Unité III : Cercles, tangentes, section d’or, géométrie projective et géométrie moderne du triangle

Émile Lemoine — Géométrographie, ou Art des constructions géométriques (Texte français, Problèmes XXI et XXV–LXIII, pp. 12–51)

[Folio Problèmes XXI, XXV–XXVII | p. 15]

§ 1. Cercle circonscrit (XXI), tangentes au cercle (XXV–XXVI) et cercle inscrit \(X(1)\) (XXVII)

Problème XXI (Euclide IV.5 — Cercle circonscrit et centre :math:`X(3)`). En décrivant d’abord \(B(R)\) d’un rayon arbitraire suffisant (\(C_1 + C_3\)), puis \(A(R)\) et \(C(R)\) (\(2C_1 + 2C_3\)), un même cercle auxiliaire sert aux deux médiatrices (\(4R_1 + 2R_2\)), d’où le centre \(O = X(3)\) et le cercle \(O(A)\) (\(2C_1 + C_3\)) :

\[\mathrm{Op.} : \left(4R_1 + 2R_2 + 5C_1 + 4C_3\right), \qquad S = 15, \quad E = 9 \quad (2\text{ droites}, 4\text{ cercles}).\]

Problème XXVI (Euclide III.17 — Tangentes menées d’un point extérieur :g:`A` à un cercle :g:`O(R)`). La construction d’Euclide demande \(8R_1 + 4R_2 + 4C_1 + 3C_3\) (\(S = 19\)). Lemoine abaisse la simplicité à \(S = 18\), soit par \(5R_1 + 3R_2 + 7C_1 + 3C_3\), soit par le cercle MMO de diamètre OA coupant OR en T et T le long de la polaire TT, d’où les tangentes AT et AT (\(5R_1 + 3R_2 + 6C_1 + 4C_3\), \(S = 18, E = 11\)).

A M O T T' Problems XXVI & XXXIX — Tangents (S = 18) & Straightedge Polar TT' (12R₁ + 7R₂)

Problème XXVII (Euclide IV.4 — Cercle inscrit et centre :g:`I` :math:`= X(1)`). La construction classique trace deux bissectrices et abaisse la perpendiculaire complète de I sur BC, soit \(6R_1 + 3R_2 + 11C_1 + 10C_3\) (\(S = 30, E = 17\), 3 droites, 10 cercles). En conservant la même ouverture aux sommets B, C pour mener BI et CI et en déterminant le rayon de contact ID sans tracer de troisième droite avant de décrire IID, Lemoine économise sept opérations et quatre cercles :

\[\mathrm{Op.} : \left(4R_1 + 2R_2 + 11C_1 + 6C_3\right), \qquad S = 23, \quad E = 15 \quad (2\text{ droites}, 6\text{ cercles}).\]
A B C I = X(1) D E F Problem XXVII (Euclid IV.4) — Incircle : 4R₁ + 2R₂ + 11C₁ + 6C₃ (S = 23 vs. S = 30)
[Folio Problèmes XXXIII–XXXVI | p. 24]

§ 2. Lignes proportionnelles (XXXIII–XXXV) et division en moyenne et extrême raison (XXXVI)

  • Quatrième et troisième proportionnelles (XXXIII–XXXIV) : \(x = bc/a\) en \(2R_1 + 2R_2 + 11C_1 + C_2 + 6C_3\) (\(S = 22\)) ; \(x = b^2/a\) en \(4R_1 + 2R_2 + 5C_1 + C_2 + 3C_3\) (\(S = 15\)).

  • Moyenne proportionnelle :math:`sqrt{ab}` (XXXV — construction de Lemoine et :person:`Gouzy <gouzy>`) : \(\mathrm{Op.} : (2R_1 + 2R_2 + 6C_1 + C_2 + 3C_3)\), \(S = 14, E = 9\) (2 droites, 3 cercles, contre \(S = 24\), 6 cercles dans le tracé classique).

Problème XXXVI (Euclide II.11 / VI.30 — :term:`Moyenne et extrême raison <moyenne-et-extreme-raison>` :math:`phi`). Au lieu des trois droites classiques (\(S = 25\)), Lemoine ne trace qu’une seule ligne droite : la médiatrice MC de AB (\(2R_1 + R_2\)), qui fournit simultanément le milieu M (\(MB = AB/2\)) et la perpendiculaire sur laquelle le cercle \(M(AB)\) marque C (\(MC = AB\)). Sans tracer l’hypoténuse BC (\(= \frac{\sqrt{5}}{2} AB\)), le cercle \(B(C)\) marque sur la droite prolongée le point E tel que \(ME = AB/\phi\), et l’arc AME donne le point d’or X (AX \(= AB/\phi\)) :

\[\mathrm{Op.} : \left(2R_1 + R_2 + 9C_1 + 6C_3\right), \qquad S = 18, \quad E = 11 \quad (1\text{ droite}, 6\text{ cercles}).\]
E A M X (φ⁻¹) B C Problem XXXVI (Euclid II.11) — Golden Section in 1 Line & 6 Circles (S = 18 vs. S = 25) MC = AB, MB = AB/2 ⇒ BC = (√5/2)·AB ⇒ ME = AX = AB / φ
[Folio Problèmes XXXVIII–XLVII | p. 29]

§ 3. Inversion au compas seul (XXXVIII), polaire à la règle seule (XXXIX), axe radical (XLI) et conjugué harmonique (XLVI)

  • Problème XXXVIII (:term:`Inversion <inversion>` — compas seul lorsque :math:`OA > R/2`) : Tracer \(A(O)\) coupant \(O(R)\) en \(M, N\), puis \(M(O)\) et \(N(O)\) se recoupant en \(A'\) : \(\mathrm{Op.} : (5C_1 + 3C_3)\), \(S = 8, E = 5\) (0 droite, 3 cercles).

  • Problème XXXIX (:term:`Polaire d’un point <polaire>` — règle seule) : Par le quadrilatère complet inscrit dans le cercle tracé \(O\), \(\mathrm{Op.} : (12R_1 + 7R_2)\), \(S = 19, E = 12\) (7 droites, 0 cercle).

  • Problème XLI (:term:`Axe radical <linie-der-gleichen-potenzen>` de deux cercles non sécants) : Deux cercles auxiliaires quelconques (\(2C_3\)) coupant les deux cercles donnés fournissent deux centres radicaux par simples droites concourantes : \(\mathrm{Op.} : (10R_1 + 5R_2 + 2C_3)\), \(S = 17, E = 10\) — alors que la construction classique par les tangentes communes défendue par Amédée Mannheim (pp. 57–58) exigeait \(18R_1 + 9R_2 + 19C_1 + 12C_3\) (\(S = 58\)) !

  • Problème XLVI (:term:`Conjugué harmonique <conjugue-harmonique>` — règle seule) : Par le quadrilatère complet de Pappus, \(\mathrm{Op.} : (9R_1 + 6R_2)\), \(S = 15, E = 9\) (6 droites, 0 cercle).

  • Problème XLVII (Carré sur :math:`AB`, construction d’:person:`Eugène Catalan <catalan>`) : \(\mathrm{Op.} : (6R_1 + 3R_2 + 6C_1 + 4C_3)\), \(S = 19, E = 12\).

[Folio Problèmes L–LXIII | p. 42]

§ 4. Géométrie du triangle : point de Lemoine \(X(6)\), points de Brocard et centres remarquables

  • Problème L — Centre de gravité :g:`G` :math:`= X(2)` : \(\mathrm{Op.} : (6R_1 + 3R_2 + 6C_1 + 2C_3)\), \(S = 17, E = 12\) (3 droites, 2 cercles).

  • Problème LI — :term:`Point de Lemoine <point-de-lemoine>` :g:`K` :math:`= X(6)` (lemoine-1873) : Tandis que la construction générale par coordonnées normales (XLIX) demande \(S = 54\), la bissection directe d’une antiparallèle PaQa à BC permet de ne tracer que les deux symédianes AK et BK :

\[\mathrm{Op.} : \left(4R_1 + 2R_2 + 13C_1 + 8C_3\right), \qquad S = 27, \quad E = 17 \quad (2\text{ droites}, 8\text{ cercles}).\]
A B C Pₐ Qₐ M'ₐ Mₐ G = X(2) K = X(6) Problem LI — Lemoine Symmedian Point K = X(6) : 4R₁ + 2R₂ + 13C₁ + 8C₃ (S = 27) Antiparallel PₐQₐ bisected by symmedian AK (isogonal to median AMₐ through G = X(2))

  • Problèmes LII–LV — :term:`Droite de Lemoine <droite-de-lemoine>` (:math:`S = 19`), couple :math:`(G, K)` (:math:`S = 32`) et :term:`points de Brocard <points-de-brocard>` :math:`omega, omega’` : Un point de Brocard en \(8R_1 + 4R_2 + 10C_1 + 6C_3\) (\(S = 28\)) ; les deux points simultanément en \(12R_1 + 6R_2 + 12C_1 + 8C_3\) (\(S = 38\), contre \(S = 74\) dans la lettre d’Henri Brocard, pp. 58–59).

  • Problèmes LVI–LXIII : Point de Steiner \(X(99)\) (\(S = 24\)), point de Tarry \(X(98)\) (\(S = 28\)), point de Gergonne \(X(7)\) (\(S = 27\)), centre de Spieker \(X(10)\) (\(S = 29\)), point de Nagel \(X(8)\) (\(4R_1 + 2R_2 + 7C_1 + 3C_3, S = 16\)), point \(\Phi\) de Neuberg (\(S = 37\)) et point \(W\) (\(S = 62\) au lieu de \(148\)).