Abtheilung III: Neunpunktekreis, Feuerbachscher Berührungssatz & Gerade KO (§§ 49–60)¶
K. W. Feuerbach — Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks (Nürnberg, 1822, S. 33–41, Wortgetreuer Abdruck)
§. 49. Abstände KS, KS’, KS’’, KS’’’ — Verweis auf Euler (1765) und Fuß (1797)¶
[Aus :math:`overline{KS}^2 = R^2 - 2rR` auf S. 33 folgt durch Vertauschung von :math:`+a, +b, +c` mit :math:`-a, -b, -c` auf S. 34:]
In jedem Dreieck ist das Quadrat vom Abstande des Mittelpunkts des umbeschriebenen Kreises vom Mittelpunkte irgend eines seiner ausserhalb berührenden Kreise, gleich dem Quadrat vom Halbmesser jenes Kreises, sammt dem doppelten Rechteck aus diesem Halbmesser in den Halbmesser jenes ausserhalb berührenden Kreises.
Den ersten Satz \(\overline{KS}^2 = R^2 - 2rR\) beweist L’huilier in Nro. V. der vorhin angeführten Annales auf eine sehr mühsame und weitläufige Art. Er ist ursprünglich von Euler und befindet sich in einer Abhandlung: Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum. Nov. Commentar. Petrop. T. XI. p. A. 1765. §. 18. VI. Fuß beweist ihn rein geometrisch und sehr einfach (de quadrilateris, quibus circulum tam inscribere quam circumscribere licet; Nov. Act. Petrop. T. X. Petrop. 1797. p. 103. §. 32.). Euler bestimmt in erwähnter Abhandlung für das geradlinige Dreieck die gegenseitige Lage des Durchschnittspunkts seiner Perpendikel, seines Schwerpunkts, so wie der Mittelpunkte des ein- und umbeschriebenen Kreises, aus den Seiten des Dreiecks. Da er indessen den Halbmesser \(\rho\) nicht in den Kalkul eingeführt hat, so konnte er für die Bestimmung der übrigen Abstände nicht auf ähnliche einfache Resultate und geometrische Sätze kommen, wie wir sie hier entwickeln werden.
§. 50. Summe der Quadrate von KS, KS’, KS’’, KS’’’¶
Addirt man die gefundenen Werthe der Quadrate von \(KS, KS', KS'', KS'''\), so kommt, weil (§. 5.) \(r' + r'' + r''' = r + 4R\):
In jedem Dreieck liegt der Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises also, daß die Summe der Quadrate seiner Abstände von den Mittelpunkten der vier berührenden Kreise gleich ist, dem dreifachen Quadrate vom Durchmesser des umbeschriebenen Kreises.
§. 51. Quadrate der Abstände OS, OS’, OS’’, OS’’’¶
Wenn \(O\) wie bisher der Durchschnittspunkt der Perpendikel \(AM, BN, CP\) des Dreiecks \(ABC\) ist, und man zieht \(OS\), so ist:
Nun ist aber \(AF = \frac{1}{2}(-a + b + c)\) und \(AP = \frac{-a^2 + b^2 + c^2}{2c}\), folglich:
ferner, weil (§. 35.) \(OP = \frac{(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 - b^2 + c^2)}{8c\Delta}\), und (§. 2.) \(SF = \frac{2\Delta}{a + b + c}\), so ist:
Substituirt man nun im Ausdrucke für \(\overline{OS}^2\), so wird man denselben endlich in diese Form bringen können:
woraus sich durch Einführung der Kreishalbmesser \(r, \rho, R\) ergiebt:
In jedem spitzwinkligen Dreieck ist das Quadrat vom Abstand des Durchschnittspunkts seiner Perpendikel vom Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises, gleich dem doppelten Quadrat vom Halbmesser dieses Kreises, weniger dem Rechteck aus dem Durchmesser des umbeschriebenen in den Halbmesser desjenigen Kreises, welcher in das durch die Fußpunkte jener Perpendikel bestimmte Dreieck beschrieben ist.
Setzt man in diesem Ausdruck nach einander \(a, b, c\) negativ, so erhält man für die Abstände des Punkts \(O\) von den Mittelpunkten \(S', S'', S'''\) diese Ausdrücke:
[Kritische Anmerkung: Wegen :math:`R mapsto -R` und :math:`rho mapsto -rho` bleibt :math:`-2rho R` bei :math:`a mapsto -a` unverändert negativ; exakt gilt :math:`overline{OS^{(k)}}^2 = 2r^{(k)2} - 2rho R`. Siehe die :ref:`Kritischen Noten <fb-03-notes>`.]
In jedem spitzwinkligen Dreieck ist das Quadrat vom Abstande des Durchschnittspunkts seiner Perpendikel vom Mittelpunkte irgend eines ausserhalb berührenden Kreises, gleich dem doppelten Quadrat vom Halbmesser dieses Kreises, sammt dem Rechteck aus dem Durchmesser des umbeschriebenen in den Halbmesser
desjenigen Kreises, welcher in das durch die Fußpunkte jener Perpendikel bestimmte Dreieck beschrieben ist. Es wird keine Schwierigkeit haben, diese Sätze so wie die folgenden für das stumpfwinklige Dreieck umzuformen und auszudrücken, wenn man sich nur der in §. 24. beschriebenen Natur des Halbmessers \(\rho\) erinnert.
§. 52. Summe der Quadrate von OS, OS’, OS’’, OS’’’¶
Addirt man die gefundenen Werthe der Quadrate von \(OS, OS', OS'', OS'''\), so kommt, weil (§. 28.) \(r^2 + r'^2 + r''^2 + r'''^2 = 4R(2R - \rho)\):
[Exakte Summe mit :math:`-2rho R`: :math:`16R(R - rho)`.]
In jedem spitzwinkligen Dreieck liegt der Durchschnittspunkt seiner Perpendikel also, daß die Summe der Quadrate seiner Abstände von den Mittelpunkten der vier berührenden Kreise, gleich ist dem Rechteck aus dem doppelten Durchmesser des umbeschriebenen Kreises in den Überschuß dieses doppelten Durchmessers über den Halbmesser desjenigen Kreises, welcher in das durch die Fußpunkte jener Perpendikel bestimmte Dreieck beschrieben ist.
§. 53. Das Quadrat des Abstands KO¶
Verbindet man die Punkte \(K, O\) durch eine Gerade, so ist das Quadrat derselben:
Nun ist aber \(Ac - AP = \frac{a^2 - b^2}{2c}\), und (§. 35. 45.)
Substituirt man demnach diese Werthe im Ausdruck für \(\overline{KO}^2\), so wird derselbe nach gehöriger Bearbeitung in diese Form übergehn:
woraus man erhält:
In jedem spitzwinkligen Dreieck ist das Quadrat vom Abstand des Durchschnittspunkts seiner Perpendikel vom Mittelpunkte des umbeschriebenen
Kreises, gleich dem Quadrat vom Halbmesser dieses Kreises, weniger dem doppelten Rechteck aus eben diesem Halbmesser in den Durchmesser desjenigen Kreises, welcher in das durch die Fußpunkte jener Perpendikel bestimmte Dreieck beschrieben ist.
§. 54. Mittelpunkt L des Kreises MNP und KO = 2 OL¶
Man nehme \(L\) für den Mittelpunkt des um das Dreieck \(MNP\) beschriebenen Kreises, dessen Halbmesser (§. 26.) gleich \(\frac{1}{2}R\) gefunden wurde, und ziehe die Gerade \(OL\); so ist, weil \(O\) zugleich der Mittelpunkt des in das Dreieck \(MNP\) beschriebenen Kreises, (§. 49.) \(\overline{OL}^2 = \frac{1}{4}R^2 - \rho R\) und, da wir so eben \(\overline{KO}^2 = R^2 - 4\rho R\) hatten, so folgt \(\overline{KO}^2 = 4\overline{OL}^2\) oder:
Wäre das Dreieck \(ABC\) stumpfwinklig, z. B. bei \(A\), so würde man aus den Werthen \(\overline{OL}^2 = \frac{1}{4}R^2 + \rho^{(1)}R\) und \(\overline{KO}^2 = R^2 + 4\rho^{(1)}R\) das nämliche Resultat finden, so daß man den Satz erhält:
In jedem Dreieck ist der Durchschnittspunkt seiner Perpendikel vom Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises noch einmal so weit entfernt als vom Mittelpunkte desjenigen Kreises, welcher durch die Fußpunkte jener Perpendikel geht.
§. 55. Gerade Linie durch O, L, K¶
Man fälle aus dem Mittelpunkte \(L\) auf die Geraden \(AB, CP\) die Senkrechten \(LJ, LH\), so ist \(LJ = PH\) und, weil bei \(H\) ein rechter Winkel, so ist bekanntlich im Dreieck \(OPL\), \(PH = \frac{-\overline{OL}^2 + \overline{OP}^2 + \overline{LP}^2}{2\,OP}\). Nun ist aber \(LP = \frac{1}{2}R\) und (§. 54.) \(\overline{OL}^2 = \frac{1}{2}R^2 - \rho R\) [sic im Druck 1822 statt :math:`frac{1}{4}R^2 - rho R`], ferner (§. 35. 45.) \(OP \cdot Kc = \rho R\), folglich \(\overline{LP}^2 - \overline{OL}^2 = OP \cdot Kc\). Substituirt man diesen Ausdruck in \(PH = LJ\) so ergiebt sich:
Aus welcher Eigenschaft man bekanntlich schließt, daß die Punkte \(O, L, K\) in ein und derselben geraden Linie liegen, und es erhellet der Satz:
In jedem Dreieck liegen der Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises, der
Durchschnittspunkt seiner Perpendikel und der Mittelpunkt des Kreises durch die Fußpunkte derselben in ein und derselben geraden Linie, deren Mitte zugleich letzter Punkt ist.
§. 56. Halbirung der drei Dreiecksseiten durch den Kreis MNP¶
Weil also der Punkt \(L\) in der Mitte der Geraden \(KO\) liegt, so ist auch der Punkt \(J\) die Mitte der Geraden \(Pc\), und, da hieraus \(Lc = LP = \frac{1}{2}R\) folgt, und eben dieses auf gleiche Weise für die Seiten \(AC, BC\) statt findet, so entsteht der Satz:
In jedem Dreieck trifft der Kreis, welcher durch die Fußpunkte seiner Perpendikel geht, zugleich die Seiten desselben in ihren Mitten.
§. 57. FEUERBACHSCHER HAUPTSATZ — Berührung der vier Kreise¶
Wenn man die Gerade \(LS\) zieht, so ist bekanntlich im Dreieck \(KOS\), weil \(L\) die Mitte von \(KO\) ist, \(2\overline{LS}^2 + 2\overline{OL}^2 = \overline{KS}^2 + \overline{OS}^2\). Substituirt man hierin die aus §. 54. 49. 51. bekannten Werthe der Quadrate von \(OL, KS, OS\), so kommt \(\overline{LS}^2 = \frac{1}{4}R^2 - rR + r^2 = \left(\frac{1}{2}R - r\right)^2\) oder:
Und wenn man hierin nach und nach \(a, b, c\) negativ setzt:
Da nun (§. 26.) \(\frac{1}{2}R\) der Halbmesser des um das Dreieck \(MNP\) beschriebenen Kreises selbst ist, so ergiebt sich hieraus nach einer bekannten Eigenschaft der Kreise, welche einander berühren, folgender Satz:
Der Kreis, welcher durch die Fußpunkte der Perpendikel eines Dreiecks geht, berührt alle vier die drei Seiten desselben berührenden Kreise, und zwar den innerhalb berührenden innerhalb, jeden der ausserhalb berührenden aber ausserhalb.
§. 58. Summe der vier Abstände LS, LS’, LS’’, LS’’’¶
Nimmt man die gefundenen Werthe der Geraden \(LS, LS', LS'', LS'''\) zusammen, so wird (§. 5.):
In jedem Dreieck liegt der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch die Fußpunkte seiner Perpendikel geht, also, daß die Summe seiner Abstände von den Mittelpunkten der vier berührenden Kreise gleich ist, dem dreifachen Durchmesser des umbeschriebenen Kreises.
§. 59. Summe der Quadrate von LS, LS’, LS’’, LS’’’¶
Erhebt man die Werthe der Geraden \(LS, LS', LS'', LS'''\) ins Quadrat, und addirt sie, so kommt (§. 28. 5.):
folglich (§. 50. 53.):
weil \(\overline{KO}^2 = 4\overline{KL}^2\): In jedem Dreieck liegen die Mittelpunkte seiner vier berührenden Kreise also, daß die Summe der Quadrate ihrer Abstände vom Mittelpunkte des Kreises, welcher durch die Fußpunkte der Perpendikel des Dreiecks geht, die Summe der Quadrate ihrer Abstände vom Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises um das vierfache Quadrat vom Abstande dieser beiden Mittelpunkte von einander selbst übertrifft.
§. 60. Der Schwerpunkt G in der Geraden KO¶
Es wird nicht uninteressant seyn, hier zu bemerken, daß, wie schon Carnot (a. O.) gefunden hat, der Schwerpunkt des Dreiecks \(ABC\) ebenfalls in der Geraden \(KO\) liegt, und zwar, nachdem man dieselbe in drei gleiche Theile getheilt hat, im ersten Theilungspunkte von \(K\) an. Denn wenn man die Gerade \(Cc\) zieht, welche die \(KO\) in \(G\) schneide, so ist, weil \(CO\) mit \(Kc\) parallel geht, \(Gc : GC = Kc : OC\). Nun ist aber (§. 45.) \(OC = 2\,Kc\) also auch \(GC = 2\,Gc\), woher offenbar \(G\) der Schwerpunkt des Dreiecks \(ABC\). — Man wird hieraus die Abstände dieses Punkts von den
bisher betrachteten ohne Schwierigkeit bestimmen können. Weil \(GK = \frac{1}{3}KO\), \(GO = \frac{2}{3}KO\), \(GL = \frac{1}{6}KO\), so hat man sogleich (§. 53.):
Ferner ziehe man die Gerade \(GS\), so ist \(\overline{GS}^2 = \overline{KS}^2 + \frac{1}{9}\overline{KO}^2 - \frac{2}{3}KS \cdot KO \cdot \cos SKO\). Nun ist aber \(\cos SKO = \frac{-\overline{OS}^2 + \overline{KS}^2 + \overline{KO}^2}{2\,KS \cdot KO}\), also \(\overline{GS}^2 = \frac{1}{9}(6\overline{KS}^2 + 3\overline{OS}^2 - 2\overline{KO}^2)\) und, wenn man hierin die (§. 49. 51. 53.) gefundenen Werthe der Quadrate von \(KS, OS, KO\) substituirt, so ergiebt sich endlich:
Um die Abstände des Punkts \(G\) von den Mittelpunkten \(S', S'', S'''\) zu erhalten, setze man nur in diesem Ausdruck nach und nach \(a, b, c\) negativ, so kommt ferner:
Addirt man diese Werthe der Quadrate von \(GS, GS', GS'', GS'''\), so erhält man:
und da wir (§. 52.) \(\overline{OS}^2 + \overline{OS'}^2 + \overline{OS''}^2 + \overline{OS'''}^2 = 4R(4R - \rho)\) gefunden haben (S. 41):
[Kritische Anmerkung: Mit dem exakten Vorzeichen :math:`+2Rrho` in :math:`overline{GS^{(k)}}^2` lautet die wahre Identität :math:`9sum overline{GS_i}^2 = 16R(7R - rho)`; siehe :ref:`Kritische Noten <fb-03-notes>`.]