CAPITEL VII¶
Von der ersten Wirkung einer nach unserer Proportion getheilten Linie.
Wenn eine Linie nach der Proportion getheilt ist, die einen mittleren und zwei äussere Abschnitte hat (denn so ist mit anderer Bezeichnung unsere vorerwähnte Proportion von den Gelehrten genannt worden), und man ihrem grösseren Abschnitt die Hälfte der ganzen Linie hinzufügt, welche so proportional getheilt wurde, so wird mit Nothwendigkeit folgen, dass das Quadrat ihrer Summe stets das fünffache, d. h. fünfmal so viel als das Quadrat der genannten vollen Hälfte beträgt.
Bevor weiter gegangen wird, ist zu erklären, wie man die besagte Proportion unter den Grössen zu verstehen und einzufügen habe, und wie sie von den Weisesten in ihren Büchern genannt worden sei. Daher sage ich, dass sie genannt sei: Proportion die einen mittleren und zwei äussere Abschnitte hat, welche eine besondere Eigenschaft jeder Dreitheilung ist. Denn jede beliebig angegebene Dreitheilung wird immer einen mittleren mit seinen zwei äusseren Abschnitten haben, weil der mittlere nie ohne jene verstanden wird. Und auf diese Art wird in der 19. des sechsten gelehrt, eine Grösse so zu theilen, nachdem vorher in der dritten Definition des sechsten beschrieben, was man unter solcher Theilung zu verstehen habe.
Obwohl er (Eukhd) in seinem zweiten durch die eilfte zeigt, die Linie auf Grund derselben Tugend und Kraft zu theilen, wobei er die Proportion nicht früher anders benennt, als er das fünfte überschritten. Und vom Campanus ward sie unter den Zahlen in der 16. des neunten erwähnt. Dies ist es, was ihre Benennung betrifft.
(Wie man ihren mittleren und ihre äusseren Abschnitte zu verstehen habe.)
Nachdem verstanden, wie unsere Proportion mit ihrem speciellen Namen bezeichnet, bleibt zu erklären, wie der genannte mittlere und auch die äusseren Abschnitte bei jeder beliebigen Grösse zu verstehen seien und wie sie beschaffen sein müssen, um bei ihnen die genannte göttliche Proportion vorzufinden. Zu diesem Zwecke muss man wissen, wie im fünften Buche angegeben wird, dass stets zwischen drei Ausdrücken ein und derselben Art nothwendigerweise zwei Beziehungen, oder wir wollen sagen, Proportionen stattfinden, nämlich eine zwischen dem ersten und zweiten, die andere zwischen dem zweiten und dritten Ausdrucke.
Zum Beispiel: Es seien drei Grössen derselben Art vorhanden (da man sonst nicht versteht, dass unter ihnen Proportion stattfinde); die erste a sei der Zahl nach = neun, die zweite b sei = sechs, die dritte c sei = vier. Ich behaupte dass unter ihnen zwei Verhältnisse stattfinden das eine von: a zu b, d. h. von neun zu sechs, das wir für gewöhnlich in unserem Werk sexquialtera nennen und statthat, wenn der grössere Ausdruck den kleineren eineinhalbmal enthält, denn die neun enthält sechs und noch drei, was die Hälfte von sechs macht, und darum wird sie sexquialrera genannt.
Aber weil wir hier nicht von den Proportionen im Allgemeinen zu reden beabsichtigen, weil wir darüber weitläufig zur Genüge gehandelt und sie zugleich mit den Proportionalitäten in unserem vor- •erwähnten Werke erklärt haben, so kümmere ich mich hier nicht darum, mich sonst noch über sie zu verbreiten, aber stets hat man alles das, was im Allgemeinen über sie gesagt, mit ihren Definitionen und Eintheilungen vorauszusetzen. Und auf diese eine allein beziehe sich unsere jetzige Rede, indem sich nicht findet, dass darüber mit solchen und so nützlichem Vorgange von irgend Jemand vorher gehandelt.
Doch um auf den angefangenen Satz mit den drei Grössen zurückzukommen, so findet noch von der zweiten b zur dritten c, d. h. von 6: 4 ein anderes Verhältniss gleicherweise sexquialtera statt. Um diese, sein sie gleich oder ungleich, kümmern wir uns gegenwärtig nicht, sondern es ist nur die Absicht, zu erklären, wie unter drei Grössen derselben Art sich nothwendigerweise zwei Verhältnisse zu finden haben. Ebenso sage ich, dass unsere göttliche dieselben Bedingungen erfülle, d. h., dass sie unter ihren drei Gliedern, nämlich mittleren und zwei äusseren Abschnitte unabänderlich zwei Verhältnisse von stets derselben Benennung ■enthält, was auch bei den übrigen, seien sie stetig oder unstetig, und zwar auf unendlich viel verschiedene Arten stattfinden kann.
Denn es wird unter ihren drei Gliedern manchmal doppelt, manchmal dreifach sein und so bei den übrigen, wenn man alle gewöhnlichen Arten durchläuft. Aber zwischen den mittleren und den zwei äusseren Abschnitten dieser unserer Proportion ist es nicht möglich, dass sie sich ändern könne, wie gezeigt werden wird. Daher war dies mit Recht die vierte mit dem höchsten Schöpfer gemeinsame Eigenschaft, und weil sie unter die anderen Proportionen mitgezählt wird, indem sie ohne Besonderheit oder anderen Unterschied die Bedingungen ihrer Definitionen bewahrt, so können wir sie hierin mit unserem Erlöser vergleichen, welcher kam, nicht um das Gesetz zu lösen, vielmehr es zu erfüllen, und mit den Menschen verkehrte, indem er sich zum Gehorsamen und Untergebenen von Maria und Josef machte.
So gesellt sich diese unsere vom Himmel gesandte Proportion der Definition und den Bedingungen nach zu den übrigen, und würdigt sie nicht herab, vielmehr verherrlicht sie in viel weiterem Umfange, indem sie die Herrschaft der Einheit unter allen Grössen ohne Unterschied festhält, und sich nie ändert, wie unser heiliger Severinus vom grossen Gotte sagt, nämlich: „Und indem er fest stehen bleibt, gibt er Allem Bewegung.” Deswegen muss man wissen, um sie unter den vorhandenen Grössen zu erkennen, dass sie sich unter ihren drei Gliedern stets unveränderlich nach stetiger Proportionalität geordnet wiederfindet, nämlich in der Art, dass das Product des kleineren Abschnittes mit der Summe aus dem kleineren und mittleren gleich dem Quadrate des mittleren sei.
Und folglich wird nach der zehnten Definition des fünften die genannte Summe nothwendigerweise ihr grösserer äusserer Abschnitt sein. Und wenn sich auf diese Art drei beliebige Grössen (geordnet) finden, so werden sie genannt als nach der Proportion geordnet, die einen mittleren und zwei äussere Abschnitte hat, und ihr grösserer äusserer Abschnitt ist immer gleich der Summe des kleineren und mittleren, so dass wir sagen können, genannter grösserer Abschnitt sei die ganze jener Bedingung gemäss in jene beiden Theile nämlich kleineren, äusseren und mittlerem Abschnitt getheilte Grösse.
Daher ist zu bemerken, dass genannte Proportion nicht rational sein könne, noch dass sich jemals der kleinere äussere durch den mittleren Abschnitt mittelst irgend einer ZahH) bestimmen lässt, sofern der grössere Abschnitt rational ist. Denn sie werden stets irrational sein, wie nachher klar bewiesen werden wird. Und dieses stimmt bezüglich des dritten Modus mit Gott überein, wie vorhergesagt.
(Wie die nach der Proportion von einem mittleren und