CAPITEL XVIII¶
Von ihrer neunten über die anderen hinausgehenden Wirkung.
Wenn man im Kreise das gleichseitige Fünfeck bildet, und über seine zwei benachbarten Ecken, zwei gerade Linien von den Endpunkten seiner Seiten ausgehend spannt, so werden sich diese untereinander nothwendigerweise nach unserer Proportion theilen. Und jeder ihrer grössern Abschnitte wird stets die Seite des genannten Fünfeckes sein. Es sei z. B. das Pentagon abcde und von den Endpunkten c und a ziehe man die Sehne ac, die den Winkel b überspannt, und von den Endpunkten b und e ziehe man die andere Sehne be, die den Winkel a überspannt.
Ich sage, dass diese zwei Linien ac und be sich untereinander im Punkte / nach der Proportion schneiden, die einen mittlem und zwei äussere Abschnitte hat und der grossere Abschnitt jeder ist genau die Seite des Fünfeckes. Demgemäss ist von der Linie ac der grössere Abschnitt c fund der grössere der Linie bc ist e f. Und jeder derselben ist stets gleich c/, und der grössere Abschnitt der Linie be ist ef. Und jeder von diesen ist stets der Seite des genannten Fünfeckes gleich.
Und von den Mathematikern werden genannte zwei Linien mit anderen Namen Sehnen des Fünfeckswinkels genannt. Wenn z. B. jede der genannten Sehnen lo wäre, da sie einander gleich sein werden, indem ihr Fünfeck im Kreise gleichseitig ist, so würde cf= = √i25 — 5, af=iS — 1 ‘ 125 sein, und ebenso würde der Abschnitt e/=√125 − 5 und bf=i5 — -j/i25 sein. Und die Fünfecksseite würde gleicherart ]’ ]25 — 5, und alles dies weist auf schöne Art die ii. des i3. geometrisch nach.
Und mittelst dieser Wirkung können wir durch die Kenntniss der Seite zur Kenntniss aller seiner Sehnen und aller ihrer Abschnitte gelangen.
Und ebenso können wir umgekehrt durch die Kenntniss der Sehnen zur Kenntniss der Seite und der Abschnitte genannter Sehnen gelangen, indem wir arithmetisch und geometrisch operiren, wie wir in unserm oben angeführten Werke mit aller Sorgsamkeit gelehrt haben, mit Binomen und andern irrationalen Linien zu verfahren, über welche unser Philosoph in seinem lo. handelt; und hinsichtlich der Linien beweist er es in der ii. des zweiten und in der 29. des sechsten, so dass man leicht in jedem Falle zur Kenntniss der einen und der andern gelangt, was eine Sache von grossem Nutzen in unsern wissenschaftlichen und speculativen Vorkommnissen ist.