Unit I — Menelai Alexandrini Sphaericorum Lib. I (Halley 1758)¶
Scan-Verified Diplomatic Latin Text from Edmond Halley’s Oxford Edition (1758, pp. [i]–[v], 1–19)
Ex Praefatione G. Costardi (Benevolo Lectori, pp. [i]–[v])¶
[§1.1 · Halley 1758, p. i] EUCLIDEM, qui Mathematicorum Agmen ducit, à Viro Doctissimo Davide Gregorio, Astronomiae Professore Saviliano longe Celeberrimo A.D. 1703 editum, sequebantur Apollonii Pergaei Libri de Sectione Rationis & Spatii; quos conclamatos habitos, tandem ex Arabico MS. Latine verterat, ac restituerat A.D. 1706, Vir omni Laude major Edm. Halleius, Gregorii Collega conjunctissimus. Anno proxime sequenti, Auctorem hunc exceperunt Theodosii Sphaerica, quorum Editionem curavit Jos. Hunt, Collegii Balliolensis Magister Dignissimus… Ejusdem Studiis & Vigiliis Menelaum hunc nostrum debet Respublica Mathematica, quem, (licet eo ipso curante Typis Academicis integrum expressum) in Lucem nondum prodiisse mirabantur Eruditi.
[§1.2 · Halley 1758, pp. iii–v] Scripsisse Menelaum Graece Libros tres de Figuris Sphaericis, testantur Pappus & Proclus… Observationes ejus Romae habitas Anno primo Trajani Imperatoris (A.D. 98) memorat Cl. Ptolemaeus (Syntaxis VII.3). In Bibliotheca Bodleiana inter Codices Huntingtonianos exstat Codex Menelai de Figuris Sphaericis ex Versione R. Isaaci Filii Honaini (Hebraice versus à R. Jacob ben Machir), quem cum MSS. Arabicis contulit Cl. Halleius, resecatis iis quae ex ingenio suo addiderat Franciscus Maurolycus (Messanae, 1558).
Lib. I — Definitiones (Halley 1758, p. 1)¶
I. Triangulum Sphaericum est spatium comprehensum sub arcubus circulorum magnorum in superficie Sphaerae.
II. Atque hi arcus, qui semper minores sunt semicirculo, dicuntur latera vel crura Trianguli.
III. Anguli autem eorum sunt anguli quos continent circuli magni in superficie Sphaerae.
IV. Et hi Anguli aequales dicuntur, quando inclinantur ad invicem plana arcuum eosdem continentium aequali inclinatione.
V. Et si duorum arcuum plana inclinentur ad invicem majori inclinatione quam duorum aliorum arcuum plana inter se, erit angulus ab iisdem arcubus contentus etiam major.
VI. Et si plana arcuum contineant angulum rectum, ipsi arcus etiam dicuntur continere angulum rectum.
Propositiones Selectae Libri Primi (Halley 1758, pp. 2–19)¶
Prop. I.1 — Probl. (p. 2)¶
[§1.3 · Halley 1758, p. 2] Ad datum punctum in dato arcu circuli magni constituere angulum Sphaericum dato angulo Sphaerico aequalem.
Prop. I.4, I.5, I.8, I.9 & I.10 — Theor. (pp. 5–10)¶
Prop. IV (*p. 5*): Si duo triangula Sphaerica duo latera duobus lateribus aequalia habeant, alterum alteri, & angulos aequalibus arcubus contentos inter se aequales; habebunt quoque bases inter se aequales, & reliquos angulos reliquis angulis aequales, quemque illi quem aequalis arcus subtendit.
Prop. V (*p. 6*): Cujuscunque trianguli Sphaerici quilibet duo arcus simul sumpti sunt majores reliquo.
Prop. IX (*p. 9*): In omni triangulo Sphaerico major arcus majorem angulum subtendit.
Prop. X (*pp. 9–10*): In omni triangulo Sphaerico, si duo latera simul sumpta minora fuerint semicirculo, angulus exterior major erit interiore & opposito; si aequalia semicirculo, aequalis; si vero majora semicirculo, minor: & convertitur.
Prop. XI. Theor. — De Excessu Trium Angulorum (Halley 1758, p. 11)¶
Enuntiatio (Halley 1758, p. 11)
In omni triangulo Sphaerico, producto uno latere, angulus exterior minor erit utrisque interioribus eidem oppositis simul sumptis: & tres anguli trianguli simul sumpti majores erunt duobus rectis.
[§1.4 · Demonstratio] Sit ΑΒΓ triangulum Sphaericum: dico quod angulus exterior, arcubus ΒΓ, ΓΔ contentus, minor est angulis Α, Β eidem oppositis: quodque tres anguli trianguli Α, Β, Γ simul sumpti excedunt duos angulos rectos.
Fiat ad punctum Γ super arcum ΓΔ angulus ΔΓΕ aequalis angulo Α, & producatur ΑΒ ad occursum ipsius ΑΓ in puncto Δ. Jam quoniam anguli Δ, Γ sunt aequales, erunt arcus ΔΕ, ΕΓ quoque aequales; & ΒΕ, ΕΓ simul sunt aequales arcui ΒΔ, ac proinde minores sunt semicirculo: quare (per praeced.) angulus exterior ΓΒΑ major est interiore ΒΓΕ, atque adeo angulus ΒΓΔ exterior trianguli ΑΒΓ, minor est angulis ΓΒΑ, ΒΑΓ simul sumptis. Adjiciatur communis angulus ΒΓΑ; & duo anguli ΒΓΔ, ΒΓΑ minores erunt angulis Α, Β, Γ. Sed duo anguli ΒΓΔ, ΒΓΑ sunt aequales duobus rectis: quare tres anguli Α, Β, Γ simul sumpti excedunt duos rectos. Q. E. D.
Prop. XVII. Theor. — De Aequalitate Triangulorum Aequiangulorum (Halley 1758, pp. 18–19)¶
Enuntiatio (Halley 1758, p. 18)
Si duo triangula Sphaerica habeant tres angulos unius aequales tribus angulis alterius, quemque suo relativo; erunt quoque arcus triangula illa continentes inter se aequales, quisque relativo suo.
[§1.5 · Demonstratio] Sint ΑΒΓ, ΔΕΖ duo triangula Sphaerica, in quibus angulus Α sit aequalis angulo Δ, & angulus Β angulo Ε, sicut angulus Γ angulo Ζ: dico arcum ΑΒ aequalem esse arcui ΔΕ, & arcum ΒΓ arcui ΕΖ, arcumque ΑΓ arcui ΔΖ.
Producatur arcus ΑΒ ad Ι, & fiat ΒΙ ipsi ΔΕ aequalis; & producto ΒΓ ad Θ, fiat ΒΘ aequalis arcui ΕΖ; & ducatur ΙΘ arcus circuli magni, qui producatur ad occursum arcus ΑΓ etiam producti in puncto Κ. Jam duo arcus ΘΒ, ΒΙ aequales sunt duobus ΔΕ, ΕΖ, & angulo Ε aequalis est angulus Β: quare arcus ΙΘ aequalis est arcui ΔΖ, & angulus Ι angulo Δ, qui aequalis est angulo Α; quare angulus Ι aequalis est angulo Α: angulus vero Θ aequalis est angulo Ζ, qui aequalis est angulo Γ; adeoque angulus Θ aequalis est angulo Γ. Et quoniam angulus Γ exterior trianguli ΘΚΓ aequalis est interiori & opposito angulo Θ, erunt (per decimam hujus) arcus ΘΚ, ΚΓ simul sumpti aequales semicirculo: pariterque cum angulus Ι exterior trianguli ΑΙΚ aequalis sit opposito & interiori angulo Α, erunt quoque duo arcus ΑΚ, ΚΙ aequales semicirculo; ac proinde duo arcus ΚΘ, ΚΓ sunt aequales duobus arcubus ΙΚ, ΚΑ. Auferantur utrinque duo arcus communes ΙΚ, ΚΓ, ac reliquus arcus ΘΙ erit aequalis arcui ΑΓ. Sed arcus ΘΙ aequalis est arcui ΖΔ; quare arcus ΖΔ aequalis est arcui ΑΓ: & angulus Α aequalis est angulo Δ, uti angulus Γ angulo Ζ: quapropter (per 14m hujus) arcus ΑΒ aequalis est arcui ΔΕ, & ΒΓ arcui ΕΖ. Quod erat demonstrandum.