Zweiter Abschnitt: Vom Durchschnittspunkte der Senkrechten aus den Winkelpunkten (§§ 19–48)¶
K. W. Feuerbach — Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks (Nürnberg, 1822, S. 15–32)
§. 19. Das Fußpunktdreieck MNP kleinsten Umfangs¶
Wenn man aus den drei Winkelpunkten eines beliebigen Dreiecks \(ABC\) auf die gegenüberliegenden Seiten desselben die Senkrechten \(AM, BN, CP\) fällt, welche sich bekanntlich in einem und eben demselben Punkt \(O\) schneiden, so bestimmen die Fußpunkte dieser Senkrechten ein Dreieck \(MNP\) (Fig. 2), welches darum merkwürdig ist, weil es unter allen in das Dreieck \(ABC\) beschriebenen Dreiecken den kleinsten Umfang hat [Fußnote: Fagnani lehrte dieß vielleicht zuerst in der Abhandl. Problemata quaedam ad methodum max. et min. spectantia. Acta Erud. mens. Junii 1775]. Es wird daher nicht uninteressant seyn, dieses Dreieck näher zu betrachten, und vor allem seinen Umfang und Inhalt selbst, so wie das Verhältniß beider zum Umfang und Inhalt des vorgegebenen Dreiecks \(ABC\) zu bestimmen.
Wenn wir die im vorigen Abschnitt gebrauchte Bezeichnungsart für das Dreieck \(ABC\) beibehalten, so ist \(AP = b\cos\alpha\), \(AN = c\cos\alpha\), also \(\overline{NP}^2 = (b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha)\cos^2\alpha\); allein \(b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha = a^2\), folglich \(\overline{NP}^2 = a^2\cos^2\alpha\) und \(NP = a\cos\alpha\); eben so \(MP = b\cos\beta\), und \(MN = c\cos\gamma\); oder, wenn man die Cosinus durch die Seiten ausdrückt:
Addirt man diese drei Werthe, so wird, weil \(a^2(-a^2+b^2+c^2) + b^2(a^2-b^2+c^2) + c^2(a^2+b^2-c^2) = 16\Delta^2\), \(MN + MP + NP = \frac{8\Delta^2}{abc}\); und, da \(\frac{abc}{4\Delta} = R\), wo \(R\) wie bisher den Halbmesser des um das Dreieck \(ABC\) beschriebenen Kreises vorstellt, so kommt der gesuchte Umfang:
§§. 23–28. Der Halbmesser ρ des Kreises in ΔMNP und der Umkreishalbmesser ½R¶
§. 24. (S. 18) Wenn \(\rho\) den Halbmesser vom innerhalb berührenden Kreise des Dreiecks \(MNP\) vorstellt und \(\rho^{(1)}, \rho^{(2)}, \rho^{(3)}\) der Ordnung nach die Halbmesser seiner ausserhalb berührenden in den Ebenen der Winkel \(PMN, MNP, NPM\) befindlichen Kreise, so erhält man wegen \(a\cos\alpha + b\cos\beta + c\cos\gamma = \frac{2\Delta}{R}\) für das spitzwinklige Dreieck \(ABC\):
\[\rho = 2R\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma = \frac{(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 - b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2)}{16abc\Delta},\]hingegen für das bei \(A\) stumpfwinklige \(\rho^{(1)} = -2R\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\). Man bemerke auch, daß die Winkelpunkte \(A, B, C\) sammt dem Durchschnittspunkt \(O\) der Perpendikel des Dreiecks \(ABC\) zugleich die Mittelpunkte der vier Kreise sind, welche die drei Seiten des Dreiecks \(MNP\) berühren, und daß für das spitzwinklige Dreieck \(ABC\) der Durchschnittspunkt seiner Perpendikel, für das stumpfwinklige hingegen der Scheitel des stumpfen Winkels jedesmal in den Mittelpunkt des innerhalb berührenden Kreises des Dreiecks \(MNP\) falle.
§§. 26–28. (S. 19–20) Der Halbmesser des um das Dreieck \(MNP\) beschriebenen Kreises ist gleich \(\frac{1}{2}R\); ferner gilt:
\[a^2 + b^2 + c^2 = 8R^2 + 4\rho R, \qquad r^2 + r'^2 + r''^2 + r'''^2 = 4R(2R - \rho).\]
§§. 30–36. Abstände der Ecken von den Seiten von ΔMNP und Höhenabschnitte¶
§§. 30–31. (S. 21) Für die Senkrechten \(Am = \frac{2\Delta\cos\alpha}{a}\), \(Bn = \frac{2\Delta\cos\beta}{b}\), \(Cp = \frac{2\Delta\cos\gamma}{c}\) (welche zugleich die Halbmesser \(\rho^{(1)}, \rho^{(2)}, \rho^{(3)}\) der ausserhalb berührenden Kreise von \(\triangle MNP\) sind) folgt:
\[\begin{split}a^2 + b^2 + c^2 &= 4R(Am + Bn + Cp), \qquad Am + Bn + Cp = \rho + 2R, \\ AP \cdot BM \cdot CN &= AN \cdot BP \cdot CM = MN \cdot MP \cdot NP = 2R \cdot \triangle MNP = 2\rho\Delta.\end{split}\]
§§. 35–36. (S. 24) Aus \(OM = 2R\cos\beta\cos\gamma\), \(ON = 2R\cos\alpha\cos\gamma\), \(OP = 2R\cos\alpha\cos\beta\) und \(AO = 2R\cos\alpha\) folgt:
\[\begin{split}AO \cdot OM &= BO \cdot ON = CO \cdot OP = 2\rho R, \\ OM \cdot ON \cdot OP &= 2\rho^2 R, \qquad AO \cdot BO \cdot CO = 4\rho R^2, \\ OM \cdot ON \cdot OP &: AO \cdot BO \cdot CO = \rho : 2R = \triangle MNP : 2\Delta.\end{split}\]
§§. 41–48. Höhenschnitte M’, N’, P’ der Eckdreiecke und Teilumkreise R’, R’’, R’’’¶
§§. 41–42. (S. 28) Stellen \(M', N', P'\) die Durchschnittspunkte der Perpendikel in den Dreiecken \(ANP, BMP, CMN\) vor (Fig. 5), so ist \(AM' = 2R\cos^2\alpha\), \(BN' = 2R\cos^2\beta\), \(CP' = 2R\cos^2\gamma\), mithin:
\[\begin{split}AM' + BN' + CP' &= 2(R - \rho), \\ AM' \cdot BN' = \overline{OP}^2, \quad AM' \cdot CP' &= \overline{ON}^2, \quad BN' \cdot CP' = \overline{OM}^2, \\ OM \cdot ON \cdot OP &= AM' \cdot BN' \cdot CP'.\end{split}\]
§§. 47–48. (S. 32) Setzt man statt \(Ka, Kb, Kc\) die gleichgeltenden Werthe \(\frac{1}{2}AO, \frac{1}{2}BO, \frac{1}{2}CO\), und bezeichnen \(R', R'', R'''\) die Halbmesser der Kreise durch je zwei Winkelpunkte und den Umkreismittelpunkt \(K\), so hat man:
\[R' \cdot AO = R'' \cdot BO = R''' \cdot CO = R^2, \qquad R' + R'' + R''' : OM + ON + OP = R : 2\rho.\]