CAPITEL VIII¶
Wir müssen wissen, dass diese wohlgemerkten Dinge, eine
Grösse nach der Proportion zu theilen, die einen mittleren und zwei äussere Abschnitte hat, sagen will, aus ihr zwei ungleiche Theile derart machen, dass das Product des kleinern in die seil rationalen. ganze besagte ungetheilte Grösse ebensogross als das Quadrat des grösseren Abschnittes sei, wie es nach der dritten Definition des sechsten unser Philosoph erklärt.
Und wenn er daher je einmal in dem Falle die Benennung:,,die genannte Grösse nach- der Proportion, die einen mittleren und zwei äussere Abschnitte hat, Theilen” gebrauchen, sondern nur sagen sollte, der Fall, zwei Theile daraus zu bilden der Bedingung gemäss, dass das Product des einen in die ganze genannte Grösse gleich ist dem Quadrate des anderen Abschnittes so muss den, welcher es wohl versteht und in der Kunst erfahren, der vorgelegten Satz auf unsere genannte Proportion zurückführen, denn anders kann er nicht interpretirt werden, z. B. wenn Jemand sagte: „Mach mir aus zehn zwei Theile derart, dass der eine, mit 10 multiplicirt, ebensoviel ergebe, wie der andere mit sich selbst multiplicirte.
Dieser Fall und andere ähnliche finden sich wenn man nach den Anweisungen verfährt, die von uns in der speculativen Praxis, Algebra und Almucantabala, mit anderem Namen die Regel vom Dinge bezeichnet, und in dem von uns veröffentlichten Werke niedergelegt worden, gelöst dass nämlich der eine Theil der kleineren 15 − √125 und der andere grössere √125 − 5 sei. Die so beschriebenen Theile sind irrational und nennen sich mit Kunstausdruck Reste. Von ihren Gattungen gibt unser Philosoph in der 79. des zehnten an, dass ihrer sechs seien.
Und insgemein werden die genannten Theile folgendermassen hervorgebrachtder kleinere wenn er sagt: 15 − √125, Das will nämlich sagen: Nachdem man √125 genommen, die wenig mehr als 11 ist, und von i5 subtrahirt, dass wenig mehr als drei bleibt, oder wir wollen sagen wenig weniger als 4. Und der grössere ergibt sich: √125 − 5. Und das will sagen, nachdem man die √125 genommen die, wie gesagt, wenig mehr als 11 ist und von dieser fünf subtrahirt, dass wenig mehr als sechs, oder wir wollen sagen, wenig weniger als sieben für den genannten grösseren Abschnitt bleibt.
Aber ähnliche Acte des Multiplicirens, Addirens, Subtrahirens und Dividirens binomischer Reste und Wurzeln und aller anderen rationalen und irrationalen, ganzen und gebrochenen Grössen aller Art, kümmere ich mich in diesem Werke nicht zu wiederholen, da ich sie in unserm vorerwähnten Werke vollständig dargelegt habe, und es wird allein darauf Obacht genommen, neue Dinge zu sagen, und nicht die schon gesagten zu wiederholen.
Und damit haben wir bei der Theilung jeder Grösse stets drei nach der- stetigen Proportionalität geordnete Ausdrücke derart, dass der eine die ganze so getheilte Grösse, d. h. den grösseren Abschnitt darstellt, wie hier im vorgelegten Falle zehn, und der andere den grösseren Theil nämlich den mittleren Abschnitt bildet, wie es √125 − 5 ist, der dritte kleinste i5 — i/iS beträgt. Unter diesen findet dieselbe Proportion statt nämlich vom ersten zum zweiten wie vom zweiten zum dritten und ebenso umgekehrt, d. h. vom dritten zum zweiten wie vom zweiten zum ersten.
Und die Multiplication des kleineren d. h. 15 − √125 mit dem grösseren der zehn ist, macht ebensoviel wie die Multiplication des mittleren, nämlich √i25 — 5 mit sich selbst, so dass das eine wie das andere Product 150 − √12500 beträgt, wie es unsere Proportion verlangt. Und von dieser zehn wird gesagt, sie sei nach der Proportion getheilt, die einen mittleren und zwei äussere Abschnitte habe und ihr grösserer Abschnitt ist √125 − 5, und der kleinere 15 − √125, so dass beide nothwendig irrational sind wie durch die sechste des i3. bewiesen wird, und auch in der it. des zweiten und 16. des neunten. Und dieses zur Kenntniss der so setheilten Grösse.