Unité IV : Instruments restreints et auxiliaires — L’Équerre, Géométrographie Mascheronienne et Géométrographie Steinerienne

Émile Lemoine (Scientia n° 18, 1902, pp. 55–88) · Lorenzo Mascheroni (1797) · Jakob Steiner (1833)

[Folio L'Équerre | p. 55]

§ 1. Géométrographie de l’équerre (Oran 1888 et Scientia 1902)

Dès sa Note du Congrès d’Oran (lemoine-1888, p. 9 ; rappelée p. 55 de lemoine-1892 et développée dans Scientia n° 18, lemoine-1902), Émile Lemoine fait observer que le dessinateur emploie constamment l’équerre appuyée contre la règle pour mener directement les parallèles et les perpendiculaires. En introduisant les opérations élémentaires propres à la mise en coïncidence d’un côté de l’équerre et à son glissement le long de la règle maintenue fixe :

  • Le tracé d’une parallèle (Problème XVII) ou d’une perpendiculaire (Problème XX) n’exige plus aucun coup de compas ;

  • Lemoine maintient toutefois une séparation rigoureuse entre le bilan de la règle et du compas canoniques \((R_1, R_2, C_1, C_2, C_3)\) et celui de l’équerre, afin que la comparaison géométrographique s’opère toujours à postulats instrumentaux identiques.

[Folio Géométrographie Mascheronienne | p. 66]

§ 2. Géométrographie Mascheronienne : constructions au compas seul (La Geometria del Compasso, 1797)

Lorsqu’on s’interdit tout usage de la règle (\(l_1 = l_2 = 0\)), le symbole opératoire de la Géométrographie Mascheronienne se réduit à :

\[\mathrm{Op.}_{\text{Masch.}} : \left(m_1 C_1 + m_2 C_2 + m_3 C_3\right), \qquad S = m_1 + m_2 + m_3, \quad E = m_1 + m_2, \quad N_{\text{droites}} = 0.\]

Après Georg Mohr (Euclides Danicus, mohr-1672, demeuré inconnu jusqu’en 1928), Lorenzo Mascheroni démontre à Pavie dans La Geometria del Compasso (mascheroni-1797, dédiée à Bonaparte et traduite dès 1798 par Carette, carette-1798) que tout point constructible avec la règle et le compas se construit au compas seul, toute droite étant définie par deux de ses points :

  1. Doublement et multiplication d’une distance (Libro III, § 64) : Porter trois cordes égales à \(AB\) sur le demi-cercle \(B(BA)\) donne le point aligné \(E\) tel que \(AE = 2\,AB\) en \(5C_1 + 4C_3\) (\(S = 9\), 4 cercles).

  2. Milieu d’une distance :math:`AB` sans droite tracée (Libro III, § 66, Sol. V) : Après doublement en \(E\), le cercle \(E(EB)\) coupe \(B(BA)\) en \(P, p\), et les arcs \(P(PB)\), \(p(PB)\) se coupent au milieu \(M\) de \(AB\) en 7 cercles (\(10C_1 + 7C_3, S = 17, E = 10\)).

  3. Symétrique, perpendiculaire et parallèle (Libro IV, §§ 78–80) : Le symétrique d’un point demande \(4C_1 + 2C_3\) (\(S = 6\)) ; le quatrième sommet \(D\) du parallélogramme \(ABCD\) par les arcs BAC et CAB demande \(5C_1 + 2C_3\) (\(S = 7, E = 5\)).

  4. Quatrième proportionnelle par cercles concentriques (Libro V, § 93) : Signalée par Gaetano Fazzari (fazzari-1901, p. xi) comme plus simple au sens de la Géométrographie de Lemoine que la construction classique de Thalès (\(S = 14\) en 4 cercles lorsque \(c \le 2a\)).

  5. Inversion et intersections fondamentales (Libro V, § 86 ; Libro VII, §§ 110–112) : Comme l’a établi August Adler (adler-1890), l’inversion au compas seul du Problème XXXVIII (\(5C_1 + 3C_3, S = 8\)) transforme droites et cercles en cercles et ramène immédiatement toutes les constructions d’Euclide aux seules intersections de cercles.

A B C D Mascheroni (1797) — Compass Alone 5C₁ + 2C₃ (S = 7, 0 lines): (C, D) ∥ (A, B) M a b S P P' K Poncelet–Steiner (1833) — Straightedge + Fixed Circle M 11R₁ + 6R₂ (S = 17, 0 circles): PP' ∥ diameter aMb
[Folio Géométrographie Steinerienne | p. 74]

§ 3. Géométrographie Steinerienne : la règle seule avec un cercle fixe (Die geometrischen Constructionen, 1833)

En supprimant inversement le compas (\(m_1 = m_2 = m_3 = 0\)), la Géométrographie Steinerienne n’admet que le symbole :

\[\mathrm{Op.}_{\text{Steiner}} : \left(l_1 R_1 + l_2 R_2\right), \qquad S = l_1 + l_2, \quad E = l_1, \quad N_{\text{cercles}} = 0.\]

Suivant l’idée énoncée par Jean-Victor Poncelet (poncelet-1822) et pleinement démontrée par Jakob Steiner en 1833 (steiner-1833, Drittes Kapitel, § 18, [68]–[85]), un seul cercle tracé une fois pour toutes avec son centre \(M\) (fester Hülfskreis) suffit à résoudre à la règle seule tous les problèmes du second degré grâce à huit problèmes fondamentaux :

  1. Parallèle à une droite (Erste Aufgabe) : Tout diamètre ab passant par \(M\) a son milieu connu en \(M\) ; le quadrilatère complet de sommet \(S\) mène par \(P\) la parallèle PQpar en \(11R_1 + 6R_2\) (\(S = 17, E = 11\), 6 droites, 0 cercle).

  2. Milieu et multiplication d’un segment (Zweite Aufgabe) : Se déduisent harmoniquement d’une parallèle auxiliaire.

  3. Perpendiculaire (Dritte Aufgabe) : L’angle droit inscrit dans le demi-cercle fixe Omega donne l’orthocentre par 5 droites (\(10R_1 + 5R_2, S = 15\)).

  4. Report et bissection d’un angle (Vierte et Fünfte Aufgabe) : En menant par \(M\) des diamètres parallèles aux côtés de l’angle donné, la bissectrice est parallèle à la corde joignant les extrémités des rayons.

  5. Transport d’une longueur (Sechste Aufgabe) : Les centres de similitude \(A, I\) du cercle fixe \(M\) et d’un cercle virtuel non tracé \((M_1, r_1)\) transportent tout rayon sur une droite quelconque.

  6. Intersections droite–cercle virtuel et cercle virtuel–cercle virtuel (Siebente et Achte Aufgabe) : L’homothétie ramène la sécante d’un cercle non tracé à celle du cercle fixe Omega, et la ligne des puissances égales (axe radical) ramène l’intersection de deux cercles non tracés à l’intersection d’une droite et d’un cercle !