← menelaus / Menelai Sphaericorum Libri III

Unit III — Menelai Sphaericorum Lib. III (Halley 1758) & Ptolemaei Syntaxis I.13¶

Scan-Verified Diplomatic Latin (Halley 1758, pp. 80–88) & Polytonic Greek (Heiberg 1898, pp. 68–75)

Prop. I. Theor. — Theorema Menelai (Halley 1758, pp. 80–82)¶

Enuntiatio (Halley 1758, p. 80)

Sint in superficie Sphaerae duo arcus circulorum magnorum, ΝΜΕ, ΝΑΛ inter quos ducantur alii duo arcus ΕΘΑ, ΛΘΜ occurrentes invicem in puncto Θ: dico sinum arcus ΑΝ esse ad sinum arcus ΑΛ in ratione composita ex ea quam habet sinus arcus ΝΕ ad sinum arcus ΕΜ, & ex ea quam habet sinus arcus ΜΘ ad sinum arcus ΘΛ.

[§3.1 · Demonstratio, pp. 80–81] Ponatur punctum Β centrum esse Sphaerae, & jungantur rectae ΛΝ, ΛΜ, ΜΝ, ΕΒ, & ΘΒ occurrens subtensae ΜΛ in Δ, & ΑΒ occurrens ipsi ΝΛ in Σ, & ducta ΔΣ producatur usque dum conveniat cum recta ΜΝ producta in Κ; & erit punctum Κ in plano utriusque circuli ΑΘΕ, ΝΜΕ. Sed puncta Ε, Β sunt etiam in iisdem planis; quare ΚΕΒ erit linea recta. Cum autem punctum Σ est in intersectione rectarum ΑΒ, ΝΛ, & punctum Δ in ipsarum ΘΒ, ΜΛ; ac punctum Κ est in productâ ΣΔ; erunt tria puncta Σ, Δ, Κ in plano trianguli ΝΛΜ: erit igitur ΝΣ ad ΣΛ in ratione composita ex ratione quam habet ΝΚ ad ΚΜ & ratione quam habet ΜΔ ad ΔΛ, per sequens Lemma I. Sed ΝΚ est ad ΚΜ sicut normalis cadens de puncto Ν super diametrum ΚΕΒ ad normalem de puncto Μ super eandem, per Lemma II. Est autem normalis de puncto Ν sinus arcus ΕΝ, & normalis de puncto Μ est sinus arcus ΜΕ; adeoque ΝΚ est ad ΚΜ ut sinus arcus ΝΕ ad sinum arcus ΜΕ. Eodem modo patebit ΝΣ esse ad ΣΛ ut sinus arcus ΝΑ ad sinum arcus ΑΛ; & ΜΔ esse ad ΔΛ ut sinus arcus ΜΘ ad sinum arcus ΘΛ: quapropter sinus arcus ΑΝ est ad sinum arcus ΑΛ in ratione composita ex ratione sinus arcus ΝΕ ad sinum arcus ΜΕ, & ex ea quam habet sinus arcus ΜΘ ad sinum arcus ΘΛ. Q. E. D.

[§3.2 · Casus Parallelarum & Inversio, pp. 81–82] Pone jam rectam ΔΣ parallelam esse ipsi ΜΝ; & compleantur semicirculi ΕΜΝ, ΕΘΑ, occurrentes invicem ad Κ. Itaque quoniam in duobus planis ΕΝΚ, ΕΘΚ duae rectae ΣΔ, ΜΝ parallelae sunt, erit quoque communis sectio horum planorum, nempe recta ΕΒΚ, etiam ipsis ΣΔ, ΜΝ parallela, ut ex 9na XI. Eucl. constabit… Invertendo igitur, ratio sinus arcus ΑΛ ad sinum arcus ΑΝ composita erit ex ratione sinus arcus ΘΛ ad sinum arcus ΜΘ, & ex ratione sinus arcus ΜΕ ad sinum arcus ΕΝ. Q. E. D.

Scholion Edm. Halleii (Halley 1758, p. 82)¶

[§3.3 · Halley 1758, p. 82] Vocem נכחות, qua significat Hebraeus Interpres (Jacob ben Machir) subtensam dupli arcus, sive τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς περιφερείας apud Ptolemaeum, ubique Sinum reddimus, nostri aevi Mathematicis morem gerentes, & exemplo usi Traductoris Arabis semper vocem جيب, hoc est Sinum, adhibentis. Rationes enim eaedem sunt sinuum quae subtensarum duplorum arcuum inter se.

Porro huic Theoremati tota fere Trigonometria Veterum innititur; nec alio usus est fundamento Ptolemaeus in Syntaxi (Almagest I.13): quod quidem illum à Menelao, vix quadraginta annos seniore, accepisse haud improbabile videbitur, factâ collatione hujus cum Cap. XII. Lib. I. Syntaxeos Mathematicae. Idem Arabibus maxime quoque in pretio fuit, qui, Sphaericorum Triangulorum dimensurationes ex hoc principio petentes, eidem exornando enixe operam dederunt, multisque scriptis Regulam hanc, quam القطاع, hoc est Intersectionis, dixerunt, elucidare conati sunt. Unde Europaei Mathematici ante aliquot secula, cum re nomen etiam à Mauris mutuati sunt, ac de Figurâ Catha scripta reliquerunt; inter quos eminet Simon de Bredon Anglus, circa annum 1350 Mertonensis Socius, cujus de hac re opus in Bibliotheca Bodleiana non uno Volumine asservatur.

Lemmata autem in Codice Hebraeo absque demonstratione assumpta, in Arabico vero ad modum Ptolemaei demonstrata, sic se habent.

Lemma I & Lemma II (Halley 1758, p. 83)¶

[§3.4 · Lemma I — Transversalis Plana, p. 83] Si ad duas rectas ΑΒ, ΑΓ concurrentes in Α ducantur duae aliae ΓΔ, ΒΕ sese intersecantes in puncto Ζ: dico rectam ΑΕ esse ad ΕΓ in ratione composita ex ratione ΔΖ ad ΖΓ & ratione ΒΑ ad ΒΔ.

Per Α enim ipsi ΒΕ parallela ducatur ΑΗ, occurrens ipsi ΔΓ productae in Η. Jam quoniam ΑΗ parallela est ipsi ΕΖ, erit ut ΑΕ ad ΕΓ ita ΗΖ ad ΖΓ. Sumptâ autem mediâ recta ΖΔ, ratio ΗΖ ad ΖΓ componetur ex ratione quam habet ΗΖ ad ΖΔ, & ex ea quam habet ΖΔ ad ΖΓ. Sed ob parallelas ΑΗ, ΒΖ, erit & ΖΗ ad ΖΔ sicut ΒΑ ad ΒΔ: ratio igitur ΗΖ ad ΖΓ, hoc est ΑΕ ad ΕΓ, componitur ex ratione quam habet ΒΑ ad ΒΔ & ex ea quam habet ΔΖ ad ΖΓ.

Iisdem positis; dico quoque ΓΑ esse ad ΑΕ in ratione composita ex ratione quam habet ΓΔ ad ΔΖ & ex ea quam habet ΖΒ ad ΒΕ… Q. E. D.

Lemma II (*p. 83*): Si in Circulo recta aliqua è centro educta arcum quemlibet ejusque subtensam diviserit: erunt segmenta subtensae Sinubus segmentorum arcus proportionalia.

Testimonium Graecum: Cl. Ptolemaeus, Syntaxis Mathematica I.13 (ed. Heiberg 1898, pp. 68–69, 74–75)¶

[§3.5 · ιγ΄. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις, Heiberg pp. 68–69]

Εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἥ τε ΒΕ καὶ ἡ ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΕ.

ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΗ. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΓΔ καὶ ΕΗ, ὁ τῆς ΓΑ πρὸς ΕΑ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΕΗ [Eucl. VI, 4]. ἔξωθεν δὲ ἡ ΖΔ· ὁ ἄρα τῆς ΓΔ πρὸς ΕΗ λόγος συγκείμενος ἔσται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΔΖ πρὸς ΗΕ… ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς ΔΖ πρὸς ΗΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΕ [Eucl. VI, 4] διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς ΕΗ καὶ ΖΔ· ὁ ἄρα τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΕ· ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται, ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΑ, διὰ τοῦ Α τῇ ΕΒ παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἐπ’ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ.

[Θεώρημα Σφαιρικόν, Heiberg pp. 74–75]

Τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, ὥστε εἰς δύο τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ δύο γραφείσας τὰς ΒΕ καὶ ΓΔ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω.

λέγω δή, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΕ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΔ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β, Ζ, Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε ΗΒ καὶ ἡ ΗΖ καὶ ἡ ΗΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΗΒ ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁμοίως δὲ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΔΓ καὶ ΑΓ τεμνέτωσαν τὰς ΗΖ καὶ ΗΕ κατὰ τὸ Κ καὶ Λ σημεῖον· ἐπὶ μιᾶς δὴ γίνεται εὐθείας τὰ Θ, Κ, Λ σημεῖα διὰ τὸ ἐν δυσὶν ἅμα εἶναι ἐπιπέδοις τῷ τε τοῦ ΑΓΔ τριγώνου καὶ τῷ τοῦ ΒΖΕ κύκλου, ἥτις ἐπιζευχθεῖσα ποιεῖ εἰς δύο εὐθείας τὰς ΘΑ καὶ ΓΑ διηγμένας τὰς ΘΛ καὶ ΓΔ τεμνούσας ἀλλήλας κατὰ τὸ Κ σημεῖον· ὁ ἄρα τῆς ΓΛ πρὸς ΛΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΚ πρὸς ΚΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΘ πρὸς ΘΑ [p. 69, 21]…

Prop. II & Prop. III (Halley 1758, pp. 86–88)¶

[§3.6 · Prop. II. Theor. — Lex Sinuum Sphaerica, p. 86] Si duorum triangulorum Sphaericorum duo anguli fuerint aequales, duo vero alii anguli vel aequales inter se, vel simul sumpti duobus rectis aequales: dico quod Sinus laterum, quae duobus angulis aequalibus subtenduntur, sunt ad sinus laterum quae duobus aliis angulis, vel aequalibus vel duobus rectis aequalibus, subtenduntur respective, in eadem ratione; & è contra.

Prop. III. Theor. & Coroll. (*p. 88*): …dico sinum arcus ΑΒ esse ad sinum arcus ΑΓ in ratione composita ex ratione sinus arcus ΕΔ ad sinum arcus ΔΖ & ratione sinus arcus ΗΒ ad sinum arcus ΕΘ… Coroll. Hinc constat Tangentes perpendicularium ΑΒ, ΔΕ sinubus Basium ΑΓ, ΔΖ proportionales esse.