Unit II · Greek Text (Heiberg 1898, pp. 36–46)

ΚΛΑΥΔΙΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΤΑΞΕΩΣ Αʹ, ΚΕΦ. Ιʹ (βʹ)

Transcribed directly from J. L. Heiberg's Teubner edition (Syntaxis Mathematica, Pars I, Leipzig, 1898, pp. 36–46).

1. Θεώρημα Πτολεμαίου περὶ ἐγγεγραμμένου τετραπλεύρου (Heiberg I, pp. 36–37)

[p. 36] Εἰλημμένων δὴ τούτων ἐφεξῆς ἂν εἴη τὸ κατὰ τὸν ἑξῆς ἐκτεθησόμενον διορισμὸν ἀκόλουθον ἐκθέσθαι λῆμμα χρησιμώτατον ὂν εἰς τὰ ἐπὶ μέρους·

Ἔστω γὰρ κύκλος, ἐν ᾧ τετράπλευρον ἐγγεγράφθω τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΒΔ. δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπέναντίον, τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ.

κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ ΑΒΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία. [p. 37] ἐὰν οὖν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΒΓ γωνίᾳ ἴση. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΕ ἴση· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας [Eucl. III, 21]· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ [Eucl. VI, 4]· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ [Eucl. VI, 16]. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ΒΔΓ [Eucl. III, 21], ἰσογώνιον ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ [Eucl. VI, 4]· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΔΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΑΕ [Eucl. VI, 16]. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ [Eucl. II, 1] ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2. Ὑπεροχή, Ἡμίσεια Περιφέρεια καὶ Σύνθεσις (Heiberg I, pp. 38–42)

[p. 38] Τούτου δὴ προεκκειμένου ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΑΓ, καὶ δεδόσθω ἑκατέρας αὐτῶν τὸ μέγεθος τῷ τὴν προκειμένην διάμετρον εἶναι τμημάτων ρκʹ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ αὕτη δέδοται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΓΔ· δῆλον δή, ὅτι καὶ αὗται δοθήσονται διὰ τὸ τῶν εἰς τὸ ἡμικύκλιον παραπληρωματικῶν εἶναι. ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ. … καὶ διὰ τοῦτο λοιπὸν ἡ ΒΓ εὐθεῖα ὑποτείνουσα τὰς ιβʹ μοίρας τμημάτων ἔσται ιβʹ λβʹ λϛʹʹ, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκʹ.

[p. 39] Ἔστω δὴ πάλιν προκείμενον δοθείσης τῆς ἐν τῷ κύκλῳ εὐθείας εὑρεῖν τὴν ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσαν. καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ, καὶ δεδόσθω ἡ ΓΒ εὐθεῖα, καὶ τετμήσθω ἡ περιφέρεια δίχα κατὰ τὸ Δ … [p. 40] καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ. ἀλλὰ δέδοται ἡ ΓΖ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΓ ὑπεροχῆς τῆς τε ΑΓ διαμέτρου καὶ τῆς ΑΒ ὑποτεινούσης τὸ λεῖπον εἰς τὸ ἡμικύκλιον· δοθήσεται ἄρα καὶ ἡ ΓΔ εὐθεῖα ὑποτείνουσα τὸ ἥμισυ τῆς προκειμένης ΒΓ περιφερείας. καὶ αὐτόθεν διὰ τούτου τοῦ θεωρήματος δοθήσονται ἑξῆς αἱ πλεῖσται κατὰ τὰ ἡμίση τῶν προειλημμένων λαμβανόμεναι, ὡς ἀπὸ μὲν τῆς τῶν ιβʹ μοιρῶν ἥ τε ὑπὸ τὰς ϛʹ μοίρας ὑποτείνουσα καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γʹ καὶ ἡ ὑπὸ τὴν α ∠ʹ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ καὶ τέταρτον· εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν τὴν μὲν ὑπὸ τὰς ϛʹ μοίρας τοιούτων ϛʹ ιϛʹ μθʹʹ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκʹ, τὴν δὲ ὑπὸ τὰς γʹ τῶν αὐτῶν γʹ ηʹ κηʹʹ, τὴν δὲ ὑπὸ τὴν α ∠ʹ μοῖραν αʹ λδʹ ιεʹʹ, τὴν δὲ ὑπὸ τὸ ∠ʹ δʹ τῶν αὐτῶν οʹ μζʹ ηʹʹ. …

[p. 42] τὸ μέντοι δοθείσης εὐθείας, ὡς τῆς τὴν α ∠ʹ μοῖραν ὑποτεινούσης, εὑρίσκειν τὴν τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσαν οὐδαμῶς γίνεται διὰ τῶν γραμμῶν· ἐπεὶ κἂν ἐνταῦθα εἴχομεν ἐξ ἑτοίμου τὴν τὸ ἡμιμοίριον ὑποτείνουσαν.

3. Λῆμμα Ἀνισότητος καὶ ἡ τὴν αʹ μοῖραν ὑποτείνουσα (Heiberg I, pp. 43–46)

[p. 43] Προεκθησόμεθα οὖν πάλιν λῆμμα βραχὺ τοιοῦτον· ἐὰν γὰρ εἰς κύκλον διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος.

ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι, ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τῇ ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ καὶ αἱ ΑΔ, ΓΔ … [p. 45] καὶ ὡς μὲν ἡ ΓΕ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ [Eucl. VI, 3], ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΓΔΒ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΔΑ, οὕτως ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν [Eucl. VI, 33]· καὶ ἡ ΓΒ ἄρα εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΒ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. …

[p. 46] ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα, καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων αʹ βʹ νʹʹ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκʹ, καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν οʹ λαʹ κεʹʹ ἔγγιστα.