Commentary on Propositions I.16–I.32: Inequalities, Parallels & Angle-Sum — Ελληνικό Κείμενο (Friedlein 1873)¶
Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. Gottfried Friedlein (Leipzig: B. G. Teubner, 1873, pp. 305–384; CTS urn:cts:greekLit:tlg4036.tlg011.opp-grc1).
Props. I.16–I.17: Exterior Angle & Sum of Two Interior Angles¶
Euclid: [I.16]
σάρων ὀρθῶν ἢ πλεονάξει᾽ μόνα δὲ ταῦτα κατὰ τοὺς εἰρημένους ἀριθμοὺς ἐξισοῦται ταῖς τέτρασιν ὀρθαῖς. καί ἐστι τὸ θεώρημα τοῦτο Πυθαγόρειον.
Διὰ τοῦτο δὲ τὸ πόρισμα κἂν πλείους εὐθεῖαι
τῶν δυεῖν δι’ ἑνὸς σημείου τέμνωσιν ἀλλήλας, οἷον
τρεῖς ἢ τέτταρες ἢ ὁποσαιοῦν, αἴ γινόμεναι γωνίαι πᾶσαι τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι δείκνυνται· μερίξονται γὰρ τὸν τεσσάρων τόπον. δῆλον δὲ ὅτι διπλασίους ἀεὶ γενήσονται τῶν εὐθειῶν αἵ γωνέαι᾽ καὶ οὕτω δύο μὲν εὐθειῶν τεμνουσῶν ἀλλήλας ἔσονται γωνίαι τέσσαρες ἴσαι τέτρασιν ὀρθαῖς, τριῶν δὲ ξξ γωνίαι, τεσσάρων δὲ ὀχτώ᾽ καὶ ἐπ᾽ ἄπειρον ὁμοίως. ἀεὶ γὰρ διπλασιάξεται μὲν τὸ πλῆθος τῶν εὐθειῶν. αἱ δὲ γωνίαι κατὰ μὲν τὸ πλῆθος αὔξονται, κατὰ δὲ τὸ μέγεθος ἐλασσοῦνται, διότι τὸ διαιρούμενον ἀεὶ ταὐτόν ἐστιν, αἴ τέσσαρες ὀρθαί.
Ργορ. ΧΥ͂Ι, μθοσ. ΥΠΠ]Ι. Παντὸς τριγώνου μιᾶς
πλευρᾶς προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώ-
νου γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείξων ἐστίν.
Ταύτην τὴν πρότασιν οἱ μὲν ἐλλειπῶς προενεγκάμενοι χωρὶς τοῦ μιᾶς πλευρᾶς προσεκβληθείσης ἀφορμὴν παρέσχον ἴσως μὲν καὶ ἄλλοις τισίν, αὐτὰρ καὶ Φιλίππῳ, καθάπερ φησὶν ὁ μηχανικὸς ἬἭρων, διαβολῆς. οὐ γὰρ πάντως, ἡ τρίγωνόν ἐστιν, καὶ ἐκτὸς ἔχει γωνίαν. ὅσοι δὲ περιγράφειν τὴν αἰτίασιν ταύ-
4–ὦ πληθὺς εὐθεῖαι τὰ ἐν δθυεὶν Ἡ, 6. 8 τὸν τῶν
τεσσάρων τόπον Ο. 17 Ἡ ἴὰ τοαγρὶηθ ἕξ. 20 μεῖξον Ἡ. 26 ἔχοι Τ.
την ἠθέλησαν. μετὰ τῆς ἐκκειμένης προσθήκης ταύτην παραδεδώκασιν συνήθους οὔσης τῷ γνεωμέτρῃ. καὶ γὰρ ἐν τῷ πέμπτῳ θεωρήματι τὰς ὑπὸ τὴν βάσιν τῶν ἰσοσκελῶν γωνίας ἴσας ἀποδεῖξαι βουλόμενος
6 προσέθηκεν ὅτι καὶ προσεκβληθεισῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι εἰσίν. καὶ εἰ παρ᾽ ἄλλοις οὖν ἐλλειπὴς ἦν, ἀλλὰ παρὰ τῷ στοιχειωτῇ τὸ πλῆρες ἔχουσα γέγραπται.
Τί δ᾽ οὖν φησιν ἡ πρότασις ὅτι παντὸς τριγώνου ιῦ εὖ μίαν τινὰ τῶν πλευρῶν προσεκβάλοις τὴν ἐκτὸς αὐτοῦ συνισταμένην γωνίαν εὑρήσεις μείζονα τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἑκατέρας; ἀμφοτέραις μὲν γὰρ ἴση δειχθήσεται μικρὸν ὕστερον, ἑκατέρας δὲ μείζων ἐκ τούτου δείκνυται. καὶ ἀναγκαίως πρὸς τὰς ἀπεναντίον αὐτὴν ᾿ συνέκρινεν ἀλλ᾽ οὐ πρὸς τὴν ἐφεξῆς. αὕτη μὲν γὰρ καὶ ἴση δύναται εἷναι καὶ ἐλάσσων αὐτῆς, ἐχείνων δὲ ἑκατέρας μείζων [ἡ ἐχτὸς] ἐκ παντός. ἐὰν γοῦν ὀρθογώνιον ἢ τὸ τρίγωνον καὶ νοήσῃς ἐκβαλλομένην μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ ἐκτὸς ἴση ἔσται τῇ ἐφεξῆς· ἐὰν δὲ ἀμβλυγώνιον ἡ, ἔσται δυνατὸν τὴν ἐντὸς μείξονα εἶναι τῆς ἐκτός. ἀλλὰ πρὸς τὰς ἀπεναντίον — τῶν γὰρ ἐντὸς τοῦ τριγώνου μία μέν
ἐστιν ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ, δύο δὲ ἀπεναντίον — τούτων οὖν ἑκατέρας μείξων ἡ ἐκτός, ἀλλ᾽ οὐ τῆς ἐφεξῆς αὐτῇ κειμένης.
ἔστ.
Ἤδη δέ τινες συνάπτοντες τὰ δύο θεωρήματα τοῦτό τε καὶ τὸ ἑξῆς ἀποδεικνύμενον οὕτω προφέρονται τὴν πρότασιν Παντὸς τριγώνου μιᾶς πλευρᾶς προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνία ἑἕκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείξων ἐστί. καὶ δύο ὁποιαιοῦν τῶν ἐντὸς γωνιῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν. ἔχουσι δὲ ἀφορμὴν τῆς συμπλοκῆς τῶν θεωρημάτων, ἐπειδὴ καὶ αὐτὸς ὁ γεωμέτρης ἑξῆς ἐπὶ τῶν ἴσων οὕτως ἐποίησε· Παντὸς τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία δύο ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση, καὶ αἷ τρεῖς τοῦ τριγώνου γωνίκι δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. κἀνταῦθα τοίνυν ἀξιοῦσιν ἐν τοῖς ὁμοίοις συμπλέκειν τὰ ξητούμενα καὶ ποιεῖν τὴν πρότασιν σύνθετον. καὶ δῆλον ὅτι τὸ μὲν προκείμενον εἰς ἀπόδειξιν ἔσται σύνθετον, τὸ δὲ δεδομένον, εἰ μὲν μετὰ τῆς εἰρημένης προσθήκης ἐχφέροιτο, καὶ «αὐτὸ σύνθετον - δεῖ γὰρ δύο νοεῖν. τρίγωνον ὑποκείμενον καὶ μίαν πλευρὰν ἐκβεβλημένην - εἰ δὲ ἄνευ ταύτης [9], δυνάμει μὲν σύνθετον. κατ᾽ ἐνέργειαν δὲ ἁπλοῦν. πάντως γάρ, κἂν μὴ προσκέηται, δεῖ συμπαραλαμβάνειν καὶ τοῦτο ὡς δεδομένον. αὐτῷ γὰρ τῷ τὴν ἐχτὸς ὑποθέσθαι γωνίαν ὡς οὖσαν τὴν πλευρὰν ὡς ἐκβεβλημένην παρείληφεν.
Τοσαῦτα περὶ τούτων λάβοιμεν δ᾽ ἂν ἀπὸ τοῦ 3:
προχειμένου θεωρήματος ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου
ἢ τοῦτό τε] τὸ, τε παρὸν “ἰ, τῆς τότε (. 4 προεκχβληθείσης Ο. Ἴ ἐπειδὴ δὲ , ἐπειδὴ καὶ ὁ. 10 δὲ δπὶο δεδομένον οἴη. ! εἰ μὴ σα. 19 ἄνευ ταύτης] ἐν ταύτῃ Ἥ. 8,. αἴ,· »ἷῃθ Ἰκο ᾽ς, ἴω ᾿δο᾽ 2. 21 κἂν μὴ προσχκεηταε οι. (᾽, κα. σ. 2 αὐτὸ γὰρ τῷ 4, αὐτὸ γὰρ τὸ Ὁ. 28 ὡς «ἰἴο ἐκβεβλημένον ὁ, Ο. 31 πρυείληφε δ΄, παρείληφε Ὁ.
τρεῖς εὐθείας ἴσας ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν προσπίπτειν ἀδύνατον. ἔστωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς σημείου τρεῖς · αἱ αβ ἂγ αὃ ἴσαι ἐπὶ τὴν βὸ εὐθεῖαν ἠγμέναι. ἐπεὶ οὖν ἴση 6 ἡ αβ τῇ αἀγ, ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι, ἡ ἄρα ὑπὸ
αβγ ἴση τῇ ὑπὸ αγβ. ] πάλιν “4 ν ., ἐπεὶ ἴση ἡ αβ τῇ αὃ, ἴση ἡ ὑπὸ αβὸ τῇ ὑπὸ αὃβ. ἦν δὲ ιοτῇ ὑπὸ αβγ ἴση ἡ ὑπὸ αγβ γωνία’ ἡ ἄρα ὑπὸ αγβ ἴση τῇ ὑπὸ αδβ, ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τρεῖς εὐθεῖαι ἴσαι ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν ἀχθήσονται. Διὰ τοῦδε δὲ τοῦ θεωρήματος κἀκεῖνο ἀποδείξομὲν ὅτι, ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐχτὸς γωνίαν ἴσην ποιῇ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, οὐ ποιήσουσι τρίγωνον αἱ εὐθεῖαι οὐδὲ συμπεσοῦνται,
ὦ ἐπεὶ ἔσται αὐτὴ καὶ μείζων καὶ ἴση ὅπερ ἀδύνατον. οἷον
ἔστωσαν αἵ αβ γὸὃδ εὐθεῖαι καὶ εἰς αὐτὰς ἡ βε ἐμπεσοῦσα ποιείτω ἴσας τὰς ὑπὸ αβὸ
γδε. οὐ συμπεσοῦνται δὴ
,Ἕ)} ὃ Ἑ αἱ αβ γδ. εἰ γὰρ συμπε-
σοῦνται μενουσῶν τῶν ἴσων γωνιῶν ἔσται ἡ ὑπὸ γδε,
τῇ ὑπὸ αβὸ ἴση, ἐκτὸς οὖσα καὶ μείζων τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. ἀνάγκη ἄρα, εἰ συμπίπτουσιν, μηκέτι μένειν ἴσας τὰς γωνίας, ἀλλὰ ἐκ παντὸς αὔξεσθαι τὴν
πρὸς τῷ ὃ. εἴτε γὰρ μενούσης ἀκινήτου τῆς αβ νοήσειας κινουμένην ἐπ’ αὐτὴν τὴν γδ, ἵνα συμπέσωσι, πλείονα ποιεῖς διάστασιν κατὰ τὴν γδὲε γωνίαν — ὅσῳ γὰρ πρόσεισιν ἡ γὸ τῇ αβ, τοσούτῳ μᾶλλον ἀφίσταται τῆς δὲ — εἴτε μενούσης τῆς γὸ νοήσειας κινουμένην ἐπ᾽ αὐτὴν τὴν αβ, ἐλάττονα ποιήσεις τὴν το αβὸ γωνίαν — ἅμα γὰρ ἐπὶ τὴν γὸ φέρεται καὶ ἐπὶ τὴν βὸ – εἴτε καὶ ἄμφω κινουμένας ποιήσειας πρὸς ἀλλήλας, τὴν μὲν αβ εὑρήσεις ὡς ἐπὶ τὴν βὸ φερομένην καὶ συνάγουσαν τὴν γωνίαν, τὴν δὲ γὸ τῆς δὲ ἀφισταμένην διὰ τὴν ἐπὶ τὴν αβ κίνησιν καὶ αὔξουσαν ι5 τὴν ὑπὸ γδε γωνίαν. ἐξ ἀνάγκης ἄρα εἴ γε τρίγωνον
ἔσται καὶ συμπεσοῦνται αἵ αβ γὸ, καὶ μείξων ἡ ἐχτὸς ἔσται γωνία τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον᾽ ἢ γὰρ τῆς ἐντὸς μενούσης αὔξεται ἡ ἐκτός, ἢ τῆς ἐκτὸς μενούσης
ἑλασσοῦται ἡ. ἐντός, ἤἥ, εἰ (Ὁ) καὶ ἡ ἐντὸς συνάγεται,
καὶ ἡ ἐκτὸς ἐπὶ πλέον διίσταται. αἰτία δὲ τούτων ἡ κίνησις τῶν εὐθειῶν. τῆς μὲν ἐφ᾽ ἃ ποιεῖ τὴν ἐντὸς γωνίαν κινουμένης ἐπὶ ταῦτα. τῆς δὲ ἐφ᾽ ἃ ποιεῖ τὴν
ἐκτὸς γωνίαν ἀπὸ τούτων φερομένης. καὶ ἔχεις ἐκ τούτων ᾿ συλλογίξεσθαι, πῶς αἴ γενέσεις τῶν πραγμάτῶν ὑπ᾽ ὄψιν ἡμῖν τὰς ἀληθινὰς ἄγουσι τῶν ξητουμένων αἰτίας.
ΧΥ͂Π, ἔϊθον. Χ. Παντὸς τριγώνου αἷ δίο 1 γωνίαι δύο ὀρθῶν ἑλασσονές εἰσι πάντη μεταλαμβανόμεναι.
Νῦν μὲν ἀορίστως δείκνυνται δύο ὁποιαιοῦν τοῦ τριγώνου γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάττονες· ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς καὶ ἀφορισθήσεται, πόσῳ ἐλάττους, ὅτι τῇ
λοιπῇ τοῦ τριγώνου γωνίᾳ. αἱ γὰρ τρεῖς ἴσαι ταῖς δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν, ὥστε αἴ δύο τῇ λοιπῇ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλαττοῦνται. καὶ ἡ μὲν τοῦ στοιχειωτοῦ δεῖξις φανερὰν ἔχει τὴν ὁδόν. χρῆται γὰρ τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι. δεῖ δὲ καθάπερ ἐν τῷ πρόσθεν εἰς τὴν
90 γένεσιν ἀπιδόντα τῶν τριγώνων τὴν αἰτίαν εὑρεῖν
1 εἰ καὶ ἐντὸς ονιίθδδο ἡ ΠΗ. [εἰ οἱ. 8, 0 Ῥγοῦδβ.
“« ’ ᾿ ὌΠ τοῦ προκειμένου συμπτώματος. ἔστωσαν οὐν αἱ αβ
πάλιν καὶ γὸδ τῇ βὸ πρὸς ὀρθάς. εἰ οὖν μέλλοι τρίγῶνον ἔσεσθαι, δεῖ συνεῦσαι τὰς αβ γὸ πρὸς ἀλλήλας. ἡ 4“ 176 δὲ σύνευσις αὐτῶν ἐλαττοὶ ἤ τὰς ἐντὸς γωνίας, ὥστε ἐλάττους γίνονται δυεῖν ὀρθῶν. εἰσὶ γὰρ ὀρθαὶ πρὸ τῆς συνεύσεως. ὁμοίως ὃὲ χἂν ἐπὶ 9“ ο, τῆς αβ αγ βδδ νοήσωμεν ἑστώσας ὀρθάς, τὰ αὐτὰ συμβήσεται κατὰ τὴν σύνευ-
σιν τῶν εὐθειῶν καὶ ἔσονται αἱ πρὸς τῇ αβ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες· καὶ ἐπὶ τῆς λοιπῆς πλευρᾶς ὡσαύτως.
Τοῦτο οὖν τὸ αἴτιόν ἐστιν, ἀλλ᾽ οὐχὶ τὸ μείξονα ιεἶναι τὴν ἐκτὸς ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον
γωνιῶν. ἐκβεβλῆσθαι μὲν γὰρ τὴν πλευρὰν οὐκ ἀναγκαῖον, οὐδὲ ἔξω τινὰ συνεστάναι γωνίαν, τῶν δὲ
ἐντὸς γωνιῶν β ὁποιασοῦν εἶναι [β] ὀρθῶν ἐλάττους ἀναγκαῖον. τὸ δὲ μὴ ἀναγκαῖον τοῦ ἀναγκαίου πῶς κω 3 932 ὦ , ’
ἂν αἴτιον εἴη; ἀλλ᾽ ὅπερ εἶπον τὸ μὲν αἴτιόν ἐστι τὸ ῥηθέν, ἡ σύνευσις τῶν εὐθειῶν [ ἐπὶ τὴν βάσιν ἐλαττοῦσα τὰς ὀρθάς.
8–10 Ῥυϊουὶ βραγδο 2 ἐγ δηραϊαπι ἃ δα ἱπβοτίρδίί. [ἢ δἰίοσα ἤρφατα, ᾳυδιη 8 οπιϊβὶς, ἰῃὰ Η οἱ Ζ Ἰἰξίοτδα ἃ β 88πῖ ρογπιίδίδθ.
Τοῦ δὲ στοιχειωτοῦ διὰ τῆς ἐκτὸς γωνίας δείξαντος τὸ ζητούμενον φέρε καὶ μὴ προσεκβάλλοντές τινα τῶν πλευρῶν τὸ αὐτὸ κατασχευάσωμεν. ἔστω τρίγω-
α΄ νον τὸ αβγ, καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς βγ τὸ ὃ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ αδ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ αβὸ μέα [πλευρὰ] β 7 προσεκβέβληται ἡ βὸ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ αὃγ μείξων ἐστὶ τῆς ἐντὸς τῆς ὑπὸ αβὸ. 1. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ αὃγ μία πλευρὰ προσεκβέβληται ἡ ὃγ, ὄὃγ, ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ αδβ μείζων τῆς ἐντὸς τῆς ὑπὸ αγδ. ἀλλὰ μὴν αἴ περὶ τὴν αὃ γωνίαι δύο ὀρθαῖς εἰ εἰσιν ἴσαι διὰ τὸ τρισκαιδέκατον. αἴ ἄρα ὑπὸ αβγ αγβ γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσιν ἐλάττους. ὁμοίως :5 δείξομεν ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ βαγ βγα γωνίαι δύο ὀρθῶν εἰσιν ἐλάττους ἐπὶ τῆς ἀγ σημεῖον λαβόντες καὶ ἐπιξεύξαντες ἀπὸ τοῦ β [εὐθεῖαν] ἐπὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον. καὶ πάλιν τὰς ὑπὸ γαβ αβγ δύο ὀρθῶν ἐλάσσους ἀποφανοῦμεν ἐπὶ τῆς αβ σημεῖον λαβόντες καὶ ἐπιξεύξαν22 τες ἀπὸ τοῦ γ εὐθεῖαν ἐπὶ τοῦτο τὸ σημεῖον. δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον διὰ τοῦ αὐτοῦ θεωρήματος μὴ προσεχβληθείσης τινὸς τῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν.
Props. I.18–I.19: Greater Side & Greater Angle (Division Proof)¶
Euclid: [I.18]
Διὰ τούτου τοίνυν δυνατὸν κἀκεῖνο δεικνύναι, ὅτε ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἐπὶ μέαν εὐθεῖαν δύο κάθετοι οὐχ ἀχθήσονται. ἔστωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ α ση-
μείου ἐπὶ τὴν βγ δύο κάθετοι αἵ
αβ᾽ αγ7.. ὀρθαὶ ἄρα εἰσὶν αἴ ὑπὸ αβ᾽ γ αγ αγβ γωνίαι. ἀλλ᾽ ἐπεὶ τρίγω-
νόν ἐστι τὸ αβγ, δύο ὁποιαιοῦν
γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσους εἰσίν.
αἱ ἄρα ὑπὸ αβγ αγβ γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσους εἰσίν. ἀλλὰ καὶ ἴσαι δυσὶν ὀρθαῖς διὰ τὰς καθέτους᾽
ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο κάθετοι ἐπὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν ἀχθήσονται.
ΧΥ͂ΠΙ, ἰμθοσ. ΧΙ. Παντὸς τριγώνου ἡ με ξων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει.
[ Ὅτι μὲν ἡ τῶν πλευρῶν ἰσότης ἐφ᾽ ἑκάστου τῶν τριγώνων ἴσας ἀποτελεῖ τὰς ὑπὸ τούτων ὑποτεινομένας γωνίας καὶ ἡ τῶν γωνιῶν ἰσότης ὡσαύτως τὰς ὑποτεινούσας αὐτὰς πλευρὰς ἴσας ἀποφαίνει μεμαθήκαμεν διά τε τοῦ πέμπτου καὶ ἔκτου θεωρήματορ᾽ ὅτι δὲ καὶ ταῖς ἀνισότησι τῶν πλευρῶν ἡ τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ἀνισότης ἀκολουθεῖ καὶ ἀνάκαλιν διὰ τούτων διδασκόμεθα τῶν θεωρημάτων τοῦ τε ὀκτωκαιδεκάτου λέγω καὶ τοῦ ἐννεακαιδεκάτου. τὸ μὲν γὰρ
θ ᾿ἀναχθήσονται ΘΟ. 4–8 ἘΠφΌτΣΔΙΩ οτὰ. 3; δοὰ ἱηνθηΐυν
δείκνυσι τὴν μείζονα πλευρὰν ὑπὸ τὴν μείξονα γωνίαν, τὸ δὲ ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν μείζονα πλευράν, ἀντιστρέφοντα μὲν ἀλλήλοις, ἐπὶ δὲ τῶν ἐναντίων πραγμάτων τὰ αὐτὰ θεωροῦντα συμπτώματα τῷ τε πέμπτῳ καὶ τῷ ἔκτῳ θεωρήματι. φανερὸν δὲ ὅτι τὴν μείξονα καὶ τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν ἀνάλογον ληψόμεθα καὶ διαιρήσομεν τὴν μεγίστην καὶ μέσην καὶ ἐλαχίστην, καὶ τὰς γωνίας ὡσαύτως ἐπὶ τῶν σκαληνῶν τριγώνων. ἐπὶ δὲ τῶν ἰσοσκελῶν ἀρχέσει τὸ μεῖξον ἁπλῶς καὶ ἔλασσον. μία γάρ ἐστιν ἡ ταῖς δυσὶν ἄνισος, ἤτοι μείξων οὖσα ἢ ἐλάττων, ὡς ἐπί γε τῶν ἰσοπλεύρῶν οὐκ ἔχει ταῦτα τὰ θεωρήματα χώραν. καὶ ὁρᾶς ὅπως τὰ μὲν τῆς ἰσότητος τῶν γωνιῶν ἢ πλευρῶν δεικτικὰ τοῖς ἰσοπλεύροις καὶ ἰσοσκελέσιν ἐφήρμοττεν, : τὰ δὲ τῆς ἀνισότητος τοῖς σκαληνοῖς καὶ τοῖς ἰσοσκελέσιν. αἴτιον δὲ ὅτι τὰ μὲν τῶν τριγώνων ἰσότητός ἐστι μόνης ἔχγονα, τὰ δὲ ἀνισότητος μόνης, τὰ δὲ ἀμφοτέρων, ὠδὶ μὲν διὰ τῆς ἰσότητος, ὡὠδὶ δὲ διὰ τῆς ἀνισότητος ὑφιστάμενα᾽ καὶ τὰ μὲν ὄντα τῷ πέρατι συγγενῆ, τὰ δὲ τῇ ἀπειρίᾳ, τὰ δὲ κατὰ τὴν μῖξιν ἀμφοτέρων ἀπογεννώμενα, ὥστε διὰ πάντων ἡ τριὰς αὕτη πεφοίτηκεν, οἷον γραμμῶν, γωνιῶν, σχημάτων, καὶ ἐν τοῖς σχήμασι τριπλεύρων. τετραπλεύρων, ἑξῆς ἁπάντων. ἀλλὰ καὶ τὸ πέρας οὗ μὲν διὰ τῆς ὁμοιότη4δτος, οὗ δὲ διὰ τῆς ἰσότητος ἐμφαντάξεται τοῖς γεωμετρικοῖς εἴδεσι, καὶ τὸ ἄπειρον οὗ μὲν διὰ τῆς
ἀνομοιότητος, οὗ δὲ διὰ τῆς ἀνισότητος, καὶ τὸ μικτὸν ὅτε μὲν ἐξ ὁμοιοτήτων, ὅτε δὲ ἐξ ἰσοτήτων. αἴτιον δὲ καὶ τούτων ὅτι τὰ εἴδη τὰ γεωμετρικὰ τῷ ποσῷ προσήκει καὶ τῷ ποιῷ. διότι τῶν δύο τούτων ἐπισημαινομένων
δῆλον (9) καὶ ὅτι παντὸς τριγώνου λέγων ὁ στοι-
χειωτὴς οὐχὶ καὶ τοῦ ἰσοπλεύρου λέγει, ἀλλὰ τοῦ ἔχοντος μείξω καὶ ἐλάττω πλευράν. δεῖ γὰρ τὸ δεδομένον ἡγούμενον νομίζειν, ἑπόμενον δὲ () τὸ ξητούμενον. ὃ δ᾽ ἂν μείξονα πλευρὰν ἔχῃ καὶ ἐλάσσονα, τοῦτο ὑπὸ τὴν μείζονα πλευρὰν τὴν μείζονα γωνίαν [ἔξει]. Ἐπειδὴ δὲ ὁ ᾿ γεωμέτρης ἐν τῇ κατασκευῇ λαβὼν
τὸ αβγ τρίγωνον καὶ μείζονα τὴν αγ τῆς αβ, ἵνα δείξῃ τῆς πρὸς τῷ γ γωνίας τὴν πρὸς τῷ β μείξονα, ἀφεῖλεν ἀπὸ τῆς αγ τῇ αβ ἴσην τὴν αὃ, φαίη δ᾽ ἄν
τις ὅτι πρὸς τῷ γ δεῖ γενέσθαι τὴν ἀφαίρεσιν, φέρε καὶ ἐπὶ ταύτης τῆς ὑποθέσεως δείξωμεν τὸ προκείμε-
των) “οχ β᾽τα πα ἀϊηῖθαβ δ ἀἰββίγα ἢ παἰηλῦτι8.. … 6Χ δοααδὶὶ-
νον, ὡς Πορφύριος. ἔστω γὰρ ἡ ὃγ ἴση τῇ αβ καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ αβ ἐπὶ τὸ ε καὶ κείσθω ἡ βε τῇ δα - ἴση. ὅλη ἄρα ἡ ἂε ἴση τῇ ἃγ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ἐγ. ἐπεὶ οὖν
δ ἢ αε τῇ αγ ] ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ἂεγ ἴση τῇ ὑπὸ ἀγε διὰ τὸ
Ζ πέμπτον. ἡ ἄρα ὑπὸ αεγ μείἔων τῆς ὑπὸ αγβ. ἐστὶν δὲ καὶ
ἡ ὑπὸ αβγ μείζων τῆς ὑπὸ
10 5 πεν. τοῦ γὰρ γβε μία πλευρὰ ἐκβέβληται ἡ εβ, καὶ ἡ ὑπὸ αβγ ἐκτὸς οὖσα τῆς ἀπεναντίον καὶ ἐντὸς μείξων ἐστί. πολλῷ ἄρα μείξων
ἡ ὑπὸ αβγ τῆς ὑπὸ αγβ, ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Αἱ μὲν οὖν γεωμετρικαὶ δείξεις τοιαῦται. δῆλον δὲ ὅτι τὸ αἴτιον τούτου τοῦ συμπτώματός ἐστιν ἡ τῆς πλευρᾶς αὐτῆς τῆς ὑποτεινούσης τὴν γωνίαν ὑπεροχὴ κατὰ τὸ μέγεθος ἢ ἐλάττωσις· μείζων μὲν γὰρ οὖσα διΐστησιν ἐπὶ πλέον τὴν γωνίαν, ἐλαττουμένη δὲ συνελαττοῖ κἀκείνην καὶ ἐπὶ μεῖον συνάγει. τοῦτο δὲ διὰ τὴν ἐπ᾿ ἄκρον τάσιν τῆς εὐθείας. ἐπ᾽ ἄχρον γὰρ αὐτὴ τεταμένη καὶ τῶν γωνιῶν τὰ μεγέθη κατὰ τὴν ἑαυτῆς αὔξησιν καὶ μείωσιν συμμετατίθησιν. καὶ ταῦτα λέγομεν ἐφ᾽ ἑνὸς τριγώνου, ἐπεὶ δυνατὸν καὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν ὑπὸ μείζονος καὶ ἐλάσσονος εὐθείας 26 ὑποτείνεσθαι καὶ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν μείξω καὶ ἐλάττω
γωνίαν ὑποτείνειν. ἔστω γὰρ εἰ τύχοι τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ αβγ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς αβ τὸ ὃ σημεῖον, καὶ ἴση ἡ αε τῇ αὃ [ἐπὶ τῆς «
7] καὶ ἐπεζεύχθω ἡ δε. τὴν
οὖν πρὸς τῷ α γωνίαν ὑποτείνουσιν αἴ δε βγ, ὧν ἡ μὲν δ Ἔ μείξων ἡ δὲ ἐλάσσων, καὶ μυ-
ρίας ὅσας ᾿ λαβεῖν δυνατὸν
κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τὴν α 7 γωνίαν ὑποτεινούσας μείζους καὶ ἐλάσσους εὐθείας. πάλιν ἔστω τὸ αβγ ἰσοσκελές, καὶ ἐλάσσων ἡ βγ τῶν βα ἄγ, καὶ ἰσόπλευρον τρίγωνον «
ἐπὶ τῆς βγ τὸ βὸγ, καὶ ἐπεξεύχθω
ἡ αὃ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ ε. ἐπεὶ
οὖν τοῦ αβὸ τριγώνου ἐκτός ἐστιν 1δ ἡ ὑπὸ βδὲ γωνία, μείξων ἐστὶ τῆς
ὑπὸ βαδ, κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ξ 7
ἡ ὑπὸ γδὲε μείξων τῆς ὑπὸ γαδ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπει βὸγ μείξων τῆς ὑπὸ βαγ καὶ ὑποτείνει ἀμφοτέρας ἡ αὐτὴ εὐθεῖα μείξονα καὶ ἐλάσσονα γωνίαν. δέδεικται 0 δὲ ὅτι τὴν αὐτὴν γωνίαν μείζους εὐθεῖαι καὶ ἐλάσσους ὑποτείνουσιν. ἀλλ᾽ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τριγώνου
, 3 ἣν ’ ς ’ ·“· ἰ , μία εὐθεῖα μίαν ὑποτείνει γωνίαν καὶ ἡ μὲν μείζων τὴν μείξονα ἐκ παντός. ἡ δὲ ἐλάσσων τὴν ἐλάσσονα· καὶ τὸ αἴτιον ἐθεωρήσαμεν.
ΧΙΧ, ἴμθοχ. ΧΠ. Παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν 6 μείξονα γωνίαν ἡ μείξων πλευρὰ ὑποτείνει.
Τοῦτό ἐστι τὸ ἀντίστροφον τῷ εἰρημένῳ θεωρή-
ματι. καί ἐστιν ἁπλοῦν ἐν ἑκατέρῳ τό τε διδόμενον καὶ τὸ ζητούμενον. καὶ τὸ ἐκεῖ συμπέρασμα ὑπόθεσίς ἐστιν ἐνταῦθα, ἡ δὲ ἐκεῖ ὑπόθεσις τούτου συμπέ-
ρασμα. προτέτακται δ᾽ ἐχεῖνο, διότι δεδομένην ἔχει τὴν ἀνισότητα τῶν πλευρῶν, ἔπεται δὲ τοῦτο τὰς γωνίας ἀνίσους ὑποθέμενον. δοκοῦσι γὰρ αἴ μὲν πλευραὶ τὰ εὐθύγραμμα περιέχειν, αἴ δὲ γωνίαι περιέχεσθαι. καὶ ὁ τρόπος δὲ τῆς ἀποδείξεως ἐπ᾽ ἐκείνου μὲν δεικτι-
κός, ἐπὶ δὲ τούτου διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς.
Ὁ μὲν οὖν γεωμέτρης ἐκ διαιρέσεως τὸ ἀδύνατον συλλογίζεται. τῶν γὰρ γωνιῶν οὐσῶν ἀνίσων λέγω, φησίν, ὅτι καὶ αἱ ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἄνισοι, καὶ Ἷ ἡ μείζων ὑποτείνει τὴν δεδομένην μείζονα γωνίαν.
0 εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνουσα μείζων, ἴση ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἀλλ᾽ εἰ μὲν ἴση, καὶ αἴ γωνίαι, ἃς ὑποτείνουσιν, ἴσαι διὰ τὸ ε, εἰ δὲ ἐλάττων, καὶ ἡ γωνία, ἣν ὑποτείνει, ἐλάττων διὰ τὸ πρὸ τούτου. δέδεικται γὰρ ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων
86 πλευρὰ ὑποτείνουσα καὶ ὑπὸ τὴν ἐλάσσονα ἡ ἐλάσσων.
ἔχουσι δὲ ἀνάπαλιν αἴ γωνίαι· μείξων ἄρα ἡ πλευρὰ τῆς πλευρᾶς. δυνατὸν δὲ καὶ ἄνευ ταύτης τῆς διαιφέσεως δεῖξαι τὸ προκείμενον προαποδείξαντες λημμάτιόν τι τοιοῦτον·
Ἐὰν τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ καὶ ἡ ὁ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθεῖσα εἰς ἄνισα αὐτὴν διαιρῇ, αἱ τὴν γωνίαν περιέχουσαι πλευραὶ ἄνισοι ἔσονται, καὶ μείξων μὲν ἡ τῷ μείξονι τμήματι τῆς βάσεως συμπίπτουσα, ἐλάσσων δὲ ἡ ἐλάσσονι.
Ἔστω τρίγωνον τὸ
αβγ καὶ τετμήσθω δίχα ἡ Λ
πρὸς τῷ α γωνία, καὶ ἡ
αὃ εἰς ἄνισα τεμνέτω τὴν 7
βγ, καὶ μείζων ἡ γὸ τῆς ΞΖ δ ξ γι
βδ. λέγω ὅτι μείξων ἐστὶν ἡ αγ τῆς αβ. ἐκβεβλήσθω ἡ αὃ καὶ κείσθω ἴση ἡ δὲ ᾿
τῇ αδ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἡ ὃγ τῆς ὃβ, κείσθω ἴση τῇ βὸ ἡ δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ εξ καὶ ἐκβεβλήσθω ὡς ἐπὶ το τὸ ἢ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ αὃ τῇ δὲ καὶ ἡ βὸ τῇ δξ, δύο δυσὶν ἴσαι, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι τὰς κατὰ
χορυφήν᾽ βάσις ἄρα ἡ βα βάσει τῇ εξ ἴση καὶ
πάντα πᾶσιν, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ δεξ γωνίᾳ τῇ
ὑπὸ δαβ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ αὕτη τῇ ὑπὸ δαη ἴση ἐστίν,
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ αη τῇ ξη ἴση διὰ τὸ ἕκτον. μεί-
ἕων ἄρα ἡ ἂγ τῆς εξ. ἡ δὲ εἶ τῇ αβ ἴση. μείξων ἄρα ἡ ἂγ τῆς αβ, ὕπερ ἔδει δεῖξαι.
Τούτου προληφθέντος δείξομεν ὅτι ὑπὸ τὴν μεί-
ξονα γωνίαν ἡ μείξων πλευρὰ ὑποτείνει. ἔστω τρί-
γῶωνον τὸ αβγ μείζονα
ἔχον τὴν πρὸς τῷ β γω-
νίαν τῆς πρὸς τῷ γ. λέγω
3 γ ὅτι ἡ αγ τῆς αβ μείξων
ἐστίν. τετμήσθω δίχα ἡ
βγ κατὰ τὸ ὃ καὶ ἐπεζεύ-
χθω ἡ αὃ, καὶ ἤχθω ἡ δὲ
ἴση ἡ τῇ αὃ, καὶ ἐπεξεύ-
χθω ἡ βε. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ βὸ τῇ ὃγ καὶ ἡ αὃ τῇ
δε, δύο δυσὶν ἴσαι, καὶ γωνίας ἴσας τὰς κατὰ χορυ-
φὴν περιέχουσιν. ἴση ἄρα καὶ ἡ βάσις ἡ βε τῇ αγ,
καὶ πάντα πᾶσιν, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ὃβε γωνία ἴση τῇ
πρὸς τῷ γ. ἐλάσσων δὲ [ἡ πρὸς τῷ γ) τῆς ὑπὸ αβὸ. ἡ ἄρα ὑπὸ ὃβε ἐλάσσων τῆς ὑπὸ αβδ. τετμήσθω οὖν δίχα ἡ ὑπὸ αβε τῇ βὲ εὐθείχ᾽ μείζων ἄρα ἡ εἶ τῆς ξα. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ αβε ἡ πρὸς τῷ Ρ β γωνία δίχα ἐτμήθη τῇ βὲ καὶ μείζων ἡ εἶ τῆς αξ, διὰ τὸ προδειχθὲν μείζων ἡ βε τῆς βα. ἢ δὲ βε τῇ αγ δέδεικται ἴση. μείξων ἄρα ἡ γα τῆς αβ. δέδεικται ἄρα τὸ ξητούμενον.
Καὶ φανερὸν ὅτι τὴν ποικιλίαν τῆς ἀποδείξεως παραιτούμενος ὁ στοιχειωτὴς τὸν τρόπον τοῦτον ἐφυλάξατο καὶ τῇ ἐκ διαιρέσεως εἰς τὸ ἀδύνατον ἀγοίσῃ δείξει προεχρήσατο βουλόμενος τὸ ἀντίστροφον ποιἤσαι τῷ προηγουμένῳ μηδενὸς μεταξὺ παρεμπίπτοντος, ἐπεὶ καὶ τὸ ὄγδοον ἀντιστρέφον πρὸς τὸ τέταρτον πολλὴν ἐνεποίησε ταραχὴν δυσεπίγνωστον ποιῆσαν τὴν ἀντιστροφήν. αἱρετώτερον γὰρ τὸ δι᾽ ἀδυνάτου δεικνύναι τὰ ἀντιστρέφοντα μετὰ τοῦ τὴν συνέχειαν φυλάττειν ἢ τὸ διακόπτειν τὴν συνέχειαν μετὰ τῆς προηγουμένης ἀποδείξεως. διὸ δὴ τὰ ἀντίστροφα πάντα σχεδὸν δι᾽ ἀδυνάτου δεέχνυσι.
Props. I.20–I.21: Triangle Inequality (Epicurean Critique, Heron, Porphyry)¶
Euclid: [I.20]
ΡῬιορ. ΧΧ, ἰμοου. ΧΠῚ. Παντὸς τριγώνου αἷ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείξονές εἰσι πάντη μεταλαμβανόμεναι.
Τοῦτο τὸ θεώρημα διασύρειν μὲν εἰώθασιν οἵ
δ᾽ Ἐπικούρειοι καὶ ὄνῳ λέγοντες αὐτὸ δῆλον εἶναι καὶ μηδεμιᾶς δεῖσθαι κατασκχευῆς᾽ ὁμοίως δ᾽ ἀνεπιστήμονος ἔργον εἶναι τά τε ἐμφανῆ παραμυθίας ἀξιοῦν καὶ τοῖς ἀδήλοις αὐτόθεν πιστεύειν. ὃ γὰρ ταῦτα συγχέων φανερός ἐστι τό τε ἀναπόδεικτον καὶ τὸ ἀποδεικτὸν 10. ἀγνοῶν. ὅτι δὲ καὶ ὄνῳ τὸ προκείμενον θεώρημα γνώριμον κατασκευάζουσιν ἐκ τοῦ τεθέντος χόρτου κατὰ τὸ ἕτερον πέρας τῶν πλευρῶν τὸν ὄνον τὴν μίαν ὁδεύειν πλευρὰν ἀλλὰ μὴ τὰς δύο τροφῆς ὀρεγόμενον. ιὃ} Πρὸς δὲ ταῦτα λεκτέον ὅτι σαφὲς μὲν κατὰ τὴν αἴσθησιν ἔστω τὸ θεώρημα, οὕπω δὲ σαφὲς κατὰ τὸν ἐπιστημονικὸν λόγον. πολλὰ γὰρ τοῦτο πέπονθε τῶν πραγμάτων, Ϊ οἷον θερμαίνει τὸ πῦρ᾽ καὶ τοῦτο τῇ αἰσθήσει δαφές, ἀλλὰ πῶς θερμαίνει τῆς ἐπιστήμης ἔργον ἑλεῖν, πότερον ἀσωμάτῳ δυνάμει ἢ σωματικαῖς τομαῖς, σφαιρικοῖς μορίοις ἢ πυραμοειδέσι. πάλιν ὅτι κινούμεθα τῇ αἰσθήσει δῆλον, πῶς δὲ κινούμεθα, παραστῆσαι τῷ λόγῳ χαλεπόν, πότερον κατὰ ἀμερές, ἢ κατὰ διάστημα᾽ πῶς δὲ ἄπειρα δίϊμεν. εἰς ἄπειρον 26 γὰρ διαιρετὸν πᾶν μέγεθος. ἔστω τοίνυν καὶ τοῦ
τριγώνου τὸ μείζους εἶναι τὰς δύο τῆς μιᾶς τῇ αἰσθήσει καταφανές, ἀλλὰ πῶς τοῦτο γίνεται τῆς ἐπιστήμης ἔργον εἰπεῖν.
᾿Αλλὰ πρὸς μὲν τοὺς ᾿ΕἘπικουρείους καὶ ταῦτα ἀρκούντως ἀντειρήσθω᾽ δεῖ δὲ καὶ τὰς ἄλλας ἀποδείξεις τοῦ προχειμένου θεωρήματος συντόμως ἱστορῆσαι, ῦσας οἱ περὶ Ἤφρωνα καὶ Πορφύριον ἀνέγραψαν τῆς εὐθείὰᾶς μὴ προσεκβαλλομένης, ὃ πεποίηκεν ὁ στοιχειωτής. ἔστω τρίγωνον τὸ ω αβγ. δεῖ δὴ δεῖξαι τὰς αβ αγ
τῆς βγ μείζους. τετμήσθω δίχα ἡ πρὸς τῷ ἃ γωνία. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ αβε γωνία ἐκτὸς β ᾿ 4 ἡ ὑπὸ αεγ, μείξων ἐστὶ τῆς ὑπὸ βαε’ ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ βαε τῇ ὑπὸ ξαγ ἴση· ἡ ἄρα ὑπὸ ἀεγ μείξων τῆς ὑπὸ τὸ ἔἐαγ. ὥστε καὶ ἡ αγ πλευρὰ τῆς γε μείζων. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ αβ τῆς βε μείξων. τριγώνου γὰρ τοῦ ἀξ} ἐκτὸς ἡ ὑπὸ αεβ καὶ μείξων τῆς ὑπὸ γαε, τουτἔστιν τῆς ὑπὸ εαβ, ὥστε καὶ ἡ αβ τῆς βε μείζων. αἴ ἄρα αβ ἂγ τῆς βγ ὅλης μείξους. ὁμοίως δείξομεν καὶ τ0 ἐπὶ τῶν ἄλλων.
Πάλιν ἔστω τρίγωνον τὸ αβγ᾽ εἰ μὲν οὖν ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ αβγ, πάντως αἷ δύο μείζους τῆς λοιπῆς — τριῶν γὰρ ἴσων δύο ὁποιαοῦν διπλάσια τοῦ ἕνός
— εἰ δὲ ἰσοσκελές, ἤτοι ἐλάσσονα ἔχει τῶν ἴσων ἑκατέρας τὴν βάσιν ἢ μείξονα. εἰ μὲν οὖν ἐλάσσων ἡ βάσις, πάλιν αἱ δύο μείζους τῆς λοιπῆς· εἰ δὲ μείξων ἃ ἡ βάσις, ἔστω ἡ βγ μείξων, καὶ ἀφῃρήσθω ἴση ἑκατέρᾳ ἐκείνων ἡ βε, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ἀξ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ Στὸν ἀεβ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ ἀεγ γωνία, μείξων ἐστὶ τῆς ὑπὸ βαε. διὰ 1ο τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ αεβ τῆς ὑπὸ γαε μείζων. αἵ ἄρα περὶ τὴν αε γωνίαι μείζους ὅλης τῆς πρὸς τῷ α, ὧν ἡ ὑπὸ βεα ἴση τῇ ὑπὸ βαε, ἐπεὶ καὶ [ ἡ αβ τῇ βε ἴση. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ αεγ τῆς ὑπὸ γαε μείξων, ὥστε καὶ ἡ ἂγ τῆς γὲ μείξων. ἦν δὲ ἡ αβ τῇ βε ἴση. ι αἱ ἄρα αβ ἂγ μείξους τῆς βγ. εἰ δὲ σκαληνὸν τὸ αβγ, ἔστω μεγίστη ἡ αβ, μέση ἡ ἀγ, ἐλαχίστη ἡ βγ. ἡ μὲν οὖν μεγίστη μεθ᾽ ἑκατέρας ληφθεῖσα πάντῶς μείξων τῆς λοιπῆς καὶ γὰρ καθ᾽ αὑτὴν ἑκατέρας
μείξων. εἰ δὲ τὴν αγ καὶ βγ δεῖξαι ξητοῖμεν τῆς αβ
μεγίστης οὔσης μείζονας, ὡς ἐπὶ τοῦ ἰσοσκελοῦς ποιἥσομεν ἀπὸ τῆς μεγίστης ἀφελόντες τῇ ἑτέρᾳ ἴσην, καὶ ἐπιξεύξαντες ἀπὸ τοῦ γ, καὶ ἀποχρησάμενοι ταῖς ἐκτὸς τῶν τριγώνων γωνίαις.
Πάλιν ἔστω τρίγωνον τυχὸν ] τὸ αβγ. λέγω ὅτι
αἴ αβ ἂγ μείζους εἰσὶ τῆς βγ. εἰ γὰρ μή, ἥτοι ἴσαι εἰσίν, ἢ ἐλάσσους, ἔστω- σαν ἴσαι, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ αβ ἴση ἡ βε. λοιπὴ ὄ ἄρα ἡ ἐγ τῇ αγ ἴση.
ἐπεὶ οὖν ἡ αβ τῇ βὲε β γ ἴση, γωνίας ἴσας ὑπο-
τείνουσιν. ὁμοίως δὴ καί, ἐπεὶ ἡ αγ τῇ γε ἴση, γωνίας ἴσας ὑποτείνουσιν. αἱ ἄρα πρὸς τῷ ε γωνίαι ι9 ἴσαι καὶ αἱ πρὸς τῷ α, ὕπερ ἀδύνατον. πάλιν δὴ
ἔστωσαν ἐλάσσους αἱ αβ Μ
ἂγ τῆς βγ, καὶ ἀφῃρήσθω
τῇ μὲν αβ ἴση ἡ βὃ, τῇ δὲ
αγ ἡ γε. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ 1
αβ τῇ βδ, ἴση ἡ ὑπὸ βδα ΝΝ “
τῇ ὑπὸ βαδ, καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ἂγ τῇ γε, ἴση ἡ ὑπὸ γεα
τῇ ὑπὸ εαγ᾽ δύο ἄρα αἱ ὑπὸ βδα γεα ἴσαι δυσὶν
ταῖς ὑπὸ βαδ καὶ ξαγ. πάλιν ἐπεὶ τριγώνου τοῦ
αδγ ] ἐκτὸς ἡ ὑπὸ βδα, μείξων τῆς ὑπὸ ξαγ, καὶ γὰρ
τῆς ὑπὸ δαγ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ἐπεὶ τριγώνου
τοῦ αβε ἐκτὸς ἡ ὑπὸ γεα, μείζων τῆς ὑπὸ βαδ, καὶ
γὰρ τῆς ὑπὸ βαε μείζων. αἱ ὑπὸ βδα γεα μείξους ἐχεῖ δύο τῶν ὑπὸ βαδ ξαγ. ἦσαν δὲ καὶ ἴσαι αὐταῖς·
ὅπερ ἀδύνατον. αἱ ἄρα αβ ἂγ οὔτε ἴσαι εἰσὶν τῇ βγ, οὔτε ἐλάσσους, ἀλλὰ μείζους. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.
ΧΧΙῚ, ἔβθοσυ. ΧΠΠ. ᾿Ἐὰν τριγώνου ἐπὶ μιᾶς
τῶν πλευρῶν δύο εὐθεῖαι συσταθῶσιν ἐντὸς
ἀπὸ τῶν περάτων ἀρξάμεναι, αἱ συσταθεῖσαι
τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν ἐλάττους τὸ μὲν ἔσονται, μείξονα δὲ γωνίαν περιέξουσι.
Τὸ μὲν δηλούμενον ὑπὸ τῆς προτάσεως φανερὸν καὶ ἡ ἀπόδειξις ἡ παρὰ τῷ στοιχειωτῇ τὸ ἐναργὲς ἔχει καὶ ταῖς πρώταις ἀρχαῖς ἑπόμενον τὸ θεώρημα. ἐκ γὰρ δύο θεωρημάτων ἤρτηται τοῦ τε πρὸ τούτου
δειχθέντος καὶ τοῦ ἑχκαιδεκάτου. πρὸς μὲν γὰρ τὸ δεῖξαι τὰς συσταθείσας ἐντὸς ἐλάσσονας τῶν ἐκτὸς ἐκείνου δεῖται τοῦ θεωρήματος, παντὸς τριγώνου αἴ δύο μείζους εἰσὶ τῆς λοιπῆς, πρὸς δὲ τὸ τὴν ὑπ᾽ αὐτῶν περιεχομένην γωνίαν ἀποφῆναι μείζονα τῆς
ὑπὸ τῶν ἐχτὸς περιεχομένης, ἐκεῖνο αὐτῷ συντελεῖ, τὸ παντὸς τριγώνου τὴν ἐχτὸς γωνίαν μείζονα εἶναι τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. λάβοις δ᾽ ἂν ἅμα τῆς γεωμετρικῆς ἀκριβείας πίστιν καὶ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι παραδόξων ὑπόμνησιν, εἰ δείξαιμεν ὅτι δυνατὸν ἐντὸς
τριγώνου τινὸς ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν οὐχ ὅλης ἀλλὰ μέρους αὐτῆς συστῆναι δύο εὐθείας μείζους τῶν ἐκτός, καὶ πάλιν μείονα (Ὁ) γωνίαν περιεχούσας τῆς ὑπὸ τῶν ἐκτὸς περιεχομένης. τούτου γὰρ δειχθέντος ἅμα μὲν δῆλον ὅτι ἀναγκαίως ὁ στοιχειωτὴς προσέθηκεν τὸ ἀπὸ τῶν περάτων ἄρχεσθαι δεῖν τῆς κοινῆς βάσεως τὰς ἐντὸς συνισταμένας καὶ τὸ ἐπὶ μιᾶς ὕλης συνίστασθαι, ἀλλὰ οὐκ ἐπὶ μέρους τῆς ὅλης. ἅμα δὲ καὶ ὅπερ εἴπομεν ἕν τι τῶν ἐν γεωμετρίᾳ παραδόξων ἀναφανήσεται. πῶς γὰρ οὐ παράδοξον, εἰ αἴ μὲν ἐπὶ τὸ τῆς ὕλης Ϊ συνιστάμεναι τῶν ἐκτὸς ἐλάσσους εἰσίν, αἴ δὲ ἐπὶ μέρους μείζονες; ἔστω δὴ οὖν ὀρθογώνιον τρίγῶνον τὸ αβγ, ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ β γωνίαν καὶ εἰλήφθω σημεῖον τυ- χὸν τὸ ὃ ἐπὶ τῆς βγ καὶ ἐπεξεύχθω ἡ αὁ. μείξων ἄρα ἡ αὃ τῆς αβ. ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς
ἐφηφῦσθα ὀκὸ εξ. ὦ ς ᾿ αὃ ἴση τῇ αβ ἢ δε, καὶ ἡ δα διῃρήσθω δίχα κατὰ τὸ ξ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ἢ γξ. ἐπεὶ οὖν τρίγωνόν ἐστι τὸ αγξ αἱ αξ Γ μείξους εἰσὶ τῆς αἀγ. ἀλλ᾽ ἡ αξ ἴση τῇ ξε. αἵ ἄρα ξε ἐγ μείἔους τῆς αἀγ. ἴση δὲ ἡ δὲ τῇ αβ’ αἱ ἄρα ἐγ ξὸ μείξους τῶν αβ αγ, καί εἰσιν ἐντός. πάλιν ἔστω τρίγωνον
ἰσοσκελὲς τὸ αβγ μείξονα τὴν βάσιν ἔχον τὴν βγ ἑκατέρας τῶν ἴσων, καὶ ἀφῃφρήσθω ἀπὸ τῆς βγ ἴση τῇ αβ ἡ βὸ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ αδ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς αὃ τυχὸν εἰλήφθω
Σ τὸ ε, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ἐγ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ αβ τῇ βὸ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ βαὸ τῇ ὑπὸ βδα, καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ εδγ ἐκτός ἐστιν ἡ ὑπὸ βδα, μείξων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναν-
τίον τῆς ὑπὸ δεγ, ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ βαδ μείζων τῆς ὑπὸ δεγ. πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ βαγ τῆς ὑπὸ δεγ. καὶ περιέχεται ἡ μὲν ὑπὸ βαγ ὑπὸ τῶν ἐκτός, ἡ δὲ ὑπὸ δὲν ὑπὸ τῶν ἐντός. συνεστάθησαν ἄρα ἐντὸς τοῦ τριγώνου αἱ δὲ ἐγ γωνίαν περιέχουσαι ἐλάσσονα
: τῶν ἐκτός, καὶ δέδεικται τὸ προκείμενον οὐ προσχρησαμένων ἡμῶν ταῖς παραλλήλοις τῶν ἐξηγητῶν. ἀναγκαῖον ἄρα τὰς συνεσταμένας εὐθείας ἀπὸ τῶν περάτων ἄρχεσθαι τῆς βάσεως. αἷ γὰρ ἐπὶ μέρους αὐτῆς συνἐιστάμεναι καὶ μείζους δείκνυνταί ποτε τῶν ἐχτὸς καὶ
ἐλάσσονα περιέχουσαι γωνίαν.
Οὕτω δὲ καὶ συνισταμένων ἀπὸ τῶν περάτων
ἀναφαίνεται καὶ τὸ εἶδος τῶν καλουμένων ἀκιδοειδῶν τριγώνων, ἕν καὶ τοῦτο τῶν ἐν γεωμετρίᾳ ᾿ παρα-
δόξων τρίγωνον τετράπλευρον εὑρεῖν οἷον τὸ βαγ. περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τεττάρων πλευρῶν τῶν βα 7} γε εβ, τρεῖς δὲ ἔχει γωνίας, «
μίαν μὲν τὴν πρὸς τῷ β, ἑτέραν δὲ τὴν πρὸς τῷ α, λοιπὴν δὲ τὴν πρὸς τῷ γ. τετράπλευρον ἄρα ἐστὶ τρίγωνον τὸ προκείμενον σχῆμαι 935 7
ΧΧΙΙ, ῥχοῦ]. ΥΠΙ. Ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ
εἶσιν τρισὶ ταῖς δοθείσαις εὐθείαις ἴσαι, τρίγωῶωνον συστήσασθαι. δεῖ δὲ τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζους εἶναι πάντη μεταλαμβανομένας.
Ἐπὶ τὰ προβλήματα μετεληλύθαμεν αὖθιςρ᾽ καὶ παρακελεύεται τριῶν ἐκκειμένων εὐθειῶν, ὧν αἱ δύο μείξους τῆς λοιπῆς, συστήσασθαι τρίγωνον ἐξ ἴσων
πλευρῶν ταῖς δοθείσαις εὐθείαις, πρῶτον μὲν τοῦτο συνιδών, ἐξ αὐτῶν ἐχείνων θέσιν ἤδη λαβουσῶν εἰρημένην συστῆναι τρίγωνον ἀδύνατον, ἀλλ᾽ ἐκ τῶν ἴσων αὐταῖς δυνατόν, ἔπειθ᾽ ὅτι δεῖ τὰς εὐθείας τὰς συμπληροῦν μελλούσας τὸ τρίγωνον τὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζους ἔχειν πάντη μεταλαμβανομένως — παντὸς γὰρ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ μείζους εἰσὶ τῆς λοιπῆς, ὡς δέδεικται — καὶ διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν προσθεὶς, ὡς ὥρα ἀναγκαῖον καὶ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν
Props. I.22–I.23: Triangle Diorismos & Copying an Angle (Oenopides)¶
Euclid: [I.23]
τὰς δύο μείζους εἶναι τῆς λοιπῆς κατὰ πᾶσαν λῆψιν,
ἢ οὐχ ἔσται τρίγωνον ἐκ τῶν ἴσων αὐταῖς εὐθειῶν,
πρὸς δὲ τούτοις καὶ τὰς ἐνστάσεις ἁπάσας ἀνελὼν τὰς
πρὸς τὴν κατασκευὴν φερομένας, διὰ τῆς προσθήκης ταύτης μόνης κἀκείνας λύεσθαι δυναμένας.
Ἐστὶν οὖν τὸ πρόβλημα τῶν διωρισμένων, ἀλλ᾽ οὐ τῶν ἀδιορίστων. καὶ γὰρ τῶν προβλημάτων ὥσπερ τῶν θεωρημάτων τὰ μέν ἐστιν ἀδιόριστα, τὰ δὲ διὡρισμένα. ἐὰν μὲν γὰρ εἴπωμεν ἁπλῶς οὕτως ἐκ τριῶν
εὐθειῶν ἴσων τρισὶ ταῖς δοθείσαις συστήσασθαι τρίγῶνον, ἀδιόριστον καὶ ἀδύνατον, ἐὰν δὲ προσθῶμεν, ὧν αἱ δύο μείξους εἰσὶ τῆς λοιπῆς πάντη μεταλαμβανόμεναι, διωρισμένον τε καὶ δυνατόν. γίνεται γὰρ αὖ καὶ τοῦτο ὥσπερ Ϊ τῶν θεωρημάτων κατὰ τὸ ἀλη-
16 θὲς καὶ ψεῦδος ἡ διαίρεσις, οὕτω καὶ τῶν προβλημάτῶν κατὰ τὸ δυνατὸν ἀποφανθέν [καὶ τὸ ἀδύνατον].
. ὋὍὌντι δὲ καὶ αἴ πρὸς τὴν κατασκευὴν ἐνστάσεις ἐντεῦθεν λύονται, μάθοιμεν ἂν σμικρὸν εἰς αὐτὴν ἐπιβλέψαντες. ἐπακο-
λουθήσομεν γὰρ αβγ τοῖς τοῦ γεωμέ-
τρου ῥήμασιν. ἔστωσαν τρεῖς εὐὑθεῖαι α βγ, ὧν
αἴ δύο μείζους τῆς
λοιπῆς πάντη μεταλαμβανόμεναι, καὶ δέον ἔστω ποιἦσαι τὸ προσταχθέν. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ δὲ ἐπὶ θάτερα μὲν πεπερασμένη, οἷον κατὰ τὸ ὃ, ἐπὶ θάτερα
δὲ ἄπειρος, καὶ κείσθω τῇ μὲν ἃ ἴση ἡ δξ, τῇ δὲ β ἴση ἡ ξη, τῇ δὲ γ ἴση ἡ ηθ. καὶ κέντρῳ τῷ ξ, διαστήματι δὲ τῷ ξδ κύκλος γεγράφθω ὁ κ,, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ η, διαστήματι δὲ τῷ 9 κύκλος γεγράφθω ὁ λ, καὶ τεμνέτωσαν ἀλλήλους οἵ κύκλοι. τοῦτο γὰρ ἔλαβεν ὁ στοιχειωτής. πόθεν οὖν τοῦτο; φησίν τις. μήποτε γὰρ ἢ ἐφάπτονται μόνον ἀλλήλων, ἢ οὐδὲ ἐφάπτονται; τῶν γὰρ τριῶν ἔν τι πάσχειν αὐτοὺς ἀναγκαῖον, ἢ τέμνειν ἀλλήλους, ἢ ἐφάπτεσθαι, ἢ διεστάναι ἀπ᾿ ἀλλήλων. λέγω δὴ οὖν ὅτι τέμνουσιν ἐξ ἀνάγκης ἀλλήλους. ἐφαπτέσθωσαν γὰρ πρότερον ἀλλήλων. ἐπεὶ τοίνυν
εἰ δυνατόν, διεστάτωσαν ἀλλήλων αἱ κύκλοι, ὡς οἵ κ Δ. ἐπεὶ οὖν τὸ ξ τοῦ χα κέντρον, ἴση ἡ δὲ τῇ ἔν, καὶ ἐπεὶ τὸ ἢ τοῦ ῦ λκέντρον ἡ ὁ θη ἴση τῇ ἥ μ. μείζων ἄρα ὅλη ἡ ξη τῶν ὃξ 8η. ὑπερέχει γὰρ ἡ ξη τῇ νμ’ τῶν δὲ ηθ. ἔκειτο δὲ τὰς δξ
10 θη μείζους εἶναι τῆς ξη, ὥσπερ καὶ τὰς α γ τῆς 4.
ἴση γὰρ ἡ μὲν δὲ τῇ α, ἡ δὲ ξη τῇ β, ἡ δὲ θη τῇ γ. ἀνάγχη ἄρα τοὺς χ 1 κύκλους τέμνειν ἀλλήλους, ὥστε ὁ στοιχειωτὴς ὀρθῶς τέμνοντας ἔλαβεν ἀλλήλους τοὺς κύχλους. ἐπειδὴ καὶ τῶν τριῶν εὐθειῶν ὑπέθετο τὰς
δύο μείζους τῆς λοιπῆς πάντη μεταλαμβανομένας καὶ οὔτε ἴσας οὔτε ἐλάττους τῆς μιᾶς. ἀνάγκη δὲ ἐφαπτομένων μὲν ἴσας εἷναι, διεστώτων δὲ ἐλάσσους τὰς δύο τῆς λοιπῆς.
ΧΧΙΠ, ρὑγοῦ]. ὙΠ]. Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὑ-
θείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῇ δοθείσῃ
εὐθυγράμμῳ γωνίᾳ ἴσην γωνίαν εὐθύυγραμμον συστήσασθαι.
Πρόβλημα καὶ τοῦτο, Οἰνοπίδου μὲν εὕρημα
μᾶλλον, ὡς φησὶν Εὔδημος, γωνίας δὲ σύστασιν ἀπαιτοῦν ἴσης ἄλλῃ τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθεία καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δοθέντι σημείῳ. τὸ μὲν οὖν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγφαμμον ἀναγκαίως εἶναι προσέθηκεν, ἐπειδὴ καὶ ἀδύνα-
τον πάσῃ γωνίᾳ ἴσην γωνίαν πρὸς εὐθείᾳ συστήσασθαι. δέδεικται γὰρ ὅτι τῶν περιφερογράμμων γωνιῶν δύο μόνον εἰσὶν εὐθυγράμμοις ἴσαι, ἥ τε τοῦ πελέκεως πάσῃ εὐθυγράμμῳ ἴση δεικνυμένη καὶ ἡ τοῦ μηνοειδοῦς σχήματος διμοίρῳ ὀρθῆς ἴση οὖσα. ] γίνεται δὲ τὸ μηνοειδὲς τοῦτο δύο κύκλων διὰ τῶν κέντρων τεμνόντων ἀλλήλους. τὸ δὲ πρὸς εὐθείᾳ τινὶ γίνεσθαι τὴν σύστασιν τῆς γωνίας ὡρισμένην ποιεῖ τὴν συνισταμένην καὶ οὐκ ἀδιάφορον κατὰ τὸ εἶδος,
ἀλλ᾽ ἤτοι εὐθύγραμμον ἢ μικτήν. οὐδεμιᾶς δὲ μικτῆς
ἴσης εἷναι δυναμένης εὐθυγράμμῳ πρόδηλον ὅτι καὶ αὐτὴ πάντως εὐθύγραμμός ἐστιν. Ὁ μὲν οὖν στοιχειωτὴς ἁπλῶς προσχρησάμενος τῷ πρὸ τούτου προβλήματι καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν ἴσων ὃ τρισὶ ταῖς δοθείσαις συστήσας τρίγωνον ἐποίησεν τὸ προσταχθέν, λάβοις δ᾽ ἂν τὴν σύστασιν τοῦ τριγώνου διδασχαλικώτερον τὸν τρόπον τοῦτον. ἔστω
εὐθεῖα ἡ αβ, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ δοθὲν σημεῖον τὸ ἃ, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ γδε. δεῖ δὴ ποιῆσαι 1ὸ τὸ προσταχθέν. ἐπεζεύχθω ἡ γε καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἑκάτερα ἡ αβ, ὡς ἐπὶ τὰ ς ἢ, καὶ κείσθω τῇ μὲν γὸ ἴση ξα, τῇ δὲ δὲ ἴση ἡ αβ, τῇ δὲ γε ἡ βη; καὶ κέντρῷ τῷ α, διαστήματι δὲ τῷ ξα κύκλος γεγράφθω ὁ κ,), καὶ πάλιν ὥσπερ ἐπὶ τοῦ πρὸ τούτου κέντρῳ τῷ β, διαστήματι δὲ τῷ βη κύκλος γεγράφθω ὁ Δ. τέμνουσιν ἄρα ἀλλήλους οἱ κύκλοι ὡς προδέδεικται. τεμνέτῶσαν κατὰ τὰ μ ν σημεῖα, καὶ ἀπὸ τοῦ μ ἐπιξεύ-
.«θωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα, καὶ ἀπὸ τοῦ ν ὡσαύτως. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ξα τῇ ἂμ καὶ τῇ ἂν, ἡ δὲ ξα ἴση τῇ γδ, καὶ ἡ ἂμ καὶ ἡ ἂν ἴσαι τῇ γδ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ ηβ τῇ βμ καὶ τῇ βν, ἡ δὲ ηβ ἴση τῇ γὲ, ἡ ἄρα βμ καὶ ἡ βν ἴσαι τῇ γε. ἀλλὰ καὶ ἡ αβ ἴση τῇ δε. δύο ἄρα αἴ αβ ἂμ ἴσαι ταῖς δε ὃγ καὶ βάσις ἡ βμ ἴση τῇ γε, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ μαβ ἴση τῇ πρὸς τῷ ὃ. καὶ πάλιν δύο αἴ να αβ ἴσαι δυσὶν ταῖς γὃ ὃε, καὶ βάσις ἡ νβ βάσει τῇ γε ἴση, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ναβ ἴση τῇ ὑπὸ γδε. καὶ γέγονεν τὸ προσταχθὲν διπλασίως. οὐ τὸ γὰρ μίαν μόνον, ἀλλὰ δίο συνεστησάμεθα γωνίας
ἴσας τῇ δοθείσῃ ἐφ᾽ ἑκάτερα τῆς αβ εὐθείας, ] ἵνα καὶ ἐν τοῖς ἑξῆς, ἐφ᾽ ὁπότερα ἂν βουλώμεθα ποιεῖσθαι τὴν σύστασιν, ἀναμφισβήτητον εἴη καὶ μή τις ἀντιλέγῃ. Ταῦτα μὲν οὖν πρὸς τὴν τοῦ στοιχειωτοῦ κατα- τ σκευὴν συμβαλλόμεθα, τὴν δὲ Απολλωνίου δεῖξιν
οὐκ ἐπαινοῦμεν, ὡς δεομένην » τῶν ἐν τῷ τρίτῳ βιβλίῳ δεικνυ- ν μένων. λαβὼν γὰρ ἐκεῖνος γωνίαν τυχοῦσαν τὴν ὑπὸ γδὲε Ἐ 39
καὶ εὐθεῖαν τὴν αβ κέντρῳ Α͂ τῷ ὃ. διαστήματι δὲ τῷ »ὃ τ γράφει τὴν γε περιφέρειαν, καὶ
ὡσαύτως κέντρῳ τῷ α,, διαστή-
Props. I.24–I.25: Hinge Theorems (Heron, Porphyry & Menelaus)¶
Euclid: [I.24]
ματι δὲ τῷ αβ τὴν ξβ, καὶ ἀπολαβὼν τῇ γε ἴσην τὴν ξβ ἐπιξεύγνυσι τὴν αξ. καὶ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυέας τὰς α ὃ γωνίας ἴσας ἀποφαίνει. δεῖ δὲ
προλαβεῖν καὶ ὅτι ἡ αβ ἴση τῇ γδ, ἵνα καὶ οἵ κύκλοι
ἴσοι ὦσι. τὴν οὖν τοιαύτην κατασκευὴν ὡς τοῖς ὕστερον προσχρωμένην ἀλλοτρίαν εἶναι τῆς στοιχειώσεως νομίξομεν, τὴν δὲ τοῦ γεωμέτρου προτίθεμεν ὡς ταῖς ἀρχαῖς ἑπομένην.
Ῥγονρ. ΧΧΙΠΙῚ, ἰμθοσ. ΧΥ͂. Ἐὰν δύο τρέγωνα δύο
ι᾽πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ, ἑκατέραν ἕκα-
τέρα, ἔχῃ δὲ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείξονα
τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείξονα ἕξει.
Πάλιν ἐπὶ τὰ θεωρήματα μεταβέβηκε καὶ τοὺς
ὁμοίους ἀποδίδωσι περὶ τῆς ἀνισότητος λόγους ἐπὶ δύο τριγώνων, οὗς καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος. δύο γὰρ ὑποθέμενος τρίγωνα δύο πλευρὰς ἴσας ἔχοντα, ἑἕκατέραν ἑκατέρα, τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν ὅτε μὲν ἴσην ἐν ἀμφοτέροις τίθεται, ὅτε δὲ ἄνισον, καὶ τῇ μὲν ἰσότητι ταύτης ἑπομένην ἔδειξεν τὴν ἰσότητα τῶν βάσεων καὶ τῇ τούτων ἰσότητι δείκνυσιν ἐπακολουθοῦσαν τὴν τῶν γωνιῶν τῶν πρὸς ταῖς κορυφαῖς
ἰσότητα, καὶ τῇ ἀνισότητι τὴν ἀνισότητα. τοῦτο τοίνυν Ϊ τὸ θεώρημα τὸ νῦν προτεινόμενον ἀντίκειται μὲν τῷ τετάρτῳ — ἐκεῖνο μὲν γὰρ ἴσας ὑπέθετο τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς τῶν τριγώνων γωνίας, τοῦτο δὲ
ἀνίσους. κἀκεῖνο μὲν ἴσας αὐτῶν ἀπεδείκνυ τὰς βά-
σεις τοῦτο δὲ ὡσαύτως ταῖς γωνίαις ἀνίσους — προηγεῖται δὲ τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος. ἐκεῖνο μὲν γὰρ ἀπὸ τῶν βάσεων ἐπὶ τὰς γωνίας, καθ᾽ ἃς ὑποτείνουσιν αἴ βάσεις, μετάγει τὸν τῆς ἀνισότητος λόγον, τοῦτο ὃὲ ἀνάπαλιν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις τὰς ὑπ᾽ αὐτάς. ὥσπερ αὖ τὸ ἐφεξῆς ἀντίστροφον μέν ἐστι πρὸς τοῦτο χατὰ τὸν εἰρημένον τρόπον. ἀντικείμενον δὲ τῷ ὀγδόῳ θεωρήματι. τὸ μὲν γὰρ ἀπὸ τῆς ἰσότητος τῶν βάσεων ἴσας ἀποδείκνυσι τὰς πρὸς ταῖς κορυφαῖς γωνίας, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ἀνισότητος τῶν βάσεων κἀκείνας ἀνίσους ἀποφαίνει. κοινὸν ὃδ τοῖς τέτρα-
σιν, ὦν δύο μὲν περὶ τὸ ἴσον στρέφεται, τὸ ὃ καὶ τὸ ἡ, δύο δὲ περὶ τὸ ἄνισον. τοῦτό τὸ καὶ τὸ ἑξῆς, καὶ δύο μὲν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἄρχεται, τὸ τέταρτον καὶ ὃ νυνὶ προεθέμεθα ξητεῖν, δύο δὲ ἀπὸ τῶν βάσεων, τό τε ὄγδοον καὶ τὸ ἐφεξῆς τεταγμένον — δεῖ (Ὁ) οὖν τούτοις
τέτρασι τῷ ὃ καὶ ἡ καὶ κὃ καὶ κε τοῖς ἅπασι τὸ τὰς δύο πλευρὰς ἴσας ἔχειν ταῖς δύο πλευραῖς ἑκατέραν ἑκατέρα. τούτων γὰρ ἀνίσων οὐσῶν περιττὴ πᾶσα ξήτησις καὶ ἀπάτης οὐκ ἀπηλλαγμένη.
Τοσαῦτα καθύόλου περὶ τῶν προκειμένων εἰρήσθω. φέρε δὲ καὶ τὴν τοῦ στοιχειωτοῦ κατασχευὴν τοῦδε τοῦ θεωρήματος ἀνασχεψώμεθα, καὶ τὸ ἐλλεῖπον αὐτῇ
προσθῶμεν. λαβὼν γὰρ δύο τρίγωνα τὰ αβγ δεξ ὑ ἴσας ἔχοντα τὰς αβ αγ ταῖς δὲ ὃξ ἑκατέραν ἑχατέρα καὶ τὴν πρὸς τῷ ἃ γωνίαν τῆς πρὸς τῷ ὃ μείζονα, δεῖξαί τε βουλόμενος τὴν βγ τῆς εξ μείζονα πρὸς τῇ εὃ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ ὃ συνίστησιν ἴσην]
γωνίαν τῇ πρὸς τῷ α τὴν ὑπὸ εὖὃθ – μείζων γὰρ ἡ πρὸς τῷ ἃ τῆς πρὸς τῷ ὃ – καὶ ἀφεῖλεν ἴσην τῇ αγ
τὴν ὅθ. τῆς οὖν εξ εὐθείας ἐχβαλλομένης τὸ θ’ σημεῖον ἢ ἀνωτέρω πίπτει τῆς εὐθείας, ἢ ἐπ᾽ αὐτῆς, ἢ ὑπ᾽ αὐτήν. ὁ μὲν δὴ στοιχειωτὴς ὡς ἀνωτέρω κείμενον ἔλαβεν. ἔστω δὲ ἐπ᾽ αὐτῆς τῆς εὐθείας. πά-
Α 7 ξ ἕ 9»
1δλιν οὖν αὐτόθεν δείξομεν. δύο γὰρ αἵ αβ ἂγ δύο ταῖς δὲ δθ ἴσαι καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι. καὶ ἡ
βγ ἄρα βάσις τῇ εθ ἴση. ἀλλ᾽ ἡ ε8 τῆς εἶ μείζων, ὥστε καὶ ἡ βγ τῆς εξ μείζων. ἀλλὰ δὴ ἔστω τῆς εἕ κατωτέρω κείμενον. ἐπιξεύξαντες οὖν τὴν ε8 ἐροῦμεν
ὡς, ὅτι αἱ αβ ἂγ ταῖς δὲ δ σαι καὶ γωνίας ἴσας
περιέχουσι, καὶ ἡ βγ ἄρα ἴση τῇ εθ. ἐπεὶ οὖν τρι-
γώνου τοῦ δεθ’ ἐντὸς συνέστησαν αἴ ὃξ ξε ἐπὶ τῆς δε, ἐλάσσους εἰσὶ τῶν ἐκτός. ἴση δὲ ὃΣ ἡ δὃὃ · τῇ δξικαὶ γὰρ 9 τῇ αν — μείξων ἄρα ἡ θὲ τῆς εξ. ἀλλ᾽ ἡ
θὲ τῇ βγ ἐστὶν ἴση, μείζων ἄρα ἡ βγ τῆς εξ. κατὰ πᾶσαν ἄρα θέσιν δέδεικται τὸ θεώρημα.
Διὰ τί δὴ οὖν οὐχ, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ τετάρτου θεὠρήματος προσαπέδειξεν ὅτι καὶ τὰ ἐμβαδὰ τῶν τριγώνων ἴσα ἐστίν, οὕτω καὶ ἐν τούτῳ προσέθηκεν, ὅτι πρὸς τῇ ἀνισότητι τῶν βάσεων καὶ τὰ ἐμβαδὰ ἄνισα; πρὸς δὲ ταύτην τὴν ἀπορίαν λεγέσθω ὅτι οὐχὶ ὁ αὐτὸς λόγος ἐπί τε τῶν ἴσων γωνιῶν καὶ βάσεων καὶ τῶν ἀνίσων. ἴσαις μὲν γὰρ οὔσαις ταῖς γωνίαις καὶ ταῖς βάσεσιν ἕπεται καὶ ἡ τῶν τριγώνων ἰσότης.
ἀνίσοις δὲ ἄρα οὔσαις οὐκ ἀνάγκη τὴν ἀνισότητα τῶν ἐμβαδὼῶν ἀκολουθεῖν, ἀλλὰ γὰρ δύναται καὶ ἴσα εἶναι τὰ τρίγωνα καὶ ἄνισα, καὶ μεῖξον τὸ ἔχον τὴν μείζονα γωνίαν καὶ βάσιν καὶ αὖ ἔλασσον. διὰ τοῦτο οὖν ὁ στοιχειωτὴς παρέλειπεν τὴν τῶν τριγώνων σύγκρισιν, ἅμα δὲ καὶ ὅτι ἡ περὶ τούτων θεωρία τῆς τῶν παραλλήλων δεῖται πραγματείας. εἰ δὲ δεῖ προλαβόντας ἡμᾶς τὰ μέλλοντα δείκνυσθαι καὶ νῦν ποιήσασθαι τὴν τῶν ἐμβαδῶν παράθεσιν, λέγομεν ὅτι δύο ὀρθαῖς
1 ἴσων οὐσῶν τῶν α ὃ γωνιῶν — γινέσθω δὲ ὁ λόγος ἐπὶ τῆς ἐν τῷ στοιχείῳ καταγραφῆς — ἴσα δείκνυται τὰ τρίγωνα, ᾿ μειξόνων δὲ δυεῖν ὀρθῶν ἔλασσον τὸ ἔχον τὴν μείξονα γωνίαν, ἐλασσόνων δὲ οὐσῶν, μεῖξον.
τῇ ὑπὸ ηδκ ἴση. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ εδξ ἴση τῇ ὑπὸ θὸκ - κατὰ κορυφὴν γάρ — καὶ ἡ ὑπὸ ηδκ ἄρα. καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ηδὲ ἐχτός ἐστιν ἡ ὑπὸ ηδθ., ἴση ἐστὶ ταῖς δύο ἀπεναντίον ταῖς πρὸς τῷ ἡ καὶ ξ. ἀλλὰ αὗται ἴσαι ἀλλήλαις· καὶ γὰρ ἡ δη τῇ δξ᾽ ἡ ἄρα ὑπὸ ηδθ διπλὴ τῆς πρὸς τῷ ἡ γωνίας. ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ ἡ τῇ ὑπὸ κδη, καί εἰσιν ἐναλλάξ᾽ παράλληλος ἄρα ἡ δὲ τῇ ξη. τὰ ἄρα ηδὲ ξδε τρίγωνα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν τῆς δὲ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς δὲ καὶ ηξ᾽ ἴσα ἄρα ἐστίν· ἀλλὰ τὸ ἥδειο τῷ αβγ ἴσον, καὶ τὸ δεξ ἄρα τῷ αβγ ἴσον. καὶ ὁρᾷς ὅτε τριῶν ἐδεήθημεν θεωρημάτων, ἃ τῆς τῶν παραλλήλων ἐστὶ πραγματείας, ἑνὸς μὲν ὅτι παντὸς τριγώνου ἡ ἐχτὸς γωνία δύο ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση, ἑτέρου δὲ ὅτι, ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ποιῇ, παράλληλοί εἰσιν αἵ εὐθεῖαι, τοῦ τρίτου δὲ ὅτι τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τρίγωνα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἐστίν· ἃ καὶ ὁ στοιχειωτὴς εἰδὼς παρῆκεν τὴν τῶν τριγώνων σύγκρισιν. ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν αἱ ὑπὸ βαγ εδξ γωνίαι μείξους δυεῖν ὀρθῶν καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτά. ἐπεὶ
οὖν αἴ ὑπὸ βαγ εδξ, τουτέστιν αἱ ὑπὸ ἐδη εδᾷ μεί-
4 ταῖς δύο ταῖς ἀπεναντίον ΟΘ,Ἁ 6 ταὶς πρὸς τῷ ἢ καὶ
ξ γωνίαις Θ΄, οοττν. Ο. 11 Ῥυΐαβ ἴσον οτῃ. Η. 12 τῆς υτη. Ο, δὰ. 6. 21 δυεῖν) δύο 6, δυοῖν Ο. ἢ προκατα-
ἕους δύο ὀρθῶν, αἵ δὲ ὑπὸ ἐδη ηδκ ἴσαι δύο ὀρθαῖς, κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ὑπὸ εἐδη, μδίξων ἡ ὑπὸ εδξ
αν ; ἤ
τῆς ὑπὸ ηδκ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ κδ9 μείζων ] τῆς ὑπὸ
ηδκ. μείξων ἄρα ἡ διπλῆ [τῆς ὑπὸ ηδθ , τουτέστι διπλῆς] τῆς πρὸς τῷ ἡ γωνίας. ἡ ἄρα ὑπὸ ηδὃκ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ ἡ. κείσθω ἴση τῇ ὑπὸ ηδκ ἥ ὑπὸ δηλ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ελ. παράλληλος ἄρα ἡ ηλ τῇ δε. τὰ ἄρα ηδὲ λδὲε τρίγωνα ἴσα ἐστίν. ἀλλὰ τὸ λδε τοῦ ξδε ἔλασσον᾽ τὸ ἄρα ηδὲ ἔλασσον τοῦ ἐδε. ἴσον δὲ τὸ ηδε τῷ αβγ’ τὸ ἄρα αβγ ἔλασσον τοῦ
ἐδε τὸ ἔχον τὴν μείζονα [γωνίαν]. τὸ δὴ τρίτον ἔστωσαν ἐλάσσους ὀρθῶν δυεῖν αἴ ἄνισοι γωνίαι, καὶ
κατεσκευάσθω τὰ αὐτά. ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ δδη ηδκ
δυεῖν ὀρθαῖς ἴσαι, κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ὑπὸ [ἐδη ἐλάσσων ἡ ὑπὸ εδξ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ κδθ’, τῆς
ὑπὸ ηδκ. καὶ] ὅλη ἡ ὑπὸ ηδ8θ ἐλάσσων ἢ διπλῇ τῆς ὑπὸ ηδκ. ἀλλὰ καὶ διπλῇ ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ ἡ γωνίας. ἡ ἄρα ὑπὸ ηδκ μείξων τῆς πρὸς τῷ ἢ. κείσθω τῇ ὑπὸ ηδκ ἴση ἡ ὑπὸ δηλ, καὶ συμπιπτέτω ἡ ηλ τῇ εξ κατὰ τὸ λ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ἡ ὃλ. παράλληλος ἄρα ἡ ηλ τῇ δε᾿ ἴσα ἄρα τὰ ἥδε ὃλε τρίγωνα ἀλλήλοις. ἀλλὰ τὸ μὲν λδε μείζων τοῦ ἔδε, τὸ δὲ ηδὲ ἴσον τῷ αβγ. τὸ ἄρα αβγ μεῖζον τοῦ] δξε. δέδεικται ἄρα τὸ τὸ αβγ τῷ δεξ καὶ ἴσον καὶ μεῖζον καὶ ἔλασσον τῶν πρὸς τῷ α καὶ ὃ γωνιῶν ἣ δυεῖν ὀρθαῖς ἴσων οὐσῶν ἢ μειζόνων δυεῖν ὀρθῶν ἢ ἐλασσόνων. καὶ πᾶσαι αἵ ὑποθέσεις τὸ δυνατὸν ἔχουσι. τί γάρ, εἰ ἡ πρὸς τῷ
ἃ εἴη μιᾶς ἡμισείας ὀρθῆς, ἡ δὲ πρὸς τῷ ὃ ἡμισείας; οὐχὶ δυσὶν ὀρθαῖς αἱ δύο ἴσαι; τί δέ, εἰ ἡ πρὸς τῷ α
μιᾶς ἡμισείας, [ ἡ δὲ πρὸς τῷ ὃ μιᾶς; οὐχὶ μείζους δύο ὀρθώῶν; τί δέ, εἰ ἡ πρὸς τῷ α μιᾶς ἡμισείας, ἡ
6 δὲ πρὸς τῷ ὃ τρίτου; οὐχὶ ἐλάσσους δύο ὀρθῶν; καὶ ἀεὶ ἡ ἃ μείζων τῆς πρὸς τῷ ὃ. πᾶσαι οὖν διὰ τῆς τῶν παραλλήλων ἡμῖν γεγόνασι προσχρήσεως. ἀναγκαίως ἄρα παράκεινται τῷ στοιχειωτῇ.
Ῥχγορ. ΧΧΥ͂, ἄιθον. ΧΥ͂Ι. [ ᾿ξδὰν δύο τρίγωνα δύο
ι᾽ πλευρὰς δύο πλευραῖς ἴσας ἔχῃ, ἑκατέραν ἕκά-
τέρᾳ, καὶ τὴν βάσιν τῆς βάσεως μείξονα ἔχῃ»
καὶ τὴν γωνίαν τῆς γωνίας μείξονα ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην.
Τοῦτο τὸ θεώρημα ἀντίκειται μὲν τῷ ὀγδόῳ,
ἀντιστρέφει δὲ τῷ πρὸ αὐτοῦ. κατὰ συξυγίαν γὰρ ὁ στοιχειωτὴς προήγαγεν τά τε ἐπὶ τῆς ἰσότητος τῶν
γωνιῶν καὶ τῶν βάσεων καὶ τὰ ἐπὶ τῆς ἀνισότητος θεωρήματα καθ᾽ ἑκατέραν τῶν συζξυγιῶν τὰ μὲν προηγούμενα, τὰ δὲ ἀντίστροφα λαμβάνων καὶ ἐπὶ μὲν
1 μιᾶς καὶ ἡμισείας Θσ. 41–ὃὁὋ ἡμισείας; οὐχὶ … πρὸς
τῷ ὃ οὐ. ὦ, δὰὰ. Ο. 2 οὐχὶ οἴὰ. Ο. 8 μιᾶς καὶ ἦμις
τῶν προηγουμένων ταῖς ἐπ᾿ εὐθείας δείξεσι χρώμενος, ἐπὶ δὲ τῶν ἀντιστρόφων ταῖς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγαῖς. οὕτω δὲ καὶ ἐφ᾽ ἑνὸς ἑκάστου πεποίηκεν τριγώνου τότε μὲν τῇ ἰσότητι τῶν ἐν αὐτῷ πλευρῶν δείκνυσι τὴν ἰσότητα τῶν ὑποτεινομένων γωνιῶν ἀχολουθοῦσαν, τότε δὲ τῇ ἀνισότητι · καὶ αὖ πάλιν ἀντιστρόφως τῇ μὲν ἰσότητι τῶν γωνιῶν τὴν ἰσότητα τῶν ὑποτεινουσῶν πλευρῶν, τῇ δὲ ἀνισότητι τὴν ἀνισότητὰ ἀποφαίνων ἑπομένην. ἀλλ᾽ ἐπὶ τὸ προχείμενον ἐλθόντες ὅπως μὲν ὁ γεωμέτρης ἔδειξεν τὸ θεώρημα πρόδηλον ὃν παρῶμεν ἐκ τῶν βιβλίων ἀναλέγεσθαι τοῖς φιλομαθέσιν, ἃς δὲ καὶ οἱ ἄλλοι κομίζουσιν ἀποδείξεις τοῦ αὐτοῦ, συντόμως ἱστορήσωμεν, καὶ πρῶτον ἣν Μενέλαος ὁ ᾿4λεξανδρεὺς ἀνεῦρεν καὶ παρέδωκεν. ἔστω δύο τρίγωνα
μείξονα τῆς εἶ. λέγω ὅτι ἡ πρὸς τῷ α τῆς πρὸς τῷ ὃ μείζων. ἀφῃρήσθω γὰρ. ἀπὸ τῆς βγ γ τῇ εξ ἴση ἡ βη, καὶ συνεστάτω ἄτω πρὸς τῷ β σημείῳ τῇ ὑπὸ δεξ γωνία ἴση ἡ ὑπὸ ηβθ, καὶ κείσθω ἴση
ἐπὶ τὸ π, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ αθθ. ἐπεὶ οὖν [] ἴση ἡ ηβ τῇ εξ, ἡ δὲ βθ τῇ εὃ, δύο δυσὶν ἴσαι καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν. ἡ ἄρα η9 ἴση τῇ δξ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ βθη τῇ ὑπὸ εδξ ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ ηθ ἴση τῇ δξ, ἡ δὲ δὲ τῇ ἂγ, καὶ ἡ θη ἴση τῇ ἀγ. μείξων ἡ δκ τῆς αγ, ὥστε τῆς ἂκ πολλῷ μείζων. καὶ ἡ ὑπὸ καθ
ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ κθα. πάλιν ἐπεὶ ἴση τῇ αβ ἡ β98 — καὶ γὰρ τῇ δὲ ἴση ἐστίν — ἡ ὑπὸ βθα ἴση τῇ ὑπὸ βαθ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ [βακ μείξων ὅλης τῆς 0 ὑπὸ βθκ, ὅλη δὲ ἡ ὑπὸ] βθκ ἴση δέδεικται τῇ πρὸς Τοιαύτη μὲν ἡ ἀπόδειξις ἡ
Μενελάου, Ἥρων δὲ ὁ μηχανικὸς οὑτωσὶ οὐ δι᾿ ἀδυνάτου τὸ αὐτὸ
τῷ ὃ. ἡ ἄρα ὑπὸ βαγ μείζων τῆς πρὸς τῷ ὃ γωνίας.
δείκνυσιν. ἔστω τρίγωνα τὰ αβγ δεξ καὶ αἱ ὑποθέσεις αἱ αὐταὶ ἔστωσαν. καὶ ἐπεὶ μείξων ἡ βγ τῆς εξ, ἐχβεβλήσθω ἡ εξ καὶ κείσθω τῇ βγ ἴση ἡ ξη. καὶ ὁμοίως ἐκβεβλήσθω ἡ δὲ καὶ κείσθω τῇ δὲ ἴση ἡ δθ. ὁ δὴ κέντρῳ τῷ ὃ,
“5 απο – διαστήματι δὲ τῷ δξ κύκλος γρα-
φόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ ὃ. γεγράφθω ὡς εξκθ. καὶ ἐπεὶ αἴ αγ αβ τῆς βγ μείζους, αὗται δὲ ἴσαι τῇ ε8 καὶ ἡ βγ τῇ ε, ὃ κέντρῳ τῷ ε γραφόμενος κύκλος, διαστήματι δὲ τῷ ξη, τέμνει τὴν εθ. τεμνέτω ὁ ἢκ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα τῶν κύκλων ἀπὸ τῆς « κοινῆς τομῆς αἱ κὃ κε. ἐπεὶ οὖν τὸ ὃ κέντρον τοῦ δκξ, [ ἴση τῇ δὸ ἡ δκ,· τουτέστιν ν τῇ δὲ καὶ τῇ αγ. πάλιν ἐπειδὴ κέντρον τὸ ε τοῦ ἢκ, ἴση ἡ ἐκ τῇ δὴ τουτέστι τῇ βγ. ἐπεὶ οὖν δύο αἴ αβ ἂγ δύο ταῖς δὲ ὃκ ἴσαι καὶ ἡ βγ τῇ ἔκ; καὶ γωνία ἡ ὑπὸ βαγ γωνίᾳ τὸ τῇ ὑπὸ εδὃκ ἴση. μείξων ἄρα τῆς ὑπὸ ξδε ἡ ὑπὸ βαγ.
ΧΧΥῚ, ἰμθονυ. ΧΥ͂. Ἐὰν δύο τρίγωνα δύο γωνίας δύο γωνίαις ἴσας ἔχῃ» ἑκατέραν ἕκατέρᾳ, ἔχῃ δὲ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, ἥτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μέαν τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνέᾳ ἴσην ἔξει.
Τὸν τὰ τρίγωνα καὶ τὰς πλευρὰς καὶ τὰς γωνίας τὺ καὶ τὰ ἐμβαδὰ συγκρίνειν βουλόμενον ἀναγκαῖον ἢ μόνας τὰς πλευρὰς λαβόντα ἴσας ξητεῖν τὴν ἰσότητα
Prop. I.26: ASA/AAS Congruence & Thales’ Ship-Distance Theorem¶
Euclid: [I.26]
τῶν γωνιῶν, ἢ μόνας τὰς γωνίας ἴσας ζητεῖν τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν, ἢ μίξαντα γωνίας καὶ πλευρᾶς. μόνας μὲν οὖν γωνίας ἴσας λαβὼν οὐκ ἠδύνατο δεικνύναι καὶ τὰς πλευρὰς τῶν τριγώνων ἴσας. ἐστὶν γὰρ ἐσογώνια τρίγωνα καὶ τὰ σμικρότατα τοῖς μεγίστοις, καὶ ταῖς πλευραῖς καὶ τοῖς περιεχομένοις χωρίοις λει-
πόμενα τῶν ἑτέρων, τὰς δὲ γωνίας ἴσας ἔχοντα ἐκχείνοις κατὰ μίαν. μόνας δὲ τὰς πλευρὰς ἴσας ὑποθέμένος πάντα ἔδειξεν ἴσα κατὰ τὸ ὄγδοον θεώρημα, ιὸ ἐν ᾧ δύο τρίγωνά ἐστιν ἔχοντα δύο πλευρὰς ἴσας δυσὶν ἑκατέραν ἑκατέρα καὶ τὴν βάσιν ἴσην τῇ βάσει. καὶ δείκνυται ἰσογώνια ταῦτα καὶ ἴσων περιληπτικὰ χωρίων. καὶ ὁ στοιχειωτὴς τὴν προσθήκην ταύτην ἀφεῖλεν ὡς ἑπομένην ἐξ ἀνάγκης καὶ ἀποδείξεως οὐ ιό δεομένην, καθάπερ διὰ τὸ τέταρτον. πλευρὰς δὲ καὶ γωνίας λαμβάνων ἢ μίαν πλευρὰν ὥφειλεν λαβεῖν μιᾷ ἴσην καὶ μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ, ἢ μίαν πλευρὰν καὶ τὰς δύο γωνίας τῶν τριγώνων ἴσας, ἢ ἀνάπαλιν μίαν γωνίαν καὶ δύο πλευράς, ἢ μίαν γωνίαν καὶ τρεῖς 40 πλευράς, ἢ μίαν πλευρὰν καὶ τὰς τρεῖς γωνίας, ἢ καὶ πλείους μιᾶς πλευρὰς λαμβάνειν καὶ πλείους μιᾶς γωνίας. ἀλλὰ μίαν γωνίαν καὶ μίαν πλευρὰν λαβὼν οὐχ ἐδείκνυ τὸ προκείμενον τῶν ἄλλων τὴν ἰσότητα. δυνατὸν γοῦν δύο τρίγωνα κατὰ μίαν μόνην πλευρὰν )5 ἴσα ὄντα καὶ μίαν γωνίαν πᾶσιν ἄνισα τοῖς λοιποῖς
ἐσόγωνα Ο, ἰσογώνια Ο. 8 ἴσας δῖα ὑποθὲέ ἕνος οἴη. Θ᾽, δὰὰ, 0. 11 δκατέραν ἑκατέρᾳ] ἑκατέρας Ἡ, ἑχατέρας ἑκατέραις ΟΘ. 12 ἰσόγωνα Ο, ἰσογώνια Ο6. 1ὅ καθαπερ οἴη. ὅ. 18 Ῥοεὶ ἀνάπαλιν δἀᾶϊ! Ο τῶν τριγώνων ἴσας, ἀεὶ. ῃοῖ, Ο, 20 τὰς οἱ. Ο, δΔἀὰ. 6. 21 πλείω μιᾶς πλευρᾶς Ο, πλείονας μιᾶς πλευρᾶς Ὁ. 28 ἐδείκνυτο Η͂, Ο, ἐδείκνυτο τὸ Ο. ω μόνην μίαν ΟΘ. “6 παντάπασιν ἄνισα Ο, πᾶσιν ἄνισαι Ὁ.
ὑπάρχειν. ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ αβ ἑστῶσα ὀρθὴ ἐπὶ τὴν γὸ, μείζων δὲ τῆς βγὴ βδ, καὶ ἐπεξεύχθωσαν Ϊ
αἷ αγ αδ. οὐκοῦν τοῖς τριγώ- «
νοις τούτοις μία μὲν κοινὴ
πλευρὰ καὶ μία γωνία μιᾷ ἴση, τὰ δὲ ἄλλα ἄνισα πάντα. μίαν ν δὲ πλευρὰν καὶ δύο γωνίας λα-
βεῖν ἐξῆν καὶ δεῖξαι τὰ λοιπὰ ἴσα. καὶ τοῦτο ποιεῖ διὰ τοῦδε τοῦ θεωρήματος, μίαν δὲ πλευρὰν καὶ τρεῖς γωνέας ἴσας ἔτι ὑποτίθεσθαι περιττόν. εἴπερ καὶ δύο μόνων ἴσων οὐσῶν δέδεικται ἡ τῶν λοιπῶν ἰσότης. πάλιν μίαν γωνίαν καὶ δύο πλευρὰς λαβὼν ἔδειξεν τὰ ἄλλα ἴσα ἐν τῷ τετάρτῳ θεωρήματι. μίαν δὲ γωνίαν καὶ τρεῖς πλευρὰς ἴσας λαβεῖν περίεργον ἦν; καὶ γὰρ αἱ δύο μόνον ἴσαι ληφθεῖσαι συνῆγον τὴν ἰσό- ι6 τητα τῶν ἄλλων. καὶ μὴν καὶ τὸ δύο πλευρὰς καὶ δύο γωνίας ἴσας λαμβάνειν, ἢ δύο πλευρὰς καὶ τρεῖς γωνίας ἴσας, ἢ δύο γωνίας καὶ τρεῖς πλευράς, πάντα ταῦτα περιττά. τὰ γὰρ ταῖς ἐλάττοσιν ὑποθέσεσιν ἑπόμενα πάντως ἀκολουθεῖ καὶ ταῖς πλείοσι μόνον μετὰ τῶν δεόντων προσδιορισμῶν λαμβανομένων τῶν
ὑποθέσεων. τρεῖς οὖν ἡμῖν ἀνεφάνησαν ὑποθέσεις ἀποδείξεως δεόμεναι, ἥ τε μόνας λαμβάνουσα τὰς τρεῖς πλευρὰς καὶ ἡ τὰς δύο πλευρὰς καὶ τὴν μίαν γωνίαν καὶ ἡ ἀντίθετος πρὸς ταύτην ἡ τὴν μίαν πλευρὰν καὶ τὰς δύο γωνίας, ἣν νῦν ὁ γεωμέτρης προστίθησιν. καὶ
διὰ τοῦτο ταῦτα τρία μόνα θεωρήματα περὶ τῆς ἰσότητος τῶν τριγώνων ἔχομεν τῆς ἐν ταῖς πλευραῖς καὶ ταῖς γωνίαις τῶν ἄλλων πασῶν ὑποθέσεων ἢ ἀδυνάτῶν οὐσῶν δεῖξαι τὸ ξητούμενον ἢ δυνατῶν μέν, ἀλλὰ
ὃ περιττῶν τῷ δι᾽ ἐλλαττόνων ὑποθέσεων τὰ αὐτὰ πεφηνέναι.
“Ὥσπερ οὗν, ὅτε δύο πλευρὰς ἐλάμβανεν ἴσας δυσὶν καὶ γωνίᾳ μιᾷ μέαν ἴσην, οὐ τὴν τυχοῦσαν ἐλάμβανεν γωνίαν, ἀλλ᾽, ὡς αὐτοῦ προσετίθει, τὴν ὑπὸ
τὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, οὕτω καὶ δύο γωνίας δυσὶ λαμβάνων ἴσας καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ, οὐ τὴν τυχοῦσαν λαμβάνει ταύτην, ἀλλ᾽ ἤτοι τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις ἢ τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μέαν τῶν ἴσων γωνιῶν. οὔτε γὰρ γωνίαν ἐπὶ τοῦ τετάρτου 1 ληφθεῖσαν ἴσην τὴν τυχοῦσαν οὔτε πλευρὰν ἐπὶ τοῦδε τοῦ θεωρήματος οἵαν ποτὲ δεικνύναι τὰ λοιπὰ ἴσα δυνατόν᾽ λέγω δὲ οἷον ὄντος ἰσοπλεύρου τριγώνου
τοῦ αβγ διῃρήσθω ἡ βγ εἰς ἄνισα
τῇ αδ. γίνεται ἄρα δύο Ϊ τρί:
γῶνα τὰς αβ αὃ ταῖς αγ αὃ ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν γωνίαν τὴν πρὸς
ὃ 7 τῷ β τῇ πρὸς τῷ γ ἴσην· ἀλλ᾽ οὐκέτι τὰ λοιπὰ ἴσα, οἷον ἡ βὸ τῇ δγ’ ἄνισοι γάφ᾽ ἀλλ᾽ οὐδὲ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι. τὸ δὲ αἴτιον ὅτι 0 γωνίᾳ γωνίαν ἴσην ἐλάβομεν οὐ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων
πλευρῶν περιεχομένην. κατὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα φανήσεται διαπίπτον, εἰ μὴ λάβοιμεν κατὰ τὸν εἰρημένον διορισμὸν ἴσην τὴν πλευρὰν τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν ἢ τὴν πρὸς
ταῖς ἴσαις γωνέαις. ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον τὸ α α βγ, ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ β γωνίαν α
καὶ μείζονα τὴν βγ τῆς βα, καὶ ἐκ-
βεβλήσθω ἡ αβ. , καὶ συνεστάτω τῇ 9 7 ὑπὸ βαγ γωνίᾳ ἴση πρὸς τῇ βγ καὶ
τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ 7 ἡ ὑπὸ βγδ
καὶ συμπιπτέτωσαν αἵ αβ γὸ ἐκβαλ-
λόμεναι κατὰ τὸ ὃ. δύο οὖν τρίγωνά
ἐστι τὰ αβγ βγδ ἔχοντα μίαν πλευ- ᾿
ρὰν κοινὴν τὴν βγ καὶ δύο γωνίας ἴσας, τὴν μὲν
ὑπὸ αβγ τῇ ὑπὸ γβὸ — ὀρθαὶ γάρ — τὴν δὲ ὑπὸ τὉ
βαγ τῇ ὑπὸ βγὸ – οὕτως γὰρ συνέστησαν — ἴσα ἄρα, ὡς ἔοικεν, ἐστὶ τὰ τρίγωνα. καίτοι δείκνυται τὸ
βὸγ μεῖζον τοῦ αβ. αἴτιον ] δὲ ὅτι τὴν βγ κοινὴν ἐλάβομεν ἐν μὲν τῷ αβγ ὑποτείνουσαν τὴν μίαν τῶν
ἴσων γωνιῶν τὴν πρὸς τῷ α, ἐν δὲ τῷ βγὸ πρὸς ταῖς
ἴσαις οὖσαν γωνίαις. ἔδει δὲ ἄρα ἐν ἀμφοῖν ἢ μίαν ὑποτείνειν τῶν ἴσων γωνιῶν ἢ προς ταῖς ἴσαις κεῖσθαι γωνίαις. τοῦτο δὲ μὴ φυλάττοντες ἴσον ἀποφαίνομεν
τὸ τρίγωνον, δ ἐστι μεῖζον ἐξ ἀνάγχης. “τῶς γὰρ οὐ μεῖξον τὸ βγὸ τοῦ αβγ; συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ βγ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ ἢ γ τῇ ὑπὸ αγβ ἴση ἡ ὑπὸ ἔγβ᾽ μείζων γὰρ τῆς ὑπὸ αγβ ἡ ὑπὸ βγὸ, ὥσπερ καὶ ἡ πρὸς τῷ α γωνία. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ αβγ βγξ δύο γωνίας ἔχοντα τὰς ὑπὲ
αβγ βγα δυσὶν ἴσας ταῖς ὑπὸ γβξ βγᾷξ, ἑκατέραν ἑκατέρα, καὶ μίαν πλευρὰν κοινὴν τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις
γωνίαις τὴν βγ, ἴσα ἐστὶ τὰ τρίγωνα. μεῖζον δὲ τὸ
ο βγὸ τοῦ βγξ᾽ μεῖζον ἄρα ἐστὶν καὶ τοῦ αβγ. πρότερον δὲ ἴσον ἐδείκνυτο διὰ τὴν λῆψιν τῆς τυχούσης πλευρᾶς.
Τοσαῦτα καὶ πρὸς τὴν τῶν προκειμένων ἀκρίβειαν ὁ Πορφύριος ἡμῖν συμβάλλεται, Εὔδημος
δὲ ἐν ταῖς γεωμετρικαῖς ἱστορίαις εἰς Θαλῆν τοῦτο ἀνάγει τὸ θεώρημα. τὴν γὰρ τῶν ἐν θαλάττῃ πλοίων ἀπόστασιν δι’ οὗ τρέπου φασὶν αὐτὸν δεικνύναι τούτῳ προσχρῆσθαί φησιν ἀναγκαῖον.
Ἔκ δὲ τῆς προειρημένης διαιρέσεως συνοπτικῶς
ληψόμεθα πᾶσαν τὴν περὶ τῆς ἰσότητος τῶν τριγώνων θεωρίαν, καὶ τῶν παραλελειμμένων τὰς αἰτίας ξξομεν λέγειν ὡς ψευδεῖς τὰς ὑποθέσεις ἢ ὡς περιττὰς ἐλέγχοντες. καὶ μέχρι τούτου πέρας ἔχειν θησόμεθα τῷ στοιχειώτῃ τὸ πρῶτον τμῆμα τάς τε συστάσεις τῶν
τριγώνων καὶ τὰς συγκρίσεις κατὰ τὸ ἴσον καὶ τὸ
Ἔ 14 Η ἴα ἘΡΓΕΊΗΘΙΣ τθη ῬοΒίθτδ: ἐντὶ χε γῆν ἄν μγο τὸν ἐλόσοφον πρόκλον τῆς εὐγνωμοσύνης. οὐ γ 9 ὡς οἰκεῖα 4λλ᾽ ὡς περὶ πορφύριον διδαχθεὶς διωμολόγει τὰ λεχθέντα.
ἄνισον πεποιημένῳ καὶ διὰ μὲν τῆς συστάσεως τὴν
οὐσίαν αὐτῶν παραδεδωκότι, διὰ δὲ τῆς [συγχρίσεως τὴν] ἰσότητα [καὶ] τὴν ἑτερότητα. τρία γὰρ τὰ περὶ τὴν ὕπαρξιν, [τὸ ὄν.) τὸ ταὐτὸν καὶ τὸ ἕτερον, καὶ ἐν ποσοῖς καὶ ἐν ποιοῖς κατὰ τὴν ἰδιότητα τῶν ὑποκειμένων. δείκνυται οὖν ἐκ τούτων ὡς εἰκόνων ὅτι καὶ ἕκαστον ἑαυτῷ ταὐτόν ἐστι καὶ ξαυτοῦ ἕτερον διὰ τὸ ἐν αὐτῷ πλῆθος καὶ πάντα ταὐτὰ ἀλλήλοις καὶ ἕτερα ἀλλήλων. καὶ γὰρ ἐφ᾽ ἑνὸς ἑκάστου τῶν τριγώνων εὕρηται τὸ ἴσον καὶ ἄνισον καὶ ἐπὶ πλειόνων τ΄ ἑνός.
Props. I.27–I.28: Book IV Opening & Sufficient Conditions for Parallels¶
Euclid: [I.27]
᾿ς Περὶ μὲν τῆς τῶν τριγώνων γενέσεώς τε καὶ ἰσότητος ἢ ἀνισότητος ὅσα δυνατὸν ὡς ἐν στοιχειώσει λέγειν ἐκ τῶν εἰρημένων μεμαθήκαμεν. περὶ δὲ τῶν τετραπλεύρων ἐφεξῆς ὁ Εὐκλείδης διέξεισι προηγουμένως μὲν περὶ τῶν παραλληλογράμμων ἡμᾶς διδάσκων, τῇ δὲ τούτων θεωρίᾳ συνεισφέρων καὶ τὴν περὶ τῶν τραπεζίων διδασκαλίαν. διήφηται γάρ, ὥς που καὶ πρότερον ἐν ταῖς ὑποθέσεσιν εἴπομεν, τὲ τετράπλευρον εἴς τε τὸ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τραπέξιον, καὶ τὸ παραλληλόγραμμον εἰς ἕτερα ἅττα εἴδη καὶ τὸ τραπέξιον ὡσαύτως. ἀλλ᾽ ἐπεὶ τὸ μὲν παραλληλόγραμμον διὰ τὴν τῆς ἰσότητος μετουσίαν τεταγμένον ἐστί, τὸ δὲ τραπέξιον οὐ τὴν αὐτὴν οὐδὲ ὁμοίαν ἔχει τὴν τάξιν, προηγουμένως μὲν εἰκότως αὐτῷ [τὰ Ὁ)
· τῶν παραλληλογράμμων ὁ λόγος ἀπεργάξεται, συν-
θεωρεῖ δὲ τούτοις καὶ τὸ τραπέξιον. ἀναφανήσεται γὰρ ἐκ τῆς τῶν παραλληλογράμμων τομῆς ἡ τῶν τραπεξίων γέννησις. ὡς ἔσται προϊοῦσιν ἡμῖν γνώριμον.
᾿4λλ᾽ ἐπειδήπερ πάλιν ἀδύνατον εἰπεῖν τι περὶ τῆς τῶν παραλληλογράμμων ἢ συστάσεως ἢ ἰσότητος ὥνευ τῆς τῶν παραλλήλων θεωρίας – ὡς γὰρ καὶ ἐκ τοῦ ὀνόματος δῆλον, παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ὑπὸ
ΕῚ 4 - ἄν παραλλήλων τῶν ἀπεναντίον κειμένων εὐθειῶν περι-
γραφόμενον — ἐντεῦθεν ἀναγκαίως ἀπὸ τῶν παραλλήλων ποιεῖται τὴν ἀρχὴν τῆς διδασκαλίας καὶ κατὰ βραχὺ προϊὼν ἀπὸ τούτων εἰς τὴν τῶν παραλληλογράμμων εἰσβάλλει θεωρίαν ἑνὶ μέσῳ χρησάμενος θεωρήματι τῆς τε τούτων καὶ τῆς ἐκείνων στοιχεισεως, ὃ δοκεῖ μὲν σύμπτωμώ τι ταῖς παραλλήλοις ὑπάρχον θεωρεῖν, γένεσιν δὲ πρώτην παραλληλογράμμου παραδίδωσι. τοιοῦτον γάρ ἐστι τὸ αἱ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπι-
ξευγνύουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί
εἰσιν. ἐν γὰρ τούτῳ θεωρεῖται μέν ἢ τι ταῖς ἴσαις καὶ παραλλήλοις συμβεβηκός, ἐκ δὲ τῆς ἐπιξεύξεως ἀναφαίνεται τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ἴσας ἔχον καὶ παραλλήλους τὰς ἀπεναντίον κειμένας πλευράς.
Ὄτι μὲν οὖν ἀναγκαίως ὁ περὶ τῶν παραλλήλων
λόγος προείληπται, δῆλον ἐκ τούτων. τρία δέ ἐστιν ἀναλαμβάνειν ταῖς παραλλήλοις ὑπάρχοντα καθ᾽ αὑτό καὶ ἡ αὐτὸ χαρακτηριστικά τὲ αὐτῶν καὶ ἀντιστρέφοντα πρὸς αὐτάς, οὐ μόνον τὰ τοία ἅμα, ἀλλὰ καὶ ἕκαστον ἀποδιαληφθὲν τῶν λοιπῶν. ὧν τὸ μέν ἐστιν εὐθείας τεμνούσης τὰς παραλλήλους ἴσας εἷναι τὰς ἐναλλάξ, τὸ δὲ εὐθείας τεμνούσης τὰς παραλλήλους
ἴσας εἶναι τὰς ἐντὸς δύο ὀρθαῖς, τὸ δὲ λοιπὸν εὐθείας
τεμνούσης τὰς παραλλήλους ἴσην εἶναι τὴν ἐκτὸς τῇ
ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. ἕκαστον γὰρ τῶν συμπτωμά-
τῶν τούτων ἱχανὸν ἀποδειχθὲν παραλλήλους ἀποφῆναι τὰς εὐθείας.
Τοῦτον δὲ τὸν τρόπον εἰώθασι καὶ οἵ ἄλλοι μαθηματικοὶ διαλέγεσθαι περὶ τῶν γραμμῶν, ἑκάστου εἴδους τὸ σύμπτωμα παραδιδόντες. καὶ γὰρ ᾿4πολλώνιος ἐφ᾽ ἑκάστης τῶν κωνικῶν γραμμῶν, τί τὸ
σύμπτωμα δείκνυσι, καὶ ὁ Νικομήδης ἐπὶ τῶν κογχοεἰδῶν, καὶ ὁ Ἱππίας ἐπὶ τῶν τετραγωνιξουσῶν, καὶ ὁ Περσεὺς ἐπὶ τῶν σπειρικῶν. μετὰ γὰρ τὴν γένεσιν τὸ καθ᾿ αὑτὸ καὶ ἡ αὐτὸ ὑπάρχον ληφθὲν ἀφορίξει τὸ συστὰν ἡμῖν εἶδος ἀπὸ τῶν ἄλλων ἁπάντων.
χατὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὖν καὶ ὁ στοιχειωτὴς τὰ συμπτώματα τῶν παραλλήλων ἀνευρίσκει πρῶτον.
Ργορ. ΧΧΥ͂Ι͂Ι, ἰμοοσν. ΧΥ͂ΠΙ. Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας
εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας
ἀλλήλαις ποιῇ, παράλληλοι ἔδονται ἀλλήλαις αἴ εὐθεῖαι.
᾿Επὶ τοῦ ὁμολογουμένου προείληπται τὸ εἶναι τὰς εὐθείας ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, μᾶλλον δὲ ἐπὶ πάντων τῶν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ θεωρημάτων. τοῦτο δὲ προσέθεμεν διὸ τὸ μὴ πάντως τῶν ἐναλλὰξ ἴσων οὐσῶν παραλλήλους εἶναι τὰς εὐθείας, εἰ μὴ καὶ ἐν τῷ αὐτῷ εἶεν
ἐπιπέδῳ. κωλύει γὰρ οὐδὲν οἷον χιαστὶ τῶν εὐθειῶν κειμένων, τῆς μὲν ἐν ἄλλῳ, τῆς δὲ ἐν ἄλλῳ ἐπιπέδῳ, ἐμπίπτουσαν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαν ἴσας ποιεῖν τὰς ἐναλλάξ, ἀλλ᾽ οὐ παράλληλοι αἴ οὕτως ] κείμεναι. προείληπται οὖν ὅτι πάντα, ὅσα καταγράφομεν ἐν τῇ ἐπιπέδῳ πραγματείᾳ, περὶ ἕν καὶ ταὐτὸν ἐπίπεδον φανταζόμεθα. διόπερ οὐκ ἐδεήθη καὶ ταύτης τῆς προσθήκης.
Αὐτὸ δὲ δὴ τὸ ἐναλλὰξ ἰστέον ὅτι διχῶς ὁ γεωμέτρης παραλαμβάνει, ποτὲ μὲν κατὰ τὴν τοιάνδε θέσιν, ποτὲ δὲ κατὰ τὴν τοιάνδε τῶν λόγων ἀκολουθίαν. καὶ κατὰ μὲν τοῦτο τὸ σημαινόμενον ἐν τῷ πέμπτῳ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμητικοῖς χρῆται τῷ ἐναλλάξ, κατὰ δὲ τὸ ἕτερον ἔν τε τούτῳ καὶ ἐν τοῖς ἄλλοις ἅπασι βιβλίοις ἐπὶ τῶν παραλλήλων εὐθειῶν καὶ τῆς εἰς ταύτας ἐμπιπτούσης. τὰς γὰρ γωνίας τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ γιγνομένας, μηδὲ ἐφεξῆς ἀλλήλαις κειμένας, ἀλλὰ διειργομένας μὲν ὑπὸ τῆς ἐμπιπτούσης, ἐντὸς δὲ ἄμφω τῶν παραλλήλων, διαφερούσας δὲ τῷ τὴν μὲν ἄνω κεῖσθαι, τὴν δὲ κάτω, τὰς ἐναλλὰξ προσαγο-
ρεύει. λέγω δὲ οἷον εὐθειῶν οὐσῶν τῶν ‘αβ καὶ γὸ καὶ ἐμπιπτούσης εἰς αὐτὰς τῆς Σ -εξ ἐναλλὰξ εἶναί φησι τὰς ὑπὸ
αεξ καὶ δξε καὶ πάλιν τὰς 7 ΚΙ
ὑπὸ γξε καὶ βεξ ὡς ἐνηλλαγμένως ἔχουσας κατὰ τὴν θέσιν. Δεῖ δὲ εἰδέναι ἐχεῖνο ὅτι τοιαύτης οὔσης θέσεως
ἐν ομι. Ἡ, 6. 18 διηργμένας 6, διηργομένας (Ὁ. 19 τὠν Ὁ, τῷ Ὁ.
τῶν εὐθειῶν ἐκ διαιρέσεως ἕξ τὰ πάντα γίνεται συμπτώματα, ὧν τὰ τρία μόνον ὁ γεωμέτρης ἔλαβεν, τρία δὲ παρῆκεν. ἢ γὰρ ἐπὶ ταὐτὰ μέρη ληψόμεθα τὰς γωνίας ἢ οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτά. καὶ εἰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, ἢ ἀμφοτέρας ἐντὸς τῶν εὐθειῶν, ἃς ἀποδείκνυσιν ὁ λόγος παραλλήλους, ἢ ἄμφω ἐκτός, ἢ τὴν μὲν ἐκτός, τὴν δὲ ἐντός, καὶ εἰ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, πάλιν ὡσαύτως ἢ ἐκτὸς ἀμφοτέρας τῶν τεμνομένων εὐθειῶν ἀνάγκη λαμβάνειν, ἢ ἐντός, ἢ τὴν μὲν ἐντός, τὴν δὲ ἐκτός. γιγνέσθω δὲ ἐπὶ τῆς αὐτῆς
Ἶ καταγραφῆς σαφὲς τὸ λεγόμε« 3. νον. καὶ ἔστωσαν εὐθεῖαί τινες γ αἴ αβ γὸ καὶ ἐμπιπτέτω εἰς
ἀμφοτέρας, ὡς τὰς ὑπὸ αεθ καὶ δέκ, ἢ τὰς ὑπὸ θεβ καὶ γξκ, ἢ τὴν μὲν ἐντός, τὴν δὲ ἐκτός, καὶ τοῦτο τετραχῶς πάλιν, ἢ γὰρ τὰς ὑπὸ αεθ καὶ εξδ, ἢ τὰς ὑπὸ θεβ καὶ εξγ, ἢ τὰς ὑπὸ κξγ καὶ ξεβ, ἢ τὰς ὑπὸ κξὸ καὶ ξεα θήσεις. καὶ παρὰ ταύτας ἄλλη λήψις οὐχ ἔστιν.
Ἑξαχῶς οὖν λαμβανομένων τῶν γωνιῶν ὁ γεωμέτρης τρεῖς μόνας ἐκλέξατο καὶ ταῦτα εἰς τὰ ἑπόμενα συμπτώματα τῶν παραλλήλων ἀπέφηνεν ὄντα χαρακτηριστικά. τούτων δὲ τῶν τριῶν μία μέν ἐστιν ἐκ τῶν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐκ μὲν τῶν ἐντὸς ληφθεισὼν μόνον, ἃς καὶ ἐκάλεσεν ἐναλλάξ, ὡς παραλελεῖφθαι τὰς ἐχτὸς οὔσας ἀμφοτέρας καὶ τὴν μὲν ἐκτός, τὴν δὲ ἐντός, ἐκ δὲ τῶν ἐπὶ τὰ αὐτά, τῶν δὲ ἐντὸς ἀμφοτέρων, ἃς δυσὶν ὀρθαῖς εἶναί φησιν ἴσας, καὶ ὧν ἡ μέν ἐστιν ἐντός, ἡ δὲ ἐκτός, ἃς εἶπεν ἴσας εἶναι, ὑπολειπομένης δὲ μιᾶς λήψεως τῆς ἐκτὸς ἀμφοτέρας ὑποτιθεμένης.
Ἡμεῖς οὖν φαμεν ὅτι καὶ ταῖς παραληφθείσαις τρισὶν ὑποθέσεσιν τὰ αὐτὰ ἔπεται. ἔστωσαν γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἄμφω ἐχτὸς αἵ Ὦ θεβ δέκ. λέγω ὅτι αὗται δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰ γὰρ ἡ
ὑπὸ δξε ἴση τῇ ὑπὸ θὲβ καὶ
ἡ ὑπὸ βεξ τῇ ὑπὸ δξκ, εἰ δὲ
αἴ ὑπὸ βεξ εξδ δύο ὀρθαῖς ἴσαι, καὶ αἱ ὑπὸ δὲκ θεβ
δύο ὀρθαῖς ἴσαι. πάλιν ἔστωσαν μὲν ἐπὶ τὰ αὐτὰ
μέρη αἱ γωνίαι, ὧν ἡ μὲν ἐντός, ἡ δὲ ἐχτός, αἴ αεθ καὶ εξδ. λέγω ὅτι καὶ αὗται δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰ γὰρ ἡ ὑπὸ αεθ ἴση τῇ ὑπὸ βεξ, αἱ δὲ ὑπὸ βεξ καὶ εξὸ δύο ὀρθαί εἰσιν, καὶ αἴ ὑπὸ αεθ καὶ εξδ δύο 6 ὀρθαῖς ἴσαι. πάλιν ἔστωσαν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέν, ἄμφω δὲ ἐκτὸς τῶν εὐθειῶν, ὡς αἱ αεθ δξκ. λέγω
ὅτι αὗται ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. εἰ γὰρ αἱ ὑπὸ αεθ καὶ βεξ ἴσαι ἀλλήλαις, ἡ δὲ ὑπὸ δκ τῇ ὑπὸ βεξ, ἡ ὑπὸ αεθ ἄρα ἴση τῇ ὑπὸ δὲκ γωνίᾳ. ἐὰν ἄρα ληφθῇ τὰ ἐπὶ τῶν τριῶν ὑποθέσεων, ἃς ὁ γεωμέτρης ἔλαβεν, ἑπόμενα ὡς ἀληθῆ πάντα τὰ αὐτὰ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν, πλὴν ὅτι, ἐφ’ ὧν μὲν ὁ γεωμέτρης ἔλαβεν, κατὰ ] δύο μὲν λήψεις ὑπόκεινται ἴσαι ἀλλήλαις αἵ γωνίαι, κατὰ μίαν δὲ δύο ὀρθαῖς αἴ γωνίαι, ἐπὶ ιὸ δὲ τούτων ἀνάπαλιν κατὰ δύο μὲν δύο ὀρθαῖς ἴσαι, κατὰ μίαν δὲ ἀλλήλαις. ἕξ γὰρ οὐσῶν πασῶν τῶν λήψεων ἐκ μὲν τῶν τριῶν συμβαίνει δύο ὀρθαῖς ἴσας εἶναι τὰς γωνίας, ἐκ δὲ τῶν τριῶν ἴσας ἀλλήλαις, ὥστε εἰκότως αἴ παραλελειμμέναι ταῖς μνήμης ἠξιω40 μέναις λήψεσιν ἀνάπαλιν ἔχουσιν. ἔοικεν δὲ ὁ γεωμέτρης ταύτας ἐκλέξασθαι τῶν ὑποθέσεων, ὅσαι ἢ καταφατικὸν πλεονάζον ἔχουσιν, ἢ ἁπλούστεραί εἰσιν, καὶ διὰ τοῦτο λαβεῖν ἐκ μὲν τῶν μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μόνας τὰς ἐντός, ἃς δὴ κέκληκεν ἐναλλάξ, ἐκ δὲ τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ [τὰς ἐντὸς καὶ τὴν μὲν ἐντός, τὴν δὲ]
ἐκτός, τὰς δὲ ἄλλας δι᾽ ἀποφάσεως μᾶλλον δηλουμένας ἢ ὡς ποικιλωτέρας φυλάξασθαι. ἀλλ᾽ οὖν εἴτε ταύτην, εἴτε ἄλλην αἰτίαν ῥητέον, δῆλον ἐκ τούτων, πόσα ἐστὶ τὰ ἑπόμενα αὐτοῖς.
ΧΧΥΠΙῚ, ἐδοον. ΧΥΠΠ1. Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ἴσας, ] παράλληλοι ἔσονται εὐθεῖαι.
Τὸ μὲν πρὸ τούτου θεώρημα τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας λαμβάνον, ἐντὸς δὲ τῶν εὐθειῶν κειμένας, ἴσας ἀλλήλαις ἐδείκνυ παραλλήλους οὔσας τὰς εὐθείας, τοῦτο δὲ τὰς λοιπὰς δύο ὑποθέσεις προστίθησιν, ὧν ἡ μὲν τὰς γωνίας μερίζει κατὰ τὸ ἐντὸς καὶ ἐκτός, ἡ δὲ ἀμφοτέρας ἐντὸς ὑποτίθεται καὶ δείκνυσι τὸ αὐτὸ συμπέρασμα. δόξειεν δ᾽ ἂν ἀτόπως ὁ στοιχειωτὴς τὰ θεωρήματα μερίσαι. δέον γὰρ ἦν ἢ τὰς τρεῖς ὑποθέσεις διαλαβεῖν καὶ ποιῆσαι τρία θεωρήματα, ἢ εἰς ἕν συνάγειν πάσας θεώρημα, ὥσπερ ἐποίησεν ὁ Ιεραπολίτης Α ἰγείας ὁ τὴν ἐπιτομὴν γράψας τῶν στοιχείων, ἢ διελεῖν εἰς δύο βουλόμενον εὔτακτον ποιήσασθαι τὴν διαίρεσιν καὶ χωρὶς μὲν
λαβεῖν τὰς ὑποθέσεις, ἐφ᾽ ὧν ἴσαι εἰσὶν αἴ γωνίαι, χωρὶς δὲ ἐκείνην, ἐφ᾽ ἧς δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. νῦν
δὲ ἐν ἑνὶ μὲν θεωρήματι τὰς ἐναλλὰξ ἴσας ὑπέθετο, ἐν ἑνὶ δὲ τὴν ἐχτὸς [ἴσην τῇ ἐντὸς] καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ἴσας. τί οὖν τὸ αἴτιον τῆς τοιαύτης διαιρέσεως; εἰ οὖν πρὸς τὴν ἰσότητα τῶν γωνιῶν ἀπέβλεψεν τὴν πρὸς ἀλλήλας ἢ τὴν πρὸς τὰς δύο ὀρθάς, οὐδὲ ταύτῃ ᾿ διέστησε τὰ προκείμενα θεωρήματα ἀπ᾽ ἀλλήλων, ἀλλὰ πρὸς ἐκεῖνο τὸ τὰς γωνίας ἢ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη λαμβάνεσθαι ἢ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτά. τὸ μὲν γὰρ πρὸ τούτου τὰς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ παρελάμβανε —- τοιαῦται γὰρ αἴ ἐναλλάξ — τοῦτο δὲ τὰς ἐπὶ τὰ αὐτά, ὡς καὶ ἐκ τῆς προτάσεως δῆλον. ᾿4λλ᾽ ὅπως μὲν ὁ στοιχειωτὴς δείκνυσιν ὅτι δύο ὀρθαῖς ἴσων οὐσῶν τῶν ἐντὸς αἵ εὐθεῖαι παράλληλοί εἶσι, φανερὸν ἐκ τῶν γεγραμμένων. Πτολεμαῖος δὲ ἐν οἷς ἀποδεῖξαι προέθετο τὰς ἀπ᾽ ἐλαττόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλομένας συμπίπτειν, ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν αἴ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες, τοῦτο πρὸ πάντων δεικνὺς τὸ θεώρημα τὸ δυεῖν ὀρθαῖς ἴσων ὑπαρχουσῶν τῶν ἐντὸς παραλλήλους εἶναι τὰς εὐθείας οὕτω πως δείκνυσιν. ἔστωσαν δύο
εὐθεῖαι αἱ αβ γὸ, καὶ τεμνέτω τις αὖὐ-
τὰς εὐθεῖα ἡ εζηθ,
ὥστε τὰς ὑπὸ βζξη
8ὅ καὶ ὑπὸ ξηδ γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖν. λέγω ὅτι παραλληλοί εἰσιν αἴ εὐθεῖαι, τουτέστιν ἀσύμπτωτοί εἰσιν. εἰ γάρ δυ-
νατόν, συμπιπτέτωσαν ἐκβαλλόμεναι αἱ βξ ηὃ κατὰ τὸ κ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ηξ ἐφέστηκεν ἐπὶ τὴν αβ, δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖ τὰς ὑπὸ αζη βζξη γωνίας. ὁμοίως δέ, ἐπεὶ ἡ ηξ ἐφέστηκεν ἐπὶ τὴν γὸ, δύο ὁρθαῖς ἴσας ποιεῖ τὰς ὑπὸ γηξ δηξ γωνίας. αἷ τέσσα- ὁ φὲς ἄρα αἱ ὑπὸ αξη βζη γηξ δηξ τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν αἴ δύο αἴ ὑπὸ βξη ξηὸ δύο ὀρθαῖς ὑπόκεινται ἴσαι. λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ αξη γηξ καὶ αὗται δύο ὀρθαῖς ἴσαι. εἰ οὖν αἱ ξβ ηδ δύο ὀρθαῖς ἴσων οὐσῶν τῶν ἐντὸς ἐκβαλλόμεναι συνέπεσον κατὰ τὸ κ, τ καὶ αἴ ξα ἣγ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. δύο γὰρ ὀρθαῖς καὶ αἱ ὑπὸ αξη γηξ ἴσαι εἰσίν. ἢ γὰρ κατ᾽ ἀμφότερα συμπεσοῦνται αἷ εὐθεῖαι, ἢ κατ᾽ οὐδέτερα,
εἴπερ καὶ αὗται κἀκεῖναι δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. συμπιπτέτωσαν οὖν αἴ ξα ἢγ κατὰ τὸ Δ. αἴ ἄρα λαβκ τ
λγδκ εὐθεῖαι χωρίον περιέχουσιν, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστιν δύο ὀρθαῖς ἴσων οὐσῶν τῶν ἐντὸς συμπίπτειν τὰς εὐθείας. παράλληλοι ἄρα εἰσίν.
Ῥγορ. ΧΧΥΠΠΙῚ, ἰμοου. ΧΧ. Ἡ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τάς τε ἐναλλὰξ ἴσας ποιεῖ καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ ἐντὸς [καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην καὶ τὰς · ἐντὸς] καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ἴσας.
Τοῦτο τὸ θεώρημα ἀμφοτέροις ἀντιστρέφει τοῖς προειρημένοις θεωρήμασι. τὸ γὰρ ἐν ἑκατέρῳ ξητούμενον ὑπόθεσιν ποιεῖται, τὰ ἐν ἐκείνοις δεδομένα δεικνύναι προτίθεται. καὶ δεῖ μεμνῆσθαι καὶ τῆς τοι-
αὕτης τῶν ἀντιστροφῶν διαφορᾶς, ὅτι πᾶν τὸ ἀντιστρέφον ἢ ἕν ἑνὶ ἀντιστρέφει, ὡς τῷ πέμπτῳ τὸ ἕκτον, ἢ πλείοσιν ἕν, ὡς τὸ νυνὶ προκείμενον τοῖς πρὸ αὖτοῦ. ἐν δὲ τούτῳ τῷ θεωρήματι πρῶτον ὁ στοιχειωτὴς ἐχρήσατο τούτῳ τῶν αἰτημάτων τῷ ἐὰν εἰς δύο ι εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, συμπίπτειν τὰς εὐθείας ἐκβαλλομένας, ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες, ὅπερ ἐξηγούμενοι τὰ πρὸ τῶν θεωρημάτων ἐλέγομεν, 40) ὡς οὐ παρὰ πάντων τοῦτο συγκεχώρηται εἶναι ἀναποδείχτως. ὁμολογούμενον. καὶ πῶς γὰρ ἂν εἴη τοιοὕὔτον, οὗ τὸ ἀντίστροφον ὡς ἀποδεικτὸν ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἀναγέγραπται; τὸ γὰρ παντὸς τριγώνου δύο τὰς ἐντὸς γωνίας ὁποιασοῦν ἐλάσσους εἶναι δύο ὀρ4: θῶν ἀντίστροφόν ἐστι τῷ αἰτήματι τούτῳ ἐπεὶ καὶ συνεύειν τὰς εὐθείας ἀεὶ μᾶλλον καὶ μᾶλλον ἐκβαλλο-
Prop. I.29: Ptolemy’s Treatise & Proclus’s Attempted Proof of Postulate 5¶
Euclid: [I.29]
μένας οὐχ ἔστι τεκμήριον τῆς συμπτώσεως διὰ τὸ καὶ ἄλλας εὑρῆσθαι γραμμὰς συννευούσας μὲν ἀεὶ πλέον καὶ πλέον, συμπιπτούσας δὲ οὐδέποτε, καθὰ καὶ εἴρηται πρότερον.
Ἤδη μὲν οὖν καὶ ἄλλοι τινὲς ὡς θεώρημα προτάξαντες τοῦτο αἴτημα παρὰ τῷ στοιχειωτῇ ληφθὲν ἀποδείξεως ἠξίωσαν. δοκεῖ δὲ καὶ ὁ Πτολεμαῖος αὐτὸ δεικνύναι ἐν τῷ περὶ τοῦ τὰς ἀπ᾽ ἐλαττόνων ἢ
δύο ὀρθῶν ἐκβαλλομένας συμπίπτειν, καὶ δείκνυσι πολλὰ προλαβὼν τῶν μέχρι τοῦδε τοῦ θεωρήματος τ0 ὑπὸ τοῦ στοιχειωτοῦ προαποδεδειγμένων. καὶ ὑποκείσθω πάντα εἶναι ἀληθῆ, ἵνα μὴ καὶ ἡμεῖς ὄχλον ἐπεισάγωμεν ἄλλον, καὶ ὡς λημμάτιον τοῦτο δείκνυσθαι διὰ τῶν προειρημένων. ἕν δὲ καὶ τοῦτο τῶν προδεδειγμένων τὸ τὰς ἀπὸ δυεῖν ὀρθαῖς ἴσων ἐκ- τὸ βαλλομένας μηδαμῶς συμπίπτειν. λέγω τοίνυν ὅτι καὶ τὸ ἀνάπαλιν ἀληθές, καὶ τὸ παραλλήλων οὐσῶν τῶν εὐθειῶν ᾿ καὶ τεμνομένων ὑπὸ μιᾶς εὐθείας τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας εἶναι. ἀνάγκη γάρ τὴν τέμνουσαν τὰς παραλλήλους νυ ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖν τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας ἢ δύο ὀρθῶν ἐλάσσους ἢ μείζους. ἔστωσαν οὖν παράλληλοι αἴ αβ γδ, καὶ ἐμπιπτέτω εἰς αὐτὰς ἡ ηξ ὁ ‘ ΗΝ λέγω ὅτι οὐ ποιεῖ δύο ὀρθῶν “’ τ δ μείξους τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτά. εἰ γὰρ αἱ ὑπὸ αξη γηξ δύο ὀρθῶν μείξους,
αἴ λοιπαὶ αἴ ὑπὸ βξη δηξ δύο ὀρθῶν ἐλάσσους· ἀλλα καὶ δύο ὀρθῶν μείξους αἴ αὐταί —- οὐδὲν γὰρ μᾶλ-
λον αἵ αξ γη παράλληλοι ἢ αἱ ξβ ηδ, ὥστε εἰ ἡ ἐμπεσοῦσα εἰς τὰς αξ γη δύο ὀρθῶν μείζους ποιεῖ τὰς
ἐντός, καὶ ἡ εἰς τὰς ξβ ηδ ἐμπίπτουσα δύο ὀρθῶν ποιήσει μείζους τὰς ἐντός — ἀλλ᾽ αἱ αὐταὶ καὶ δύο
ὀρθῶν ἐλάσσους — αἷ γὰρ τέσσαρες αἴ ὑπὸ αξη γηξ
βζη δηΐξ τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι — ὅπερ ἀδύνατον. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι εἰς τὰς παραλλήλους ἐμπί-
ιὸ πτουσὰα οὐ ποιεῖ δύο ὀρθῶν ἐλάσσουρ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας. εἰ δὲ μήτε μείζους μήτε ἐλάσσους ποιεῖ τῶν δύο ὀρθῶν, λείπεται τὴν ἐμπίπτουσαν δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιεῖν τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας.
Τούτου δὴ οὖν προδεδειγμένου τὸ προκείμενον ἀναμφισβητήτως ἀποδείκνυται. λέγω γὰρ ὅτι ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ; συμπεσοῦνται αἴ εὐθεῖαι ἐκβαλλόμεναι, ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν
αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. μὴ γὰρ συμπκπιπτέτωσαν. ἀλλ᾽ εἰ ἀσύμπτωτοί εἰσιν, ἐφ᾽ ἃ μέρη αἴ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες, πολλῷ μᾶλλον ἔσονται ἀσύμπτωτοι ἐπὶ θάτερα, ἐφ᾽ ἃ τῶν δύο εἰσὶν ὀρθῶν αἴ μείζονες, ὥστε ἐφ᾽ ἑκάτερα ἂν εἶεν ἀσύμπτωτοι αἴ
2 εὐθεῖαι. εἰ δὲ τοῦτο, παράλληλοί εἰσιν. ἀλλὰ δέδει-
κται ὅτι ἡ εἰς τὰς παραλλήλους ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει γω-
νίας. αἱ αὐταὶ ἄρα καὶ δύο ὀρθαῖς ἴσαι καὶ δύο ὁρθῶν ἐλάσσονες, ὅπερ ἀδύνατον.
Ταῦτα προδεδειχὼς ὁ Πτολεμαῖος καὶ καταντήσας εἰς τὸ προκείμενον ἀκριβέστερόν τι προσθεῖναι βούλεται καὶ δεῖξαι ὅτι, ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δύο ὀὁρθῶν ποιῇ ἐλάσσονας, οὐ μόνον οὐχ εἰσὶν ἀσύμπτωτοι αἴ εὐθεῖαι, ὡς δέδεικται, ἀλλὰ καὶ ἡ σύμπτωσις αὐτῶν κατ᾽ ἐχεῖνα γίνεται τὰ μέρη, ἐφ᾽ ἃ αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. ] οὐκ ἐφ᾽ ἃ εαὶ μείξονες. ἔστωδαν τὸ
γὰρ δύο εὐθεῖαι αἱ αβ γὃ ἑ
καὶ ἐμπίπτουσα εἰς αὐτὰς
ἡ εξηθ ποιείτω τὰς ὑπὸ Ἢ αξη καὶ ὑπὸ γηξ δύο ὁς- ν ΄
θῶν ἐλάσσους. αἷ λοιπαὶ 7 1δ ἄρα μείζους δύο ὀρθῶν. Ψ
ὅτι μὲν οὖν οὐκ ἀσύμπτωτοι αἱ εὐθεῖαι δέδεικται. εἰ δὲ συμπίπτουσιν, ἢ ἐπὶ τὰ α γ συμπεσοῦνται, ἢ ἐπὶ τὰ β δ. συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ β ὃ κατὰ τὸ κ. ἐπεὶ οὖν αἱ μὲν ὑπὸ αξη καὶ γηξ δύο ὀρθῶν εἰσὶν ἐλάσ- τὸ σους, αἱ δὲ ὑπὸ αξη βζξη δύο ὀρθαῖς ἴσαι, κοινῆς ἀφαιρεθείσης τῆς ὑπὸ αζη, ἡ ὑπὸ γηξ ἐλάσσων ἔσται τῆς ὑπὸ βξζη. τριγώνου ἄρα τοῦ κζξη ἡ ἐκτὸς τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἐλάσσων, ὕπερ ἀδύνατον. οὐκ ὥρα κατὰ ταῦτα συμπίπτρυσιν. ἀλλὰ μὴν συμπίπτουσι. κατὰ θάτερα ἄρα ἡ σύμπτωσις αὐτῶν ἔσται, καθ᾽ ἃ αἱ τῶν δύο ὀρθῶν εἰσιν ἐλάσσονες.
86 ἔσται) ἔστι (.
Ταῦτα μὲν οὖν ὁ Πτολεμαῖος. ἐφιστάνειν δὲ ἄξιον, μή ποτε παραλογισμός τίς ἐστιν ἐν ταῖς εἰλημμέναις ὑποθέσεσι, λέγω δὲ ἐν ἐκείναις, ἐν αἷς ἔλεγεν ὅτι τῆς τεμνούσης εὐθείας τὰς ἀσυμπτώτους τέτταρας
ἐντὸς γωνίας ποιούσης αἴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κατ᾽ ἀμφότερα τὰ μέρη ἢ δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἢ δύο ὀρθῶν μείξους ἢ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες. οὐ γὰρ τελεία ἡ διαίρεσις. κωλύει γὰρ οὐδὲν τὸν ἀσυμπτώτους λέγοντα τὰς ἀπ᾿ ἐλασσόνων δυεῖν ὀρθῶν ἐκχβαλλομένας τὰς
ι0 μὲν τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ δύο ὀρθῶν μείζους λέγειν, τὰς ὃὲ ἐπὶ θάτερα δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας, καὶ οὐχ ἕνα περὶ τούτων ἀποδέχεσθαι λόγον. ἀτελοῦς δὲ οὔσης τῆς διαιρέσεως οὐκ ἀποδέδεικται τὸ προκείμενον. ἔτι δὲ κἀκεῖνο πρὸς τὴν δεῖξιν ῥητέον, ὅτι οὐ καθ᾽ αὑτὸ ι6 δείκνυσι τὸ ἀδύνατον. οὐ γὰρ ἐπειδὴ παραλλήλους τέμνουσά τις εὐθεῖα μείζους ἐποίησεν τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κατ᾽ ἀμφότερα μέρη δύο ὀρθῶν ἢ ἐλάσσους, διὰ
τοῦτο ἀκολουθεῖ τὸ ἄτοπον ταύταις ταῖς ὑποθέσεσιν, ἀλλ᾽ ἐπειδὴ τέσσαρες τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι αἱ ἐντὸς
·0 τῶν τεμνομένων, διὰ τοῦτο ἀδύνατος ἑκατέρα τῶν ὑποθέσεων τούτων, . ἐπεὶ κἂν μὴ παραλλήλους τις λάβῃ τὰς εὐθείας τὰ αὐτὰ ἀκολουθήσει τῶν ὑποθθέσεωῶν τῶν αὐτῶν εἰλημμένων.
Πρὸς μὲν οὖν Πτολεμαῖον ταῦτα λέγοντες ἐπι-
4 στήσομεν᾽ φανερὰ γὰρ ἡ τῆς δείξεως ἀσθένεια διὰ τῶν εἰρημένων. φέρε δὲ κἀκείνους ἐπισκεψώμεθα τοὺς λέγοντας ἀδυνατὸν εἶναι τὰς ἀπ᾿ ἐλασσόνων ἢ
δύο [ ὀρθῶν ἐκβαλλομένας συμπίπτειν. λαβόντες γὰρ εὐθείας δύο τὰς αβ γὸ καὶ ἐμκίπτουσαν εἰς αὐτὰς
τὴν αγ καὶ ποιοῦσαν · τὰς ἐντὸς δύο ὀρθῶν Α͂ ᾿ ἐλάσσονας οἴονται (Ὁ) δεικνύναι μὴ συμπιπτούσας τὰς αβ γ. δι-
ῃ λο
ῃρήσθω γὰρ δίχα ἡ αγ χατὰ τὸ ε καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ μὲν τῆς αβ ἴση τῇ αὲ ἡ αξ, ἀπὸ δὲ τῖς γὃ ἴση τῇ ἐγ ἡ γη. δῆλον ἄρα ὅτι τὸ αἴ αξ γὴ οὐ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ ξη. εἰ γὰρ συμπεσοῦνται, ἔσονται αἱ δύο τῇ αγ ἴσαι ἐν τριγώνῳ, ὅπερ ἀδύνατον. πάλιν ἐπεξζεύχθω ἡ ξη καὶ τετμήσθω
δίχα κατὰ τὸ ὃ καὶ ἴσαι ἀφῃρήσθωσαν. οὐδὲ αὗται ἄρα συμπεσοῦνται διὰ τὰ αὐτά. καὶ τοῦτο εἰς ἄπειρον ποιοῦντες, ἐπιξευγνύντες τὰ ἀσύμπτωτα σημεῖα καὶ τὴν ἐπεζευγμένην διχοτομοῦντες καὶ ἴσας ἀπὸ τῶν εὐθειῶν τοῖς ταύτης ἡμίσεσιν ἀφαιροῦντες, δει-
κνύναι φασὶν ὅτι οὐδαμοῦ συμπίπτουσιν αἵ αβ γὸ εὐθεῖαι. Τούτων δὴ τοιαῦτα λεγόντων ῥητέον ἡμῖν ὅτι λέγουσι μέντοι ἀληθές, οὐ μέντοι ὅσον γὲ οἴονται. ὅτι μὲν γὰρ ὁρίσαι τὸ σημεῖον τῆς συμπτώσεως ἁπλῶς
οὕτως οὐκ ἔστιν, ἀληθές. οὐ μέντοι τὸ μηδὲ τὸ παράπαν συμπίπτειν αὐτὰς ἀληθές. μὴ συμπιπτέτωσαν γὰρ αἱ αβ γὸ τῆς ὑπὸ βαγ καὶ ὑπὸ ὃγα γωνίας ὡρισμένης κατὰ τὸ ξ καὶ τὸ η᾿ ἀλλ᾽ οὐδὲν κωλύονται δχκατα τὰ κα 1 συμπεσεῖν, κἂν ἴσαι ὦσιν αἴ ἔκ ηλ ταῖς ξθ θη. τῶν γὰρ ακ γλ συμπιπτουσῶν κατὰ τὰ καὶ οὐκέτι μένουσιν αἵ ὑπὸ κζθ ληθ γωνίαι αἵ αὐταί,
καὶ, γίνεταί τι τῆς ξη ἐκτὸς τῶν απ γλ εὐθειῶν, καὶ οὕτως αἱ δύο πάλιν αἴ ἔχ ηλ μείξους τῆς βάδεως, ὅσην ἀπολαμβάνουσιν ἐντὸς τῆς ξη εὐθείας.
Ἔτι δὲ κἀκεῖνο ῥητέον, ἀδιορίστως αὐτῶν λεγόντῶν τὰς ἀπ᾿ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλομένας μὴ συμπίπτειν, ὅτι ἀναιροῦσιν καὶ ἃ μὴ βούλονται. ἔστω γὰρ ἡ καταγραφὴ ἡ αὐτή. πότερον οὖν δυνα-
1δ τόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ α ἐπὶ τὸ ἡ ἐπιξεῦξαι εὐθεῖαν, ἢ οὐ δυνατόν; εἰ μὲν γὰρ
ΚΥ ἀδύνατον, τῷ πέμπτῳ
αἰτήματι προσαναιροῦσι
καὶ τὸ πρῶτον Ϊ τὸ ἀπὸ
δ παντὸς σημείου λέγον γ ᾽ ἐξεῖναι ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν ἀγαγεῖν, εἰ δὲ
δυνατόν, ἐπεζεύχθω. ἐπεὶ οὖν αἵ ὑπὸ ξαγ ηγα ἐλάσσους εἰσὶ δύο ὀρθῶν, δῆλον ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ηαγ ηγὰ Ὁ πολλῷ μᾶλλον ἐλάσσους εἰσὶ τῶν δύο ὀρθῶν. αἱ ἄρα
χη γὴη συμκπεκτώκασι κατὰ τὸ ἡ ἀπ᾽ ἐλασσόνων ἐκβεβλημέναι δύο ὀρθῶν. οὐκ ἄρα δυνατὸν λέγειν ἀδιορίστως τὰς ἀπ᾿ ἐλασσόνων δύο ὀρθῶν ἐκβαλλομένας μὴ συμπίπτειν. ἀλλ᾽ ὅτι μέν τινες εὐθεῖαι συμ-
πίπτουσιν ἀπ᾿ ἐλασσόνων δυεῖν ὀρθαῖν ἐχβληθεῖσαι κε
δῆλον, εἰ καὶ πάσαις τοῦτο ζητεῖν ἔοικεν ὁ λόγος. εἴποι γὰρ ἄν τις ἀορίστου τῆς ἐλαττώσεως οὔσης τῶν δύο ὀρθῶν κατὰ μὲν τὴν τοσήνδε ἐλάττωσιν ἀσυμπτώτους μένειν τὰς εὐθείας, κατὰ δὲ ἄλλην τὴν ταύτῆς ἐλάσσονα συμπίπτειν. πρὸς δὲ τὸν τοῦτο ἐπιζητοῦντα κατασκευαζόμενον ἴδειν λεγέσθω παρ᾽ ἡμῶν ὅτι δεῖ προλαβεῖν ἀξίωμα τοιοῦτον, ᾧ καὶ ᾿ἀφριστοτέλης ἐχρήσατο κατασχευάζων πεπερασμένον εἶναι τὸν κόσμον. ἐὰν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου δύο ἐκχβάλλωνται εὐθεῖαι γωνίαν ποιοῦσαι ἐπ᾽ ἄπειρον, πᾶν πεπερασμένον μέγεθος ὑπερβάλλει ἡ διάστασις αὐτῶν τῶν εἰς ἄπειρον ἐχβαλλομένων. ἔδειξε γοῦν ἐκεῖνος ὅτι ἀπείρων οὐσῶν τῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἐκβεβλημένων ἄπειρον τὸ μεταξύ. πεπερασμέ-
νου γὰρ ὄντος αὐξῆσαι τὴν διάστασιν ἀδύνατον, ὥστε :ο
οὐχ ἄπειροι αἵ εὐθεῖαι. παντὸς οὖν τοῦ ληφθέντος πεπερασμένου μεγέθους μεῖζον ἀλλήλων διαστήσονται ἐχβαλλόμεναι ἐπ᾽ ἄπειρον αἴ εὐθεῖαι. τούτου δὴ προυποτεθέντος λέγω ὅτι, ἐὰν παραλλήλων εὐθειῶν τὴν
ἑτέραν τέμνει τις εὐθεῖα, τεμεῖ καὶ τὴν λοιπὴν. ἔστω-
σαν γὰρ παράλληλοι αἴ αβ γδ, καὶ τεμνέτω τὴν αβ ἡ εξη. λέγω ὅτι τὴν γὸ τεμεῖ. ἐπεὶ γὰρ δύο εὐθεῖαί
εἰσιν ἀφ᾽ ἑνὸς σημείου τοῦ ξ, εἰς ἄπειρον ἐκβαλλό-
μεναι αἵ βξ ξη, παντὸς μεγέθους μείξονα ἔχουσι διάστασιν, ὥστε καὶ τούτου,
ξ ὅσον ἐστὶ τὸ μεταξὺ τῶν
ἕ - ὡς - β᾽ παραλλήλων. ᾿ ὅταν οὖν μεῖξον ἀλλήλων διαστῶσιν τῆς
χ ς τούτων διαστάσεως τεμεῖ ἥ ξη τὴν γδ. ἐὰν ἄρα παραλ-
λήλων τὴν ἑτέραν τέμνῃ τις εὐθεῖα, τεμεῖ καὶ τὴν λοιιοπήν. τούτου προαποδειχθέντος ἀκολούθως δείξομεν
τὸ προκείμενον. ἔστωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι αἵ αβ γὸ,
καὶ ἐμπιπτέτω εἰς αὐτὰς ἡ
εξ ἐλάσσονας δύο ὀρθῶν
ποιοῦσα τὰς ὑπὸ βεξ δεξ. λέγω ὅτι συμπεσοῦνται αἵ εὐθεῖαι κατὰ ταῦτα τὰ μέρη,
δὼ ςφ
κατὰ τὰ μέρη ἐκεῖνα, ἐφ᾽ ἃ αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες, ὥστε δέδεικται τὸ προκείμενον.
ΧΧΧ, ἰδοου. ΧΧΙ. “1 τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παρἄάλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι.
Εἴωθεν ὁ γεωμέτρης ἐν τοῖς περὶ τῶν σχέσεων ὃ λόγοις δεικνύναι τὴν ταυτότητα διήκουσαν ἐν ἅπασι τοῖς πρὸς τὸ αὐτὸ τὴν αὐτὴν ἔχουσι σχέσιν. οὕτω γὰρ καὶ ἐν τοῖς ἀξιώμασιν ἔλεγεν τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα [καὶ ἀλλήλοις ἴσα] καὶ ἐν τοῖς ἑξῆς ἐρεῖ τὰ τῷ αὐτῷ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ὅμοιά ἐστι, καὶ οἵ τῷ αὐτῷ λόγῳ τ οὗ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἵ αὐτοί. κατὰ τοῖτον οὖν τὸν τρόπον καὶ νῦν ἀποδείκνυσιν ὅτι αἴ τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. συμβέβηκεν δὲ οὐκ ἐπὶ πασῶν τῶν σχέσεων εἶναι τοῦτο ἀληθές. οὐ γὰρ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια καὶ ἀλλήλων διπλάσιά ἐστιν, οὐδὲ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμιόλια καὶ ἀλλήλων ἡμόλιά ἐστιν. ἀλλ᾽ ἔοικεν ἐπ᾽ ἐκείνων μένων χώραν ἔχειν, ὅσαι ἀντιστρέφουσι συνωνύμως, ἐπὶ τῆς ἰσότητος, ] ἐπὶ τῆς ὁμοιότητος, ἐπὶ τῆς ταυτότητος, ἐπὶ τῆς παραλλήλου θέσεως. ἡ γὰρ παράλληλος παραλλήλῳ παράλληλός ἐστιν, ὡς τὸ ἴσον ἴσῳ ἴσον, καὶ τὸ ὅμοιον ὁμοίῳ ὅμοιον. καὶ γάρ ἐστιν ὁμοιότης θέσεως
ἡ παραλληλότης, εἰ δυνατὸν εἰπεῖν.
Λέγει δ᾽ οὖν καὶ δείκνυσιν ἐν τούτοις ὅτι αἱ τῇ
Props. I.30–I.31: Transitivity & Construction of Parallels¶
Euclid: [I.30]
αὐτῇ παράλληλοι πάντως οὕτως ἔχουσιν, ὥστε καὶ ἀλλήλαις εἶναι παράλληλοι. καὶ αὐτὸς μὲν τὰς τῇ αὐτῇ παραλλήλους ἄκρας ἔλαβεν καὶ μέσην, πρὸς ἣν αὗται τὴν ὁμοίαν ἔχουσι σχέσιν, ἵνα καὶ ἀπὸ κοινῆς ἐννοίας ἡμῖν γένηται σαφὲς τὸ λεγόμενον. εἰ γὰρ αἴ ἐφ᾽ ἑκάτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις, πάντως καὶ τῇ μεταξὺ κειμένῃ συμπεσοῦνται καὶ οὐκέτι πρὸς αὐτὴν ἔσονται παράλληλοι. δυνατὸν δὲ καὶ ἐναλλάξαντα τὴν θέσιν δεῖξαι ταῖς αὐταῖς ἐφόδοις, αἷς ὁ γεωμέτρης
ἐχρήσατο πρὸς τὸ προκείμενον, οἷον πρὸς τὴν αβ καὶ
τὴν γὃ παράλληλον καὶ
γ τὴν εΐξ, ἀμφοτέρων ἀνωτέΕ 5 ρω κειμένης ἑκατέρων (Ὁ)
᾿ τῆς αβ καὶ οὐχὶ μέσης.
ἐμπίπτουσα γὰρ ἡ θκλ εἰς αὐτὰς ἴσην ποιήσει ἑκατέφαν τῶν ὑπὸ θκὸ κλέ τῇ ὑπὸ αθκ, ὅτι (9) ἐναλλάξ, ὥστε καὶ ἀλλήλαις ἴσας ποιήσει τὰς ὑπὸ θκὸ κλξ. παράλληλοι ἄρα αἴ γὸ εξ. εἰ δὲ λέγοι τις ἔστωσαν αἴ αθ 8β παράλληλοι τῇ γδ, καὶ ἀλλήλαις ἄρα παρ-
40 ἀλληλοί εἰσιν, ἐροῦμεν ὅτι αἵ αθ θβ μιᾶς εἰσὶν παραλλήλου μέρη καὶ οὐ δύο. δεῖ γὰρ τὰς παραλλήλους
ἐπ᾽ ἄπειρον ἐκβαλλομένας νοεῖν, ἡ δὲ αθ ἐκβληθεῖσα
πίπτει ἐπὶ τὴν θ8β, ἡ αὐτὴ ἄρα ἐστὶν καὶ οὐκ ἄλλη ἐχείνῃ. πάντα ἄρα τὰ μέρη τῆς παραλλήλου καὶ αὐτὰ παράλληλά ἐστι τῇ εὐθείᾳ ἥ καὶ ὅλῃ παράλληλος ἦν καὶ τοῖς μέρεσιν αὐτῆς, οἷον καὶ ἡ αθ τῇ κὸ καὶ ἡ ὃβ τῇ γκ. ἐκβαλλόμεναι γὰρ ἐπ᾿ ἄπειρον ἀσύμπτωτοι μένουσιν.
Τούτοις ἀναγκαίως ἐπεσημηνάμεθα διὰ τὰς σοφιστικὰς ἐνοχλήσεις καὶ τὰς νεαροπρεπεῖς τῶν ἀκουόντῶν ἕξεις. χαίρουσι γὰρ οἷ πολλοὶ τοῖς τοιούτοις παραλογισμοῖς προστυγχάνοντες καὶ τοῖς ἐπιστήμοσιν
ὄχλον περιττὸν ἐπεισάγοντες.
᾿Αντιστρέφειν δὲ οὐδὲν δεῖ τὸ θεώρημα καὶ δεικνύναι ὅτι αἵ ἀλλήλαις παράλληλοι καὶ τῇ αὐτῇ παράλληλοί εἰσιν. πάλιν γάρ, ἂν ὑποθώμεθα τὴν ἕτέ- τ ραν τιψὶ παράλληλον, ἐκείνη τὸ καὶ ἡ λοιπὴ τούτων ἔσονται τῇ αὐτῇ παράλληλοι, καὶ εἰς ταὐτὸ ἑπανήξομεν.
᾿ Ῥγορ. ΧΧΧΙ, ργοῦὶ]. Χ. Διὰ τοῦ δοθέντος σημείου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ παράλληλον εὐθεῖαν
γραμμὴν ἀγαγεῖν. Ἔδει μὴ μόνον ἡμᾶς τὰ καθ᾽ αὑτὰ ὑπάρχοντα ταῖς παραλλήλοις μαθεῖν ἐν τοῖς τοῦ στοιχειωτοῦ λόγοις, ἀλλὰ καὶ τὴν γένεσιν ἱστορῆσαι διὰ τῶν γεωμετρικῶν μεθόδων καὶ γνῶναι, πῶς ἂν γένοιτο ἄλλη εὐθεῖα παράλληλος ἄλλῃ. πολλαχοῦ γὰρ αἱ γενέσεις
τρανεστέραν ἡμῖν ποιοῦσι τῶν ὑποκειμένων τὴν οὐσίαν. τοῦτο δὴ οὖν ὁ στοιχειωτὴς ποιεῖ διὰ τοῦ προχειμένου προβλήματος. σημεῖον γὰρ λαβὼν καὶ εὐθεῖαν ἄγει διὰ τοῦ σημείου τῇ εὐθεία παράλληλον. δεῖ δὲ προειληφέναι ὑμᾶς ὅτι τὸ σημεῖον ἐκτὸς πάντῶς κεῖσθαι τῆς εὐθείας ἀναγκαῖον. οὐ γάρ, ἐπειδὴ εἴρηται διὰ τοῦ δοθέντος σημείου, καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς αὐτὸ τῆς εὐθείας δώσομεν. οὐ γὰρ ἔσται τις ἄλλη παρὰ τὴν εὐθεῖαν ἡ δι’ αὐτοῦ φερομένη παράλληλος. μερί1ὸ ὅσας οὖν τὸ σημεῖον καὶ τὴν εὐθεῖαν ἐδήλωσεν ὅτι τὸ σημεῖον ἐχτὸς λαμβάνειν χρὴ τῆς εὐθείας· ὅπερ ἐπὶ τῆς καθέτου καὶ διὰ τοῦ προσθεῖναι σαφὲς ἐποίησεν, ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ᾽ αὐτῆς, κάθετον ἀγαγεῖν. ἕν μὲν οὖν κοινὸν τούτοις ἀμφοτέροις τοῖς προβλήμασιν, ἕτερον δὲ ὅτι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο κάθετοε οὐκ ἄγονται ἐπὶ τὴν αὐτήν, καὶ διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο παράλληλοι οὐκ ἄγονται τῇ αὐτῇ, δι’ ὃ καὶ ὁ στοιχειωτὴς οὕτως εἶπεν ἑνικῶς εὐθεῖαν γραμμὴν 0 ἀγαγεῖν, ἐκεῖ μὲν κάθετον, ἐνταῦθα δὲ παράλληλον. ἀλλ᾽ ἐκεῖνο μὲν δέδεικται, τοῦτο δὲ φανερὸν ἐκ τοῦ προαποδειχθέντος. εἰ γὰρ διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου τῇ αὐτῇ δύο παράλληλοι ἀχθεῖεν, ἔσονται καὶ ἀλλήλαις παράλληλοι συμπίπτουσαι κατὰ τὸ δοθὲν σημεῖον, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
Δεῖ δὴ καὶ ταῖς διαφοραῖς προσέχειν τῶν προτάσεων, ἀπὸ τοῦ δο[ θέντος σημείου καὶ διὰ τοῦ δοθέντος σημείου. ὅπου μὲν γὰρ τὸ σημεῖον ἀρχή ἔστι τῆς ἀγομένης, καὶ διὰ τοῦτο ἀπ᾽ αὐτοῦ ἡ ἀγωγή, ὕπου
Prop. I.32: Triangle Angle-Sum, Pythagorean Proof & Polygon Formula¶
Euclid: [I.32]
ὃὲδ ἐπ’ αὐτῆς ἐστι τῆς ἀγομένης, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀγωγὴ δι’ αὐτοῦ. οὐ γὰρ ὡς τεμνούσης εὐθείας τὸ δοθὲν σημεῖον εἴρηται τὸ δι’ αὐτοῦ, ἀλλ᾽ ὡς συμκιπτούσης αὐτῷ καὶ ὁριζούσης τὸ ἑαυτῆς ἀπόστημα
πρὸς τὴν ἐχείνην εὐθεῖαν τῇ διαστάσει τοῦ σημείου ὃ
καὶ τῆς εὐθείας. ὅσον γὰρ τὸ δοθὲν ] σημεῖον τῆς δοθείσης εὐθείας ἀφέστηκεν, τοσοῦτον καὶ ἡ παράλληλος ἔχει τὸ μεταξὺ ἑαυτῆς τε καὶ ἐκείνης.
Ργορ. ΧΧΧΙΙ, ἰμθοσ. ΧΧΙ. Παντὸς τριγώνου
μιᾶς πλευρᾶς προσεκβληθείσης ἡ ἐκτὸς τοῦ
τριγώνου γωνία δύο ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναν-
τίον ἐστὶν ἴση καὶ αἴ ἐντὸς τοῦ τριγώνου γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσέν.
Ὅσον ἐνέλειπεν ἐν τῷ ις καὶ ιξ θεωρήματι, τοσοῦτον προστίθησιν ἐν τούτῳ. οὐ γὰρ μόνον ὅτι ἡ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου ἑχατέρας τῶν ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων διὰ τούτου μανθάνομεν, ἀλλὰ καὶ ὅσῳ μείζων. ἴση γὰρ ἀμφοτέραις οὖσα μείζων ἐστὶν ἔκατέρας τῇ λοιπῇ, οὐδὲ ὅτι δύο τοῦ τριγώνου ὁποιαιοῦν ἐλάσσους εἰσὶ δυεῖν ὀρθαῖν ἐκ τούτων γινώσκομεν, ἀλλὰ καὶ πόσῳ ἐλάσσους. τῇ γὰρ λοιπῇ τῶν τριῶν. ἐκεῖνα μὲν οὖν ἀοριστότερά πως ἦν τὰ θεωρήματα, τοῦτο δὲ τὸν τῆς ἐπιστήμης ὅρον ἀμφοτέροις ἐπήγαγεν. καὶ οὐ διὰ τοῦτο περιττὰ ἂν εἴποιμεν ἐκεῖνα. καὶ γὰρ συνετέλεσεν ἡμῖν εἰς πολλὰς ἀποδείξεις, ἀφ᾽ ὧν καὶ τοῦτο δείξομεν. καὶ ἀναγκαῖον τὴν γνῶσιν ἡμῶν ἀπὸ τοῦ ἀτελοῦς ἐπὶ τὸ τέλειον προϊοῦσαν ἐκ
τῶν ἀορίστων ἐπιβολῶν ἐπὶ τοὺς ὡρισμένους καὶ ἀνελέγχκτους λόγους μεταβαίνειν. ᾿Αλλ᾽ ὁ μὲν στοιχειωτὴς ἔξω τὴν παράλληλον ἄγων ἔδειξεν ἑκάτερον τῶν ξητουμένων. ἔστι δὲ καὶ ὃ μὴ ἔξω ἄγοντα τὰ αὐτὰ δεικνύναι, τὴν τάξιν μόνην ἐναλλάξαντα τῶν δεικνυμένων. ὁ μὲν γὰρ πρότερον ἔδειξεν τὸ τὴν ἐχτὸς γωνίαν ἴσην εἶναι ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, καὶ ἀπὸ τούτου τὸ λοιπὸν κατεσκεύασεν, ἡμεῖς δὲ ἀνάπαλιν ποιήσωμεν. ἔστω δὴ οὖν τὸ
ὼ αβγ τρίγωνον καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ βγ ἐπὶ τὸ ξ, καὶ δἠλήφθω σημεῖον ἐπὶ τῆς βγ τὸ ξ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ αξ, καὶ Ἶ 5:8 διὰ τοῦ ξ παράλληλος ἤχθω τῇ αβ ἡ ξδ. ἐπεὶ οὖν παράλληλος ἡ ξὸ τῇ αβ καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἥ τε αξ καὶ ἡ βγ, αἴ τε ἐναλλὰξ ἴσαι ἰ καὶ ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ αξγ ἴση ταῖς ὑπὸ ξαβ αβξ. ὁμοίως δὴ δείξομεν παράλληλον ἀγαγόντες ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ αξβ ἴση ταῖς ὑπὸ ξαγ
το αγξ. δύο ἄρα αἱ ὑπὸ αξβ αξγ ἴσαι ταῖς τρισὶ τοῦ αβγ τριγώνου. αἱ ἄρα τρεῖς δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶ
ταῖς ὑπὸ αξβ αξγ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ αγξ αγε δύο ὁρθαῖς ἴσαι. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ αγξ. λοιπὴ ἄρα ἡ ἐχτὸς ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἐστὶν ἴση.
9 ἔστω δὲ α.
Τοῦτο μὲν δὴ τὸν εἰρημένον ἀποδείκνυται τρόσον Εὔδημος δὲ ὁ περιπατητικὸς εἰς τοὺς Πυθαγορείους ἀναπέμπει τὴν τοῦδε τοῦ θεωρήματος εὕρεσιν, ὅτι τρίγωνον ἅπαν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει τὰς ἐντὸς γωνίας. καὶ δεικνύναι φησὶν αὐτοὺς οὕτως τὸ προκείμενον. ἔστω τρίγωνον τὸ αβγ, καὶ ἤχθω διὰ
τοῦ ἃ τῇ βγ παράλληλος ἡ
δε. ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν αἴ βγ δε, καὶ αἴ ἐναλλὰξ ἴσαι εἰσίν, ἴση ἄρα ἡ μὲν , ᾿
ὑπὸ δαβ τῇ ὑπὸ αβγ, ἡ δὲ ὑπὸ εαγ τῇ ὑπὸ αγβ. κοινὴ προσκείσθω ἡ βαγ. αἵ ἄρα ὑπὸ δαβ βαγ γαε, τουτέστιν αἴ ὑπὸ δαβ βαε,
τουτέστιν αἴ δύο ὀρθαὶ ἴσαι εἰσὶ ταῖς τοῦ αβγ τριγώνου τρισὶ γωνίαις. αἴ ἄρα τρεῖς τοῦ τριγώνου δύο 1Ὁ ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.
Τοιαύτη μὲν οὖν καὶ ἡ τῶν Πυθαγορείων ἀπόδειξις᾽ δεῖ δὲ καὶ τὰ ἀντιστρέφοντα τῷ θεωρήματι τοῦ στοιχειωτοῦ προσιστορῆσαι. ἀντιστρέφει δὲ δυεῖν πρὸς ἕν, ἐπειδὴ τοῦτο σύνθετόν ἐστι κατά τε τὸ ξητού- τ0 μενον καὶ κατὰ τὸ δεδομένον. καὶ γὰρ τοῦτο διπλοῦν ἐστι τρίγωνον γὰρ καὶ μία τῶν πλευρῶν ἐκβεβλημένη. κἀκεῖνο ὡσαύτως. ἕν μὲν γάρ ἐστι τὸ τὴν ἐχτὸς ἴσην εἶναι ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, ἕτερον δὲ τὸ τὰς ἐντὸς τρεῖς γωνίας δύο ὀρθαῖς εἶναι ἴσας. ἐὰν
οὖν ὑποθώμεθα καὶ τὴν ἐχτὸς εἶναι ταῖς ἐντὸς ἴσην καὶ ἀπεναντίον, δείκνυμεν ἐχβεβλημένην πλευρὰν καὶ ἐπ’ εὐθείας οὖσαν τῇ μιᾷ τῶν τριγώνου πλευρῶν τὴν ἐκτός — ἐὰν δὲ τὰς τρεῖς γωνίας τὰς ἐντὸς δύο ὀρδ θαῖς ἴσας, δείκνυμεν ὅτι τὸ σχῆμα τρίγωνόν ἐστι. καὶ οὕτως ὅλον ἔσται τὸ ζητούμενον πρὸς ὅλον ἀντιστρέφον τὸ δεδόμενον. ἔστω τοίνυν τρίγωνον τὸ αβγ - καὶ ἡ ἐκτὸς ἡ ὑπὸ αγὸ]
ἴση ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναν-
1 τίον. λέγω ὅτι ἡ βγ ἐστὶν ἡ προσεκβεβλημένη ξως τοῦ
᾿ “ ὃ, καὶ μία εὐθεῖά ἐστιν ἡ βγδ. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ αγὸ ἴση ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ αγβ. αἱ ἄρα ὑπὸ αγὸ αγβ ἴσαι ταῖς τρισὶ τοῦ αβγ τοῦ τριγώνου. ἀλλ᾽ αἴ τρεῖς τοῦ αβγ τριγώνου δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. ἐὰν δὲ πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δύο εὐθεῖαι ἑξῆς μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ἑξῆς γωνίας
δύο ὀρθαῖς ἴσας ποιῶσιν, ἐπ᾽ εὐθείας εἰσὶν ἀλλήλαις αἴ εὐθεῖαι. ἡ ἄρα βγ τῇ γὸ ἐπ᾽ εὐθείας ἐστίν. πάζ λιν ἔστω τις σχῆμα τὸ αβγ
ὃ τρεῖς ἔχον γωνίας μόνας δύο
ὀρθαῖς ἴσας τὰς α β γ. λέγω
4 ») ὅὄτι τρίγωνόν ἐστι καὶ μία εὐ-
30 θεῖά ἐστιν ἡ αγ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ βὸ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρου τῶν α αβὸ ὃβγ τριγώνων αἱ τρεῖς γωνίαι
δύο ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι, ὧν αἱ τοῦ αβγ δύο ὀρθαῖς
ἴσαι, λοιπαὶ ἄρα αἴ ὑπὸ αὃδβ γδβ δύο εἰσὶν ὀρθαῖς ἴσαι. καί εἰσιν πρὸς τῇ βὸ εὐθείᾳ. ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ὃγ τῇ δα. ἐὰν οὖν εὐθύγραμμον ἦ τὸ σχῆμα τὸ ἔχον τὰς ἐντὸς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας, ἐκ παντὸς τρίγωνόν ἐστιν. οὐ μὴν ἐὰν ἔχῃ τι τὰς ἐντὸς δύο ὀρθαῖς ἴσας, ἐκ παντὸς τρίγωνόν ἐστι. καὶ γὰρ περιφερόγραμμον εὕροις ἂν ἔχον τὰς ἐντὸς δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας. ἔστω γὰρ τετράγωνον τὸ αβγὸ καὶ ἐπὶ τῆς αβ ἐντὸς ἡμικύχλιον γεγράφθω τὸ αεβ, ἐπὶ δὲ τῶν ἄλλων ἐκτὸς τὰ ἢ ξ 9. δύο δὴ γωνίας ἔχει τὸ ὑπὸ τῶν ἡμικυκλίων περιἐχόμενον τὰς ὑπὸ ηαὲ εβ8ὃ δύο ὀρθαῖς ἴσας ταῖς
ὑπὸ γαβ ὅβα — δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς αἴτημασι — καὶ μόναι αὗται γωνίαι εἰσὶν ἐν τῷ σχήματι τούτῳ. ἔστιν ἄρα τι σχῆμα μὴ τρίγωνον τὰς ἐντὸς ἔχον γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας. 80 Ταῦτα καὶ περὶ τῶν ἀντιστρόφων᾽ ἐπεὶ δὲ ἔχομεν ὅτι παντὸς τριγώνου αἷ τρεῖς γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, δεῖ μέθοδον λαβεῖν, καθ᾽ ἣν καὶ τῶν ἄλλων πάντων πολυγώνων εὐθυγράμμων τὰς γωνίας εὑρήσομεν ὁπόσαις ὀρθαῖς ἴσαι εἰσέν, οἷον τετραγώνου, πενταγώνου καὶ τῶν ἑξῆς ἁπάντων πολυπλεύρων.
χρὴ τοίνυν εἰδέναι πρῶτον ὅτι πᾶν σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς τρίγωνα ἀναλύεται. πάντων γὰρ ἀρχὴ τῆς συστάσεως τρίγωνον, ὃ καὶ ὁ Πλάτων ἔφη διδάσχων ὅτι ἡ ὀρθὴ (ὃ) τῆς ἐπιπέδου βάσεως ἐκ τριγώνῶν συνέστηκεν. ἕκαστον δὲ ἀναλύεται εἰς δυάδι ἐλάσσονα τρίγωνα τῶν οἰκείων πλευρῶν, εἰ τετράπλευρόν ἐστιν, εἰς δύο, εἰ πεντάπλευρον, εἰς τρία, εἰ ἑξάπλευρον, εἰς τέσσαρα. δύο γὰρ τρίγωνα συντεθέντα τετράπλευρον ἐποίησε εὐθύς· ᾧ δὲ τῶν συν1 θέτων τριγώνων ἀριθμῷ τὸ πρῶτον συστὰν διήνεγκεν τῶν ἑαυτοῦ πλευρῶν, τούτῳ καὶ τὰ ἕξῆς πάντα διαφέρει. δυάδι ἄρα πᾶν πολύπλευρον πλείους ἔχει πλευρὰς τῶν τριγώνων, εἰς ἃ διαλύεται. ἀλλὰ μὴν ἅπαν γε τρίγωνον δέδεικται δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχον τὰς ιὸ γωνίας. διπλάσιος ἄρα ὁ τῶν γωνιῶν (Ὁ) ἀριθμὸς
αὐτῶν τῶν συντεθέντων τριγώνων γενόμενος παρἕξεται τὸ πλῆθος τῶν ὀρθῶν, ὅσαις ἕκαστον πολύγωνον ἴσας ἔχει γωνίας. διὸ πᾶν μὲν τετράπλευρον τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει γωνίας ἐκ δυεῖν γὰρ συνἔχειτο τριγώνων πᾶν δὲ πεντάπλευρον ξξ, καὶ τοῦτο ἑξῆς ὁμοίως. Ἣν μὲν οὖν τοῦτο ληπτέον ἐκ τοῦ θεωρήματος τούτου περὶ πάντων τῶν πολυγώνων ἅμα καὶ εὐθυγράμμων᾽ ἕτερον δὲ ἑπόμενον τούτῳ συνέλωμεν, ὅτι
πᾶν σχῆμα εὐθύγραμμον ἑκάστης τῶν πλευρῶν ἅπαξ ἐκβληθείσης τὰς ἐκτὸς συνισταμένας γωνίας ἴσας ἔχει τέτρασιν ὀρθαῖς. διπλασίας μὲν γὰρ εἶναι δεῖ τὰς ἐφ᾽ ἑκάτερα γωνίας ὀρθὰς τοῦ πλήθους τῶν πλευρῶν, ἐπειδὴ πρὸς ἑκάστῃ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι συνίστανται. ἀφαιρουμένων δὲ τῶν ἴσων ταῖς ἐντὸς ὀρθῶν αἷ λοιπαὶ γίνονται αἴ ἐκτὸς τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι. οἷον εἰ τὸ σχῆμα τρίγωνον, ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς ἅπαξ ἐκχβαλλομένης ξξ ὀρθαῖς ἴσαι συνίστανται γωνίαι ᾿ αἴ τε ἐντὸς καὶ ἐκτός, ὧν αἵ ἐντὸς ἴσαι δυσίν, αἵ λοιπαὶ το ἄρα αἱ ἐκτὸς τέταρσιν, — εἰ δὲ τετράπλευρον, ὀχτὼ αἱ πᾶσαι· διπλάσιαι γὰρ τῶν πλευρῶν᾽ ὧν ἐντὸς τέτρασιν, καὶ ἐκτὸς ἄρα ἄλλαις τοσαύταις ἴσαι. — εἰ δὲ πεντάπλευρον, δέκα μὲν αἱ πᾶσαι, ἕξ δὲ ἐντός, τέτρασι δὲ ταῖς λοιπαῖς αἱ ἐκτός· καὶ ἐπ’ ἄπειρον τ ὁμοίως ἡ αὐτὴ μέθοδος.
Ἐπὶ δὴ τούτοις κἀκεῖνα συναγάγωμεν ὅτι διὰ τοῦτο τὸ θεώρημα τὸ μὲν ἰσόπλευρον τρίγωνον ἕκχάστην ἔχει γωνίαν διμοίρου ὀρθῆς. τὸ δὲ ἐσοσκελές, ὅταν ἔχῃ τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ ὀρθήν, τὰς λοιπὰς ἡμι- τὸ σείας ὀρθῆς ἔχει, οἷον τὸ ἡμιτετράγωνον, τὸ δὲ σκαληνὸν τὸ ἡμιτρίγωνον, ἣ γίνεται ἐν ἰσοπλεύρῳ τριγώνῳ καθέτου ἀχθείσης ἀφ᾽ οἵας τινὸς γωνίας ὑπὸ τὴν ὑποτείνουσαν αὐτὴν πλευράν, τὴν μὲν ἔχει ὀρθήν, τὴν δὲ διμοίρου οὖσαν, ἥτις ἦν καὶ τοῦ ἰσοπλεύρου
Ἡ ἴπ ταδυρὶηθ δᾶὰϊὲ ἤρυγδβ ἐγ δηρο δ, αὐυδάγαϊί, ρ6η-
ἱδθοηΐ, μοχδρβοηΐ. ἡρῴθοι ἐγ δἀὐβοσιρία βυηὶ ἰοΐ β 1. 6. ἄπο ᾳαοῦ βαηΐ δ}, Ὠοχαροῦο δυΐοθιῃ αὐδίζθπον δὶ, ᾿ἱπίγχα ἰγθῃΒΌΪΌΙΩ βοσϊρίθση 6θὶ β, ἰηίγα αὐυδαγδίυμ δι, ἐπίγα ῬΘΩΪΑΟΠΌΙΩ 6,
τριγώνου, τὴν δὲ λοιπὴν ἄρα τρίτου. δεῖ γὰρ εἶναι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας τὰς τρεῖς. ταῦτα ὃὲ οὐ παρέργως ἐπισημαίνομαι, ἀλλὰ ὡς προπαρασκευάξοντα ἡμᾶς πρὸς τὴν τοῦ Τιμαίου διδασκαλίαν.
ὃ ΚΚαὶ μὴν κἀκεῖνο ῥητέον, ὅτι τὸ τὰς ἐντὸς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ἔχειν καθ᾽ αὑτὸ καὶ αὐτὸ ὑπάρχει τῷ τριγώνῳ᾽ δι᾽’ ὃ καὶ ᾿ἀριστοτέλης πρόχειρον ἔχει τὸ παράδειγμα τοῦτο ἐν ταῖς ἀποδεικτικαῖς πραγματείαις τὸ ἧ αὐτὸ θεωρῶν. ὡς οὖν παντὶ σχήματι τὸ
πεπερατῶσθαι καθ᾿ αὑτὸ ὑπάρχει καὶ πρώτως, οὕτω τῷ τριγώνῳ τῷ εὐθυγράμμῳ παντί, εἰ καὶ μὴ σχήματι παντί, τὸ τὰς ἐντὸς γωνίας δυεῖν ὀρθαῖν ἴσας ἔχειν. καὶ ἔοικεν καὶ κατὰ τὰς κοινὰς ἐννοίας προσπίπτειν ἡμῖν ἡ τοῦ θεωρήματος ἀλήθεια. ἐὰν γὰρ
:ὸ νοήσωμεν εὐθεῖαν καὶ ἐπὶ τῶν περάτων αὐτῆς τινας πρὸς ὀρθὰς ἑστώσας, εἶτα συνιούσας εἰς τριγώνου γένεσιν, ὁρῶμεν ὅτι, καθόσον συνεύουσιν, κατὰ τοσοῦτον ἐλαττοῦσι τὰς ὀρθάς, ἃς ἐποίουν πρὸς τῇ εὐθεία, ὥστε ὅσον ἐκείνων (Ὁ) ἀφεῖλον, τοσοῦτον
προσλαβοῦσαι κατὰ τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ σύνευσιν ἐξ ἀνάγκης τὰς τρεῖς ποιοῦσιν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.