Unit II — Menelai Alexandrini Sphaericorum Lib. II (Halley 1758)¶
Scan-Verified Diplomatic Latin Text from Edmond Halley’s Oxford Edition (1758, pp. 48, 75–79)
Prop. I. Probl. (Halley 1758, p. 48)¶
Enuntiatio (Halley 1758, p. 48)
A sumpto puncto in latere trianguli Sphaerici obtusanguli, angulo obtuso opposito; ducere arcum circuli magni, qui cum altero ex arcubus, obtusum angulum continentibus, comprehendat angulum eidem obtuso angulo aequalem.
[§2.1 · Constructio, p. 48] Sit triangulum ΑΒΓ quale descripsimus; ita ut ΑΒ, ΒΓ sint minores semicirculo; & capiatur in arcu ΒΓ punctum Δ: oporteat ducere ad arcum ΑΓ à puncto Δ arcum circuli magni, continentem cum ipso ΑΓ angulum aequalem obtuso ΒΑΓ.
Sit Μ polus arcus ΑΓ, & per puncta Μ, Δ ducatur arcus circuli magni ΜΔΙ; & producatur arcus ΑΓ ad Ε, ita ut ΑΕ, ΓΙ sint aequales; & ducatur ΜΕ arcus circuli magni. Quoniam autem ΓΒ, ΒΑ simul minores sunt semicirculo, erit (per 13mam hujus [Lib. I])…
Censura Methodi Theodosianae & Prop. X (Halley 1758, pp. 75–76)¶
[§2.2 · Transitus ad Theodosium, p. 75] His igitur praemonstratis, sequentia subjunximus ad verificanda ea quae habentur in libro Theodosii de Sphaera (ed. Hunt, 1707), cum eorundem conversis: sed modo magis universali & qui assensum extorqueat, tam ad stabilienda principia, quam ad demonstranda ea quae prius scripta sunt; quorum quidem nonnulla vix satis firma videntur.
Prop. X. (Halley 1758, pp. 75–76)¶
Enuntiatio (Halley 1758, p. 75)
Si fuerit in Sphaera circulus magnus quem tangit aliquis è circulis parallelis; & capiantur in eo duo arcus aequales inter punctum contactûs & maximum parallelorum; & describantur per terminos horum arcuum, tam circuli paralleli, quam circuli magni prodeuntes è polo: tum abscindent hi circuli paralleli ex iis qui de polo ducuntur arcus inaequales, quorum qui maximo parallelorum propior est major erit remotiore. Et praeterea portio illa maximi parallelorum circulis de polo ductis abscissa, quae propior est communi circuli obliqui & circuli parallelorum maximi intersectioni, minor erit remotiore ab eadem.
[§2.3 · Demonstratio & Nota Halleii, pp. 75–76] Sit ΘΜΒ circulus magnus Sphaerae, quem contingat aliquis circulorum parallelorum ΑΔΕ, sitque parallelorum maximus ΒΤΞΡΧ; & in ipso ΘΒ capiantur duo arcus aequales ΘΚ, ΛΜ; & per polum Γ perque puncta Θ, Κ, Λ, Μ ducantur arcus circulorum magnorum ΓΘΧ, ΓΚΡ, ΓΛΞ, ΓΜΤ; jungantur etiam circuli paralleli transeuntes per puncta Κ, Λ, Μ, nempe arcus ΚΣ, ΛΟ, ΜΠ: Dico quod arcus ΠΟ major est arcu ΣΘ, quodque arcus ΧΡ major est arcu ΞΤ.
Quoniam enim ΜΓΘ triangulum est Sphaericum, cujus crus ΜΓ majus est crure ΓΘ; ac utrumque minus est quadrante; & in ΘΜ sumuntur arcus aequales ΘΚ, ΛΜ; necessario consequitur, per ea quae demonstravimus in 33a I. & 7ma II. hujus, angulum ΘΓΚ majorem esse angulo ΛΓΜ, atque arcum ΧΡ majorem arcu ΞΤ; quodque arcus ΜΓ, ΓΘ simul sumpti superant ipsos ΛΓ, ΓΚ simul sumptos; unde manifestum est arcum ΠΟ majorem esse arcu ΣΘ.
Nota Edm. Halleii (*p. 76*):
NB.Hanc propositionem Vtam & VIam & IXam Lib. III. Sphaericorum Theodosii complecti.
Prop. XI & Clausula Prop. XII (Halley 1758, pp. 76, 79)¶
Prop. XI. (p. 76)¶
Sese intersecent duo circuli in Sphaera maximi, & in eorum uno capiantur duo arcus aequaliter distantes à puncto sectionis duorum illorum circulorum; & per terminos horum arcuum, perque polos alterutrius circulorum, transeant circuli maximi: abscindent hi circuli ex altero circulorum primorum arcus aequales.
Ex Prop. XII. (p. 79)¶
…Quoniam enim in triangulo ΘΒΧ latus ΧΘ majus est latere ΘΒ, at non majus quadrante circuli, & in arcu ΒΘ sumuntur duo arcus aequales ΘΚ, ΛΜ, à quibus ducuntur arcus ΚΡ, ΛΞ, ΜΤ, continentes cum basi angulos aequales angulo apud Χ iisdem relativo; erit arcus ΧΡ (per 9m II. hujus) major arcu ΞΤ; itemque arcus ΘΧ, ΜΤ simul sumpti (per demonstrata in 7ma II. hujus) majores erunt arcubus intermediis ΚΡ, ΛΞ: quare duo arcus ΘΧ, ΧΠ simul sumpti sunt majores duobus ΣΧ, ΧΟ simul sumptis: unde constabit arcum ΘΣ majorem esse arcu ΟΠ. Et ex praecedentibus manifestum est quomodo consequatur conversa hujus.