CAPITOLO XXX

Saper fare el corpo de 12 basi pentagonali equilatere e equian- gule che de ponto la spera proposto lo circondi.

[Folio 0036–0038 (f. 10v–f. 11v)]

E sira ellato del ditto corpo manifestamente irrationale quello che fia dicto residuo Faciasse “vn cubo secondo che insegna el modo dato che la spera asegnata lo circondiaponto. E sienno de questo cubo le doi superficie ad. e ac. Eymaginamo adesso che ab. sia la superficie suprema de questo. E la superficie ac. sia vna de le laterali. E sia la linea ad. comuna a queste doi superficie. Diuidinse adonca in la superficie ab. li doi lati oppositi per equali cioè db. elo lato alui opposito. E liponti de la diuisione se continuino per la linea ef.

Elio ‘) In der nachfolgenden Figur mussten einige Linien abgeändert werden, da sie offenbar falsch, und somit das Verständniss erschwert hätten. lato ancora ad. e quello che alui e opposito in la superficie ac. Diuidinse per equali eli ponti dela diuisione secontinuino per vna linea recta dela quale la / sia gh e sia el ponto h el ponto medio dela linea ad. Similmente la linea ef. diuidise per equali nel ponto k. Etirise hk. Cadauna donca dele tre linee ek. kf. e gh. diuiderai secondo la proportione hauente el mezzo edoi estremi in li 3 ponti 1. m. q. E sienno le loro parti magiori Ik. km, e gq.

Le quali fia manifesto essere equali conciosia che tutte le linee diuisi sienno equali cioè cadauna depse ala 1/2 dellato del cubo. Dapoi ali doi ponti 1. e m. derizza le perpendiculari (commo insegna la duodecima del vndecimo) ala superficie ab. dele quali cadauna porrai equale ala linea kl. E sieno In. e mp. Similmente dal ponto q. derizza perpendicularmente qr ala superficie ac la quala porrai equale al gq. Tira adunca le linee al. an. am. ap. dm. di. dp. dn. ar. aq. dr. dq.

Fia manifesto adonca per la quinta del terzodecimo che le doi linee ke e el. in potentia sonno triplo ala linea kl. Epero ancora ala linea In. conciosia che kl. e In. sienno equali. E ancora ke fia equale al ea. Adonca le doi linee ae. e el. sonno in potenza triplo ala linea In. Onde per la penultima del primo al. fia in potenza triplo al In. Epero per lamedesima an. fia in potenza quadruplo al In. E conciosia che ogni linea in potenza quadrupla ala sua mita sequita per la comune scientia che an. fia dupla in longhezza al In. Eperche Im. fia dupla al Ik. E ancora kl. e In. sonno equali sira an equale al Im.

Pero che le lor mita sonno equali Eperche per la trigesimaterza del primo Im. fia equale al np sira an. equale al np. Eperlo medesimo muodo prouarai le 3 linee pd. dr. e ra. essere alo foro equale e aledoi predicte. Habiamo adonca per queste 5 linee el pentagono equilatero el quale anpdr. Ma forse tudirai chel non sia pentagono. Per che forse non e tutto in vna medesima superficie la qual cosa e necessario acio chel sia pentagono. E chel sia tutto in vna medesima superficie cosi lo aprenderai esca dal ponto k la linea ks. perpendiculare ala superficie ab. la qual sia equale al Ik. E sira per questo equale acadauna dele doi In. e mp.

E conciosia che la sia equidistante acadauna depse per la sexta del vndecimo. E pero con ambedoi in la medesima superficie per la diffinitione dele linee equidistanti fia necessario chel ponto s. sia in la linea np. E che la diuida per equali. Tirinse adonca le doi linee rh. e hs. Onde li doi trianguli ksh. e qrh. sonno sopra vnangulo (cioè khq) constituti. E fia la proportione del kh. al qr, commo del ks. al qh. Peroche si commo gh. al qr. cosi kh. al qr. per la 7. del 5. E commo rq. al qh. cosi ks. al qh. per la medesima. Ma qh. al qr. commo qr. al qh. Imperoche qr. fia equale al gq.

Adonca per la 3o. del 6. la linea rhs. fia linea vna. Onde per la 2. del 1 1. tutto el pentagono del qual desputamo fia in vna medesima superficie. Dico ancora epso essere equiangulo che così aparera. Peroche conciosia chel ek. sia diuisa secondo la proportione hauente el mezzo e doi extremi. Eia km. sia equale ala sua magior parte sìra ancora perla 4 del i3. e tutta em. diuisa secondo la proportione hauente el mezzo e doi extremi e la sua magior parte ancora la linea ek. E pero per la 5. le doi linee em. e mk. Epero le doi em. e mp. Peroche mp. fia equale al mk. sonno in potentia tripla ala linea ek.

Epero ancora ala linea ae, Peroche ae. fia equale al ek. Onde le 3 linee ae. em. e mp. sonno in potenza quadruplo ala linea ae. Fia chiaro ancora per la penultima del primo doi volte replicata che la linea ap. fia in potentia equale ala 3 linee ae. em. e mp. Onde ap fia in potentia quadrupla ala linea, ae. Elo lato del cubo conciosia chel sia dopio ala linea ae. fia ancora in potentia quadruplo a epso per la 4. de 2.

Adonca per la comuna scientia ap. fia equale allato del cubo. E conciosia che ad sia vno deli lati del cubo sira ap. equale al ad. E pero per la 8. del primo langulo ard. fia equale alangulo anp. Al medesimo modo prouerai langulo dnp. essere equale alangulo dra. Perche tu pouerai la linea dn. ‘essere in potentia quadruplo ala Y2 dellato del cubo. Conciosia adonca che per queste cose diete el pentagono sia equilatero e habia 3 anguli equali epso sira equiangulo per la 7. del 13.

Se adonca per questa via econsimile ragione sopra cadauna deli altri lati del cubo fabricaremo vn pentagono equilatero e equiangulo se finirà vn solido de 1 2 superficie pentagone equilatere e ancora equianguie contenuto. Pero chel cubo ha 12 lati. Resta ora demostrare che questo tal solido sia aponto circundato dala spera data che cosi aparera. cioè. Tirinse adonca dala linea sk. doi superficie quali diuidino el cubo deli quali luna el diuida sopra la linea hk. elaltra sopra la linea ef. E sira per la 40. del 1 1. che la curamune diuisione de queste doi superficie diuida el diametro del cubo e cosi per conuerso che epsa sia diuisa dal dicto diametro per equali.

Sia adonca la loro commune diuisione fin al diametro del cubo la linea ko. In modo chel ponto o sia centro del cubo. Emenise le linee oa. oa. op. od. or. E fia chiaro che cadauna dele doi linee oa. e od. fia semidiametro del cubo epero sonno equali. E de la linea ok. fia chiaro per la 40. del II. che lei fia equale al ek. cioè ai 1/2 dellato de cubo. E perche ks. fia equale al km. sira os diuisa nel ponto k secondo la proportione hauente el mezzo e doi extremi. eia sua magior parte fia la linea ok. la quale fia equale al ek.

Onde per la 5. del 13. siranno le doi linee os. e sk. Epero ancora OS. e sp. Peroche sp. (ale quali questa demonstratione non se extende) fia equale al ks. triplo in potentia ala linea ok. Epero ala Y2 dellato del cubo. Onde per la penultima del i. la linea op fia in potentia tripla al 7 del lato del cubo. E pel corelario dela 14. del i3. semanifesta chel semidiametro dela spera e triplo in potentia ala Y2 dellato del cubo el qual fia circumscripto dala medesima spera. Onde op. fia quanto el semidiametro dela spera che circunda aponto el cubo proposto.

Perla medesima ragione tutti le linee tirate dal ponto o, a cadauno de lì anguli de tutti li pentagoni formati sopra li lati del cubo. cioè a tutti li anguli quali sonno proprii ali pentagoni. E non a quelli che sonno comuni aloro e ale superfìcie del cubo cioè proprii de ponto si commo sonno li tre anguli n. p. r. nel formato pentagono. E de quelle linee che vengano dal ponto o. a tutti li anguli deli pentagoni li quali sonno comuni ali pentagoni e ale superfìcie del cubo si commo sonno nel presente pentagono li doi anguli a. e d. fìa chiaro che loro sonno equali al semidiametro dela spera che aponto el cubo circonda.

Peroche loro sonno diametri del cubo per la 40. del 11. Ma el semidiametro del cubo fia commo al semidiametro dela spera che aponto el circonda si commo apare per lo ragionamento dela 14. del i3. Adonca tutte le linee menate dal ponto o. a tutti li anguli del duodecedron cioè del solido contenuto da 1 2 superfìcie pentagone equilatere e equiangule che cosi se chiama in greco sonno equali fraloro e al semidiametro dela spera. Onde sei semicirculo lineato sopra tutto el diametro dela spera oueramente del cubo sei se mena intorno passara per tutti li suoi anguli. Onde per la diffinitione epso fia circundato oponto dala spera asegnata.

Dico ancora chel lato de questa figura fia linea irrationale cioè quella che se chiama residuo sei diametro dela spera che aponto lo circonda sia rationale in longhezza o vero in potentia che cosi apare. Conciosia chel diametro dela spera per la 14. del i3. sia triplo in potentia allato del cubo sira ellato del cubo rationale in potentia sei diametro dela spera sira rationale in longhezza o vero in potentia E perla 11. del 13. fia chiaro che la linea rp. diuide la linea ad. La quale e lato del cubo, secondo la proportione hauerte el mezzo e doi extremi. E che la sua magior parte fia equale allato del pentagono.

Eperche la sua magior parte fìa residuo per la 6. del I 3. se manifesta ellato dela figura dieta duodecedron essere residuo la qual cosa habiam voluto demostrare.