροις καὶ ἄλλα τοιαῦτα προβλήματα καὶ μάλιστα ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς καὶ ἐν τῷ δεκάτῳ εὑρεῖν δύο εὐθείας δυνάμει συμμέτρους μέσον περιεχούσας καὶ πάντα ὅσα τοιαῦτα. Πὰν γε μὴν τὸ δεδομένον καθ᾽ ἕνα τούτων δίδο« ’ Ἂ Ἔ ’ Ἥ φ ται τῶν τρόπων, ἡ θέσει. ἡ λόγῳ. ἡ μεγέθει, ἡ εἴδει. τὸ μὲν γὰρ σημεῖον θέσει δίδοται μόνον, γραμμὴ δὲ καὶ τὰ ἄλλα πᾶσιν. ὅταν γὰρ λέγωμεν τὴν δοθεῖσαι· γωνίαν εὐθύγραμμον, τὸ εἶδος λέγομεν, ὁποῖον δέδοται τῆς γωνίας, ὅτι εὐθύγραμμον, ἵνα μὴ ξητῶμε: διὰ τῶν αὐτῶν μεθόδων καὶ τὴν περιφερόγραμμον δίχα τεμεῖν, ὅταν δὲ ὅτι δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ανίσων ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφελεῖν. τῷ μεγέθει δέδοται. τὸ γὰρ μεῖξον καὶ ἔλασσον καὶ τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπειρον τοῦ μεγέθους ἐστὶν ἴδι(ι κατηγορήματα. ὅταν δὲ λέγωμεν ὅτι ἐὰν τέσσαρα 1–Ο τοῦ δεδομένου …. ἡ μὲν ἔκθεσις Ὀΐδ τοἀδαϊξαπι 6:1 ἰ) ὦ. ἃ προρρηθέντος) προβληθέντος Πς ν. 3θὅ. 4 τοι-
μεγέθη ἀνάλογον ἥ, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσται. δέδοται ὁ αὐτὸς ᾿ λόγος ἐν τοῖς τέτρασιν μεγέθεσιν. ὕταν ὃὲ πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ χρῇ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι, τότε τῇ θέσει δέδοται τὸ
υ σημεῖον. διὸ καὶ τῆς θέσεως διαφόρου δυναμένης εἶναι καὶ ἡ κατασχευὴ ποικιλίαν ἐπιδέχεται. δίδοται γὰρ τὸ σημεῖον ἢ ἔξω τῆς εὐθείας ἢ ἐπὶ τῆς εὐθείας καὶ ἐπ’ ἄχρων τῆς εὐθείας ἢ ἐν τῷ μεταξὺ τῶν περάτῶν αὐτῆς. τετραχῶς οὖν τοῦ δεδομένου λαμβανο-
μένου δῆλον ὅτι καὶ ἡ ἔκθεσις γίνεται τετραχῶς. ἕἐνίοτε δὲ καὶ δύο συμπλέχει τρόπους καὶ τρεῖς.
Τὴν δὲ λεγομένην ἀπόδειξιν ὅτε μὲν καὶ τὰ ἴδια τῆς ἀποδείξεως ἔχουσαν εὑρήσομεν ἀπὸ τῶν ὁρισμῶν μέσων τὸ ζητούμενον δειχνύουσαν — αὕτη γὰρ ἀπο-
158 δείξεως τελειότης — ὅτε δὲ ἐκ τεχμηρίων ἐπιχειροῦσαν. καὶ δεῖ μὴ λανθάνειν. πανταχοῦ μὲν γὰρ τὸ ἀναγκαῖον ἔχουσιν οἵ γεωμετρικοὶ λόγοι διὰ τὴν ὑποκειμένην ὕλην, οὐ πανταχοῦ δὲ περαίνονται διὰ τῶν
ἀποδεικτικῶν μεθόδων. ὅταν γὰρ διὰ τοῦ τὴν ἐκτὸς
:ο τοῦ τριγώνου γωνίαν ἴσην εἶναι δύο ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίας δειχνύηται τὸ τρίγωνον ἴσας ἔχον τὰς ἐῤ5 τὸς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς, πῶς ἀπ᾽ αἰτίας ἡ ἀπόδειξις αὕτη, πῶς δὲ οὐχὶ τεχμήριόν ἐστι τὸ μέσον; καὶ γὰρ μήπω τῆς ἐκτὸς οὔσης γωνίας αἴ ἐντὸς οὖσαι
0 δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ἔστι γὰρ τὸ τρίγωνον καὶ τῆς πλευρᾶς μὴ ἐκβεβλημένης. ὅταν δὲ διὰ τῆς τῶν κύκλων περιγραφῆς τὸ συσταθὲν τρίγωνον ἰσόπλευρον
δεικνύηται, ἀπ᾽ αἰτίας ἡ ἐπιβολὴ γίνεται. τὴν γὰρ ὁμοιότητα καὶ ἰσότητα τῶν κύχλων τῆς τοῦ τριγώνου κατὰ τὰς πλευρὰς ἰσότητος αἰτιασόμεθα.
Τό γε μὴν συμπέρασμα διπλοῦν εἰώθασι ποιεῖσθαί τινα τρόπον᾽ καὶ γὰρ ὡς ἐπὶ τοῦ δεδομένου δείἕαντες καὶ ὡς καθόλου συνάγουσιν ἀνατρέχοντες ἀπὸ τοῦ μερικοῦ συμπεράσματος ἐπὶ τὸ καθόλου. διότι γὰρ οὐ προσχρῶνται τῇ ἰδιότητι τῶν ὑποκειμένων, ἀλλὰ πρὸ ὀμμάτων ποιούμενοι τὸ δεδομένον γράφουσι τὴν γωνίαν ἢ τὴν εὐθεῖαν, ταὐτὸν ἡγοῦνται τὸ ἐπὶ ταύτης συναγόμενον καὶ ἐπὶ τοῦ ὁμοίου συμπεπεράνθαι παντός. μεταβαίνουσι μὲν οὖν ἐπὶ τὸ καθόλου, ἵνα μὴ μερικὸν ὑπολάβωμεν εἶναι τὸ συμπέρασμα. εὐλόγως δὲ μεταβαίνουσιν, ἐπειδὴ τοῖς ἐκτεθεῖσιν, οὐχ ἢ ταῦτά ἐστιν, ἀλλ᾽ ἡ τοῖς ἄλλοις ὅμοια, χρῶνται πρὸς τὴν ἀπόδειξιν. οὐ γὰρ ἡ τοσήδε ἐστὶν ἡ ἐχκειμένη γωνία, ταύτῃ τὴν διχοτομίαν ποιοῦμαι, ἀλλ᾽ ἡ μόνον εὐθύγραμμος. ἔστι δὲ τὸ μὲν τοσόνδε τῆς ἐχκειμένης ἴδιον, τὸ δὲ εὐθύγραμμον πασῶν τῶν εὐθθυγράμμων
κοινόν. ἔστω γὰρ ἡ δεδομένη ἡ ὁρθή. εἰ μὲν οὖν τῇ το
ἀποδείξει τὴν ὀρθότητα παρελάμβανον, οὐκ ἠδυνάμην ἐπὶ πᾶν τὸ εἶδος τῆς εὐθυγράμμου μεταβαίνειν, εἰ δὲ τὸ μὲν ὀρθὸν αὐτῆς οὐ προσποιοῦμαι, ᾿ τὸ δὲ εὐθύγραμμον σκοπῶ μόνον, ὁμοίως ὑ λόγος ἐφαρμόσει καὶ παρὰ ταῖς εὐθυγράμμοις γωνίαις.