CAPITEL XXXII¶
Von dem Verhältnisse genannter Körper unter einander und zu den von ihnen abhängigen.
Nachdem verstanden, dass die fünf genannten regelmässigen Körper hinreichen, und die Unmöglichkeit nachgewiesen, dass es deren mehr als fünf gebe, zugleich mit der Art und Weise, wie die von ihnen abhängigen ins Unendliche fortschreiten, so folgt die Art ihrer Verhältnisse unter einander geben zu müssen, sowohl sofern sie sich auf Ausdehnung und Inhalt, wie auf ihre Oberfläche beziehen; sodann vom Einschluss des einen im andern und umgekehrt, und zuerst von ihrem körperlichen Inhalte.
Die Verhältnisse des einen zum andern werden, mit Rücksicht auf unsere oben angeführte Proposition, stets irrational sein, welche sich ihren Zusammensetzungen und Bildungen einfügt, wie angegeben, mit Ausnahme des Tetraeders, Kubus und Oktaeders, wo in Folge der Genauigkeit ihrer Verhältnisse zum Durchmesser der Kugel, in welche sie beschrieben werden können, dasselbe mitunter vielleicht rational sein kann; das, des Ikosaeders jedoch und das des Dodekaeders, mit irgend welchen andern verglichen, kann aus dem genannten Grunde niemals rational sein.
Und somit, erhabener Herzog, glaube ich hier Anderes nicht mehr sagen zu dürfen, weil es den Band mit unendlich vielen Irrationalitäten vergrössern hiesse, worin sich viel mehr der Verstand verwirren, als daran Gefallen finden würde, nach welchem Ziel unser Studium stets gerichtet, und es scheint mir soviel für das zu genügen, was in unserm speciellen, von den genannten Körpern zusammengestellten Tractat in unserm Werke gesagt worden, worauf bei der aller Welt mitgetheilten Menge leicht zu recurriren ist.
Und mittelst ihrer Dimensionen, welche an jenem Orte aufgestellt, wird man je nach der Bewandertheit der Geister, zugleich mit dem Nutzen grosses Vergnügen haben können. Und ebenso sage ich gleichfalls von allen den von ihnen abhängigen, von welchen an jenem Orte einige aufgestellt sind. Wahr ist, dass man nach dter zehnten des vierzehnten schliesst, dass das Verhältniss des Dodekaeders zum Ikosaeder, wenn beide in dieselbe Kugel beschrieben werden, genau dasselbe ist, wie das, aller seiner Flächen zur Summe aller Flächen jenes.
Und die sechzehnte des genannten sagt, dass das Oktaeder in zwei Pyramiden von gleicher Höhe zerlegbar sei, die gleich dem Halbmesser der Kugel ist, wohinein es construirt worden, und deren Grundflächen Quadrate sind, welche quadratische Fläche halb so gross als das Quadrat des Durchmessers ist. Die Kenntniss davon kommt uns bezüglich seiner Ausmessung sehr zu statten, und mittelst ihrer kann man zu vielen andern gelangen.