Unité II : Constructions fondamentales d’Euclide — Tracé spéculatif et tracé géométrographique

Émile Lemoine — Géométrographie, ou Art des constructions géométriques (Texte français, Problèmes XI–XXIV, pp. 6–14)

[Folio Problèmes XI–XVI | p. 6]

§ 1. Report d’un angle (XI) et construction des triangles (XII–XVI)

Problème XI (Euclide I.23). Sur une droite tracée, construire en un point donné \(A\) un angle égal à un angle donné \(O\). La réduction spéculative d’Euclide (euclid-heath) joint deux points sur les côtés de l’angle \(O\) pour ramener le problème à la construction d’un triangle (I.22), ce qui exige \(4R_1 + 2R_2 + 8C_1 + C_2 + 4C_3\) (\(S = 19, E = 13\)). En traçant de \(O\) puis de \(A\) deux arcs d’un même rayon arbitraire (\(2C_1 + 2C_3\)), en prenant la corde interceptée (\(2C_1\)), en la reportant (\(C_1 + C_3\)) et en joignant \(A\) au point obtenu (\(2R_1 + R_2\)), on obtient :

\[\mathrm{Op.} : \left(2R_1 + R_2 + 5C_1 + 3C_3\right), \qquad S = 11, \quad E = 7 \quad (1\text{ droite}, 3\text{ cercles}).\]

Problème XVI (Euclide I.22). Construire un triangle connaissant les trois côtés \(a, b, c\). En traçant d’abord une droite indéfinie quelconque (\(R_2\)) au lieu de joindre deux points placés d’avance, on porte \(BC = a\) (\(2C_1 + C_2 + C_3\)), puis \(B(c)\) et \(C(b)\) (\(6C_1 + 2C_3\)) se coupant en \(A\), et l’on trace \(AB\) et \(AC\) (\(4R_1 + 2R_2\)) :

\[\mathrm{Op.} : \left(4R_1 + 3R_2 + 8C_1 + C_2 + 3C_3\right), \qquad S = 19, \quad E = 13 \quad (3\text{ droites}, 3\text{ cercles}).\]
[Folio Problème XVII | p. 8]

§ 2. Parallèle par un point extérieur (XVII) : les deux constructions de Gaston Tarry (\(S = 9\))

Problème XVII (Euclide I.31). Par un point donné A hors d’une droite tracée BC , mener une parallèle à BC.

  • Construction classique par l’angle alterne-interne : \(\mathrm{Op.} : (2R_1 + R_2 + 5C_1 + 3C_3)\) ; \(S = 11, E = 7\) ; 1 droite, 3 cercles.

  • Première construction géométrographique de Gaston Tarry (Gaston Tarry) : D’un centre arbitraire, tracer un cercle passant par A (\(C_1 + C_3\)) coupant BC en deux points, et reporter l’arc avec le même rayon : \(\mathrm{Op.} : (2R_1 + R_2 + 4C_1 + 2C_3)\) ; \(S = 9, E = 6\) ; 1 droite, 2 cercles.

  • Deuxième construction géométrographique de Gaston Tarry (par le losange d’ouverture unique) : Avec un rayon arbitraire suffisant \(R\), tracer de A un arc (\(C_1 + C_3\)) coupant BC en P ; du même rayon \(R\), tracer \(P(R)\) (\(C_1 + C_3\)) coupant BC en Q, puis \(Q(R)\) (\(C_1 + C_3\)) coupant le premier arc \(A(R)\) en D. Le quadrilatère APQD est un losange et la droite AD (\(2R_1 + R_2\)) est parallèle à BC :

\[\mathrm{Op.} : \left(2R_1 + R_2 + 3C_1 + 3C_3\right), \qquad S = 9, \quad E = 5 \quad (1\text{ droite}, 3\text{ cercles}).\]
A P Q D Classical Euclid I.31 : 2R₁ + R₂ + 5C₁ + 3C₃ (S = 11) A P Q D Tarry Rhombus : 2R₁ + R₂ + 3C₁ + 3C₃ (S = 9, E = 5)
[Folio Problèmes XVIII–XIX | p. 9]

§ 3. Médiatrice et milieu d’un segment (XVIII) ; symétrique d’un point sans règle (XVIII bis)

Problème XVIII (Euclide I.10). Tracer la perpendiculaire au milieu de la distance de deux points A et B , ou trouver le milieu M d’une droite tracée AB. En conservant une ouverture arbitraire commune \(R > AB/2\) pour décrire AR (\(C_1 + C_3\)) et BR (\(C_1 + C_3\)) se coupant en P et Q, puis en traçant PQ (\(2R_1 + R_2\)) qui partage AB en AM et MB, on évite de prendre \(AB\) au compas :

\[\mathrm{Op.} : \left(2R_1 + R_2 + 2C_1 + 2C_3\right), \qquad S = 7, \quad E = 4 \quad (1\text{ droite}, 2\text{ cercles}).\]
A B P Q M Problem XVIII (Euclid I.10) — 2R₁ + R₂ + 2C₁ + 2C₃ (S = 7, E = 4 vs. S = 8)

Problème XVIII bis. Construire le symétrique \(A'\) d’un point donné \(A\) par rapport à une droite tracée \(BC\). De deux points quelconques pris sur \(BC\) (\(2C_2\)), décrire les deux cercles passant par \(A\) (\(2C_1 + 2C_3\)) ; leur second point commun est \(A'\), obtenu sans tracer aucune droite :

\[\mathrm{Op.} : \left(2C_1 + 2C_2 + 2C_3\right), \qquad S = 6, \quad E = 4 \quad (0\text{ droite}, 2\text{ cercles}).\]
[Folio Problèmes XX–XXIV | p. 11]

§ 4. Perpendiculaires (XX — cercle unique de Thalès \(S = 8\)) et bissectrice d’un angle (XXII)

Problème XX (Euclide I.12 et I.11). Mener par un point donné A la perpendiculaire à une droite tracée BC.

  1. Premier cas — :g:`A` est hors de :g:`BC` (Euclide I.12) : En construisant le symétrique A de A par rapport à deux centres B, C sur la droite et en joignant AA, on obtient \(2R_1 + R_2 + 3C_1 + C_2 + 2C_3\) (\(S = 9, E = 6\), 1 droite, 2 cercles).

  2. Second cas — :g:`A` est situé sur :g:`BC` (Euclide I.11 par le cercle de Thalès) : Placer une pointe en A (\(C_1\)) et l’autre en un point quelconque O pris hors de BC (\(0\)), décrire l’unique cercle OOA (\(C_3\)) qui recoupe BC en B, tracer le diamètre BD par B et O (\(2R_1 + R_2\)), puis joindre AD (\(2R_1 + R_2\)) :

\[\mathrm{Op.} : \left(4R_1 + 2R_2 + C_1 + C_3\right), \qquad S = 8, \quad E = 5 \quad (2\text{ droites}, 1\text{ cercle}).\]
A A' B C H XX.1 Off Line (I.12): 2 Circles, S = 9 A O B D XX.2 On Line (Thales): 1 Circle, 4R₁ + 2R₂ + C₁ + C₃ (S = 8)

Problème XXII (Euclide I.9 — Bissectrice d’un angle). En gardant la même ouverture suffisante pour l’arc décrit du sommet et pour les deux arcs décrits des points où il coupe les côtés, la bissectrice s’obtient par \(\mathrm{Op.} : (2R_1 + R_2 + 3C_1 + 3C_3)\), \(S = 9, E = 5\) (1 droite, 3 cercles).