Unit I · Greek Text (Heiberg 1898, pp. 4–7, 31–35)

ΚΛΑΥΔΙΟΥ ΠΤΟΛΕΜΑΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΤΑΞΕΩΣ ΒΙΒΛΙΟΝ ΠΡΩΤΟΝ

Transcribed directly from J. L. Heiberg's Teubner edition (Syntaxis Mathematica, Pars I, Leipzig, 1898, pp. 4–7 & 31–35).

αʹ. Προοίμιον (Heiberg I, pp. 4–7)

[p. 4] Πάνυ καλῶς οἱ γνησίως φιλοσοφήσαντες, ὦ Σύρε, δοκοῦσί μοι κεχωρικέναι τὸ θεωρητικὸν τῆς φιλοσοφίας ἀπὸ τοῦ πρακτικοῦ. καὶ γὰρ εἰ συμβαίνει καὶ τῷ πρακτικῷ πρότερον αὐτοῦ τούτου τυγχάνειν θεωρητικῷ, ἀλλ’ ὅμως μεγάλην ἄν τις εὕροι τὴν ἐν αὐτοῖς διαφοράν, οὐ μόνον διὰ τὸ τῶν μὲν ἠθικῶν ἀρετῶν ἐνίας ὑπάρξαι δύνασθαι πολλοῖς καὶ χωρὶς μαθήσεως, τῆς δὲ τῶν ὅλων θεωρίας ἀδύνατον εἶναι τυχεῖν ἄνευ διδασκαλίας, [p. 5] ἀλλὰ καὶ τῷ τὴν πλείστην ὠφέλειαν ἐκεῖ μὲν ἐκ τῆς ἐν αὐτοῖς τοῖς πράγμασι συνεχοῦς ἐνεργείας, ἐνθάδε δ’ ἐκ τῆς ἐν τοῖς θεωρήμασι προκοπῆς παραγίνεσθαι. …

καὶ γὰρ δὴ καὶ ὁ Ἀριστοτέλης πάνυ ἐμμελῶς καὶ τὸ θεωρητικὸν διαιρεῖ εἴς τε τρία τὰ πρῶτα γένη τό τε φυσικὸν καὶ τὸ μαθηματικὸν καὶ τὸ θεολογικόν. [p. 6] συνισταμένων γὰρ τῶν ὄντων ἁπάντων ἔκ τε ὕλης καὶ εἴδους καὶ κινήσεως, καὶ χωρὶς μὲν ἑκάστου τούτων κατὰ τὸ ὑποκείμενον θεωρεῖσθαι μὴ δυναμένου, νοεῖσθαι δὲ χωρὶς τῶν λοιπῶν, τῆς μὲν πρώτης κινήσεως τῆς τῶν ὅλων τὴν πρώτην αἰτίαν, εἴ τις κατὰ τὸ ἁπλοῦν ἐκλαμβάνοι, θεὸν ἀόρατον καὶ ἀκίνητον ἂν ἡγήσαιτο καὶ τὸ ζητητικὸν αὐτῆς εἶδος θεολογικόν … τὸ δὲ τῆς κατὰ τὰ εἴδη καὶ τὰς μεταβατικὰς κινήσεις ποιότητος ἐμφανιστικὸν εἶδος σχήματός τε καὶ ποσότητος καὶ πηλικότητος ἔτι δὲ τόπου καὶ χρόνου καὶ τῶν ὁμοίων ζητητικὸν μαθηματικὸν ἂν ὁρίσαιτο. … [p. 7] μόνον δὲ τὸ μαθηματικόν, εἴ τις ἐξεταστικῶς αὐτῷ προσέρχοιτο, βεβαίαν καὶ ἀμετάπειστον τοῖς μεταχειριζομένοις τὴν εἴδησιν παράσχοι ὡς ἂν τῆς ἀποδείξεως δι’ ἀναμφισβητήτων ὁδῶν γινομένης, ἀριθμητικῆς τε καὶ γεωμετρίας.

ιʹ. Περὶ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν (Heiberg I, pp. 31–35)

[p. 31] Πρὸς μὲν οὖν τὸ πρόχειρον τῆς χρείας κανονικὴν ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος αὐτῶν ἐφεξῆς τὴν μὲν περίμετρον διελόντες εἰς τξʹ τμήματα, παρατιθέντες δὲ τὰς μὲν περιφερείας κατὰ ἡμιμοίριον παρηυξημένας, τὰς δὲ καθ’ ἑκάστην περιφέρειαν εὐθείας ὑποτεινούσας, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος τμημάτων ρκʹ διὰ τὸ περὶ τὸν ἀριθμὸν φανησόμενον ἐξ αὐτῶν εὔχρηστον· [p. 32] πρότερον δὲ δείξομεν, πῶς ἂν δι’ ὀλιγίστων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων ἔφοδον ὡς ἔνι μάλιστα σύντομον καὶ μεθοδικὴν τῶν πηλικοτήτων αὐτῶν πορισαίμεθα, ἵνα μὴ ψιλῶς μόνον ἐκκειμένας ἔχωμεν τὰς τῶν εὐθειῶν πηλικότητας ἀνεπισκέπτους, ἀλλὰ καὶ τὴν ἐξέτασιν αὐτῶν καὶ τὴν διὰ τῶν γραμμῶν παραμυθίαν εὐμεταχείριστον ποιούμεθα. χρησόμεθα δὲ καθόλου ταῖς πραγματείαις κατὰ τὸν τῆς ἑξηκοστῆς τρόπον διὰ τὸ δύσχρηστον τῶν μοναριασμῶν …

Ἔστω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω μὲν ἡ ΕΒ, κείσθω δὲ αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ· λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου πλευρά ἐστιν, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου.

[p. 33] ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΔΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειται αὐτῇ τις εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΔ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ [Eucl. II, 6], τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ, ἐπειδήπερ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσα ἐστὶ τά τε ἀπὸ τῶν ΕΔ, ΔΒ τετράγωνα [Eucl. I, 47]· κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΔ ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετραγώνῳ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ. ὡς ἄρα ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΓΔ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΔΖ· ἄκρον ἄρα καὶ μέσον λόγον τέτμηται ἡ ΓΖ κατὰ τὸ Δ [Eucl. VI def. 3].

ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ καὶ ἡ τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων ἐπ’ εὐθείας συντεθεῖσαι ποιοῦσι τὴν ὅλην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένην [Eucl. XIII, 9], καὶ ἔστιν ἡ ΓΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα ἴση τῇ τοῦ ἑξαγώνου πλευρᾷ [Eucl. IV, 15 coroll.], ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΖ τῇ τοῦ δεκαγώνου πλευρᾷ. ὁμοίως δ’, ἐπεὶ ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων [Eucl. XIII, 10], δύναται δὲ καὶ ἐν τῷ ΒΔΖ ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἡ ΒΖ τήν τε ΒΔ ἑξαγώνου οὖσαν πλευρὰν καὶ τὴν ΔΖ δεκαγώνου, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΖ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.

[p. 34] ἐπεὶ οὖν, ὡς ἔφην, τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τμημάτων ρκʹ ὑποτιθέμεθα, φανερὸν ἐκ τῶν προκειμένων, ὅτι ἡ μὲν ΔΕ τμημάτων ἐστὶ λʹ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνονϡ, ἡ δὲ ΒΔ τμημάτων ξʹ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ͵γχ, τὸ δ’ ἀπὸ τῆς ΕΒ τετράγωνον, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ͵δφ, αὐτὴ δ’ ἡ ΕΖ τμημάτων ξζʹ δʹ νϵʹʹ ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΖ ἡ τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ ὑποτείνουσα τὰς τριάκοντα ἓξ μοίρας τῆς περιφερείας τμημάτων λζʹ δʹ νϵʹʹ, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκʹ. πάλιν δ’, ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζʹ δʹ νϵʹʹ καὶ τὸ ἀπ’ αὐτῆς τετράγωνον ͵ατοε δʹ ιεʹʹ, τὸ δ’ ἀπὸ τῆς ΔΒ τετράγωνον ͵γχ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον ͵δϡοε δʹ ιεʹʹ, ἔσται καὶ ἡ ΒΖ τμημάτων ἔγγιστα οʹ λβʹ γʹʹ· καὶ ἔστιν ἄρα ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ὑποτείνουσα μοίρας οβʹ τμημάτων οʹ λβʹ γʹʹ, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκʹ. [p. 35] αὐτόθεν δὲ δῆλον, ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ ὑποτείνουσα μοίρας ξʹ καὶ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων ἐστὶν ξʹ, ὁμοίως δ’, ἐπεὶ ἡ μὲν τοῦ τετραγώνου πλευρὰ ὑποτείνουσα μοίρας ϟʹ δυνάμει διπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ τοῦ τριγώνου ὑποτείνουσα μοίρας ρκʹ δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ καὶ αὐτὴ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου … ἔσται ἡ μὲν τὰς ϟʹ μοίρας ὑποτείνουσα εὐθεῖα τμημάτων πδʹ ναʹ ιʹʹ ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκʹ, ἡ δὲ τὰς ρκʹ μοίρας τῶν αὐτῶν ργʹ νϵʹ κγʹʹ.