Erster Abschnitt: Von den Mittelpunkten der Kreise, welche die drei Seiten berühren (§§ 1–18)¶
K. W. Feuerbach — Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks (Nürnberg, 1822, S. 1–14)
§. 1. Die vier berührenden Kreise S, S’, S’’, S’’’¶
Bekanntlich sind für jedes beliebige Dreieck \(ABC\) vier unterschiedene, seine drei Seiten berührende Kreise möglich, von welchen nur einer innerhalb, die übrigen aber ausserhalb des Dreiecks liegen (Fig. 1). Der erste innerhalb berührende oder einbeschriebene Kreis berührt alle drei Seiten des Dreiecks selbst und befindet sich in den Ebenen aller drei Winkel desselben zugleich. Jeder der drei letzten hingegen, das ist, jeder ausserhalb berührende Kreis berührt nur Eine der drei Seiten selbst und die Verlängerungen der beiden andern, und befindet sich in der Ebene desjenigen Winkels, welcher der von ihm selbst berührten Seite gegenüberliegt.
Ferner wenn \(S\) den Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises vorstellt, so ist gemäß bekannter Construktion \(S\) zugleich der Durchschnittspunkt der die Winkel \(CAB, ABC, BCA\) des Dreiecks \(ABC\) halbierenden Geraden \(AS, BS, CS\). Und wenn \(S', S'', S'''\) der Ordnung nach die Mittelpunkte der ausserhalb berührenden in den Ebenen der Winkel \(CAB, ABC, BCA\) befindlichen Kreise vorstellen, so ist \(S'\) zugleich der Durchschnittspunkt der Geraden \(AS', BS', CS'\), deren erste den Winkel \(CAB\), die beiden übrigen aber die Nebenwinkel von \(ABC, BCA\) halbieren; ferner \(S''\) zugleich der Durchschnittspunkt der Geraden \(AS'', BS'', CS''\), deren zweite den Winkel \(ABC\), die beiden übrigen aber die Nebenwinkel von \(CAB, BCA\) halbieren; und endlich auch \(S'''\) der Durchschnittspunkt der Geraden \(AS''', BS''', CS'''\), deren dritte den Winkel \(BCA\), die beiden übrigen aber die Nebenwinkel von \(CAB, ABC\) halbieren.
Da also jede der Geraden \(AS, AS'\) den Winkel \(CAB\) halbiert, so liegen die drei Punkte \(A, S, S'\) in einer geraden Linie, was eben so von den Punkten \(B, S, S''\), und \(C, S, S'''\) gilt; so daß die Geraden \(AS', BS'', CS'''\) einander im Mittelpunkte \(S\) des einbeschriebenen Kreises durchschneiden. Und weil die Geraden \(AS'', AS'''\) die beiden Nebenwinkel von \(CAB\) halbieren, so liegen auch die Punkte \(A, S'', S'''\) in einer geraden Linie, was eben so von den Punkten \(B, S', S'''\) und \(C, S', S''\) gilt; so daß das Dreieck \(S'S''S'''\) um das Dreieck \(ABC\) beschrieben ist. Da übrigens noch die Winkel \(BAS''' = CAS''\) und \(BAS = CAS\), so ist die Gerade \(AS'\) senkrecht auf \(S''S'''\) und eben so auch \(BS''\) auf \(S'S'''\) und \(CS'''\) auf \(S'S''\) senkrecht; so daß die Winkelpunkte \(A, B, C\) des Dreiecks \(ABC\) zugleich die Fußpunkte derjenigen Senkrechten sind, welche im Dreieck \(S'S''S'''\) aus den Winkelpunkten \(S', S'', S'''\) auf die gegenüberliegenden Seiten gefällt sind.
§. 2. Ausdrücke der vier Halbmesser und Satz von L’Huilier¶
Man bezeichne die Halbmesser der Kreise um die Mittelpunkte \(S, S', S'', S'''\) der Ordnung nach durch die Buchstaben \(r, r', r'', r'''\) so sind bekanntlich die Werthe derselben:
wo nach der gewöhnlichen Bezeichnungsart \(a, b, c\) der Ordnung nach die Seiten \(BC, AC, BA\) und \(\Delta\) den Inhalt des Dreiecks \(ABC\) bedeuten.
Multiplicirt man nun diese Ausdrücke der vier Halbmesser in einander, so wird
und weil \((a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 16\Delta^2\):
In jedem Dreieck sind die Halbmesser der vier seine drei Seiten berührenden Kreise von der Beschaffenheit, daß zwischen dem Rechteck aus je zweien derselben und dem Rechteck aus den beiden übrigen das vorgegebene Dreieck selbst das mittlere geometrische Proportional Dreieck ist.
Dieser Satz ist von L’huilier. Er beweist ihn in den Annales des Mathematiques par Gergonne et Lavernede, Nov. 1810. N. V.
§§. 3–7. Symmetrische Relationen unter den Halbmessern r, r’, r’’, r’’’¶
§. 3. Multiplicirt man je zwei und zwei Werthe der \(r', r'', r'''\) in einander und addirt die Produkte, so wird, wenn man den Werth von \(\Delta\) substituirt:
\[r'r'' + r'r''' + r''r''' = \frac{1}{4}(a + b + c)^2,\]Die Summe der drei Rechtecke aus je zweien Halbmessern der ausserhalb berührenden Kreise ist gleich dem Quadrat vom halben Umfang des Dreiecks.
§. 4. Es ist ferner:
\[r'\,r''\,r''' = r\left(r'r'' + r'r''' + r''r'''\right) = \frac{1}{2}(a + b + c)\Delta.\]§. 5. (S. 3–4) Addirt man die Werthe von \(r', r'', r'''\), und stellt \(R = \frac{abc}{4\Delta}\) den Halbmesser des um das Dreieck \(ABC\) beschriebenen Kreises vor, so erhält man:
\[r' + r'' + r''' = r + 4R,\]Die Summe der Halbmesser der drei ausserhalb berührenden Kreise ist gleich dem Halbmesser des einbeschriebenen sammt dem doppelten Durchmesser des umbeschriebenen Kreises.
§. 6. Addirt bezw. subtrahirt man \(r(r'+r''+r''') = ab + ac + bc - \frac{1}{4}(a+b+c)^2\) und \(r'r'' + r'r''' + r''r''' = \frac{1}{4}(a+b+c)^2\), so ergiebt sich:
\[\begin{split}rr' + rr'' + rr''' + r'r'' + r'r''' + r''r''' &= ab + ac + bc, \tag{1} \\ r'r'' + r'r''' + r''r''' - r(r' + r'' + r''') &= \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2). \tag{2}\end{split}\]§. 7. Weil \(r'^2 + r''^2 + r'''^2 = (r'+r''+r''')^2 - 2(r'r''+r'r'''+r''r''')\), so wird nach §. 3. 5.:
\[r'^2 + r''^2 + r'''^2 = (r + 4R)^2 - \frac{1}{2}(a + b + c)^2.\]
§§. 8–11. Berührungsdreiecke δ, δ’, δ’’, δ’’’ und Abstände von den Ecken¶
§§. 8–9. (S. 5–6) Bedeuten \(\delta, \delta', \delta'', \delta'''\) die Inhalte derjenigen Dreiecke, welche durch die Berührungspunkte der Kreise von den Halbmessern \(r, r', r'', r'''\) bestimmt sind (indem man für das erste \(-a\) statt \(+a\), für das zweite \(-b\) statt \(+b\) und für das dritte \(-c\) statt \(+c\) setzt, wobei \(+R\) zu \(-R\) wird, \(\Delta\) aber ungeändert bleibt), so erhält man:
\[\frac{\delta}{r} = \frac{\delta'}{r'} = \frac{\delta''}{r''} = \frac{\delta'''}{r'''} = \frac{\Delta}{2R}, \qquad \text{und nach §. 5.:} \qquad \delta' + \delta'' + \delta''' = \delta + 2\Delta.\]§§. 10–11. (S. 6–8) Wegen \(\sin\frac{1}{2}\alpha\sin\frac{1}{2}\beta\sin\frac{1}{2}\gamma = \frac{r}{4R}\) folgt für die Abstände der Mittelpunkte von den Winkelpunkten \(A, B, C\):
\[AS \cdot BS \cdot CS = 4r^2R, \quad AS' \cdot BS' \cdot CS' = 4r'^2R, \quad AS'' \cdot BS'' \cdot CS'' = 4r''^2R, \quad AS''' \cdot BS''' \cdot CS''' = 4r'''^2R.\]
§§. 12–18. Gegenseitige Abstände A, B, C, A’, B’, C’ der vier Mittelpunkte¶
§§. 13–14. (S. 10) Für die Halbmesser \(\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C}\) der Kreise durch \(S\) und je zwei Winkelpunkte des Dreiecks gilt:
\[\mathfrak{A}^2 + \mathfrak{B}^2 + \mathfrak{C}^2 = 2R(2R - r), \qquad AS \cdot \mathfrak{A} = BS \cdot \mathfrak{B} = CS \cdot \mathfrak{C} = 2rR.\]§§. 15–17. (S. 11–13) Bezeichnen \(A = SS'\), \(B = SS''\), \(C = SS'''\) und \(A' = S''S'''\), \(B' = S'S'''\), \(C' = S'S''\) die sechs Abstände unter den vier Mittelpunkten, so folgt:
\[\begin{split}A'B'C' &= A'BC + AB'C + ABC' = 8(a + b + c)R^2, \\ A^2 + B^2 + C^2 &= 8R(2R - r), \qquad A'^2 + B'^2 + C'^2 = 8R(6R + r) = 8R(r' + r'' + r''' + 2R), \\ A^2 + B^2 + C^2 &+ A'^2 + B'^2 + C'^2 = 48R^2, \\ A^2 + A'^2 &= B^2 + B'^2 = C^2 + C'^2 = 16R^2,\end{split}\](§. 17, S. 13): Die Mittelpunkte der vier Kreise, welche die drei Seiten eines Dreiecks berühren, liegen also, daß das Quadrat vom Abstande je zweier von einander, sammt dem Quadrat vom Abstande der beiden übrigen von einander, jedesmal gleich ist dem Quadrat vom doppelten Durchmesser des umbeschriebenen Kreises.