CAPITOLO XXXI¶
A trouar li lati de tutti 5 corpi regulari.
Li lati deli 5 corpi antedicti circumscripti tutti aponto da vna medesima spera dela quale spera a noi el diametro solamente sia proposto e per dicto diametro sapere trouare. Verbi gratia. Sia ab el diametro de alcuna spera a noi proposto per lo quale a noi bisogni li lati deli 5 predicti corpi ritrouare quali tutti se intendino in vna medesima spera collocati deli quali tocando vno de li suoi anguli tochino tutti cioè che aponto dieta spera tutti li circundi. ‘) La qual cosa cosi faremo cioè. Diuidiamo adonca questo diametro nel puncto e. Immodo che ac. sia dopia al cb.
E per equali nel ponto d. E faremo sopra epsa el semicirculo afb. alacircumferentia del quale se tirino doi linee perpendiculari ala linea ab. le quali sienno ce. e df. E giognemo e. con a. e con b. Eglie manifesto adonca per la demonstratione dela 13. del i3. che ac. fia lato dela figura de 4 basi triangule e equilatere, E per la demonstratione dela 14. del dicto che eb fìa lato del cubo. E perla demonstratione dela i5. che fb fìa lato dela figura de 8 basi triangulari e equilatere.
E sia adonca dal ponto a la linea ag perpendiculare. al ab. e ancora equale alamedesima ab. E giongase g. con d. e sia h. el ponto nel quale gd. diuide la circumferentia del semicirculo. Emenise hk. perpendiculare al ab. E perche ga. fia dupla al ad. sira perla 4. del 6. hk, dopia al kd. Peroche sonno li doi trianguli gad e. hkd. equianguli per la trigesima secunda del primo. Imperoche langulo a del magiore fia equale alangulo k delmenore peroche cadauno e recto elangulo d. fia commune aluno elaltro. Adonca per la quarta del secundo hk. fia quadrupla in pontentia al kd. Adonca per la penultima del primo hd. fia in potentia quincupla al kd.
E conciosiache db. sia equale al hd. (Peroche d. fia centro del semicirculo) sira ancora db. in potentia quincupla al kd. E conciosia che tutta ab. sia dopia a tutto bd. si commo ac. canata dela prima ab fia dupla al cb. tracta dela secunda bd. E sira perla decimanona del quinto bc. remanente dela prima dopia al ed residua dela secunda. Epero tutta bd. fia tripla al de. Adonca el quadrato bd. fia nonuplo cioè noue tanto del quadrato ed. Eperche epso era solamente quineuplo al quadrato kd. sira per la secunda parte dela decima del quinto el quadrato de. menore del quadrato kd e per questo de. menore del kd. Sia adonca dm. equale al kd.
E vada mn. fin ala circumferentia la quäl sia perpendiculare al ab. e giongase n. con b. Conciosia adonca eh dk. e dm. sienno equali siranno per la diffìnitione de quello che alcuna linea dal centro esser equidistante le doi hnee hk. e mn. equalmente distanti dal centro. E pero equaU fraloro perla 2. parte dela i3. del 3. e perla 2. parte dela 3. del dicto. Onde mn. fia equale al mk. Peroche hk. era equale alei. E perche ab. fia dopia al bd. e km. dopia al dk.
Elo quadrato bd. quincuplo al quadrato dk. sira per la i5. del quinto el quadrato ab. similmente quincuplo al quadrato km peroche gli cosi chel quadrato del duplo al quadrato del duplo, commo el quadrato del simplo al quadrato del simplo. E per la demonstratione dela 16. fìa manifesto chel dyametro dela spera fia in potentia quincuplo cosi allato delo exagono del cerchio dela figura de 20. basi. Adonca km. fia equale allato delo exagono del cerchio dela figura de 20. basi. Pero chel dyametro dela spera qual fia ab. fia in potentia quincuplo cosi al lato delo exagono del cerchio de quella figura commo al km.
E ancora per la demostratione dela medesima fia manifesto chel dvametro dela spera fia composto del lato delo exagono e de doi lati del decagono del cerchio dela figura de 20. basi. Conciosia adonca che km. sia commo el lato delo exagono. E ancora ak. sia equale al mb. Peroche loro sonno li residui o voi dir remanenti de le equali, leuatone le equali sira mb. commo el lato del decagono. Perche adonca mn. fia commo lato delo exagono peroche epsa fia equale al km. sira per la penultima del primo e per la io. del i3. nb. commo el lato del pentagono dela figura del cerchio de 20. basi.
E perche per la demostratione dela 16. del dicto apare chel lato del pentagono del cerchio de la figura de 20. basi fia lato dela medesima figura de 20 basi fia chiaro la linea nb. esser lato de questa figura. Diuidise adonca eb, (qual fia lato del cubo dala proposta spera aponto circondato) secondo proportionem habens medium duoque extrema nel ponto p. e sia la sua magior parte pb. fia chiaro adonca per la demostratione dela precedente che pb. fia lato dela figura de 12 basi.
Sonno adonca trouati li lati deli 5 corpi anteposti mediante el dyametro dela spera solamente a noi proposto li quali lati sonno questi cioè ae. dela pyramide de 4 basi eb. lato del cubo. fb. lato del 8. basi ciò nb. Iato del 20. basi e la linea pb. luto del 12. basi.
E quali sieno magiore de questi latifr deglialtri a loro cosi apare. Pero che gli chiaro che ae. fia magiore del fb. peroche larco ae fia magiore de larco fb. e ancora fb. fia magiore del eb. elo eb. magiore del nb. E ancora dico nb. esser magiore che pb. Peroche conciosia che ac. sia dopio del cb. sira per la quarta del 2. el quadrato ac. quadruplo al quadrato cb. E per la secunda parte del correlario dela 8. del 6. e per lo correlarlo dela 17. del dicto fia chiaro chel quadrato ab fia triplo al quadrato be.
Ma per la 21. del 6. el quadrato ab. al quadrato be fia commo el quadrato be al quadrato cb. peroche la proportione del ab. al be. fia commo del be al bc. per la seconda parte del correlano dela 8. del 6. Onde per la 11. del 5. el quadrato be. fia triplo al quadrato cb. E perche el quadrato ac fia quadruplo al medesimo quadrato comme e stato mostrato sira per la prima parte dela io. del 5. el quadrato ac. menore del quadrato be. E pero la linea ac. fia magiore dela linea be.
E pero am. molto più magiore e già e manifesto per la nona del terzodecimo, che se la linea ani. sira diuisa secondo proportioném habens medium duoque extremo sira la sua magior parte la linea km. la qual fia equale al mn. e ancora quando bc. se diuide secondo la medesima proportione cioè habens medium duoque extrema la sua magior parte fia la linea pb. Conciosia adonca che tutta ani. sia magiore che tutta be. sira mn. quale fia equale ala magior parte am. magior che pb. laqual fia la magior parte del eb.
E questo fia manifesto per la seconda del 1 4. libro, laquale senza aiuto de alcuna de quelle che sequitano con ferma demostratione se fortifica. Adonca per la 1 9. del primo molto più forte nb. fia magiore che pb. Onde apare li lati deli cinque corpi ante dicti quali con quel medesimo ordine che fra loro se sequitano con quello fra loro se excedino. Solamente questo ha la instantia, cioè non se obserua tal ordine nel cubo e nel octocedron. cioè in lo 8 basi.
Pero chel lato del octo basi antecede al lato del cubo, auenga chel cubo anteceda aloctocedron in fabrica e formatione commo nel 1 3. apare e non e senza misterio. Onde in la formatione el cubo se propone aloctocedron perche per la medesima diuisione del dyametro dela spera proposta se troua ellato dela pyraniide de 4 basi triangulär! elo lato del cubo, Fia adonca ae. lato dela Pyramide magiore delilati de tutti li altri corpi. E dapoi lui fia fb. Lato del 8 basi, magiore delilati de tutti li altri corpi che dappolui sequitano. E nel 3 luogo sequita in grandezza eb. lato del cubo. E nel 4. luogo fia nb. lato del 20 basi, cioè ycocedron.
Elo minimo de tutti fia pb. lato del duodecedron cioè del 12 basi pentagonali.