Anhang IV: Sachliche Anmerkungen (Winterberg 1889)¶
Mathematischer Kommentar (Anmerkungen 1–17) von Constantin Winterberg (Wien, 1889, S. 338–352)
Vollständiger mathematischer Anhang der siebzehn Sachlichen Anmerkungen (S. 338–352) aus Constantin Winterbergs Wiener Ausgabe von 1889 mit wiederhergestellten algebraischen und trigonometrischen Formeln.
Anmerkung 1 (Cap. VII, S. 198): Identität der zu Anfang gegebenen Definition der stetigen Theilung mit der Euklidischen Definition¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 7
Da die Definition der stetigen Theilung nach Euklid gewöhnlich so angegeben wird, wie am Schluss des Capitels gesagt, d. h. wenn die gegebene Linie $ac$ im Punkte $b$ in zwei Abschnitte zerfällt, wovon das Quadrat des grössern $ab^2$ gleich dem Product $ac \cdot bc$ aus der ganzen Länge mal dem kleinern Abschnitte ist, so sei zum Nachweise der Identität der letztern mit der zu Anfang dieses Capitels gegebenen Eigenschaft Folgendes bemerkt:
Voraussetzung: Es sei nach der bekannten Euklidischen Definition die Linie $ac$ im Punkte $b$ stetig getheilt, so dass $ab^2 = ac \cdot bc$.
Behauptung: $\left(ab + \frac{ac}{2}\right)^2 = 5\left(\frac{ac}{2}\right)^2$.
Beweis: Nach Voraussetzung ist $ab^2 = ac(ac - ab)$ oder $ac^2 = ab^2 + ab \cdot ac$. Fügt man rechts und links $\left(\frac{ac}{2}\right)^2$ hinzu, so folgt unmittelbar:
\[\left(ab + \frac{ac}{2}\right)^2 = 5\left(\frac{ac}{2}\right)^2. \quad \text{w. z. b. w.}\]
Anmerkung 2 (Cap. VII, S. 198): Halbirung der Linie und stetige Theilung der Hälfte¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 7
Diese Folgerung ergibt sich, indem man sich die Linie $ab$ in $c$ halbirt, und sodann $bc$ im Punkte $d$ auf die gewöhnliche Art stetig getheilt denkt. Betrachtet man dann die drei Theile, aus denen die Linie $ab$ besteht, so ist der zusammengesetzte Abschnitt $ad = ac + cd$.
Anmerkung 3 (Cap. XII, S. 203): Mathematischer Nachweis des dritten Effects (Euklid XIII.3)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 12
Mathematisch ausgedrückt heisst dies mit Bezug auf die in $b$ stetig getheilte Linie $ac$:
Voraussetzung: $ab^2 = ac \cdot bc$.
Behauptung: $\left(bc + \frac{ab}{2}\right)^2 = 5\left(\frac{ab}{2}\right)^2$.
Beweis: $ab^2 = bc^2 + ab \cdot bc$ (nach Voraussetzung), daher analog wie in Anmerkung 1 durch Hinzufügung von $\left(\frac{ab}{2}\right)^2$ rechts und links:
\[\left(bc + \frac{ab}{2}\right)^2 = 5\left(\frac{ab}{2}\right)^2.\]Setzt man die Werthe des in Cap. XII behandelten Beispiels ein ($ab = \sqrt{125} - 5$, $bc = 15 - \sqrt{125}$), so ergibt sich die Richtigkeit durch Uebereinstimmung der beiden Seiten der Gleichung ohne weiteres.
Anmerkung 4 (Cap. XIII, S. 203): Mathematischer Nachweis des vierten Effects (Euklid XIII.5)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 13
In mathematischer Form (wenn $bc$ in $d$ stetig getheilt und $ac = cd$ angesetzt wird):
Voraussetzung: $cd^2 = bc \cdot bd$ und $ac = cd$.
Behauptung: $bc^2 = ad \cdot cd$.
Beweis: Nach Voraussetzung ist $cd^2 = bc(bc - cd)$, folglich:
\[ad \cdot cd = (ac + bc)\,cd = cd^2 + bc \cdot cd = bc^2. \quad \text{w. z. b. w.}\]
Anmerkung 5 (Cap. XIV, S. 204): Mathematischer Nachweis des fünften Effects (Euklid XIII.4)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 14
In allgemeiner Form unter der früheren Voraussetzung ($cd^2 = bc \cdot bd$):
Behauptung: $bd^2 + bc^2 = 3\,cd^2$.
Beweis: a) $bc^2 = bc \cdot cd + cd^2$ (nach Anm. 4). b) $bd^2 = (bc - cd)^2 = bc^2 - 2\,bc \cdot cd + cd^2$. Durch Addition von a) und b) erhält man:
\[bd^2 + bc^2 = 2\,cd^2 + bc(bc - cd) = 2\,cd^2 + bc \cdot bd = 3\,cd^2. \quad \text{w. z. b. w.}\]
Anmerkung 6 (Cap. XVI, S. 205): Siebenter Effect — Sechsecksseite und Zehnecksseite (Euklid XIII.9)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 16
Dies folgt unmittelbar aus Anmerkung 4, wenn man berücksichtigt, dass die Zehnecksseite der grössere Abschnitt des stetig getheilten Radius (der Sechsecksseite) ist.
Anmerkung 7 (Cap. XVIII, S. 206): Neunter Effect — Diagonalen des regulären Fünfecks (Euklid XIII.8)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 18
Der Beweis folgt aus der Aehnlichkeit der gleichschenkligen Dreiecke $\triangle bca$ und $\triangle baf$, wonach sich unmittelbar ergibt:
oder, da $ba = bc = cf$ ist: $cf^2 = ca \cdot af$.
Anmerkung 8 (Cap. XXI, S. 209): Zwölfter Effect — Verhältniss der Seite des Kubus zur Seite des Ikosaeders¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 21
Bezeichnet man mit $s, s'$ resp. die Seiten des Kubus und des regulären Ikosaeders, so wird, wenn die Linie $ab$ in $c$ stetig getheilt ist ($ac > bc$), behauptet:
Beweis: Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen links lässt sich vereinfachen, indem zufolge Voraussetzung: a) $ac^2 = ab \cdot bc$, b) $bc^2 = (ab - ac)^2$. Durch Einsetzen dieser Ausdrücke und Ausführung der Quadratur des letzteren erhält man:
Aus der Gleichung a), nachdem darin $ac = ab - bc$ gesetzt, erhält man $bc^2 - 3\,ab \cdot bc + ab^2 = 0$, und durch Einsetzen in den vorstehenden Quotienten:
Derselbe Werth ergibt sich aber auch, wenn man das Verhältniss $\frac{s}{s'}$ durch den Radius $r$ der umschriebenen Kugel ausgedrückt berechnet, indem bekanntlich ist:
Anmerkung 9 (Cap. XXII, S. 211): Verweis auf den Tractat über die fünf regelmässigen Körper¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 22
Vgl. hierüber den Tractat über die fünf regelmässigen Körper (Libellus, Tract. II, Cas. 20 u. s. w.).
Anmerkung 10 (Cap. XXVI, S. 216): Theilung des Kugeldurchmessers beim regulären Tetraeder (Euklid XIII.13)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 26
Bekanntlich verhalten sich in jedem regulären Tetraeder die Abschnitte der Höhen, welche sich im Centrum der umschriebenen Kugel vom Radius $r$ schneiden, zu einander wie $1 : 3$. Bezeichnet man nun den kleinern Abschnitt mit $x$ und denkt sich ferner eine der Höhen über die Grundfläche hinaus bis zum Durchschnitt mit der Kugel verlängert, so ergibt sich das Verhältniss dieser Verlängerung $bc$ zu der Höhe $ac$ des Tetraeders:
Alles Uebrige ergibt sodann der Text von selber.
Anmerkung 11 (Cap. XXVII, S. 217): Theilung des Kugeldurchmessers beim Kubus (Euklid XIII.15)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 27
Bekanntlich ist das Quadrat der Diagonale eines Quadrats doppelt so gross als das Quadrat der Seite. Denkt man sich nun durch eine der drei Hauptaxen $ab$ des Kubus und eine Kante $bd$ eine Ebene gelegt, so schneidet sie die umschriebene Kugel in einem Kreise, dessen Durchmesser jene Axe $ab$ ist, während die zwei von ihren Endpunkten ausgehenden Sehnen die Seite $bd$ und Flächendiagonale $ad$ des Quadrats sind. Daher hat man nach bekannten Sätzen:
Somit, da $ad^2 = 2\,bd^2$ ist, erhält man durch Division vorstehender Gleichungen:
Anmerkung 12 (Cap. XXIX, S. 220): Construction des regulären Ikosaeders in der Kugel (Euklid XIII.16)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 29
Bekanntlich ist die Seite $a$ des regulären Ikosaeders, durch den Halbmesser $r$ der umschriebenen Kugel ausgedrückt:
Denkt man sich nun durch die Axe $ab = 2r$ und eine Kante $ad$ des Ikosaeders eine Ebene gelegt, welche zugleich die Kugel im Halbkreise $adb$ schneidet, so ist nach bekannten Sätzen:
woraus hervorgeht, dass $cm = r - ac = \frac{r}{\sqrt{5}}$, somit das Doppelte $cc' = \frac{2r}{\sqrt{5}} = \frac{d}{\sqrt{5}}$, wenn der Kugeldurchmesser mit $d = 2r$ bezeichnet wird. Nun ist dem Text zufolge $\frac{bd}{d} = \frac{1}{\sqrt{5}}$, sonach $bd = cc'$, d. h. gleich der Länge der im Text als Katheten bezeichneten Höhen, welche man in den Ecken der Fünfecke zu errichten hat. Der Radius $r'$ des diesen Fünfecken umschriebenen Kreises ist aber, wenn $a$ zugleich Fünfecksseite sein soll:
es muss $r'$ genau gleich der Linie $bd$ des Textes und zugleich gleich den als Katheten bezeichneten Höhen sein, wie solches der dort angegebenen Construction zufolge auch wirklich der Fall ist.
Anmerkung 13 (Cap. XXX, S. 224): Nachweis der Diagonalengleichung beim Dodekaeder (Euklid XIII.17)¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 30
Dies ergibt sich unter Beibehaltung der Figur des Textes folgendermassen: Es ist der Construction zufolge (da $an = 2\,kl$ als Kante des Würfels gleich $hn$ u. s. w. ist):
Da $kl^2 = ke \cdot le$ ist, kann man diese Gleichung auch schreiben:
Anmerkung 14 (Cap. XXX, S. 225): Geometrischer Beweis der Relation $el^2 + ke^2 = 3\,kl^2$¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 30
Dies ergibt sich am einfachsten, wenn man sich über $ek$ als Durchmesser einen Halbkreis denkt und im Punkte $l$ eine Senkrechte bis zum Durchschnitt $m$ mit ihm, sowie die Sehnen $em, km$ zieht. Dann ist nach Voraussetzung $kl^2 = ke \cdot el$, und ferner nach bekannten Sätzen:
also addirt:
Da ferner $em^2 = el \cdot ek = lk^2$, so folgt: $el^2 + ke^2 = 3\,em^2 = 3\,kl^2$. w. z. b. w.
Anmerkung 15 (Cap. XLVI, S. 235): Widerlegung der Behauptung Pacioli’s über die Einbeschreibung des Oktaeders ins Ikosaeder¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 46
Die hier ausgesprochene Behauptung ist offenbar falsch, denn auf ganz analoge Art wie das Oktaeder dem Dodekaeder sich einbeschreiben lässt, kann es auch dem Ikosaeder eingeschrieben werden. Man braucht sich zu diesem Zweck nur die Mitten je zweier sich parallel gegenüberliegenden Kanten verbunden zu denken. Unter ihnen wird man drei solche als Axenkreuz wählen, welche senkrecht aufeinander stehen, was auf vielfache (fünffache) Art möglich ist. Damit ist zugleich die Lage des Oktaeders bestimmt. (Uebrigens hat schon Tartaglia im General-Trattato diese Ansicht widerlegt.)
Der Grund, warum Pacioli das Vorhandensein dieser einfachen Thatsache leugnet, scheint aus dem einseitigen Bestreben hervorgegangen zu sein, im Sinne der platonischen Lehre einem unter den fünf Körpern, dem Dodekaeder, vor allen andern den Vorzug grösster Vollkommenheit zuzuerkennen—eine Anschauung, die sich nach dem Vorherigen als durchaus unhaltbar beweist. Mit mehr Recht würde des Verfassers Annahme als zulässig erscheinen, hätte er als Massstab seines Urtheils nicht die Frage entscheiden lassen, welchem Körper die meisten andern sich einbeschreiben lassen, sondern welcher Körper sich der Kugel als dem vollkommensten Körper am meisten nähere, wenn sie sämmtlich derselben Kugel einbeschrieben gedacht werden, d. h. welcher die grösste Oberfläche und das grösste Volumen umfasse? Hierbei stellt sich nämlich, wie leicht nachweisbar, die Entscheidung entschieden zu Gunsten des Dodekaeders.
Anmerkung 16 (Cap. XLVII–LII): Reciproke (duale) reguläre Körper durch pyramidale Erhöhung und Eckenabschneiden¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 47, Cap. 48, Cap. 49, Cap. 50, Cap. 51, Cap. 52
Hinsichtlich der Art des Zustandekommens der regulären Körper und der von ihnen abhängigen unterscheidet der Verfasser zwei Classen, nämlich ebene (einfache) und abgeschnittene regelmässige Körper, die er in volle und hohle eintheilt. Diese einfachen und abgeschnittenen werden dann ferner noch dadurch modificirt, dass man sich auf ihren Seitenflächen gleichseitige Pyramiden errichtet denkt.
Die auf diese Art erhaltenen sternförmigen Körper sind ebenfalls in eine Kugel construirbar, welche alle Pyramidenspitzen umfasst, und betrachtet man die Pyramidenspitzen als Ecken eines neuen Körpers, so erkennt man unmittelbar, dass sich dafür wieder einfache reguläre Körper ergeben: das erhöhte Tetraeder führt zum einfachen Tetraeder, der erhöhte Kubus zum einfachen Oktaeder, das erhöhte Oktaeder zum einfachen Kubus u. s. f.
Die fünf einfachen regulären Körper verhalten sich hinsichtlich der Anzahl ihrer Ecken, Kanten und Seitenflächen zwei und zwei reciprok zu einander:
Das Tetraeder entspricht nur sich selbst ($6$ Kanten, $4$ Ecken, $4$ Seitenflächen).
Der Kubus ($12$ Kanten, $8$ Ecken, $6$ Flächen) entspricht dem Oktaeder ($12$ Kanten, $6$ Ecken, $8$ Flächen) und umgekehrt.
Dem Ikosaeder ($30$ Kanten, $12$ Ecken, $20$ Seitenflächen) entspricht das Dodekaeder ($30$ Kanten, $20$ Ecken, $12$ Flächen) und umgekehrt.
Aus einem derselben ergibt sich der reciproke Körper auf zweierlei Art:
Durch Verwandlung der Seitenflächen in Eckpunkte (Aufsetzen oder Aushöhlen von Pyramiden, indem man deren Spitzen als die Ecken des neuen Körpers betrachtet; wird die Höhe der Pyramiden genau so bemessen, dass die Spitzen sämmtlicher Pyramiden um eine Ecke mit dieser Ecke genau in einer Ebene liegen, so umhüllt der neue Körper diejenige Kugel, welche dem ursprünglichen umschrieben ist).
Durch Verwandlung der Ecken in Ebenen, d. h. durch Abschneiden der Ecken bis sich sämmtliche um die Ecken einer Seitenfläche geführten Schnitte im Schwerpunkt dieser Figur schneiden, so dass die Seitenflächen in Punkte übergehen (wobei der erhaltene Körper von derjenigen Kugel umhüllt wird, welche dem ursprünglichen Körper einbeschrieben ist).
Anmerkung 17 (Cap. XXXV–XLVI, S. 345–352): Vollständige Theorie aller 21 gegenseitigen Einbeschreibungen der fünf regulären Körper mittelst Polarität an der Kugel¶
Zugehörige Kapitel: Cap. 35, Cap. 46
Wenn auch Pacioli die Bedeutung der fünf regelmässigen Körper in theoretischer wie in praktischer Hinsicht weit überschätzt, so scheint es gleichwohl von Interesse, auf die Theorie dieses Gegenstandes etwas näher einzugehen, um die Eigenschaften jener Körper in ihrem gegenseitigen Zusammenhange leichter zu verstehen. Es werden hierdurch leicht alle auf die gegenseitige Einbeschreibung bezüglichen Fragen erledigt.
1. Directe und reciproke Beziehung mittelst Polarität an der Kugel¶
Von irgend einem Körper kann man stets die Ecken und Grenzflächen auf zweierlei Art aufeinander bezogen denken:
Directe Beziehung: Jedem Eckpunkt des einen Körpers wird ein Eckpunkt des andern, oder jeder Ebene des einen eine Ebene des andern zugeordnet.
Reciproke Beziehung: Zu jeder Ecke des ersten wird eine Grenzfläche des zweiten oder umgekehrt zu jeder Grenzfläche des ersten eine Ecke des zweiten zugeordnet.
Die einfachste Art, eine wechselseitige reciproke Beziehung herzustellen, ist die polare Beziehung mittelst einer concentrischen Kugel. Unter dem Pol einer Ebene bezüglich einer Kugel versteht man die Spitze des Tangentenkegels, dessen Basis der von jener Ebene aus der Kugel ausgeschnittene Kreis ist, wie umgekehrt diese Ebene die Polarebene jenes Punktes genannt wird. Bestimmt man auf diese Weise von irgend einem der regelmässigen Körper seinen polaren Körper mittelst einer concentrischen Kugel, so ergibt sich für jeden Körper der reciproke als polare Figur.
Denkt man sich die Kugel vom Radius $R$ allmählich wachsend:
Erster Grenzfall ($R = \rho$): Berührt die Kugel den ursprünglich gegebenen Körper von innen, so fallen die Pole seiner Tangentialebenen in die Berührungspunkte (Flächenmitten), deren Verbindung den polaren Körper liefert, der somit dem ursprünglichen genau einbeschrieben ist.
Gegenseitige Durchdringung bei gemeinsamer Um- und Inkugel ($R = \sqrt{r\rho}$): Beide Körper werden von derselben Kugel vom Radius $r$ umschlossen und umhüllen dieselbe Kugel vom Radius $\rho$.
Zweiter Grenzfall ($R = r$): Umhüllt die Kugel den ursprünglichen Körper genau, so vertauschen beide Körper ihre Stellen, und der ursprüngliche ist dem polaren genau einbeschrieben.
2. Schema aller 21 möglichen Fälle gegenseitiger Einbeschreibung¶
Die sämmtlichen überhaupt möglichen 20 oder genauer 21 Fälle dieser Art ergeben sich, indem man zunächst nach drei Gruppen ordnet, je nachdem bei der Einschreibung Ecke auf Ecke, Ecke auf Seitenfläche oder Ecke auf Kante fällt. Durch reciproke Uebertragung leitet man sodann aus den zehn hierauf bezüglichen Fällen ebensoviel neue ab, je nachdem Fläche auf Fläche, Fläche auf Ecke und Kante in Fläche fällt (die mit * bezeichneten sind die im Text Pacioli's bereits erwähnten 12 Fälle):
a) Direct |
b) Durch reciproke Uebertragung |
|---|---|
I. Ecke auf Ecke |
I’. Fläche auf Fläche |
1. Tetraeder im Kubus |
|
3. Tetraeder im Dodekaeder |
|
5. Kubus im Dodekaeder |
|
II. Ecke auf Fläche |
II’. Fläche auf Ecke |
7. Oktaeder im Kubus |
8. Kubus im Oktaeder |
9. Ikosaeder im Dodekaeder |
10. Dodekaeder im Ikosaeder |
11. Tetraeder im Ikosaeder |
12. Dodekaeder im Tetraeder |
13. Kubus im Ikosaeder |
14. Dodekaeder im Oktaeder |
III. Ecke auf Kante |
III’. Kante in Fläche |
15. Oktaeder im Dodekaeder |
16. Ikosaeder im Kubus (im Libellus behandelt) |
17. Oktaeder im Ikosaeder (von :person:`Pacioli <pacioli>` geleugnet) |
18. Dodekaeder im Kubus |
19. Tetraeder im Oktaeder |
20. Kubus im Tetraeder |
21. Tetraeder ins Tetraeder (im Text übersehen) |
(Selbstreciprok) |
3. Ableitung der einzelnen Gruppen¶
Erste Gruppe (1–6): Mittelst der Kugel, welche je zweien der Körper aus der linken Gruppe umschrieben ist, werden die Polarebenen der gemeinsamen Ecken zu gemeinsamen Tangentialebenen:
In 2 (Oktaeder im Tetraeder) fallen vier Ebenen des Oktaeders in die vier Tetraederflächen, während die sechs Ecken des Oktaeders in die Mitten der sechs Kanten des Tetraeders fallen.
Aus 3 entsteht 4 (Ikosaeder im Tetraeder), wobei vier Ebenen des Ikosaeders mit den vier Tetraederebenen zusammenfallen (indem man die vier Flächen des Ikosaeders, deren Mitten die Ecken des eingeschriebenen Tetraeders bilden, bis zu ihrem gegenseitigen Durchschnitt verlängert).
Aus 5 wird 6 (Ikosaeder im Oktaeder) abgeleitet, wobei acht Ikosaederflächen mit den acht Flächen des Oktaeders zusammenfallen und zugleich die zwölf Ecken des Ikosaeders in die zwölf Kanten des Oktaeders fallen.
Zweite Gruppe (7–14):
7 $\leftrightarrow$ 8 und 9 $\leftrightarrow$ 10 ergeben sich unmittelbar.
Um aus 11 den Fall 12 (Dodekaeder im Tetraeder) abzuleiten, vergegenwärtigt man sich den Fall 3 des dem Dodekaeder eingeschriebenen Tetraeders und legt durch die gemeinsamen vier Eckpunkte beider Körper Tangentialebenen, deren Gesammtheit das dem Dodekaeder umschriebene Tetraeder bildet.
Analog ergibt sich 14 (Dodekaeder im Oktaeder) aus 13, wobei die Mitten der acht Oktaederflächen diejenigen acht Ecken des Dodekaeders enthalten, welche verbunden den eingeschriebenen Kubus bilden würden.
Dritte Gruppe (15–20): Fallen bei den Körpern links Ecken auf Kanten, so fallen bei den reciproken Körpern rechts Ebenen auf Kanten (d. h. Kanten in die Seitenflächen):
Aus 15 ergibt sich 16 (Ikosaeder im Kubus), wobei sechs Ikosaederkanten in die sechs Kubusflächen, und zwar in deren Mittellinien je zwei und zwei parallel fallen, so dass sämmtliche 12 Ecken des Ikosaeders als Endpunkte der Kanten zu je zwei auf den Kubusflächen liegen. Dieser im Text der Divina proportione nicht aufgezählte Fall wird eigenthümlicherweise im Tractat über die fünf regelmässigen Körper (Libellus) ausdrücklich erwähnt und behandelt!
Aus 17 entsteht 18 (Dodekaeder im Kubus), wobei die Kantenlage dieselbe ist wie bei 16, ausserdem aber noch acht Ecken frei liegen, welche den Ecken des dem Dodekaeder eingeschriebenen Kubus entsprechen.
Aus 19 endlich findet sich 20 (Kubus im Tetraeder), wobei die vier Flächen des Tetraeders vier Kanten des Kubus enthalten (zwei sich gegenüberliegende Seiten des obern und die sie kreuzenden des untern Quadrats).