Unit III — Coincidence of Infinite Circle, Straight Line, Triangle & Sphere — Latin (1440 / 1514–1913)¶
Textus Latinus Collatis Editionibus Parisiensi (1514), Basileensi (1565) et Rottae (1913) · DI I.13–15 (1440)
Liber I, Capitulum XIII — De passionibus lineae maximae et infinitae¶
h I, nn. 35–36 · Paris 1514 fol. 5r–5v · Rotta 1913 pp. 27–29 (restoring Klibansky’s collation on arc gh)
Dico igitur, quod, si esset linea infinita, illa esset recta, illa esset triangulus, illa esset circulus et esset sphaera; et pariformiter, si esset sphaera infinita, illa esset circulus, triangulus et linea; et ita de triangulo infinito atque circulo infinito idem dicendum est.
Primum autem, quod linea infinita sit recta, patet: Diameter circuli est linea recta, et circumferentia est linea curva maior diametro; si igitur curva linea in sua curvitate recipit minus, quanto circumferentia fuerit maioris circuli, igitur circumferentia maximi circuli, quae maior esse non potest, est minime curva; quare maxime recta. Coincidit igitur cum maximo minimum, ita ut ad oculum videatur necessarium esse, quod maxima linea sit recta maxime et minime curva. Nec hic potest remanere scrupulus dubii, quando in figura hic lateraliter videtur, quomodo arcus cd maioris circuli plus recedit a curvitate quam arcus ef minoris circuli, et ille plus a curvitate recedit quam arcus gh adhuc minoris circuli; quare linea recta ab erit arcus maximi circuli, qui maior esse non potest. Et ita videtur, quomodo maxima et infinita linea necessario est rectissima, cui curvitas non opponitur, – immo curvitas in ipsa maxima linea est rectitudo; et hoc est primum probandum.
Secundo dictum est lineam infinitam triangulum maximum, circulum et sphaeram. Et ad hoc ostendendum oportet, ut in finitis lineis videamus, quid sit in potentia finitae lineae; et quia quidquid est in potentia finitae, hoc est infinita actu, erit nobis clarius id, quod inquirimus.
Et primo scimus, quod linea finita in longitudine potest esse longior et rectior, et iam probatum est maximam esse longissimam atque rectissimam. Secundo, si linea ab, remanente puncto a immobili, circumduceretur, quousque b veniret in c, ortus est triangulus; si perficitur circumductio, quousque b redeat ad initium, ubi incepit, fit circulus. Si iterum, a remanente immobili, b circumducitur, quousque perveniat ad locum oppositum, ubi incepit, qui sit d, est ex linea ab et ad effecta una continua linea et semicirculus descriptus. Et si, remanente bd diametro immobili, circumducatur semicirculus, exoritur sphaera; et ipsa sphaera est ultimum de potentia lineae, totaliter existens in actu, quoniam sphaera non est in potentia ad aliquam figuram ulteriorem. Si igitur in potentia lineae finitae sunt istae figurae, et linea infinita est omnia actu, ad quae finita est in potentia, sequitur infinitam esse triangulum, circulum et sphaeram. Quod erat probandum.
Et quia fortassis clarius hoc videre velles, quomodo ea, quae sunt in potentia finiti, est actu infinitum, adhuc de hoc te certissimum reddam.
Liber I, Capitulum XIV — Quod infinita linea sit triangulus¶
h I, nn. 37–39 · Paris 1514 fol. 5v–6r · Rotta 1913 pp. 30–31 (restoring Klibansky’s collation on bd and dc)
Imaginativa, quae genus sensibilium non transcendit, non capit lineam posse triangulum esse, cum improportionabiliter ista in quantis differant. Erit tamen apud intellectum hoc facile. Nam iam constat non nisi unum possibile esse maximum et infinitum. Deinde constat – quoniam omnia duo latera cuiuslibet trianguli simul iuncta tertio minora esse non possunt – trianguli, cuius unum latus est infinitum, alia non esse minora. Et quia quaelibet pars infiniti est infinita, necessarium est omnem triangulum, cuius unum latus est infinitum, alia pariformiter esse infinita. Et quoniam plura infinita esse non possunt, transcendenter intelligis triangulum infinitum ex pluribus lineis componi non posse, licet sit maximus verissimus triangulus, incompositus et simplicissimus; et quia verissimus triangulus, qui sine tribus lineis esse nequit, erit necessarium ipsam unicam infinitam lineam esse tres et tres esse unam simplicissimam. Ita de angulis, quoniam non erit nisi angulus unus infinitus, et ille est tres anguli et tres anguli unus. Nec erit iste maximus triangulus ex lateribus et angulis compositus, sed unum et idem est linea infinita et angulus; ita quod et linea est angulus, quia triangulus linea.
Adhuc, poteris te iuvare ad huius intelligentiam per ascensionem a triangulo quanto ad non-quantum. Nam omnem triangulum quantum habere tres angulos aequales duobus rectis manifestum est; et ita, quanto unus angulus est maior, tanto alii minores. Et licet angulus unusquisque possit augeri usque ad duos rectos exclusive et non maxime secundum principium primum nostrum: admittamus tamen, quod maxime augeatur usque ad duos rectos inclusive, triangulo permanente. Tunc est manifestum triangulum unum angulum habere, qui est tres, et tres esse unum.
Pariformiter videre poteris triangulum lineam esse, quoniam, cum omnia duo latera trianguli quanti sint simul iuncta tanto tertio longiora, quanto angulus, quem faciunt, est duobus rectis minor, ut angulus bac quia duobus rectis multo est minor, hinc lineae ba et ac simul iunctae multo longiores bc. Igitur quanto angulus ille maior fuerit, ut bdc, tanto minus vincunt lineae bd et dc lineam bc, et superficies minor. Quare si per positionem angulus valeret duos rectos, resolveretur in lineam simplicem totus triangulus. Unde cum hac positione, quae in quantis impossibilis est, iuvare te potes ad non-quanta ascendendo; in quibus, quod in quantis est impossibile, vides per omnia necessarium. Et in hoc patet lineam esse infinitam triangulum maximum. Quod erat ostendendum.
Liber I, Capitulum XV — Quod ille triangulus sit circulus et sphaera¶
h I, nn. 40–41 · Paris 1514 fol. 6r · Rotta 1913 pp. 31–32
Deinde clarius videbitur triangulum esse circulum. Nam sit triangulus abc causatus per positionem, per circumductionem lineae ab, quousque b venit in c, a fixo remanente: Non habet dubium, quando linea ab esset infinita et penitus circumduceretur b, quousque rediret ad initium, circulum maximum causari, cuius bc est portio. Et quia est portio arcus infiniti, tunc est linea recta bc. Et quoniam omnis pars infiniti est infinita, igitur bc non est minor integro arcu circumferentiae infinitae. Erit igitur bc non tantum portio, sed completissima circumferentia. Quare necessarium est triangulum abc esse circulum maximum.
Et quia bc circumferentia est linea recta, non est maior ab infinitae, cum infinito non sit maius. Nec sunt duae lineae, quia duo infinita esse non possunt. Quare linea infinita, quae est triangulus, est etiam circulus. Quod fuit propositum.
Adhuc, quod linea infinita sit sphaera, ita manifestissimum fit: Linea ab est circumferentia maximi circuli, – immo et circulus, ut iam probatum est; et est in triangulo de b ducta in c, ut supra dictum est. Sed bc est infinita linea, ut etiam statim probatum est. Quare ab rediit in c, supra se reditione completa. Et quando hoc est, sequitur sphaeram necessario exortam ex tali revolutione circuli supra se. Et quia supra probatum est abc esse circulum, triangulum et lineam, habemus nunc probatum esse etiam sphaeram. Et ista sunt, quae investigare proposuimus.