Unit III · Greek Text (Heiberg 1898, pp. 47, 68–78)

ΚΛΑΥΔΙΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΤΑΞΕΩΣ Αʹ, ΚΕΦ. ΙΑʹ–ΙΔʹ

Transcribed directly from J. L. Heiberg's Teubner edition (Syntaxis Mathematica, Pars I, Leipzig, 1898, pp. 47 & 68–78).

ιαʹ–ιβʹ. Κανονίων ἔκθεσις καὶ ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφέρεια (Heiberg I, pp. 47, 68)

[p. 47] … κανονία ὑποτάξομεν ἀνὰ στίχους μεʹ διὰ τὸ σύμμετρον, ὧν τὰ μὲν πρῶτα μέρη περιέξει τὰς πηλικότητας τῶν περιφερειῶν καθ’ ἡμιμοίριον παρηυξημένας, τὰ δὲ δεύτερα τὰς τῶν παρακειμένων ταῖς περιφερείαις εὐθειῶν πηλικότητας ὡς τῆς διαμέτρου τῶν ρκʹ τμημάτων ὑποκειμένης, τὰ δὲ τρίτα τὸ λʹ μέρος τῆς καθ’ ἕκαστον ἡμιμοίριον τῶν εὐθειῶν παραυξήσεως … εὐκατανόητον δ’, ὅτι διὰ τῶν αὐτῶν καὶ προκειμένων θεωρημάτων, κἂν ἐν δισταγμῷ γενώμεθα γραφικῆς ἁμαρτίας περί τινα τῶν ἐν τῷ κανονίῳ παρακειμένων εὐθειῶν, ῥᾳδίαν ποιησόμεθα τήν τε ἐξέτασιν καὶ τὴν ἐπανόρθωσιν ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑπὸ τὴν διπλασίονα τῆς ἐπιζητουμένης ἢ τῆς πρὸς ἄλλας τινὰς τῶν δεδομένων ὑπεροχῆς ἢ τῆς τὴν λείπουσαν εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφέρειαν ὑποτεινούσης εὐθείας.

[p. 68] … εὑρίσκομεν πάντοτε μείζονα μὲν μοιρῶν μζʹ καὶ διμοίρου, ἐλάσσονα δὲ μζʹ ∠ʹ δʹʹ· παρὰ τοῦτο δὲ συνίσταται σχεδὸν ὁ αὐτὸς λόγος τῷ τοῦ Ἐρατοσθένους, ᾧ καὶ ὁ Ἵππαρχος ἐχρήσατο· γίνεται γὰρ ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφέρεια τοιούτων ιαʹ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ὁ μεσημβρινὸς πγʹ.

ιγʹ. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις (Heiberg I, pp. 68–76)

[p. 68] Εἰς δύο γὰρ εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΒΕ, ΓΔ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον· λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ.

[p. 69] ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΕΗ [Eucl. I, 31]. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΕΗ, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΗ [Eucl. VI, 4]. διὰ τῆς ΔΖ ἄρα ληφθείσης ἔξωθεν ὁ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΕΗ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΒΕ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι πάλιν τὴν ΕΗ τῇ ΖΔ· ὁ ἄρα τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΕ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται καὶ κατὰ διαίρεσιν, ὅτι ὁ τῆς ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΔΖ καὶ τοῦ τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ. …

[p. 74] Τούτων προληφθέντων καταγεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μέγιστοι κύκλοι οὕτως, ὥστε εἰς δύο περιφερείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθείσας τὰς ΒΕ καὶ ΓΔ περιφερείας τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ἑκάστη δ’ αὐτῶν ἐλάσσων ὑποκείσθω ἡμικυκλίου … λέγω, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΕ περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΔ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΒΑ.

[p. 75] εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας, καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰ Β, Ζ, Ε τομὰς ὄντα τῶν κύκλων ἤχθωσαν αἱ ΗΒ, ΗΖ, ΗΕ … ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶ τὰ Θ, Κ, Λ σημεῖα διὰ τὸ ἐν δυσὶν ἐπιπέδοις ἅμα εἶναι αὑτὰ τῷ τε τοῦ ΑΓΔ τριγώνου καὶ τῷ τοῦ ΒΖΕ κύκλου [Eucl. XI, 3].

ιδʹ. Περὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερειῶν (Heiberg I, pp. 76–78)

[p. 76] Προκείσθω δὴ ἡμῖν πρώτας ἀποδεῖξαι τὰς πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐπὶ τῶν διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων γραφομένων κύκλων μεταξὺ αὐτοῦ τε τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζωδίων.

ἔστω γὰρ ὁ δι’ ἀμφοτέρων τῶν πόλων γραφόμενος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ ὁ μὲν ἰσημερινὸς τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον, ὁ δὲ διὰ μέσων τῶν ζωδίων τὸ ΒΕΔ, καὶ τὸ μὲν Ε σημεῖον ὑποκείσθω ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν τομή … [p. 77] ἐπεὶ οὖν ἐν τῇ καταγραφῇ εἰς δύο περιφερείας μεγίστων κύκλων τὰς ΑΖ καὶ ΑΕ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΖΘ καὶ ΕΒ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΑ περιφερείας εὐθείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΑΒ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΖ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΘΗ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΗΕ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΕΒ. [p. 78] … καὶ αὐτὴ ἄρα ἡ ΘΗ περιφέρεια ἔσται τῶν αὐτῶν ιαʹ καὶ μʹ ἑξηκοστῶν ἔγγιστα … ὁμοίως δὲ κἂν τὴν ΕΗ περιφέρειαν ὑποθώμεθα ξʹ μοιρῶν … καὶ αὐτὴ ἄρα ἡ ΘΗ περιφέρεια ἔσται μοιρῶν κʹ λʹ θʹʹ.