CAPITEL XXXIII¶
Von dem Verhältniss aller ihrer Oberflächen zu einander.
Ihre Oberflächen, erhabener Herzog, können wir als auf dieselbe Art unter sich proportional bezeichnen, wie hinsichtlich ihrer körperlichen Masse gesagt, d. h. als irrational wegen der Böswilligkeit der pentagonischen Figur, welche bei dem Dodekaeder dazwischen tritt. Aber bei den übrigen können sie mitunter rational sein, wie die des Tetraeders, Kubus, Oktaeders, da sie aus Dreiecken und Quadraten bestehen, und in ihrem Verhältniss zum Durchmesser ihrer Kugel bekannt, worin sie sich, wie vorher gesehen, bilden.
Wahr ist, was die achte des vierzehnten schliesst, dass alle Flächen des zwölfflächigen pentagonischen Körpers zu allen Flächen des aus zwanzig Dreiecken bestehenden Körpers, d. h. die des Dodekaeders zu denen des Ikosaeders sich verbalten wie die Seite des Kubus zur Dreieckseite des Zwanzigflächners, 1 wenn alle genannten Körper genau von im Text zu lesen: sub duplo siati: sul duplo. ein und derselben Kugel enthalten oder umschlossen seien.
Daher scheint es mir nicht angemessen, die wunderbare Uebereinstimmung ihrer Flächen unter sich mit Stillschweigen zu übergehen, dass nämlich die Flächen des Dodekaeders und die des Ikosaeders jede genau von ein und demselben Kreise umschrieben, wie es die fünfte des genannten vierzehnten zeigt, welcher Umstand der Beachtung werth, und zwar wann sie in dieselbe Kugel beschrieben sein werden. Und hinsichtlich aller Oberflächen des Tetraeders zu allen Flächen des Oktaeders findet die nach der vierzehnten des genannten vierzehnten bekannte Proportion statt, nämlich dass eine der Tetraederflächen gleich 1 von einer der Oktaederflächen ist, d. h. im Verhältnisse sexquitertia steht, i) welches statthat wann der grössere den kleinern Theil einundein drittelmal wie 8: 6 und das von 12:9 enthält.
Und das Verhältniss aller Oktaederflächen zusammen zu der Summe aller Tetraederflächen ist sexquialtera, d. h. gleich 1: 1 1/2, wie z. B. wenn die des Oktaeders 6, und jene 4 wäre, welches stattfindet, wenn das grössere das kleinere einundeinhalbmal enthält, wenn sie ein und derselben Kugel angehören. Und alle die des Tetraeder ergeben in Verbindung mit denen des Oktaeders eine sogenannte mittlere Fläche, wie es die dreizehnte des genannten vierzehnten will. Und alle Flächen des Hexaeders oder Kubus ergeben zusammen das Doppelte des Quadrats des Durchmessers der ihn umschreibenden Kugel.
Und zufolge der letzten des vierzehnten ist die Senkrechte, die man vom Centrum der Kugel auf jede der Flächen des genannten Kubus aus fällt, stets gleich der Hälfte der Seite des genannten Kubus. Wäre z. B. der genannte Durchmesser gleich 4, so würden alle jene Flächen zusammen gleich 32 sein, und wenn die genannte Senkrechte = I wäre, so wäre die Kubusseite = 2. Da wir über diese Proportionen und Oberflächen genügend in unserm Werke gehandelt haben, so mögen sie zu dem vorliegenden zugleich mit den auf die von jenen auf alle Arten abhängigen Körper bezüglichen eine Ergänzung sein, indem man sorgsam algebraisch operirt.