Commentary on Propositions I.33–I.48: Areas, Application & Pythagoras — Ελληνικό Κείμενο (Friedlein 1873)¶
Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librum commentarii, ed. Gottfried Friedlein (Leipzig: B. G. Teubner, 1873, pp. 384–436; CTS urn:cts:greekLit:tlg4036.tlg011.opp-grc1).
Props. I.33–I.34: Parallelogrammic Areas & Diameter Bisection¶
Euclid: [I.34]
τριγώνου, τὴν δὲ λοιπὴν ἄρα τρίτου. δεῖ γὰρ εἶναι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας τὰς τρεῖς. ταῦτα ὃὲ οὐ παρέργως ἐπισημαίνομαι, ἀλλὰ ὡς προπαρασκευάξοντα ἡμᾶς πρὸς τὴν τοῦ Τιμαίου διδασκαλίαν.
ὃ ΚΚαὶ μὴν κἀκεῖνο ῥητέον, ὅτι τὸ τὰς ἐντὸς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ἔχειν καθ᾽ αὑτὸ καὶ αὐτὸ ὑπάρχει τῷ τριγώνῳ᾽ δι᾽’ ὃ καὶ ᾿ἀριστοτέλης πρόχειρον ἔχει τὸ παράδειγμα τοῦτο ἐν ταῖς ἀποδεικτικαῖς πραγματείαις τὸ ἧ αὐτὸ θεωρῶν. ὡς οὖν παντὶ σχήματι τὸ
πεπερατῶσθαι καθ᾿ αὑτὸ ὑπάρχει καὶ πρώτως, οὕτω τῷ τριγώνῳ τῷ εὐθυγράμμῳ παντί, εἰ καὶ μὴ σχήματι παντί, τὸ τὰς ἐντὸς γωνίας δυεῖν ὀρθαῖν ἴσας ἔχειν. καὶ ἔοικεν καὶ κατὰ τὰς κοινὰς ἐννοίας προσπίπτειν ἡμῖν ἡ τοῦ θεωρήματος ἀλήθεια. ἐὰν γὰρ
:ὸ νοήσωμεν εὐθεῖαν καὶ ἐπὶ τῶν περάτων αὐτῆς τινας πρὸς ὀρθὰς ἑστώσας, εἶτα συνιούσας εἰς τριγώνου γένεσιν, ὁρῶμεν ὅτι, καθόσον συνεύουσιν, κατὰ τοσοῦτον ἐλαττοῦσι τὰς ὀρθάς, ἃς ἐποίουν πρὸς τῇ εὐθεία, ὥστε ὅσον ἐκείνων (Ὁ) ἀφεῖλον, τοσοῦτον
προσλαβοῦσαι κατὰ τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ σύνευσιν ἐξ ἀνάγκης τὰς τρεῖς ποιοῦσιν δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
ΧΧΧΠΙ, ἰμοου. ΧΧΙΠ. Ἅί τὰς ἴσας τε καὶ
«αραλλήλους εὐθείας ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπι-
ξευγνύουσαι εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι.
Τοῦτο τὸ θεώρημα ὥσπερ μεθόριον ἐλέγομεν εἶναι τῆς τε περὶ τῶν παραλλήλων καὶ τῆς τῶν παραλληλογράμμων Ϊ ξητήσεως. καὶ γὰρ τῶν ἴσων τὲ καὶ παραλλήλων εὐθειῶν δοκεῖ τι σύμπτωμα λέγειν καὶ γένεσιν παραλληλογράμμων λεληθυῖαν παραθδίδῶσι. γίνεται γὰρ παραλληλόγραμμον ἔκ τε τῶν ἐξ ἀρχῆς ἴσων καὶ παραλλήλων καὶ ἐκ τῶν ταύτας ἐπιξευγνυουσῶν καὶ δεικνυμένων ὡσαύτως ἴσων τε καὶ παραλλήλων. διὸ καὶ τὸ μετὰ τοῦτο εὐθὺς ὡς ἂν ὑποστάντος ἤδη τοῦ παραλληλογράμμου τὰ καθ᾽ αὑτὰ ὑπάρχοντα τοῖς τοιούτοις χωρίοις θεωρεῖ.
Ταῦτα μὲν οὖν σαφῆ᾽ δεῖ δὲ καὶ τὴν ἀκρίβειαν τὴν ἐν τῇ προτάσει διασκέψασθαι. πρῶτον μὲν οὖν ὅτι οὐκ ἠρκέσθη τῷ ἴσας εἶναι τὰς ἐπιξευγνυμένας. οὐ γὰρ πάντως αἷ ἐπιζευγνύουσαι τὰς ἴσας ἴσαι εἰσίν, εἰ μὴ καὶ παράλληλοι εἶεν. τριγώνου γὰρ ὄντος ἰἐσοσκελοῦς καὶ σημείου ληφθέντος ἐπὶ μιᾶς τῶν ἴσων καὶ ἀχθείσης διὰ τοῦδε τῇ βάσει παραλλήλου ἴσας μὲν ἐπιξευγνύουσιν ἢ τε παράλληλος τῇ βάσει καὶ αὐτὴ ἡ βάσις· οὐ μέντοι καὶ ἴσαι εἰσίν. οὐ γὰρ ἦσαν ἐκεῖ-
ναι παράλληλοι αἵ συμπίπτουσαι κατὰ τὴν τοῦ τρι- .
, ’ ’ ΟΝ 3 Α ’ γώνου κορυφήν. δεύτερον δὲ ὅτι οὐδὲ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ὑποκειμένας εὐθείας, μὴ ἴσας δέ, τὰς
1 Μ ἴἰὰ τοαυζίαο 1. 9 παραλληλόγραμμον Τ, παραλληλογράμμον Ὁ.
ἐπιξευγνυούσας παραλλήλους ποιήσειν ὑπέλαβεν. ἐπὶ γὰρ τῆς εἰρημένης κατασκευῆς τῆς κατὰ τὸ ἰσοσκελὲς τρίγωνον καὶ τοῦτο φανερόν. ἡ γὰρ ἀχθεῖσα καὶ ἡ βάσις παράλληλοί εἰσιν᾽ ἀλλ᾽ αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὖὐτὰς οὐ παράλληλοι. μέρη γάρ εἰσι τῶν τοῦ ἐἰσοσκελοῦς πλευρῶν. δεῖ δὴ οὖν πρὸς μὲν τὴν ἰσότητα τῶν ἐπιξευγνυουσῶν τῆς τῶν ἐπιξευγνυμένων παραλλήλου θέσεως, πρὸς δὲ τὴν τῶν παραλλήλων θέσιν τῆς ἐκείνῶν ἰσότητος. διόπερ ὁ στοιχειωτὴς ἄμφω παρέλαβεν ἐπὶ τῶν ἐπιξζξευγνυμένων, ἵνα ἄμφω δείξῃ καὶ περὶ τὰς ἐπιξευγνυούσας εὐθείας, τό τε ἴσας ἀλλήλαις εἶναι καὶ τὸ παραλλήλους. τρίτον δὴ λεγέσθω πρὸς τούτοις ὅτι καὶ ἴσων ὑποκειμένων εὐθειῶν καὶ παραλλήλων οὐ πάντως αἵ ἐπιξευγνύουσαι αὐτὰς ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν. εἰ γὰρ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰς ἐπιξεύξεις ποιησόμεθα, παραλλήλους μὲν αὐτὰς ἀδύνατον εἶναι — τέμνονται γὰρ ὑπ᾽ ἀλλήλων — ἴσας ὃὲ ποτὲ μὲν δυνατόν, ποτὲ δὲ ἀδύνατον. εἰ μὲν γὰρ
λάβοις ἢ τετράγωνον ἢ ἑτερόμηκες χωρίον ὡς τὸ αβγὸ
καὶ ἐπιξεύξαις τὰς αὃ βγ, αἵ διάμετροι ἰσαι μέν, οὐ ᾿ παράλληλοι δέ. καίτοι ἐπκιζευ-
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ αβ τῇ γὸδ, κοινὴ δὲ ἡ ἂγ, καὶ γωνία
ἄνισος ἡ ὑπὸ βαγ τῇ ὑπὸ αγὸ, καὶ αἴ βάσεις ἄνισοί εἰσιν. εἰκότως οὖν ὁ στοιχειωτὴς ἀξιοῖ τὰς ἐπιζευγνυούσας τὰς ἴσας καὶ παραλλήλους ἐπὶ
τὰ αὐτὰ μέρη ποιεῖσθαι τὴν ἐπί-
ξευξιν, ἵνα τῶν ἴσων καὶ παραλ- ,.» )
λήλων ὑποκειμένων τῶν ἂγ βὸ
μὴ τὰς αὃ καὶ βγ λαβῶμεν τὰς ν ἐπιζξευγνυούσας, ἀλλὰ τὰς αβ τὸ καὶ γδ. ταύτας γὰρ ἂν καὶ δείξαιμεν ἴσας καὶ παραλλήλους. ἐκείνας δὲ παραλλήλους μὲν οὐδέποτε, ἴσας ὃΣ ἐπὶ μὲν τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ ἑτερομήκους δείξαιμεν ἂν, ἐπὶ δὲ τοῖ ῥόμβου καὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς οὐκ ἄν ποτε δείξαιμεν, τὸ γὰρ ἀντικείμενον δέδεικται, ὅτι ἄνισοί εἰσι διὰ τὴν ἀνισότητα τῶν ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνιῶν.
Ργορ. ΧΧΧΙΙ͂Ι, ἰμοογυ. ΧΧΠΠ. Τῶν παραλληλο-
γράμμων χωρίων αἱ ἀπεναντίον πλευραί τε
καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
Ἐκ τοῦ προειρημένου θεωρήματος ὑποστὰν ἤδη τὸ παραλληλόγραμμον λαβὼν θεωρεῖ τὰ περὶ αὐτὸ πρώτως ὑπάρχοντα καὶ τὰ χαρακτηριστικὰ τῆς ἰδίας
αὐτοῦ συστάσεως. ἔστιν δὲ ταῦτα᾽ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἴσας εἶναι καὶ τὰς γωνίας τὰς ἀπεναντίον ἴσας, καὶ τὸ δίχα τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς διαμέτρου τὰ χωρία. περὶ γὰρ τούτων εἴρηται τὸ καὶ ἡ διάμεδτρος αὐτὰ δίχα τέμνει, ὡς τὸ ἐμβαδὸν εἶναι τὸ διχοτομούμενον ὅλον, ἀλλὰ μὴ τὰς γωνίας, δι᾽ ὧν ἡ διάμετρος ἔρχεται. ταῦτα οὖν καθ᾽ αὑτὸ τοῖς παραλληλογράμμοις ὑπάρχει τὰ τρία᾽ ἡ τῶν ἀπεναντίον [γωνιῶν ἰσότης, ἡ τῶν ἀπεναντίον) πλευρῶν ἰσότης, 1. ἡ τῶν χωρίων κατὰ τὰς διαμέτρους διχοτομία. καὶ ὁρᾶς ὅπως ἀπὸ πάντων ἐθήρασε τὰς ἰδιότητας αὐτῶν, ἀπὸ τῶν πλευρῶν, ἀπὸ τῶν γωνιῶν, ἀπὸ τῶν ἐμβαδῶν. τεττάρων δὲ ὄντων παραλληλογράμμων, ἃ καὶ ἐν ταῖς ὑποθέσεσιν ὡρίσατο, τοῦ τετραγώνου, τοῖ 18 ἑτερομήκους, τοῦ ῥόμβου, τοῖ δομβοειδοῦς, ἄξιον ἐπισημήνασθθαι τοσοῦτον, ὅτι, εἰ μὲν τὰ τέσσαρα διαιροῦμεν κατὰ τὰ ὀρθογώνια, εὑρήσομεν οὐ μόνον τὰ χωρία διχοτομούσας τὰς διαμέτρους αὐτῶν, ἀλλὰ καὶ αὐτὰς ἴσας τὰς διαμέτρους ἐπὶ τῶν ὀρθῶν γωνιῶν — ἐπὶ δὲ τῶν μὴ τοιούτων ἀνίσους, καὶ εἴρηται ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι — εἰ δὲ κατὰ τὰ ἰσόπλευρα, πάλιν εὑρήσομεν ἐν τοῖς ἰσοπλεύροις οὐ μόνον τὰ χωρία δίχα τεμνόμενα ὑπὸ τῶν διαμέτρων, ἀλλὰ καὶ τὰς γωνίας, δι’ ὧν αὐταὶ φέρονται. καὶ γὰρ ἐπὶ «τοῦ τετραγώνου καὶ ἐπὶ τοῦ ῥόμβου τὰς γωνίας αἴ διάμετροι διχοτομοῦσιν, οὐ τὰ χωρία μόνον, ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήχους καὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς τὰ χωρία μόνον. .
Ἔστω γὰρ τετράγωνον ἢ ῥόμβος τὸ αβγὸ καὶ διάμετρος ἡ αδ. ἐπεὶ οὖν αἵ αβ βὸ ἴσαι ταῖς ] αγΊ
γὸ – ἰσόπλευρα γάρ — καὶ αἴ γ
ὑπὸ αβὸ αγδ ἴσαι — ἀπεναντίον γάρ — καὶ ἡ βάσις κοινή, πάντα ἴσα πᾶσιν, ὥστε καὶ αἴ ὑπὸ βαγ
γὸδβ γωνίαι δίχα τέτμηνται. πάλιν ἔστω τὸ αὐτὸ ἑτερόμηκες ἢ 4 ς ῥομβοειδές. εἰ ουὖν δίχα τέμνεται
ἡ ὑπὸ γαβ, ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ γαῦ ἴση “ἢ 7 κ τῇ ὑπὸ αδβ, ἴση ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ Ὡς βαὸ τῇ ὑπὸ αὃβ, ὥστε καὶ ἡ αβ 2 ᾿ τῇ βδ. ἀλλ᾽ εἰσὶν ἄνισοι. ὡς οὖν
συλλήβδην εἰπεῖν, ἐπὶ μὲν τοῦ τετραγώνου καὶ αἵ διάμετροι ἴσαι διὰ τὴν ὀρθότητα τῶν γωνιῶν καὶ αἶ γωνίαι δίχα τέμνονται ὑπὸ τῶν διαμέτρων διὰ τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν. καὶ τὸ ἐμβαδὸν εἰς ἴσα διαιρεῖται κατὰ τὴν διαγώνιον διὰ τὴν κοινὴν ἰδιότητα τῶν παραλληλογράμμων. ἐπὶ δὲ τοῦ ἑτερομήκους αἴ μὲν διάμετροι ἴσαι, αἴ δὲ γωνίαι οὐ τέμνονται δίχα ὑπὸ τῶν διαμέτρων. ἡ δὲ τῶν χωρίων εἰς ἴσα διαίρεσις ὑπάρχει, καὶ τοῦτο καθόσον ἐστὶ παραλληλόγραμμον. ἐπὶ δὲ τοῦ ῥόμβου ἄνισοι μὲν Ϊ αἵ
διάμετροι, διχοτομοῦνται δὲ ὑπὸ τούτων οὐ μόνον τὰ χωρία, διότι παραλληλόγραμμον, ἀλλὰ καὶ αἵ γωνίαι, διότι ἰσόπλευρον. ἐπὶ δὲ τοῦ λοιποῦ τοῦ ῥομβοειδοῦς καὶ αἱ διάμετροι ἄνισοι ὡς μὴ ὀρθογωνίου καὶ αἱ γωνίαι εἰς ἄνισα τέμνονται ὑπὸ τούτων ὡς μὴ ἰσοπλεύρου, μόνα δὲ τὰ χωρία ἴσα γένεται τὰ ἐφ᾽ ἑκάτερα τῶν διαγωνίων ὡς παραλληλογράμμου. Ταῦτα μὲν οὖν εἴρηται τὴν ἐν ταῖς διαιρέσεσι τῶν παραλληλογράμμων τεττάρων ὄντων ὑποδεικνύἴοοντα διαφοράν, ἐκεῖνο δὲ ἄξιον μὴ παρελθεῖν ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι τεχνικὸν ἀναφαινόμενον, ὅτι τῶν θεωρημάτων τῶν μὲν ὄντων καθόλου, τῶν δὲ οὐ καθόλου — πῶς δὲ τούτων ἑκάτερον λέγομεν, ἀναμνήσομεν μετέρχεσθαι — ἐν τῷ μεμερίσθαι (Ὁ) τὲ ξητούμενον καὶ τὸ μὲν ἔχει καθόλου, τὸ δὲ οὐχέτι τοιοῦτον. καίτοι γὲ δόξειεν ἂν πᾶν θεώρημα εἶναι καθολικόν, καὶ πᾶν τὸ δεικνύμενον ὑπὸ τοῦ στοιχειωτοῦ τοιοῦτον ὑπάρχειν. οἷον καὶ ἐνταῦθα οὐ μόνον τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἢ γωνίας ἴσας ἔχειν καθ20 όλου δοκεῖ λέγεσθαι κατὰ πάντων τῶν παραλληλο-
γράμμων, ἀλλὰ καὶ τὸ τὴν διάμετρον διχοτομεῖν ἔχαστον. ἀλλ᾽ ὅμως τὰ μὲν καθόλου δείκνυσθαι λέγομεν, τὰ δ᾽ οὔ. ἄλλως γὰρ εἴωθε προσαγορεύεσθαι καθόλου τὸ ἐπὶ πάντων ἀληθεῦον, ἐφ᾽ ὧν λέγεται, ἄλλως τὸ
1 διάμετροι) 8 δὰάϊὶ “αυποπίδηλ ποι ὁδὶ σθοϊδηρη απι᾽.
14 ἀναμνήσομεν, ἐν τῷ μεμερίσθαι οὐ ἴπ τιδτρίῃε μετέρχεσθαι Ἡ, Θ᾽; “αιο οῃΐπι ρδοίο βογαια αἰσυμααιθ ἰπ αυδθδὲϊί ρδγΧἰ1οὴ9 αἀἰοαιβ, ΣΘΟΘηΒΘ π)ιι8᾽ Ζ; “υοϊηοᾶο δυΐοια υἱσγυαὰς
πάντα περιλαμβάνον, οἷς ὑπάρχει τὸ αὐτὸ σύμπτωμα. ᾿χαθόλου γὰρ καὶ ὅτι πᾶν ἰσοσκελὲς τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει, ὅτι ἐπὶ πάντων ἀληθὲς τῶν ἐσισκελῶν᾽ καθόλου δὲ καὶ ὅτι πᾶν τρίγωνον τὰς τρεῖς γωνίας δύο ὀρθαῖς ἴσας ἔχει, ὅτι πάντα περιείληφεν, οἷς τοῦτο καθ᾽ αὑτὸ ὑπάρχει. διὸ καὶ πρώτως τριγώνῳ φαμὲν δείκνυσθαι τὸ δυεῖν ὀρθαῖς ἴσας ἔχειν τὰς γωνίας. κατὰ τοῦτο τοίνυν τὸ σημαινόμενον τὰ μὲν καθόλου τῶν θεωρημάτων λέγοντες, τὰ δὲ οὐ καθόλου, τοῦτο τὸ θεώρημά φαμεν τὸ μὲν τῶν ξητουμένων ἔχειν καθόλου, τὸ δὲ οὔ. τὸ μὲν γὰρ τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἢ γωνίας ἴσας ἔχειν καθολικόν ἐστι — μόνοις γὰρ ὑπάρχει τοῖς παραλληλογράμμοις – τὸ δὲ τὴν διάμετρον δίχα τὸ χωρίον ταυεῖν οὐ καθόλου, διότι μὴ πάντα περιείληφεν, ἐφ᾽ ὅσων θεω- ιὸ ρεῖται τὸ σύμπτωμα τοῦτο᾽ καὶ γὰρ τοῖς κύκλοις ὑπάρχει καὶ ταῖς ἐλλείψεσι. καὶ ἐοίκασιν αἴ πρῶται τῶν πραγμάτων ἐπιβολαὶ τοιαῦται εἶναι μερικώτεραι, προϊοῦσαι δὲ τὸ ὅλον συλλαμβάνειν. θεωρήσαντες γὰρ οἵ ἀρχαῖοι ὅτι ἡ διάμετρος Ϊ δίχα τέμνει τὴν ἔλλειψιν καὶ ὅτι τὸν κύκλον καὶ ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον, τὸ κοινὸν ἐν τούτοις ἐπεθεώρησαν. λανθάνει δέ, φησὶν ᾿Δριστοτέλης, τὸ μὴ καθόλου δεικνύς τις ὡς καθόλου διὰ τὸ εἶναι ἀνώνυμον τὸ κοινόν, ᾧ πρώτως ὑπάρχει τὸ σύμπτωμα. τί γὰρ κοινὸν ἀριθμοῖς καὶ 55 μεγέθεσι καὶ κινήσεσι καὶ φθόγγοις, οἷς ἅπασιν ὑπάρχει τὸ ἐναλλάξ, οὐκ ἔστιν εἰπεῖν. καὶ τί κοινὸν ἐλλείψει καὶ κύκλῳ καὶ παραλληλογράμμῳ, χαλεπὸν ἀποδοῦναι. τὸ μὲν γάρ ἐστιν εὐθύγραμμον, τὸ δὲ
περιφερόγραμμον, τὸ δὲ μικτόν διόπερ οἰόμεθα καθόλου δεικνύναι τὸν ἀποδεικνύντα ὅτι πᾶν παραλληλόγφαμμον ἡ διάμετρος δέζα τέμνει τῷ μὴ συνορᾶν τὸ κοινόν, δι᾽ ἣ ἀληθές. τοῦτο μὲν οὖν καὶ ἐκὶ τόν παραλληλογράμμων τὸ τοιοῦτον οὐκ ἔστιν καθόλου διὰ τὴν εἰρημένην αἰτίαν, ἐκεῖνο δὲ τὸ πᾶν παραλληλόγφαμμον ἴσας ἔχειν τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας. καὶ γὰρ ἐὰν ὑποτεθῇ τι σχῆμα τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἔχον, δειχθήσεται
τοῦτο παραλληλόγραμμον. ἔστω γὰρ τοιοῦτον τὸ αβγδ
᾿ καὶ διάμετρος ἡ αὃ. ἐπεὶ οὖν
αἱ αβ βὸ ἴσαι ταῖς ἂγ γὸ καὶ αἴ ὑπ᾿ αὐτῶν περιεχόμεναι γωνίαι ἴσαι καὶ ἡ βάσις κοινή, καὶ τς . πάντα πᾶσιν ἴσα. εἰ ἄρα ἡ ὑπὸ
βαὸδ τῇ ὑπὸ αὃγ ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ αὃβ τῇ ὑπὸ γαδ, παράλληλος ἄρα ἡ μὲν αβ τῇ γὸ, ἡ δὲ ἂγ τῇ βδ, ὥστε παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ αβγὸδ.
Τοσαῦτα περὶ τούτων ἔοικεν δὲ καὶ αὐτὸ τὸ ὄνομα τῶν παραλληλογράμμων ὁ στοιχειωτὴς συνθεῖναι τὴν ἀφορμὴν λαβὼν ἀπὸ τοῦ προειρημένου θεωρήματος. ἐπειδὴ γὰρ ἔδειξεν ὅτι αἴ τὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ
46 μέρη καὶ αὐταὶ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσι, δῆλον ὅτι τὰς ἀπεναντίον ἀπέφηνε παραλλήλους, καὶ τὰς ἐπι-
ξευγνυούσας καὶ τὰς ἐπιζευγνυμένας. τὸ δὲ ὑπὸ παραλλήλων περιεχόμενον εἰκότως παραλληλόγραμμον ἐκάλεσεν, ὡς τὸ ὑπὸ εὐθειῶν γραμμῶν περιεχόμενον εὐθύγραμμον προσείρηκεν.
Καὶ ὁ μὲν στοιχειωτὴς δῆλός ἐστι τὸ παραλληλόγφαμμον ὡς ἐν τετραπλεύροις τιθέμενος. ἐπιστῆσαι δὲ ἄξιον, μήποτε καὶ πᾶν εὐθύγραμμον ἀρτιόπλευρον, ὅταν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ὑπάρχῃ, παραλληλόγραμμον ῥητέον. ἔχει Ϊ γὰρ καὶ τοῦτο τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἴσας τε καὶ παραλλήλους καὶ τὰς ἀπ- τὸ εναντίον γωνίας ἴσας· οἷον τὸ ἐξάγωνον καὶ τὸ ὀκτά«γῶνον καὶ τὸ δεκάγωνον. ἐὰν γὰρ νοήσῃς ἐξάγωνον
τὸ αβγδεξ καὶ ἐκιξεύξῃς τὴν 5 ᾿ αγ., δεικνύεις παράλληλον τὴν
αἱ τῇ γδ. ἐστὶ γὰρ μιᾶς ὀρθῆς ‘: καὶ τρίτου ἡ πρὸς τῷ β καὶ ἑκάστη τῶν τοῦ ἐξαγώνου, ὅταν
ἰσογώνιον ἧ, καὶ ἴση ἡ αβ τῇ ἥ ο
βγ — κεῖται γὰρ ἰσόπλευρον — ἑκατέρα ἄρα τῶν ὑπὸ βαγ βγα τρίτου ἐστίν, αἱ ἄρα ὑπὸ ξαγ αγὸ ὁρ- Ὁ θαί εἰσιν, ὥστε παράλληλος ἡ αξ τῇ γδ. ὁμοίως δὴ καὶ τὰς ἄλλας τὰς ἀπεναντίον δείξομεν παραλλήλους, καὶ ἐπὶ τοῦ ὀκταγώνου ὡσαύτως καὶ τῶν λοιπῶν. εἰ
οὖν παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ὑπὸ παραλλήλων τῶν ἀπεναντίον περιεχόμενον, καὶ ἐν τοῖς μὴ τετραπλεύροις
Prop. I.35: Equal Parallelograms & Birth of Locus Theorems¶
Euclid: [I.35]
ἔσται παραλληλόγραμμον. πλὴν ὅτι κατὰ τὸν στοιχειωτὴν πᾶν παραλληλόγραμμον τετράπλευρόν ἐστι, φανερόν. δηλοῖ δὲ ἐν ἐκείνῳ μάλιστα τῷ θεωρήματι, ἐν ᾧ φησι παραλληλόγραμμον τριγώνῳ τὴν αὐτὴν
ἔχον βάσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ὃν διπλάσιον εἶναι τοῦ τριγώνου. τοῦτο γὰρ ἐπὶ μόνων τὼν τετραπλεύρων ἀληθές.
Ῥχγορ. ΧΧΧΥ͂, ἴμοοσ. ΧΧΥ. Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς 1 παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
“Ὥσπερ τῶν θεωρημάτων ἐλέγομεν εἶναι τὰ μὲν καθολικᾶ, τὰ δὲ ἐπὶ μέρους, καὶ ὃν τρόπον ταῦτα διαιρούμενοι (3) προσετίθεμεν, καὶ ὅτι τὰ μὲν ἁπλᾶ, τὰ δὲ σύνθετα, καὶ τί τούτων ἑκάτερον ἐπεδείκνυμεν, οὕτω
δὴ κατ᾽ ἄλλην διάκρισιν τὰ μὲν εἶναι τοπικά φαμεν, τὰ δὲ οὔ. καλῶ δὲ τοπικὰ μέν, ὅσοις ταὐτὸν συμπτωμα πρὸς ὅλῳ τινὶ τόπῳ συμβέβηκεν, τόπον δὲ γραμμῆς ἢ ἐπιφανείας Ϊ θέσιν ποιοῦσαν ὃν καὶ ταὐτὸν σύμπτωμα. τῶν γὰρ τοπικὼν τὰ μέν ἐστι πρὸς
γραμμαῖς συνιστάμενα, τὰ δὲ πρὸς ἐπιφανείαις. καὶ ἐπειδὴ τῶν γραμμῶν αἱ μέν εἰσιν ἐπίπεδοι, αἱ δὲ στερεαί, — ἐπίπεδοι μέν, ὧν ἐν ἐπιπέδῳ ἁπλῆ ἡ νόησις, ὡς τῆς εὐθείας, στερεαὶ δέ, ὧν ἡ γένεσις ἔκ τινος τομῆς ἀναφαίνεται στερεοῦ σχήματος, ὡς τῆς κυλιν-
6 δρικῆς ἕλικος καὶ τῶν κωνικῶν γραμμῶν -“— φαίην
ἂν καὶ τῶν πρὸς γραμμαῖς τοπικῶν τὰ μὲν ἐπίπεδον ἔχειν τόπον, τὰ δὲ στερεόν.
Τὸ μὲν οὖν προχείμενον θεώρημα καὶ τοπικὸν ἐστι καὶ τῶν πρὸς γραμμαῖς τοπικῶν καὶ ἐπίπεδον. τὸ γὰρ μεταξὺ πᾶν τῶν παραλλήλων τόπος ἐστὶ τῶν συνισταμένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως παραλληλογράμμων, ἃ δὴ καὶ δείκνυσιν ὁ στοιχειωτὴς ἴσα ἀλλήλοις. τῶν δὲ στερδῶν λεγομένων τοπκικῶν θεωρημάτων παράδειγμα ἔστω τοιοῦτο᾽ τὰ εἰς τὰς ἀσυμπτώτους καὶ τὴν ὑπερβολὴν ἐγγραφόμενα παραλληλόγραμμα ἴσα ἐστίν. ὅτι γὰρ ἡ ὑπερβολὴ στερεὰ γραμμή, ἐστὶ δῆλον. κώνου γάρ ἐστι γραμμή.
Τὰ δ᾽ οὖν τοιαῦτα τῶν θεωρημάτων, ὡς φησὶν ὁ Γεμῖνος, ἀπείκαξεν ὁ Χρύσιππος ταῖς ἰδέαις.
ὡς γὰρ ἐκεῖναι τῶν ἀπείρων ἐν πέρασιν ὡρισμένοις τὴν γένεσιν περιλαμβάνουσιν, οὕτως καὶ ἐν τούτοις τῶν ἀπείρων ἐν ὡρισμένοις τόποις ἡ περίληψις γίνεται. καὶ διὰ τὸν ὅρον τοῦτον ἡ ἰσότης ἀναφαίνεται. τὸ γὰρ ὕψος τῶν παραλλήλων τὸ αὐτὸ μένον ἀπείρων νοουμένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως παραλληλογράμμων πάντα ἴσα ἀλλήλοις ἀποφαίνει.
Τοπικὸν οὖν θεώρημα πρῶτον ὁ στοιχειωτὴς ἀνἔγραψεν τὸ προκείμενον καὶ ἔοικεν ὡς ἐν στοιχείῳ κατὰ πάσας τὰς διαιρέσεις τὰ θεωρήματα ποικίλλων μηδὲ τὴν τοιαύτην εἰκότως ἰδέαν αὐτῶν παραλείπειν. ἀλλὰ ἐνταῦθα μέν, ἐπειδὴ περὶ εὐθυγράμμων ὁ λόγος, τοπικὰ παραδίδωσιν ἐπίπεδα πρὸς εὐθείαις, ἐν δὲ τῷ τρίτῳ τὰ περὶ κύκλων καὶ τῶν ἐν τούτοις συμπτω-
μάτων πραγματευόμενος τὰς περιφερείας ἡμᾶς ἀναδιδάξει τῶν τοπικῶν ἅμα καὶ ἐπιπέδων θεωρημάτων. τοιοῦτον γὰρ ἐν ἐχείνοις τὸ αἴ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις καὶ τὸ αἱ ἐν ἡμι-
-κυκλίῳ ὀρθαί. ἀπείρων γὰρ συνισταμένων πρὸς τῇ περιφερείᾳ γωνιῶν τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης πᾶσαι δείκνυνται ἴσαι. καί ἐστιν ἀνάλογον ἐκεῖνα τοῖς τριγώνοις καὶ παραλληλογράμμοις τοῖς ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως.
Τὸ μὲν δὴ τῶν προσεχῶς ζητηθησομένων θεωρημάτων εἶδος τοιοῦτόν ἐστι, τοπικὸν παρὰ τοῖς παλαιοῖς μαθηματικοῖς ἐπονομαζόμενον. [ δόξειεν δ᾽ ἂν παντελῶς εἶναι θαυμαστὸν τοῖς ἀπείροις τῆς τοιαύτης θεωρίας, εἰ τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως παραλληλόγραμμα
:ιὸ ἴσα ἀλλήλοις ἐστί, πῶς γὰρ τοῦ μήκους τῶν συνισταμένων ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως χωρίων ἐπ᾽ ἄπειρον αὐξανομένου — ἐφ᾽ ὅσον γὰρ τὰς παραλλήλους ἐκβάλλομεν. ἐπὶ τοσοῦτον καὶ τὰ μήκη τῶν παραλληλογράμμων αὔξειν δυνάμεθα — πῶς δὲ τούτου γινο-
μένου μένει τῶν χωρίων ἡ ἰσότης, εἰκότως ἄν τις ἐπιξητήσειεν. εἰ γὰρ τὸ μὲν πλάτος ταὐτόν — ἡ γὰρ βάσις μία — τὸ δὲ μῆκος μεῖζον, πῶς οὐχὶ καὶ τὸ χωρίον μεῖζον; ἐστὶ μὲν οὖν τὸ θεώρημα τοῦτο καὶ τὸ περὶ τῶν τριγώνων ἑξῆς τῶν παραδόξων ἐν τοῖς
3 μαθήμασι καλουμένων θεωρημάτων. ἐξειργάσαντο
γὰρ καὶ οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων τὸν παράδοξον λεγόμενον τόπον, ὥσκερ οἱ ἀπὸ τῆς Στοᾶς ἐπὶ τῶν δειγμάτων, καὶ τίθενται καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα τῶν τοιοὕτων εἶναι. καταπλήττει γοῦν τοὺς πολλοὺς εὐθύς, εἰ τὸ μῆχος πολλαπλασιαζόμενον οὐκ ἀναιρεῖ τὴν ἐσότητα τῶν χωρίων τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως. ὁμοίως δὲ λεκτέον ὅτι μέγιστον ἡ τῶν γωνιῶν ἰσότης δύναται καὶ ἀνισότης πρὸς τὴν αὔξησιν τῶν χωρίων ἢ τὴν ἐλάττωσιν. ὅσῳ γὰρ ἀνίσους ποιοῦμεν τὰς γωνίας, τόσῳ μᾶλλον ἐλασσοῦμεν τὸ χωρίον, εἰ μένοε τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος ταὐτόν. δεῖ οὖν τοῦ μήκους αὐξήσεως, ἵνα τὴν ἰσότητα φυλάξωμεν. ἔστω γὰρ εἰ τύχοι παραλληλόγραμμον τὰ αβγδ καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ αγ εἰς ἄπειρον. καὶ ἔστω τυχὸν ὀρθογώνιον τοῦτο, καὶ ἐπὶ τῆς βὸὃ βάσεως ἕτερον συνεστάτω τὸ βεξδ.
ται δῆλον. μείζων γὰρ ἡ βε τῆς αβ ὀρθῆς οὔσης τῆς πρὸς τῷ α γωνίας. ἀλλὰ τοῦτο ἀναγχαίως γέγονεν. ἄνισοι γὰρ αἷ γω-
παράλληλος διὰ τοῦ ἢ τῇ βὸ ἡ η8. ἐστὶν ἄρα καὶ τὸ
μῆκος τοῦ βδηθ’ ἴσον τῷ μήκει τοῦ αβγὸ καὶ τὸ πλάτος ταὐτόν, Ϊ ἀλλὰ τὸ χωρίον ἔλασσον τοῦ χωρίου καὶ
γὰρ τοῦ βεζδ ἔλασσόν ἐστιν. ἡ μὲν δὴ τῶν γωνιῶν ἀνισότης τὸ ἐμβαδὸν ἡλάττωσεν, ἡ δὲ τοῦ μήκους αὔξησις, ὅσον ἀφεῖλεν ἐκείνη, τοσοῦτον προσθεῖσα τὴν ἰσότητα τῶν χωρίων ἐφύλαξεν. ὅρος δὲ τῆς τοῦ μήκους αὐξήσεώς ἐστιν ὁ τῶν παραλλήλων τόπος. ὁρθογωνίων μὲν γὰρ συναμφοτέρων ὄντων τῶν παραλ1. ληλογράμμων δείκνυται τὸ τετράγωνον τοῦ ἑἕτερομήχκους μεῖζον, ἰσοπλεύρων δὲ ἀμφοτέρων ὄντων τὸ ὀρθογώνιον δείκνυται τοῦ μὴ ὀρθογωνίου μεῖξον. καὶ γὰρ ἡ τῶν γωνιῶν ὀρθύότης καὶ ἡ τῶν πλευρῶν ἐσότης τὸ πᾶν δύναται πρὸς τὴν τῶν χωρίων αὔξησιν. ὅθεν δὴ τὸ μὲν τετράγωνον ἀναφαίνεται τῶν
ἰσοπεριμέτρων μεῖζον, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἁπάντων ἔλασδον. ᾿Δλλὰ ταῦτα μὲν ἐν ἄλλοις δείξομεν᾽ πρεπωδέὅτερα γάρ ἐστι ταῖς ὑποθέσεσι τοῦ δευτέρου βιβλίου. 0. πρὸς ὃὲ τὸ προκείμενον θεώρημα δεῖ γινώσκειν ὅτι τε παραλληλόγραμμα λέγων ἴσα τὰ χωρία λέγει καὶ οὐ τὰς πλευράς, — περὶ τούτων γὰρ ὁ λόγος, περὶ τῶν ἐμβαδῶν — καὶ ὅτι νῦν πρῶτον ἐν τῇ ἀποδείξει τοῦδε τοῦ θεωρήματος μνήμην ἐποιήδατο τῶν τραπε6 ζίων᾽ ᾧ καὶ δῆλον ὅτι εἰκότως ἐν ταῖς ὑποθέσεσε καὶ τοῦτο, ὅτι ποτέ ἐστιν, ἐδίδαξεν, ὅτι τετράπλευρον
μὲν τῷ γένει, μὴ παραλληλόγφαμμον δέ. τὸ γὰρ μὴ (Ὁ) τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἔχον ἐκβέβηκεν τῆς τῶν παραλληλογράμμων τάξεως.
Ὁ μὲν οὖν στοιχειωτὴς ἀπέδειξεν τὸ προκείμενον τὴν χαλεπωτέραν πτῶσιν ἐκλεξάμενος. εἰ ὃΣ λέγοι τις,
ἔστω τὰ αβγὸ καὶ βγδε ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ὃδβ. ὥστε τὴν ὃγ διάμε- γ ᾿ τρον εἶναι τοῦ αβ, δείξομὲν ὅτι ἴσα ἐστὶν αὐτόθεν.
τὸ γὰρ βγὸδ τρίγωνον ἕχα-
τέρου ἡμισύ ἐστιν, διότι ἀν ΤΠ 5 , «τς 6,
τοῦ αβ διάμετρος ἡ γῷ,
τοῦ δὲ δὲ ἡ βγ. αἱ δὲ διάμετροι διχοτομοῦσι τὰ παρ-
αλληλόγραμμα. ἴσον ἄρα τὸ αβ τῷ δε. πάλιν εἴ τις
τὴν ὃγ τέμνουσαν ὑποθοῖτο τὴν τοῦ αβ παραλληλο-
γράμμου πλευράν, καὶ οὕτως
κείμενα τὰ παραλληλόγραμμα Γ Ξ
ὡς τὰ αβδε καὶ βγδῖ. δείξο-
μὲν ὅτι καὶ ταῦτα ἴσα ἐστίν. ]}
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ αε τῇ γᾷ –
ἐναντίον οὖσα — κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ γε. ἴση ἄρα ἡ ἂγ τῇ εξ. ἀλλὰ καὶ ἡ αὃ τῇ εβ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ γαὃ τῇ ὑπὸ ξεβ — παράλληλος γὰρ ἡ αὃ τῇ εβ. καὶ βάσις ἄρα ἡ γὸ τῇ ξβ βάσει ἴση καὶ ὅλον τὸ αὃγ
ὃ τρίγωνον τῷ εβξ τριγώνῳ ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ γβ τραπέξιον. ὅλον ἄρα τὸ αβ ἴσον τῷ ὃδξ. καὶ ὁρᾶς ὅτι τρεῖς αὗται μόναι πώς εἰσιν. ἡ γὰρ ὃγ ἢ τέμνει τὴν εβ, ὡς ὃ στοιχειωτὴς ἔλαβεν, ἢ ἐπὶ τῷ ξ
πίπτει, ὡς ἐν τῇ πρὸ ταύτης καταγραφῇ, ἢ τέμνει τὴν
το χε, ὡς νῦν ὑπεθέμεθα. καὶ δέδεικται κατὰ πάσας τὰς πτώσεις τὸ θεώρημα ἀληθές. πλὴν ὅτι διττῆς οὔσης τῶν τραπεζίων διαφορᾶς καὶ τῶν μὲν οὐδετέραν τῶν ἀπεναντίον ἐχόντων παράλληλον, τῶν δὲ μιᾷ μίαν, ἐπὶ τῶν παρὰ τῷ γεωμέτρῃ τραπεζίων τὸ ἔτερόν ἐστιν
εἶδος καὶ ἐπὶ τῆς καταγραφῆς ταύτης. ἡ γὰρ γὲ τῇ ὃβ παράλληλος.
ΧΧΧΥ͂Ι, ἔδποου. ΧΧΥ͂Ι. Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστί.
Τὺ μὲν πρὸ τούτου τὰς βάσεις τὰς αὐτὰς ἐλάμβανεν, τοῦτο δὲ ἴσας μέν, διαφερούσας δὲ ἀλλήλων. κοινὸν δὲ ἀμφοτέροις τὸ ἐν ταῖς αὐταῖς ὑποτίθεσθαι παραλλήλοις τὰ παραλληλόγραμμα. δεῖ δὴ οὖν αὐτὰ μήτε ἐνδοτέρω πίπτειν τῶν ὑποκειμένων παραλλήλων
Props. I.36–I.41: Equal Parallelograms & Triangles Between Parallels¶
Euclid: [I.41]
εὐθειῶν, μήτε ἐξωτέρω. παραλληλόγραμμα γὰρ ἐν ταῖς αὐταῖς εἷναι λέγεται παραλλήλοις, ὅταν αἴ τε βάσεις αὐτῶν καὶ αἷ ταύταις ἀπεναντίον κείμεναι ταῖς αὐταῖς ἐφαρμόξωνται παραλλήλοις. ἀλλ᾽ ὁ μὲν στοιχειωτὴς ἔδειξεν τὸ θεώρημα τὰς βάσεις πάντη κεχωρισμένας λαβών, κωλύει δὲ οὐδὲν καὶ οὕτως αὐτὰς ὑποκειμένας λαβεῖν, ὡς ἔχειν τι μέρος κοινόν. ἔστω γὰρ τὰ αβ γὸ παραλληλόγραμ, ,.,. π ὦ »ν» ὃὍ’ 2 μα ἐπὶ ἴσων βασεων τῶν εβ
ξὸδ. λέγω ὅτι ἴσα ἐστίν. ἐπιξεύχθωσαν αἴ ἐγ βη. ἱ ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ εἴ τῇ βὸ – καὶ γὰρ ἡ εβ τῇ ξὃ — ἀλλ᾽ ἡ γᾷ τῇ δὴ ἴση [καὶ ἡ ὑπὸ εξγ τῇ ὑπὸ βδη — παράλληλος γὰρ
ξ ς»Ῥ. Κκ’ ὃ
ἡ γξ τῇ δὴ —Ἴ καὶ ἡ γε τῇ βη ἴση. ἐστὶ δὲ καὶ παρἄλληλος᾽ παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ γβ. καὶ ἔχει βάσιν τὴν αὐτὴν ἑκατέρῳ τῶν αβ γὸ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς
ἐστι παραλλήλοις. ἴσον ἄρα τὸ αβ τῷ γὸ. εἰ δέ τις μήτε κοινὸν μέρος ἐχούσας ὑποθοῖτο τὰς τῶν παραλληλογράμμων βάσεις, μήτε κεχωρισμένας ἀλλήλων. ἀλλ᾽, ὅπερ ὑπολείπεται μόνον, συναπτούσας ἀλλήλαις
καθ᾽ ἕν σημεῖον, ὡς ἐπὶ τῶν αβ εὖ, ἐροῦμεν ὅτι ἴση ἡ βε τῇ εξ καὶ τῇ γὸ, ὥστε καὶ ἡ γβ τῇ δε. αἵ γὰρ
τὰς ἴσας καὶ παραλλήλους ἐπιζευγνύουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσι. παραλληλόγραμμον ἄρα Χ ς,᾿, Ύγ ὃ ἐστὶ τὸ βὸ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων καὶ ἐν ταῖς παραλλήλοις ταῖς αὃ βε. ἴσα ἄρα τὰ αβ δε παραλληλόγραμβ δ δ ὦ
μά ἐστιν.
᾿Ἡμεῖς μὲν οὖν κατὰ τὴν πρώτην ἐπιβολὴν τὰς τοῦ 10. θεωρήματος κατασκευὰς διείλομεν, εἰπόντες τὰς βάσεις ἢ κοινὸν ἔχειν μέρος, ἢ ἄπτεσθαι μόνον ἀλλήλων, ἢ διεστάναι ἀπ’ ἀλλήλων. δυνατὸν δὲ χἂν ἅπτωνται, ὡς αἱ βε εξ, ἐκτὸς ὅλον τὸ δὲ τῆς αε ὑποτίθεσθαι, ἢ τὴν γε πλευρὰν ἐφαρμόξουσαν τῇ αἀε. ἢ τὴν γὲ τέμνουσαν τὴν αθ’, ἢ τὴν γε πίπτουσαν ὡς διάμετρον τῇ θὲ — ὅτε καὶ ἡ δξ ἡ αὐτὴ ἔσται τῇ αξ — ἢ τῆς αθ’ ἐκβεβλημένης ἐπὶ τὸ κ τὴν γε πίπτου-
σαν ἐχτὸς τοῦ ὃ., καὶ τὴν δὲ Υὶ τέμνουσαν τὴν αθ. ἢ
ἐφαρμόξουσαν ἘΦ
Γ [ᾧῬγορ. ΧΧΧΥ͂ΙΙ, ἔμθου. ΧΧΥ͂Π. Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ἘΠ ἀποφαίνονται. καὶ γὰρ ἴσων ἐκείνων
ἄνισα τὰ χωρία, καὶ ἀνίσων ἴσα δείκνυνται. τοιοῦτον ὁ
δέ τι πεπόνθασιν οἱ χωρογράφοι τὰ μεγέθη τῶν πόλεῶν ἐκ τῶν περιμέτρων συλλογιζόμενοι. ἤδη δέ τινες κοινωνοὶ κτημάτων ἐν τῇ διαιρέσει παρελογίσαντο τοὺς συνδιανεμομένους τῇ ὑπεροχῇ τῆς περιμέτρου παραχρησάμενοι, καὶ πλείονα λαβόντες τῶν ἀπελθόντῶν — εἰληφότες τὸ (9) ὑπὸ τῆς μείζονος περιμέτρου περιεχόμενον ἐμβαδὸν εἶτα (9) ἀμείψαντες χωρία περιοχῇ ἐλάσσονι (9) χρώμενα — βελτίστων ἀπηνέγκαντὸ δόξαν. δυεῖν γοῦν προκειμένων ἰσοσκελῶν τριγώνων, ὧν τὸ μὲν ἑκατέραν τῶν ἴσων ἔχει πέντε, τὴν δὲ βάσιν ἕξ τῶν αὐτῶν, τὸ δὲ ἑκατέραν μὲν τῶν ἴσων πέντε, τὴν δὲ βάσιν ὀκτὼ τῶν αὐτῶν, οἷον πήχεῶν, δακτύλων, κομιδῇ ἀπατᾷ τὸν ἄπειρον τούτων εἰς αἴρεσιν. τοῦτο μὲν γὰρ τὴν περίμετρον ἔχει δέκα
καὶ ὀκτώ, θάτερον δὲ ἕξ καὶ δέκα τῶν αὐτῶν μέτρων.
νθοαῖ. 285 ἄο βῖ.0 ᾿ἰδουπδη 4αδι ἢ ΟἹΔΩΣΒΏΒ 51:15 ἱηνοηϊ ΘΧΘΙΏΡ]ΑΥ 8 Θχρ]οῦ (Ρ. 244—247) εἰ ἀρ] ἸὨθαιἱοπῖ θα 8 ἤρα γα τα οἴ ἐχροβί(ἴοηβ 68, αιιὰπὶ ἀθδί θαυ }γίβ. ὅ ἄνισα δείκνυται.
τοιούτου Ο. ι0–14 1μοσι Ρ]υγῖθαθ ἀ6 οδδ18 ἀυθῖτ πὶ 1 ἴθ ΥΡιθΐδίιι8 οδὺ Ζ: “οἱ οδ8 ὑ] γα 6586 4186 δι1Ὁ ΓΙ ΟΥΣ ΔΙ ἐπι ΟΟΙΏ-
ἀλλ᾽ ὁ γεωμετρικὸς οὐκ ἀγνοήσει ὅτι ἴσα ἐστὶ τὰ χωρία, κἂν αἱ περίμετροι ἄνισοι ὦσιν. δώδεκα γὰρ ἑκάτερόν ἐστιν. ἐὰν γὰρ ἀγάγῃς ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετον δίχα μὲν διαιρήσεις τὰς βάσεις καὶ ποιήσεις
ὁ ἐν θατέρῳ μὲν τριῶν, ἐν δὲ λοιπῷ τεττάρων τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως, αὐτὴν δὲ τὴν κάθετον ἀνάπαλιν οὗ μὲν τεττάρων, οὗ δὲ τριῶν. δεῖ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς πεντάδος ἴσον [εἶναι} τῷ τε ἀπὸ τῆς καθέτου καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως. ἀλλ᾽ εἰ μὲν αὕτη τριῶν, ἡ
χάθετος τεττάρων, [εἰ δ᾽] αὕτη τεττάρων, ἐκείνη δηλαδὴ τριῶν. ποιήσας οὖν τὴν κάθετον ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως ἕξεις τὸ ἴσον τῷ τριγώνῳ χωρίον. τοῦτο ὃς ταὐτόν ἐστιν καθ᾽ ἑκάτερον, εἴτε τὸν τρία ἐπὶ τὸν τέσσαρα, εἴτε τὸν τέσσαρα ἐπὶ τὸν τρία ποιήσειας.
Ταῦτα μὲν οὖν εἴρηται πρὸς ἔνδειξιν τοῦ τὴν ἰσότητα τῶν χωρίων μὴ ᾿ πάντως ἐκ τῶν περιμέτρων λαμβάνειν, ἵνα μὴ θαυμάξωμεν, εἰ τῶν ἐπὶ τῆς αὐτὴς βάσεως τριγώνων ἐπ᾽ ἄπειρον αὔξεσθαι κατὰ τὰς λοιπὰς πλευρὰς δυναμένων ἐντὸς τῶν αὐτῶν παραλλή-
λῶν ὅμως ἡ τῶν χωρίων ἰσότης ἀνεξάλλακτος διαμένει. δεῖ δὲ ἐκεῖνα τῶν τριγώνων ἐν ταῖς αὐταῖς παραλληλοις λέγειν, ὅσα τὰς βάσεις ἐπὶ τῆς ἑτέρας ἔχοντω τῶν παραλλήλων ἐρείδει τὰς κορυφὰς ἐπὶ τῆς λοιπῆς. καὶ ὧν ἡ ἐπὶ τὰς κορυφὰς ἐπιξευγνυμένη μία τέ ἐστιν
45 εὐθεῖα καὶ παράλληλος ταῖς βάσεσιν ἐπὶ μιᾶς εὐθείας κειμέναις.
Ργον. ΧΧΧΥΝΊΠ, ἰμοον. ΧΧΥΠ. Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παρ«λλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Ἐστὶ μὲν καὶ τοῦτο τὸ θεώρημα τοπικὸν ἀνάλογον τοῖς παραλληλογράμμοις καὶ τὴν τῶν τριγώνων θέσιν ἐπὶ τῶν ἴσων βάσεων ὑποτιθέμενον. δοκεῖ δέ μοι τῶν τεττάρων τούτων θεωρημάτων., ὧν δύο μέν ἐστιν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων δεδειγμένα, δύο δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων, καὶ τὰ μὲν τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως, τὰ δὲ ἴσων ὑπαρχουσῶν τῶν βάσεων, μίαν ἀπό3 “- ρο ’ Α ᾿Ὶ -«« Ἷ δειξιν ἐν τῷ ἕχτῳ βιβλίῳ κατὰ τὸ πρῶτον θεωρημα παρέχεσθαι, λανθανειν τε τοὺς πολλοὺς τοῦτο ποιῶν. ὅταν γὰρ τούτῳ δεικνύῃ τὰ τρίγωνα καὶ παραλληλύ᾿Ὶ ς Ἁ μι 9· Ρ᾿ “ ᾿Ὶ ᾿»» Ά γραμμα τὰ υπὸ τὸ αὐτὸ ὑψος ἔχοντα πρὸς ἄλληλα τὸν λόγον, ὃν ἔχουσιν αἵ βάσεις. οὐδὲν ἄλλο ἢ ταῦτα πάντα καθολικώτερον ἀποδείκνυσιν ἐκ τῆς ἀναλογίας. 3 . 3. Δ ΟΝ 3 δ » 3 -“ τὸ γὰρ αὐτὸ ὕψος οὐδὲν διαφέρει ἢ ἐν ταῖς αὐταῖς εἶναι παραλλήλοις. πάντα γὰρ τὰ ἐν ταῖς αὐταῖς 3᾿ ᾽ φ ᾿ ᾿ 9 ΣῚ [ω ἢ 9 ’ ὄντα παραλλήλοις ὑπὸ τὸ αὐτο ἔστιν υψὸς καὶ αἀνα[ες ’ φ 9 4 - »..»,ὕ ’ παλιν. ὕψος γάρ ἐστιν ἡ ἀπὸ τῆς ἑτέρας παραλλήλου ’ ΠῚ ’ 4 ἃ: μι 4 3. 23 , κάθετος ἐπὶ τὴν λοιπήν. ἐχεῖ μὲν ουν δι΄ ἀναλογίας δέδεικται ὅτι οὕτως ἔχει τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλύγφραμμα τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τουτέστιν τὰ ἐν ταῖς αὐταῖς κείμενα παραλλήλοις, ὡς «αἴ βάσεις· καὶ ἴσων οὐσὼν τῶν βάσεων ἴσα τὰ χωρία, καὶ διπλάσια διπλα-
χωρία λόγον πρὸς ἄλληλα. ἐνταῦθα δέ — οὐ γὰρ ἦν ἀναλογίᾳ χρῆσθαι μηδέπω διδάξαντα περὶ αὐτῆς - ἀρκεῖται τῇ ἰσότητι μόνῃ, καὶ ταύτην ἐκ τῆς ἰσότητος ἢ ταυτότητος τῶν βάσεων συλλογίξεται. ἐν ἕνὶ
δ᾽ οὖν ἐκείνῳ τὰ τέτταρα ταῦτα θεωρήματα περιέχεται, οὐ μόνον ὅτι διὰ μιᾶς ἀποδείξεως δείκνυσιν, ὅσα ἐν. τοῖς τέτρασιν περιέχεται τούτοις, ἀλλ᾽ ὅτι καὶ πλέον τι προστίθησιν τὴν ταυτότητα τῶν λόγων, κἂν ἄνισοι αἴ [ βάσεις ὦσι.
Ταῦτα περὶ τοὐύτων᾽ ὅτι δὲ καὶ τοῦτο πολύπτωτόν ἐστι τὸ θεώρημα καὶ δυνατὸν τὰς βάσεις τὰς τῶν τριγώνων ἢ ταὐτὸν μέρος ἐχούσας λαμβάνειν, ὡς ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων, ἢ μηδενὶ μὲν κοινῷ μέρει χρωμένας, καθ᾽ ἕν δὲ σημεῖον ἀλλήλαις συναπτούσας,
ἢ καὶ πάντη κεχωρισμένας, ὥστε εἶναι μεταξὺ γραμμήν, δῆλόν ἐστι τοῖς καὶ μικρὰ συνεῖναι δυναμένοις,
καὶ ὅτι κατὰ πάσας τὰς πτώσεις, ὅπως ἂν ἔχῃ τὰς βάσεις κειμένας ἢ τὰς κορυφάς, ἡ αὐτὴ μέθοδος, ἄγειν παραλλήλους ταῖς πλευραῖς καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν
τριγώνων [παραλληλόγραμμον καὶ διὰ τούτων τὴν τῶν τριγώνων] ἰσότητα κατασκευάζξειν.
ὁ ὑποδείξεως Οὅ. 1τελεόν Ο, πλέον Β., Ο, “να 8᾽ Ζ, “ν]υβ’
Ριορ. ΧΧΧΥΙΠ]Ὶ, ἰμοου. ΧΧΥ͂ΠΙ. Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν.
Ὅτε μὲν τὴν ἰσότητα δεικνύναι προὔκειτο, τότε τέτταρα θεωρήματα τὸν ἀριθμὸν ἐποιοῦμεν, δύο μὲν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων, δύο δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων λαμβάνοντες, ἢ ἐπὶ τῶν αὐτῶν ἢ ἐπὶ ἴσων κείμενα βάσεων. νυνὶ δὲ ἀντιστρέφοντες τὰ μὲν ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων ἀντιστρέφοντα παρήχαμεν, τὰ δὲ ἐπὶ τῶν τριγώνων μνήμης ἠξιώσαμεν. αἴτιον δὲ ὅτι τρόπος μὲν τῆς ἀποδείξεως ὁ αὐτὸς καὶ ἐπ᾽ ἐκείνων ἀπαραλλάκτως διὰ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς καὶ τῆς ὁμοίας κατασκευῆς, ἀρκούμεθα δὲ ἐπὶ τῶν ἁπλου-
στέρων, λέγω δὴ τῶν τριγώνων, ὑποδείξαντες τὴν
μέθοδον καταλιπεῖν τοῖς ἀγχινουστέροις καὶ ἐπὶ τῶν ὑπολοίπων τὰ αὐτὰ συλλογίζεσθαι, ἐπεί, ὅτι γε ἡ αὐτὴ καὶ ἐπὶ τούτων μέθοδος, ῥάδιον συνιδεῖν. λαβόντες γὰρ παραλληλόγραμμα ἴσα ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάὅεως, ἢ καὶ ἐπὶ τῶν ἴσων, ἐροῦμεν ὅτι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. εἰ γὰρ μή, ἢ ἐντὸς πεσεῖται θάτερον τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ παραλλήλων ἐκβαλλομέψῶν, ἢ ἐκτός. ὅπως δὲ ἂν πίπτῃ, λαβόντες ἐκεῖνο καὶ τὰς ἐν αὐτῷ παραλλήλους ἐδείξαμεν, ἃ καὶ ἐπὶ τὼν τριγώνων, ὅτι τὸ ὅλον ἴσον ἔσται τῷ ἑαυτοῦ μέρει. τοῦτο δὲ ἀδύνατον.
Ὅτι δὲ εἰκότως ὁ στοιχειωτὴς προσέθηκεν τὸ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δῆλόν ἐστι (Ὁ). μιᾶς γὰρ βάσεως
ἴσα τρίγωνα λαβεῖν δυνατόν, τὸ μὲν ἐπὶ τάδε τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπὶ θάτερα. ἀλλ᾽ οὐ πάντως ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστι ταῦτα παραλλήλοις οὐδὲ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἐστί.
Τοῦτο μὲν οὖν διὰ τοῦτο Ϊ προσέθηκεν. διχῶς
δὲ δυνατὸν ὃν ἄγειν τὴν παράλληλον κατὰ τὴν ἄτοπον ὑπόθεσιν αὐτὸς ἤγαγεν ἐντός ἡμεῖς δὲ ἐκτὸς ἀγα-
γόντες τὰ αὐτὰ δείξομεν. ἔστω γὰρ τὰ αβγ ὃβγ ᾿ τρίγωνα ἐπὶ μιᾶς βά-
10 8 σεως καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη. λέγω ὅτι ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστι παραλλήλοις καὶ ἡ ἐπὶ τὰς κορυφὰς αὐτῶν ἐπιξευ-
5 4 χθεῖσα τῇ βάσει παρ-
ἀλληλός ἐστιν. ἐπεξεύχθω γὰρ ἡ αὖ. εἰ δὲ μή ἐστιν αὐτῇ παράλληλος, ἔστω ἡ ταύτης ἐχτὸς ἡ αε. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ γδε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ εβ. ἴσον ἄρα τὸ αβγ τῷ εβγ, ἀλλὰ τὸ αβγ τῷ ὃβγ. τὸ ἄρα εβγ τῷ 9 δβγ ἴσον, τῷ μέρει τὸ ὅλον’ ἀλλὰ ἀδυνατόν᾽ οὐκ ἄρα ἔξω πεσεῖται τῆς αὃ ἡ παράλληλος· δέδεικται δὲ ὅτι οὐδὲ ἐντὸς παρὰ τῷ στοιχειωτῇ᾽ αὐτὴ ἄρα ἐστὶν
ἡ αὃ τῇ βγ παράλληλος· ἐν ταῖς αὐταῖς ἄρα παραλλήλοις ἐστὶ τὰ ἴσα τρίγωνα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη.
Καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παραλλήλοις ἀποδέδεικται μὲν δὴ καὶ τὸ λοιπόν μέρος τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγω-
γῆς ἄξιον δὲ ἐπισημήνασθαι ὅτι τριττῆς οὔσης τῆς τῶν θεωρημάτων ἀντιστροφῆς — ἢ γὰρ ὅλον ἀντιστρέφει πρὸς ὅλον, ὡς τὸ ὀχτωχαιδέκατον καὶ ἐννεακαιθέχατον εἴπομεν, ἢ ὅλον πρὸς μέρος, ὡς τὸ ἔκτον καὶ πέμπτον, ἢ μέρος πρὸς μέρος, ὡς τὸ ὄγδοον καὶ τέταρτον. οὐ γὰρ ὅλον τὸ δεδειγμένον ἐν θατέρῳ ζητούμενόν ἐστιν ἐν θατέρῳ, οὐδὲ τὸ ζητούμενον δεδομένον, ἀλλὰ μέρος — ἔοικεν δὲ (Ὁ) τοιαῦτα εἶναι καὶ ταῦτα τὰ θεωρήματα ἐπὶ τῶν τριγώνων. ἦν γὰρ τὸ ξητούμενον ἐν τοῖς πρὸ τούτων ἴσα εἶναι τὰ τρίγωνα. το τοῦτο δὲ οὐ μόνον ἐστὶ δεδομένον ἐν τούτοις, μέρος προσλαβὸν τῆς ἐν ἐκχεῖνοις ὑποθέσεως. τὸ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εἶναι βάσεως, ἢ ἐπὶ ἴσων, καὶ ἐπὶ τούτων δέδοται καὶ ἐπ᾿ ἐκείνων, πλὴν ὅτι προσέθηκεν ἐν ταύταις ταῖς ὑπκοθέσεσιν, οὐ μὴν ἐν ἐκείνοις, μήτε ξητού- τὸ μενον, μήτε δεδομένον᾽ τὸ γὰρ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἔξωθεν προσείληπται.
] Ργορ. ΧΙ, ιθου. ΧΧΧ. Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστί. 40
Καὶ ὁ τρόπος τῆς ἀντιστροφῆς ὁ αὐτὸς ἐπὶ τούτου καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀπαράλλακτος καὶ τὸ παραλελειμμένον τῷ στοιχειωτῇ τῆς εἰς ἀδύνατον ἀπαγωγῆς ὡσαύτως ἀποδείκνυται. καὶ οὐδὲν δεῖ τὰ αὐτὰ ἀνακυχλεῖν. τριῶν δὲ ὄντων τούτων ἐν ταῖς εἰρημέναις 1:5
μέρος πρὸς μέρος ὅλον πρὸς μέρος Ἡ, δ., Ο (2), “Ῥδτε δὲ μαχίοπι᾽ 8. 8 καὶ τοιαῦτα τὰ θεωρ. (΄. ἰτ «ροείληπται Ο,
προσείληπται Ο. ἢ Ῥτοροείϊϊοποιι αὐδάγαροείτδπι π0}10 ἱπξοσῬυμποϊοιμΐδ β’βηο ρῬοδίϊο ροδὶ προσεέληπται δ ἀἰδάμπὶ Ἧ, 6.
προτάσεσι, τοῦ ἐπὶ ἴσων εἶναι βάσεων ἢ τῶν αὐτῶν, τοῦ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, [τοῦ ἴσα εἶναι τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα], δῆλον ὅτι δύο συμπλέκοντες ἀεί, τὸ δὲ ἕν καταλείποντες ποικίλως 6 ἀντιστρέφομεν. ἢ γὰρ τὰς βάσεις ὑποθησόμεθα τὰς αὐτὰς ἢ ἴσας καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις τὰ τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλόγραμμα, καὶ ποιήσομεν τέσσαρα θεωρήματα, ἢ ἴσα ληψόμεθα αὐτὰ καὶ τὰς βάσεις τὰς αὐτὰς ἢ ἴσας, καὶ ποιήσομεν ἄλλα τέτταρα — ὧν 1 τὰ μὲν δύο παρῆκεν ὁ στοιχειωτής, τὰ ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων, τὰ δὲ δύο ἔδειξεν τὰ ἐπὶ τῶν τριγώνῶν — ἢ καὶ ἴσα λαβόντες καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις δείξομεν τὸ λοιπόν, ἢ ὅτι ἐπὶ τῶν αὐτῶν ἐστιν ἢ τῶν ἴσων βάσεων, καὶ ποιήσομεν ἄλλα τέτ1 ταρα, ἃ δὴ καὶ πάντη παρῆκεν ᾧ στοιχειωτής᾽ καὶ γὰρ ἐπὶ τούτων ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις, πλὴν ὅσον τούτων τῶν τεττάρων τὰ δύο οὐκ ἔστι καθ᾿ ἑαυτὸ ἀληθῆ. οὐ γὰρ τὰ ἴσα παραλληλόγραμμα ἢ τρίγωνα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παραλλήλοις ἐξ ἀνάγκης ἐπὶ τῆς αὐτῆς βά40 σεῶς, ἀλλὰ τὸ ὅλον τοῦτο ἐπὶ τούτων τῶν ὑποθέσεων ἀληθές, ὅτι ἐπὶ τῶν αὐτῶν ἐστι βάσεων ἢ ἐπὶ τῶν ἴσων, τὸ δὲ ἕτερον οὐκ ἐκ παντὸς ἕπεται ταῖς ληφθ είσαις ὑποθέσεσιν. ὥστε δέκα ὄντων τῶν πάντων θεωρημάτων ἕξ μὲν ὁ γεωμέτρης ἀνέγραψεν, τέσσαρα 46 δὲ παρῆκεν, ἵνα μὴ πάλιν [τὰ αὐτὰ λέγοι] τῆς αὐτῆς οὔσης ἀποδείξεως. δεικνύσθω γὰρ ἐπὶ τῶν τριγώνων
ὅτι, ἐὰν ἴσα ἡ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, Τὶ ἐπὶ τῶν αὐτῶν ἔσται βάσεων, ἢ ἐπὶ ἴσων. μὴ γάρ᾽ ἀλλ᾽
εἰ δυνατόν, ἔστω τὰ αβγ
δεξ τρίγωνα οὕτως ἔχοντα ἐπὶ ἀνίσων βάσεων
τῶν βγ εξ, καὶ ἔστω
μείξων ἡ βγ, καὶ ἀφῃρή-
ἐπ Σ: ΎΣΤΕΡΕ εξ 9 σθω ἡ β ἴση τῃ εξ, καὶ ἡ
ἐπεξεύχθω ἡ αθ. ἐπεὶ οὖν τὰ αβθ δεξ ἐπὶ ἴσων ἐστὶ βάσεων τῶν βθ εἴ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, [ἴσα] ἄρα ἐστίν· ἀλλὰ καὶ τὰ αβγ ὁεξ ἴσα ὑπόκειται· τὰ ἄρα αβγ αβθ ἴσα ἔσται, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα
ἄνισοι αἵ βάσεις τῶν αβγ δεξ τριγώνων. ὃ δὲ αὐτὸς
τρόπος τῆς ἀποδείξεως ἔσται καὶ ἐπὶ τῶν παραλληλογράμμων. ἐπεὶ οὖν καὶ ἡ μέθοδος τῆς δείξεως ἡ αὐτὴ καὶ τὸ ἀδύνατον τὸ αὐτό, ὅτι τὸ ὅλον τῷ μέρει ἶσον, εἰκότως ὑπὸ τοῦ στοιχειωτοῦ παραλέλειπται. εἴρηται οὖν ὅτι δέκα θεωρήματα ἐξ ἀνάγκης, καὶ τίνα τὰ παραλελειμμένα, καὶ τίς ἡ αἰτία τῆς τούτων ἀποσιωπήσεως. ἀλλ᾽ ἐπὶ τὰ ἐφεξῆς τούτοις μεταβαίνωμεν.
ΧΙΙ, ἰθοον. ΧΧΧῚΙ, Ἐὰν παραλληλόγραμ-
μον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἢ, διπλάσιόν ἐστι τὲ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου.
υ Ἐστὶ μὲν δὴ καὶ το θεώρημα τοῦτο τοπιρόν, μίγνυσι. ὃὲ τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων συστάσεις ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κειμένων. ὥσπερ οὖν τὰ παραλληλόγρφαμμα χωρὶς ἐθεασάμεθα καὶ αὖ πάλιν τὰ τρίγωνα, οὕτω καὶ ἅμα ἀμφότερα λαβόντες ταὐτὸν
ἐκείνοις πεπονθότα τὸν λόγον, ὃν ἔχει πρὸς ἄλληλα, θεωρήσωμεν. ἐπ᾽ ἐκείνων μὲν οὖν ὁ τῆς ἰσότητος ἀναφαίνεται λόγος — πάντα γὰρ ἴσα ἀλλήλοις τὰ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων, εἴτε τρίγωνα, εἴτε παραλληλόγραμμα, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ὄντα παραλλήλοις —
ἐπὶ δὲ τούτων ὁ πρώτιστος δείκνυται τῶν ἄνισων ὁ διπλάσιος. τὸ γὰρ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου διπλάσιον ἀποδείκνυσι τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως καὶ ὕψους τοῦ αὐτοῦ. ἀλλ᾽ ὁ μὲν στοιχειωτὴς τὴν τοῦ τριγώνου κορυφὴν ἐκτὸς ὑποθέμενος τοῦ παραλληλο-
380 γράμμου τὸ προκείμενον ἔδειξεν, ἡμεῖς ὃὲ ἐπὶ τῆς ἑτέρας αὐτὴν λαβόντες τοῦ παραλληλογράμμου πλευρᾶς, τῆς παραλλήλου τῇ κοινῇ αὐτῶν βάσει, τὸ αὐτὸ ἀποδείξομεν. δύο γὰρ αὗται τοῦ θεωρήματός εἰσι πτώσεις, ἐπειδὴ τῆς αὐτῆς βάσεως οὔσης ἀμφοῖν ἢ
ἐντὸς τοῦ παραλληλογράμμου τὴν κορυφὴν ἔχειν ἀνάγκη τὸ τρίγωνον ἢ ἐκτός. ἔστω οὖν παραλληλύ-
γραμμον τὸ αβγὸ καὶ τρίγωνον τὸ δἐγδ, καὶ κείσθω
τὸ ε μεταξὺ τοῦ ἃ καὶ β, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ αδ. ἐπεὶ
οὖν ἴ τὸ παραλληλόγραμ-
μον τοῦ αγδ διπλάσιον,
τὸ δὲ αὖγ ἴσον τῷ εὃγ τριγώνῳ, τὸ ἄνα παραλλη-
λόγραμμον τοῦ εγὸ τρι- · γώνοι’ διπλάσιον.
τι μὲν οὖν τῆς αὐτῆς οὔσης βάσεως δείκνυται τοῦ τριγώνου τὸ παραλληλόγραμμον διπλάσιον δῆλον. κἂν ἴσαι δὲ ὦσιν αἱ βάσεις, ὡσαύτως δειχθήσεται διάμετρον ἡμῶν ἀγαγόντων τῶν παραλληλογράμμων.
τῶν γὰρ τριγώνων ἴσων ὄντων τὸ θατέρου διπλάσιον ἔσται καὶ τοῦ λοιποῦ διπλάσιον. τὰ δὲ τρίγωνα ἴσα διὰ τὴν ἰσότητα τῶν βάσεων καὶ τὴν ταυτότητα τοῦ τι ὕψους. εἰκότως οὖν καὶ ταῦτα παρῆκεν ὃ γεωμέτρης·
ἡ αὐτὴ γὰρ [ἡ] ἀπόδειξις. ἢ γὰρ ταὐτὸν μέρος ἕξουσιν, ἢ κατὰ σημεῖον μόνον συναφθήσονται, ἢ κεχωρισμέναι ἔσονται ἀπ᾿ ἀλλήλων. ὅπως δ᾽ ἂν ταῦτα διαποικίλληται. μία ἡ. ἀπόδειξις κατὰ πάσας τὰς τὸ πτώσεις.
Καὶ μὴν καὶ τὰ ἀντιστρέφοντα τῷ θεωρήματι ὡσαύτως ἀποδείξομεν, ὧν ἕν μέν ἐστιν᾽ ἐὰν τριγώνου παραλληλόγραμμον διπλάσιον ἢ καὶ τὴν αὐτὴν ἔχῃ βάσιν ἀλλήλοις. ἢ ἴσας, εἰ δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη, ἐν Ὁ
ταῖς αὐταῖς ἔσται παραλλήλοις — εἰ γὰρ μή, τὸ ὅλον ἴσον ἔσται τῷ μέρει, καὶ ὁ αὐτὸς ἕξει (Ὁ) λόγος. ἀνάγκη γὰρ ἢ ἐπὶ τῶν παραλλήλων πίπτειν τὴν τοῦ τριγώνου κορυφήν, ἢ ἐκτός. ὑποτέρως δ᾽ ἂν ἔχῃ. τὸ ς αὐτὸ ἀδύνατον ἀχθείσης παραλλήλου τῇ βάσει διὰ τῆς τοῦ τριγώνου κορυφῆς — ἕτερον δέ᾽ ἐὰν τριγώνου παραλληλόγραμμον διπλάσιον ἡ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, ἀμφότερα ἐπὶ μιᾶς ἔσται βάσεως ἢ ἐπὶ ἴσων᾽ εἰ γὰρ ἐπὶ ἀνίσων, ἴσας λαβόντες πᾶν τὸ ὅλον 1ὸ μέρει δείξομεν ἴσον. εἰς οὖν τοῦτο κοινὸν ἀδύνατον πάντα τελευτᾷ τὰ θεωρήματα. διόπερ ὁ στοιχειωτὴς ἡμῖν παρῆκεν τὴν ἐν τούτοις ποικιλίαν ἀνερευνᾶν αὐτὸς ἐπὶ τῶν ἁπλουστέρων καὶ ἀρχοειδεστέρων στήδας τὴν θεωρίαν. ιὃ᾽ 6 ἸΑΔλλ᾽ ἐπεὶ καὶ ταῦτα ὑπομέμνηται, [ φέρε γυμνασίας ἕνεκα μὴ λαβόντες παραλληλόγραμμον ἡμεῖς, ἀλλὰ τραπέξιον, οὗ δύο μόναι εἰσὶ παράλληλοι, τριγώνῳ τὴν αὐτὴν ἔχον βάσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς κείμενον παραλλήλοις, ἴδωμεν, ὃν ἔχει λέγον πρὸς τὸ 0) τρίγωνον. ὅτι μὲν οὖν διπλάσιον οὐχ ἕξει δῆλον — ἦ γὰρ ἂν παραλληλόγραμμον εἴη τετράπλευρόν γεῦν; - λέγω δὲ ὅτι ἢ μεῖξον διπλασίου ἢ ἔλασσον. τῶν γὰρ δύο ὄντων παραλλήλων πάντως ἡ μέν ἐστι μείζων. ἡ δὲ ἐλάσσων, ἐπεὶ ἴσων 1 οὐσῶν καὶ αἴ ἐπι85 ἐευγνύουσαι αὐτὰς ἔσονται παράλληλοι. ἂν μὲν οὖν τὸ τρίγωνον τὴν μείζονα ἔχῃ βάσιν, ἔλασσον ἢ διπλά-
σιον ἔσται τοῦ τριγώνου τὸ τετράπλευρον, ἐὰν δὲ τὴν ἑλάσσονα, μεῖζον. ἔστω γὰρ τὸ αβγὸ τετράπλευρον καὶ ἐλάσσων ἡ αβ τῆς γὸ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ αβ εἰς ἄπειρον,
καὶ τρίγωνον τὸ εγὸ τὴν αὐτὴν ἐχέτω βάσιν τῷ ῦ τετραπλεύρῳ τὴν γὸ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ ὃ τῇ αγ · εὶ παράλληλος ἥ δὲ ξ. διπλάσιον ἄρα τοῦ εγὸ τριγώνου τὸ αγδξ παραλληλόγραμμον,
ὥστε τὸ αβγὸ τετράπλευρον ἔλασσον ἢ διπλάσιον. πάλιν ἐχέτω τὸ τρίγωνον βάσιν
Props. I.42–I.43: Area Construction & Complements About the Diameter¶
Euclid: [I.43]
σθω. ἔστω δὴ τετράπλευρον τὸ αβγὸ καὶ παράλληλος ἐν αὐτῷ ἡ αὃ [τῇ] γβ, καὶ τεμνέσθω δίχα ἡ ὃγ κατὰ ᾿Ξ . τὸ ε, καὶ ἐπεξεύχθωσαν αἴ ξα εβ, καὶ ἐκβεβλή-
σθω ἡ βε καὶ συμπιπτέτω τῇ αὸ κατὰ τὸ ξ.
7 ἐπεὶ οὖν αἱ κατὰ τὸ ἐ
γωνίαι ἴσαι — κατὰ κορυφὴν γάρ – καὶ ἡ ὑπὸ ξδὲ τῇ ὑπὸ βγε, ἔσται καὶ ἡ ξε τῇ εβ ἴση καὶ τὸ δεξ τρίγωνον τῷ βγε ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ αδε. ῦλον ἄρα τὸ ‘ἀξε ἴσον τοῖς δύο τοῖς αἀδὲε βγε. ἀλλα τὸ αεξ ἴσον τῷ αεβ – ἐπὶ γὰρ ἴσων βάσεων, τῶν βε εξ, καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις. τὸ ἄρα αεβ
ἴσον τοῖς αδε ἘΝ
16 {{᾿Ῥχορ. ΧΙ, ργοῦ]. ΧΙ. Τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγφαμμον συστήσασθαι ἐν γωνίᾳ, ἢ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ εὐθυγράμμῳ γωνία.
᾿ Ῥγορ. ΧΙΠΙ, ἐπθου. ΧΧΧΙΙ. Παντὸς παρφαλλη-
λογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλλη-
τ᾽ λογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
ἘΞ παραλληλόγραμμα μὴ συνάπτειν ἀλλήλοις
καθ᾽ ὃν σημεῖον. ὅτι δὴ καὶ τὰ παραπληρώματα οὐκ ἔστι τετράπλευρα, δεῖ καὶ ταύτην ἐκθέμενον τὴν πτώσιν ἰδεῖν τὸ αὐτο συμβαῖνον. ἔστω γὰρ παραλληλί-
γραμμα τῷ αβ παραλληλο- ς γράμμῳ περὶ τὴν αὐτὴν διάμέτρον τὰ γκ ὃλ, μεταξὺ δὲ ·
αὐτῶν ἡ κλ εὐθεῖα τῆς δια- ε μέτρου μέρος οὖσα. πάλιν
ψφ 3 3. · ., Δ 7 β οὖν τὰ αὐτὰ ἐρεῖς᾽ τὸ αγ
τρίγωνον ἴσον τῷ βγὸ καὶ τὸ ἐγκ τῷ κγξ καὶ τὸ δηλιο
τῷ ὅθλ. λοιπὸν ἄρα τὸ αηλκε πεντάπλευρον Ϊ ἴσον
τῷ βέκλθ πενταπλεύρῳ. ταῦτα δὲ ἦν τὰ παρακληρώματα. εἰ δὲ μήτε συνάπτοιτο τὰ παραλληλόγραμμα κατὰ σημεῖον, μήτε διεστῶτα εἴη, ἀλλὰ τέμνοντα ἄλληλα, ἡ αὐτὴ καὶ οὕτως .
ἀπόδειξις. ἔστω γὰρ παρ- ἂν: αλληλόγραμμον τὸ αβ η-“
καὶ διάμετρος ἡ γὸ καὶ παραλληλόγραμμα περὶ ἀνα ὙΊ:
ἕτερον δὲ καὶ τέμνον 9 ς΄. 4
τοῦτο τὸ δηκθ. λέγω ὅτι τὰ ξη 99 παραπληρώματα ἴσα ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ ὅλον τὸ δηκ ἴσον τῷ ὃθκ, ἐστὶν ὃὲ καὶ μέρος αὐτοῦ τὸ κλμ ἴσον τῷ κἂν – παραλληλόγραμμον γάρ ἐστι τὸ λκ — λοιπὸν ἄρα τὸ δλνθ τραπέξιον ἴσον τῷ [δλμη τραπεξζίῳ. ἀλλὰ καὶ τὸ
αδγ τρίγωνον ἴσον τῷ βδγ, καὶ τὸ ἐγλ τῷ εγλ ἐν τῷ εἴ παραλληλογράμμῳ, καὶ τραπέξιον τὸ δημλ τῷ
δθνλ, λοιπὸν ἄρα τὸ ηξ τετράπλευρον ἴσον τῷ Ἐθ τετραπλεύρῳ. δέδεικται ἄρα τὸ θεώρημα κατὰ πάσας
ιοτὰς πτώσεις. εἰσὶ δὲ τρεῖς μόνοι καὶ οὔτε πλείους οὔτε ἐλάσσους. τὰ γὰρ παραλληλόγραμμα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον ἢ τεμεῖ ἄλληλα, ἢ κατὰ σημεῖον ἅψεται ἀλλήλων ἢ διεστῶτα ἔσται μέρει τινὶ τῆς διαμέτρου.
Τὸ δὲ ὄνομα τῶν παραπληρωμάτων ἀπ᾽ αὐτοῦ τοῦ πράγματος ἔλαβεν ὁ στοιχειωτὴς ὡς καὶ τούτων παρὰ τὰ δίο παραλληλόγραμμα συμπληρούντων τὸ λον. διόπερ αὐτὸ καθ᾽ αὑτὸ μνήμης ἐν τοῖς ὅροις
οὐκ ἠξίωται. ποικιλίας γὰρ ἔδει πρὸς τὴν σαφήνειαν,
ἵνα γνώμεν, τί παραλληλόγραμμον, καὶ τίνα τὰ περὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον τῷ ὅλῳ. τούτων γὰρ δαφηνισθέντων καὶ τὲ παραπλήρωμα μόνως ἂν ἐγένετο γνώριμον. ἐστὶν δὲ ἐκεῖνα τῶν παραλληλογράμμων περὶ διάμετρον τὴν αὐτὴν, ὅσα μέρος τῆς ὅλης δια-
δλμη .. . καὶ τὸ οτη. Ἡ, Β., Ο (Ζ), “ἀ] πιρ’ Ὑχδρβθξὶο εθὶ
Props. I.44–I.45: Pythagorean Application of Areas (Parabole, Hyperbole, Elleipsis)¶
Euclid: [I.44]
μέτρου καὶ αὐτῶν ἔχει διάμετρον, ὅσα δὲ μή, οὔ. ὅταν γὰρ ἡ τοῖ ὅλου διάμετρος τῶν πλευρῶν τινα τέμνῃ τοῦ ἐντὸς παραλληλογράμμου, τότε οὐκ ἔστιν τῷ ὅλῳ τοῦτο τὸ παραλληλόγραμμον
περὶ διάμετρον τὴν αὐτήν, “
οἷον ὡς ἐν τῷ αβ παραλλη- . λογφάμμῳ ἡ γὸ τέμνει τοῦ
γε παραλληλογράμμου τὴν εθ 5 ·
πλευράν. τὸ οὖν ἐγ τῷ γὸ περὶ τὴν αὐτὴν οὐκ ἔστιν διάμετρον.
ΧΙ.ΜΠΠ]Ι, σοῦ]. ΧΙ]. ᾿ Παρὰ τὴν δοθεῖσαν
εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλό-
γραμμον παραβαλεῖν ἐν γωνίᾳ, ἤ ἐστιν ἴση τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
Ἔστι μὲν ἀρχαῖα, φασὶν οἷ περὶ τὸν Εὔδημον, καὶ τῆς τῶν Πυθαγορείων μούσης εὑρήματα ταῦτα, ἥτε παραβολὴ τῶν χωρίων καὶ ἡ ὑπερβολὴ καὶ ἡ ἔλλειψις. ἀπὸ δὲ τούτων καὶ οἵ νεώτεροι τὰ ὀνόματι λαβόντες μετήγαγον αὐτὰ καὶ ἐπὶ τὰς κωνικὰς λεγομένας γραμμάς, καὶ τούτων τὴν μὲν παραβολήν, τὴν δὲ ὑπερβολὴν καλέσαντες, τὴν δὲ ἔλλειψιν, ἐκείνῶν τῶν παλαιῶν καὶ θείων ἀνδρῶν ἐν ἐπιπέδῳ καταγραφῇ χωρίων πρὸς εὐθεῖαν ὡρισμένην τὰ ὑπὸ τούτῶν σημαινόμενα τῶν ὀνομάτων ὁρώντων. ὅταν γὰρ
εὐθείας ἐχκειμένης τὸ δοθὲν χωρίον πάσῃ τῇ εὐθείᾳ συμπαρατείνῃς, τότε παραβάλλειν ἐκεῖνο τὸ χωρίον φασίν, ὅταν μεῖζον δὲ ποιήσῃς τοῦ χωρίου τὸ μῆκος αὐτῆς τῆς εὐθείας, τότε ὑπερβάλλειν, ὅταν δὲ ἔλασσον,
6 ὡς τοῦ χωρίου γραφέντος εἶναί τι τῆς εὐθείας ἐκτός, τότε ἐλλείπειν. καὶ οὕτως ἐν τῷ ἔκτῳ βιβλίῳ καὶ τῆς ὑπερβολῆς ὁ Εὐκλείδης μνημονεύει καὶ τῆς ἐλλείψεως, ἐνταῦθα δὲ τῆς παραβολῆς ἐδεήθη τῷ δοθέντι τριγώνῳ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσον ἐθέλων 1. παραβαλεῖν [παραλληλόγραμμον Ὁ], ἵνα μὴ μόνον σύ-
στασιν ἔχωμεν παραλληλογράμμου τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον, ἀλλὰ καὶ παρ᾽ εὐθεῖαν ὡρισμένην παραβολήν᾽ οἷον τριγώνου δοθέντος τὸ ἐμβαδὸν ἔχοντος δώδεκα ποδῶν, εὐθείας δὲ ἐχκειμένης, ἧς τὸ μῆκός ἐστι τετ1. τάρων ποδῶν, τὸ ἴσον τῷ τριγώνῳ παρὰ τὴν εὐθεῖαν παραβάλλομεν, εἰ λαβόντες τὸ μῆκος ὅλων τῶν τεττάρων ποδῶν εὕρομεν, πόσων εἷναι δεῖ ποδῶν τὸ πλάτος, ἵνα τῷ τριγώνῳ τὸ παραλληλόγραμμον ἴσον γένηται. εὑρόντες γοῦν εἰ τύχοι πλάτος τριῶν ποδῶν χαὶ ποιήσαντες τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος, τοῦτο δὲ ὀὁρθῆς οὔσης τῆς ἐχκειμένης γωνίας, ἕξομεν τὸ χωρίον. Τοιοῦτον μὲν δή τι τὸ παραβάλλειν ἐστὶν ἄνωθεν
ὑπὸ τῶν Πυθαγορείων παραδεδομένον. τρία δέ ἐστιν ἐν τῷ προβλήματι τούτῳ τὰ δεδομένα εὐθεῖα, παρ᾽ ἣν δεῖ παραβάλλειν, ὡς ὅλην αὐτοῦ τοῦ χωρίου γενέσθαι πλευράν, καὶ τρίγωνον, ᾧ ἴσον εἶναι δεῖ τὸ
παραβαλλόμενον, καὶ γωνέα, ἡ ἴσην εἶναι [δεῖ] τὴν τοῦ χωρίου γωνίαν. καὶ δῆλον πάλιν ὡς ὀρθῆς μὲν οὔσης τῆς γωνίας τὸ παραβαλλόμενον ἢ τετράγωνον ἢ ἑτερόμηκες ἔσται, ὀξείας δὲ ἢ ἀμβλείας [ ἢ ῥόμβος τὸ χωρίον ἢ ῥῤομβοειδές. ὅτι γε μὴν καὶ τὴν εὐθεῖαν εἶναι δεῖ πεπερασμένην φανερόν. οὐ γὰρ δύναται παρὰ τὴν ἄπειρον. ἅμα οὐν τῷ φάναι παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν ἐδήλωσεν ὅτι καὶ πεπεράνθαι ἀνάγκη τὴν εὐθεῖαν.
Χρῆται δὲ εἰς τὴν κατασκευὴν τοῦ προβλήματος τούτου τῇ συστάσει τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ ἴσου τῷ δοθέντι τριγώνῳ. οὐ γὰρ ταὐτὸν παραβολὴ καὶ σύστασις, καθὼς εἴπομεν, ἀλλ᾽ ἡ μὲν ὅλον ὑφίστησι τὸ χωρίον καὶ αὐτὸ καὶ τὰς πλευρὰς ἁπάσας, ἡ δὲ μέαν ἔχουσα πλευρὰν δεδομένην παρὰ ταύτην ὑφίὅτησι τὸ χωρίον, οὔτε ἐλλείπουσα κατὰ τὴν ἔχτασιν ταύτην, οὔτε ὑπερβάλλουσα, ἀλλὰ μιᾷ πλευρᾷ ταύτῃ χρωμένη περιεχούσῃ τὸ ἐμβαδόν. διὰ τί οὖν, φαίης ἄν, ὅτε μὲν τρίγωνα τριγώνοις ἴσα ἐδείκνυ, θεωρήμασιν ἐχρῆτο, ὅτε δὲ τρίγωνα παραλληλογράμμοις, προβλήμασιν; ὅτι, φήσομεν, ἡ ἰσότης ὁμοειδῶν ὄντων αὐτοφυής ἐστι καὶ ἐπιβλέψεως δεομένη μόνης, τῶν δὲ διὰ τὴν κατ᾽ εἶδος ἐξαλλαγὴὶν ἡ ἰσότης γενέσεως δεῖ-
ται καὶ μηχανῆς ὡς καθ᾽ ἑαυτὴν οὖσα δυσεύρετος.
ΧΙ͂, ρῥγόῦὶ]. ΧΠῚ. Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῷ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
Ζύο προβλημάτων, ἐν οἷς τήν τε σύστασιν εὕρισκε 6 καὶ τὴν παραβολὴν τῶν ἴσων τῷ δοθέντι τριγώνῳ παραλληλογράμμων, τοῦτο καθολικώτερόν ἐστιν. εἴτε γὰρ τρίγωνον ἢ τετράγωνον ἢ ὅλως τετράπλευρον, εἴτε ἄλλο τι πολύπλευρον εἴη δεδομένον, διὰ τούτου τοῦ προβλήματος ἴσον αὐτῷ παραλληλόγραμμον συστήσο:ὸ μεν. πᾶν γὰρ εὐθύγραμμον, ὡς καὶ πρότερον εἶπομεν, καθ᾽ αὑτὸ εἰς τρίγωνα διαλύεται, καὶ τὴν μέθοδον τῆς εὑρέσεως τοῦ πλήθους τῶν τριγώνων παραδεδώχαμεν. ἀναλύσαντες οὖν τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον εἰς τρέγωνα Ϊ] καὶ ἑνὶ μὲν αὐτῶν ἴσον παραλληλόγφαμ:ὸ μὸν συστήσαντες, τοῖς δὲ λοιποῖς παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἴσα παραλληλόγραμμα λαμβάνοντες ἐκείνην, παρ᾽ ἣν ἐποιήσαμεν τὴν πρώτην παραβολήν, ἕξομεν τὸ ἐκ τούτων παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ἐξ ἐκείνων τῶν τριγώνων εὐθυγράμμῳ, καὶ ἔσται γεγονὸς τὸ ἐπι8. ταχθέν. κἂν δεκάκλευρον οὖν ἢ τὸ εὐθύγραμμον, εἰς ὀχτὼ μὲν τρίγωνα διαλύσομεν, ἑνὶ δὲ ἴσον συστήσομεν παραλληλόγραμμον καὶ ἑπτάκις παραβάλλοντες ἴσα τοῖς λοιποῖς ἕξομεν τὸ ξητούμενον. Ἐκ τούτου δὲ οἶμαι τοῦ προβλήματος ἐπα] χθέν46 τες οἵ παλαιοὶ καὶ τὸν τοῦ κύκλου τετραγωνισμὸν ἐξήτησαν. εἰ γὰρ παραλληλόγραμμον ἴσον εὑρίσκεται
Μ᾿ ἴὰ ταδυρίμο μὲ πρβ. 14 ἴσων Ἦ, 6. 16 συστή-
παντὶ εὐθυγράμμῳ, ξητήσεως ἄξιον, μὴ καὶ τὰ εὐθύγραμμα τοῖς περιφερογράμμοις ἴσα δεικνύναι δυνατόν. καὶ ὁ ᾽᾿Δρχιμήδης ἔδειξεν, ὅτι πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ κέντρου ἴση ἐστὶν μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει. ὃ ἀλλὰ ταῦτα ἐν ἄλλοις· ἐπὶ δὲ τὰ ἑξῆς ἴωμεν.
ΣΙ͂Ι, ργοῦ]. ΧΙΠΠ. “πὸ τῆς δοθείσης εὐ-
θείας τετράγωνον ἀναγράψαι.
Δεῖται μὲν τοῦ προβλήματος τούτου διαφερόντως εἰς τὴν τοῦ ἐφεξῆς θεωρήματος κατασκευήν, ἔοικεν δὲ τῶν δύο γενέσεις ἐθελῆσαι παραδοῦναι τῶν ἐν εὐθυγράμμῳ ἀρίστων, ἰσοπλεύρου τριγώνου καὶ τετρα-
γώνου᾽ διότι δὴ καὶ πρὸς τὴν σύστασιν τῶν κοσμικῶν σχημάτων καὶ μάλιστα τῶν τεττάρων, ὧν καὶ γένεσίς ἐστι καὶ ἀνάλυσις, τούτων χρεία τῶν εὐθυ- τ γράμμων. τὸ μὲν γὰρ εἰκοσάεδρον καὶ ὀκτάεδρον καὶ ἡ πυραμὶς ἐκ τῶν ἰσοπλεύρων σύγκειται τριγώνων, ‘ ὁ δὲ κύβος ἐκ τῶν τετραγώνων. διό μοι δοκεῖ προηγουμένως τὸ μὲν συστήσασθαι, τὸ δὲ ἀναγράψαι. πρέποντα γὰρ δὴ ταῦτα τὰ ὀνόματα ἀνεῦρεν :0 τοῖςδε τοῖς σχήμασι. τὸ μὲν γὰρ ὡς ἐκ πολλῶν συγκροτούμενον συστάσεως δεῖται, τὸ δὲ ὡς ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς ἀπογεννώμενον ἀναγραφῆς. οὐ γάρ, ὥσπερ τὸ τετράγωνον ἔχομεν πολλαπλασιάσαντες τὸν τῆς δοθείσης εὐθείας ἀριθμὸν ἐφ᾽ ἑαυτόν, οὑτωσὶ καὶ τὸ 55
Prop. I.46: Constructing the Square & Posidonius’s Definition¶
Euclid: [I.46]
τρίγωνον, [ἀλλ᾽ ἀλλαχόθεν ἐπιζεύξαντες ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας συγχροτοῦμεν ἐκ τούτων ἕν ἰσόπλευρον τρίγωνον, καὶ ἡ τῶν κύχλων καταγραφὴ συντελεῖ πρὸς τὸ ἀνευρεῖν ἐχεῖνο τὸ σημεῖον, ἀφ᾽ οὗ δεῖ ·τὰς εὐθείας εἰς τὰ πέρατα τῆς ἐχχειμένης εὐθείας ἐκιζεῦξαι. Ταῦτα μὲν οὖν δῆλα᾽ δεικτέον δὲ ὅτι τῶν εὐθειῶν ἴσων, ἀφ᾽ ὧν ἀναγράφεται τὰ τετράγωνα, καὶ αὐτὰ
ἴσα ἐστίν. ἔστωσαν γὰρ ἴσαι αἴ αβ γὸ, καὶ ἀπὸ μὲν τῆς αβ ἀναγεγρά-
“ ; φθω τὸ αβεη;, ἀπὸ δὲ τῆς γὸ τὸ γδθ{ξ, καὶ ἐπε-
·Ό} ·ἢ ξεύχθωσαν αἱ ηβ
θὸ. ἐκεὶ οὖν αἵ αβ γὃ ἴσαι καὶ αἱ ἀη γ9 καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσι, καὶ ἡ ηβ τῇ θ8δ ἴση καὶ τὸ αἀβη τρίγωνον τῷ γὸθ
τριγώνῳ, καὶ τὰ διπλάσια αὐτῶν. τὸ ἄρα αε τῷ γξ ἴσον. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ἀντιστρέφον ἀληθές. εἰ γὰρ :. τὰ τετράγωνα ἴσα, καὶ αἴ εὐθεῖαι, ἀφ’ ὧν ἀναγέγρα-
σται, ἴσαι ἔσονται. ἔστω γὰρ τετράγωνα ἴσα τὰ αξ γη, καὶ κείσθω ὥστε ἐκ᾽ εὐθείας εἶναι τὴν αβ τῇ βγ. ὀρθῶν ἄρα οὐσῶν τῶν γωνιῶν ἐπ᾽ εὐθείας καὶ ἡ ξβ
τῇ βη η ἐστίν. ἐκεζεύχθωσαν αἵ ἐγ «ἢ. ἐπεὶ οὖν ἴσον
τὸ αξ τετράγωνον ν τῷ γη καὶ τὸ αξβ τρίγωνον ἴσον
τῷ τριγώνῳ τῷ γβη. κοινὸν προσχείσθω τὸ
βγξ. ὅλον ἄρα τὸ αγξ ἴσον τῷ γζη, παρ-
ἄλληλος ἄρα ἡ αἡ τῇ 4“ 7 ἐγ. πάλιν ἐπεὶ ἡμι-
δείας ὀρθῆς ἢ τε ὑπὸ
αξη καὶ ἡ ὑπὸ ᾿ γηβ, τὐν παράλληλος ἡ αξ τῇ Ἶ ᾿
γῆ. ἴση ἄρα ἡ αξ τῇ γη, παραλληλογράμμου γὰρ εἰσιν ἀπεναντίον. ἐπεὶ οὖν δίο τρίγωνά ἐστιν τὰ αβξ
βγη τὰς ἐναλλὰξ ἔχοντα γωνίας ἴσας, παραλλήλων οὐσῶν τῶν αξ γῆ, καὶ μέαν πλευρὰν τὴν αξ τῇ γῆ, τὸ ἴση ἔσται καὶ ἡ αβ τῇ βγ καὶ ἡ βξ τῇ βη. δέδεικται ἄρα ὅτι καὶ αἱ πλευραί, ἀφ᾽ ὧν ἀναγέγραπται τὰ αξ γὴ τετράγωνα, ἴσαι εἰσὶν ἐκείνων ἴσων ὄντων.
Prop. I.47: The Theorem of Pythagoras, Euclid’s Generalization & Triples¶
Euclid: [I.47]
ΧΙΥΙΙ, μοονυ. ΧΧΧΙΠ. Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις Δ τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν πλευρῶν τετραγώνοις.
Τῶν μὲν ἱστορεῖν τὰ ἀρχαῖα βουλομένων ἀκούοντας τὸ θεώρημα τοῦτο εἰς Πυθαγόραν ἀναπεμπόντῶν ἐστὶν εὑρεῖν καὶ βουθύτην λεγόντων αὐτὸν ἐπὶ τῇ εὑρέσει. ἐγὼ δὲ θαυμάξω μὲν καὶ τοὺς πρώτους
ἐπιστάντας τῇ τοῦδε τοῦ θεωρήματος ἀληθείᾳ, μειξόνῶς δὲ ἄγαμαι τὸν στοιχειωτήν, οὐ μόνον ὅτι δι᾽ ἀποδείξεως ἐναργεστάτης τοῦτο κατεδήσατο, ἀλλ᾽ ὅτι καὶ τὸ καθολικώτερον αὐτοῦ τοῖς ἀνελέγκτοις λόγοις τῆς ἐπιστήμης ἐπίεσεν ἐν τῷ ἔκτῳ βιβλίῳ. δείκνυσι γὰρ
ἐν ἐκείνῳ καθολικῶς ὅτι ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοίς τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν [εἶδος ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν] εἴδεσιν τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις. πᾶν μὲν γὰρ τετράγωνον ὅμοιόν ἐστι τετραγώνῳ παντί,
τ οὐ πάντα δὲ τὰ ὅμοια ἀλλήλοις εὐθύγραμμα τετράγωνά ἐστιν, καὶ γὰρ ἐν τριγώνοις καὶ ἐν ἄλλοις ἐστὶ πολυγώνοις ᾿ ὁμοιότης. ὁ τοίνυν ἀποδεικνὺς λόγος τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν εἶδος, ἢ τετραγωνικὸν εἴτε ἄλλο ὁποιονοῦν, ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ
4: τὴν ὀρθὴν τοῖς ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμέ-
νοις εἴδεσιν καθολικώτερον δείκνυσι καὶ ἐπιστημονικώτερον τοῦ τὸ τετράγωνον μόνον ἴσον τοῖς τετραγώνοις ἀποφαίνοντος. ἐνταῦθα γὰρ καὶ ἡ αἰτία φανερὰ ψίνεται τοῦ καθολικοῦ δειχθέντος, ὅτι ἡ ὀρθύτης τῆς γωνίας τὴν ἰσότητα παρέχεται τῷ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης αὐτὴν εἴδει πρὸς πάντα τὰ ἀπὸ τῶν περιεχουσῶν αὐτὴν τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα, ὥσπερ ἡ μὲν ἀμβλύτης ὑπεροχῆς, ἡ δὲ ὀξύτης τῆς ἐλαττώσεως.
Ὅπως μὲν οὖν δείκνυται τὸ ἐν τῷ ἕκτῳ θεωρή-
ματι, ἐν ἐκείνοις ἔσται δῆλον, ὅπως δὲ τὸ προκείμενον ἀληθές, νυνὶ σκοπῶμεν, τοσοῦτον προσθέντες, οὐκ ἐνταῦθα τὸ καθολικὸν δεικνύναι μηδὲν διδάξαντα περὶ ὁμοιότητος εὐθυγράμμων σχημάτων, μηδὲ ὅλως περὶ ἀναλογίας ἐνδειξάμενον. πολλὰ γοῦν τῶν ἐνταῦθα μερικώτερον (Ὁ) νῷ δέδεικται καθολικώτερον διὰ τῆς τοιαύτης μεθόδου. δείκνυσι δὲ οὖν ὁ στοιχειωτὴς ἐν τούτοις ἀπὸ τῆς περὶ τῶν παραλληλογράμμων κοινῆς θεωρίας τὸ ζητούμενον. διττῶν δὲ ὄντων τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων, τῶν μὲν ἰσοσκελῶν, τῶν δὲ σκαληνῶν, ἐν μὲν τοῖς ἰσοσκελέσιν οὐκ ἄν ποτε εὕροιμεν ἀριθμοὺς ἐφαρμόσαι ταῖς πλευραῖς. οὐ γάρ ἐστι τετράγῶνος ἀριθμὸς τετραγώνου διπλάσιος, εἰ μὴ λέγοι τις τὸν σύνεγγυς. ὁ γὰρ ἀπὸ τοῦ ξζ τοῦ ἀπὸ τοῦ ε διπλάσιὸς ἐστιν α δέοντος. ἐν δὲ τοῖς σκαληνοῖς δυνατὸν λαβεῖν ἐναργῶς ἡμῖν δείκνυται τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν.
ῷ τοῦ τὸ] τοῦτο Ἡ, Ο. 8 φανερὰ γίνεται) “Ιηδηϊίοδία
τοιοῦτον γάρ ἐστι τὸ ἐν πολιτείᾳ τρίγωνον, οὗ τὴν ὀρθὴν περιέχουσιν ὅ 0 τὲ τρία. καὶ ὁ τέσσαρα. ὑποτείνει ὃΣ αὐτὴν ὁ ε. τὸ γοῦν ἀπὸ τοῦ ε τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπ᾿ ἐκείνων. τοῦτο μὲν γάρ ἐστιν εἴχοσι
ὃ πέντε, τὰ ἀπ᾽ ἐκείνων δὲ τὸ μὲν ἀπὸ τοῦ γ 9, τὸ δὲ
ἀπὸ τοῦ ὃ ἑκκαίδεκα.
Σαφὲς οὖν τὸ λεγόμενον ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν᾽ παραδέδονται δὲ καὶ μέθοδοί τινες τῆς εὑρέσεως τῶν τοιοὕτων τριγώνων, ὧν τὴν μὲν εἰς Πλάτωνα ἀναπέμ-
τὸ πουσι, τὴν δὲ εἰἣς Πυθαγόραν. [καὶ ἡ μὲν Πυθαγορικὴ] ἀπὸ τῶν περιττῶν ἐστιν ἀριθμῶν. τίθησι γὰρ τὸν δοθέντα περιττὸν ὡς ἐλάσσονα τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, καὶ λαβοῦσα τὸν ἀπ᾽ αὐτοῦ τετράγωνον Ϊ᾿ καὶ τούτου μονάδα ἀφελοῦσα τοῦ λοιποῦ τὸ ἥμισυ τί15 θησι τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν τὸν μείζονα᾽ προσθεῖσα δὲ καὶ τούτῳ μονάδα τὴν λοιπὴν ποιεῖ τὴν ὑποτείνουσαν· οἷον τὸν τρία λαβοῦσα καὶ τετραγωνίσασα καὶ ἀφελοῦσα τοῦ ἐννέα μονάδα τοῦ ἡ λαμβάνει τὸ ἥμισυ
τὸν ὃ, καὶ τούτῳ προστίθησι πάλιν μονάδα καὶ ποιεῖ 8. τὸν ε.) καὶ εὕρηται τρίγωνον ὀρθογώνιον ἔχον τὴν μὲν τριῶν, τὴν δὲ τεσσάρων, τὴν δὲ πέντε. ἡ δὲ Πλατωνικὴ ἀπὸ τῶν ἀρτίων ἐπιχειρεῖ. λαβοῦσα γὰρ τὸν δοθέντα ἄρτιον τίθησιν αὐτὸν ὡς μίαν πλευρὰν τῶν
περὶ τὴν ὀρθήν, καὶ τοῦτον διελοῦσα δίχα καὶ τετρα2 γωνίσασα τὸ ἥμισυ, μονάδα μὲν τῷ τετραγώνῳ προσ-
ἐκείνου Ο. 10 καὶ ἡ μὲν Πυθαγορικὴ οἴαὰ. Ἢ, ἢ Ὁ, ἣ Ν. Ῥ. 160, ῬῬγιμαρουῖοδ. μων ᾳυδο᾽ Ζ, ἀαῖΡρο αικο ἐγοταρς
θεῖσα ποιεῖ τὴν ὑποτείνουσαν, μονάδα δὲ ἀφελοῦσα τοῦ τετραγώνου ποιεῖ τὴν ἑτέραν τῶν περὶ τὴν ὁρθήν᾽ οἷον τὸν τέσσαρα λαβοῦσα καὶ τούτου τὸ ἥμισυ
τὸν β τετραγωνίσασα καὶ ποιήσησα αὐτὸν ὃ. ἀφελοῦσα μὲν μονάδα ποιεῖ τὸν γ, προσθεῖσα δὲ ποιεῖ τὸν ε, καὶ ἔχει τὸ αὐτὸ γενόμενον τρίγωνον, ὃ καὶ ἐκ τῆς ἑτέρας ἀπετελεῖτο μεθόδου. τὸ γὰρ ἀπὸ τούτου ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ γ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ ὃ συντεθεῖσιν. Ταῦτα μὲν οὖν ἔξωθεν προσιστορήσθω᾽ τῆς δὲ τοῦ στοιχειωτοῦ ἀποδείξεως οὔσης φανερᾶς οὐδὲν ἡγοῦμαι δεῖν προσθεῖναι περιττόν, ἀλλὰ ἀρκεῖσθαι τοῖς γεγραμμένοις, ἐπεὶ καὶ ὅσοι προσέθεσαν τι πλέον, ὡς οἵ περὶ Ἤρωνα καὶ Πάππον ἠναγκάσθησαν προσλαβεῖν τι τῶν ἐν τῷ ἕκτῳ δεδειγμένων, οὐδενὸς ἕνεκα πραγματειώδους. ἐπὶ τὰ ἑξῆς οὖν μετίωμεν ιὉ ἡμεῖς.
ΧΙΥΙΠ, ἰμοοσ. ΧΧΧΙΠΠ. Ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετράγωνον ἴσον ἡ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν τετραγώνοις, ἡ περιδχομένη γωνία ὑπὸ τῶν Ὁ λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ὀρθή ἐστιν.
᾿Δντιστρέφει μὲν τοῦτο τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι καὶ ὅλον πρὸς ὅλον ἀντιστρέφει. εἰ γὰρ ὀρθογώνιον, τὸ ἀπὸ τῆς ὑποτεινούσης ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν,
Prop. I.48: Converse of Pythagoras, Peroration & Manuscript Scholium¶
Euclid: [I.48]
καὶ εἰ τὸ ἀπὸ ταύτης ἢ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν, ὀρθογώνιόν ἐστι τὸ τρίγωνον ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν λοιπῶν περιεχομένην. καὶ ἡ μὲν ἀπόδειξις τοῦ στοιχειωτοῦ φανερά· ὄντος δὲ τριγώνου τοῦ αβγ καὶ ἔχοντος τὸ ἀπὸ τῆς ἂγ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν αβ βγ, 9 ἀγομένης ἐπ᾽ αὐτοῦ
[τῆς Ὁ] τῇ βγ πρὸς
ῦ ὀρθὰς ἀχὸ τοῖ β σημείου, ἐὰν λέγῃ τις
μ ῶ ὅτι ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τὴν πρὸς ὀρθὰς ἄγειν
δεῖ καὶ μὴ ἐφ᾽ ἃ ὁ στοιχειωτὴς ἤγαγεν, ἐροῦμεν ὅτι ἀδύνατος ὁ λόγος οὔτε γὰρ ἐντὸς τοῦ τριγώνου πίατειν αὐτὸν δυνατόν, οὔτε ἐκτός, ἀλλ᾽ αὐτή ἐστιν ἡ
·δαβ. εἰ γὰρ δυνατόν, πιπτέτω ὡς ἡ βε. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ εβγ, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ γξβ, ὥστε ἡ λοιπὴ ἀμβλεῖα, ἡ ὑπὸ αξβ. μείζων ἄρα ἡ αβ τῆς βξ κείσθω οὖν τῇ αβ ἴση ἡ βε, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ἐγ. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ εβγ. τὸ ἀπὸ τῆς ἐγ ἴσον 0 τοῖς ἀπὸ τῶν εβ βγ. ἀλλὰ ἡ εβ τῇ βα ἐστὶν ἴση, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς Ἐγ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν αβ βγ. τοῖς δὲ αὐτοῖς ἴσον ἦν καὶ τὸ ἀπὸ τῆς αγ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ἐγ τῷ ἀπὸ τῆς αγ, καὶ ἡ ἐγ ἄρα ἴση τῇ αγ. ἦν
δὲ καὶ ἡ εβ ἴση τῇ αβ. αἵ ἄρα βε ἐγ δύο ταῖς βα
αγ ἴσαι συνέστησαν ἐπὶ τῆς βγ ἑκατέρα ἑκατέρα, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἐντὸς πε] σεῖται ἡ πρὸς ὀρθάς. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ἐκτὸς ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς αβ. εἰ γὰρ δυνατόν, πιπτέτω ὡς ἡ βη, καὶ ἴση ἔστω τῇ αβ ἡ βη. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ γη. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ υ ηβγ το ἀπὸ τῆς ἣν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν βη βγ. [ἀλλὰ ἡ ηβ τῇ βα ἐστὶν ἴση, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ἢ} ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν αβ βγ1 ἦν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς αγ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν αβ βγ. [ ἴση ἄρα ἡ Ἠγ τῇ αγ, ἀλλὰ καὶ ἡ ηβ τῇ βα ἐκὶ μιᾶς εὐθείας τῆς βγ, ὅπερ ἀδύνατον. οὔτε ἄρα ἐντός, οὔτε ἐχτὸς πεσεῖται ἡ ἀγομένη πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ β σημείου τῇ βγ. ἐπ’ αὐτῆς ἄρα πεσεῖται τῆς αβ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ αβγ. λέλυται ἄρα ἡ ἔνστασις.
Τὸ μὲν οὖν πρῶτον βιβλίον ἄχρι τούτων ὁ στοιχειωτὴς συνεπλήρωδεν, πολλὰ μὲν ἀντιστροφῶν εἴδη παραδούς — καὶ γὰρ ὅλα πολλάκις ἀντέστρεψεν πρὸς ὅλα καὶ ὅλα πρὸς μέρη καὶ μέρη πρὸς μέρη θεωρημάτῶν — πολλὴν δὲ ποικιλίαν προβλημάτων ἐπινοήσας —- καὶ γὰρ εὐθειῶν τομὰς καὶ γωνιῶν, καὶ θέσεις Ὦ καὶ συστάσεις καὶ παραβολὰς παραδέδωκεν — ἐφαψάμενος δὲ καὶ τοῦ παραδόξου λεγομένου τόπου τῶν μαθημάτων, καὶ τῶν τοπικῶν αὐτῶν θεωρημάτων
ἱκανῶς ἡμᾶς ἀναμνήσας, τῶν τὸ καθολικῶν καὶ τῶν ἐπὶ μέρους τὴν στοιχείωσιν ἐχφήνας, καὶ τῶν ἀδιορίστων καὶ διωρισμένων προβλημάτων τὴν διαφορὰν ἐνδειξάμενος — ἃ δὴ πάντα καὶ ἡμεῖς αὐτῷ συνεπό-
μενοι διηρθρώσαμεν — ὅλον δὲ τὸ βιβλίον εἰς ἕνα σχοπὸν ἀνενεγχὼν τὴν στοιχείωσιν τῆς περὶ τῶν ἁπλουστάτων εὐθυγράμμων θεωρίας, καὶ τάς τε συ-
στάσεις αὐτῶν ἐξευρὼν καὶ τὰ καθ᾽ αὑτὰ ὑπάρχοντα αὐτοῖς ἀνασκεψάμενος. ἡμεῖς δέ, εἰ μὲν δυνηθείημεν
καὶ τοῖς λοιποῖς τὸν αὐτὸν τρόπον ἐξελθεῖν, τοῖς θεοῖς ἂν χάριν ὁμολογήσαιμεν, εἰ δὲ ἄλλαι φροντίδες ἡμᾶς περισκάσαιεν, τοὺς φιλοθεάμονας τῆς θεωρίας ταύτης ἀξιοῦμεν κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον καὶ τῶν ἑξῆς ποιἤσασθαι βιβλίων τὴν ἐξήγησιν τὸ πραγματειῶδες
πανταχοῦ καὶ εὐδιαίρετον μεταδιώχοντας, ὡς τά γε φερόμενα νῦν ὑπομνήματα πολλὴν καὶ παντοδαπὴν ἔχει τὴν σύγχυσιν αἰτίας ἀπόδοσιν οὐδεμίαν συνεισφέροντα οὐδὲ κρίσιν διαλεκτικὴν οὐδὲ θεωρίαν φιλόσοφον.
Εἰ δεῖ τὸ ἐμοὶ δοκοῦν ἀποφήνασθαι, ἔσφαλται ὁ φιλόσοφος. οὐ γὰρ δυνατὸν ἐπ᾽ αὐτῆς τῆς ὑποτεινούσης τὴν ὕστερον ἐκβληθεῖσαν εὐθεῖαν πεσεῖν, ἀλλ᾽ ἐξ ἀνάγκης ἀνωτέρω πεσεῖται καθάπερ καὶ ὁ στοιχειωτὴς ἐχρήσατο. ὅπερ δὲ ἐλέγομεν, δείξομεν οὕτως. ἔστω ὁ
β “Ὁ Υ
δύο Δ ἰσοσκελῆ τὰ αβγ δεξ τὰς δύο πλευρὰς τὰς
πρὸς τῷ α γωνίας τῆς πρὸς τῷ ὃ μείζων ἔστω. οὐκοῦν θετέον ἴσην αὐτῇ γωνίαν τὴν ὑπὸ εδη, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ δη ἔστω ἴση τῇ εδ. ἐὰν δὲ βουλώμεθα ἐπιξεῦξαι τὴν εη. οὐ δυνατὸν ταύτην τὴν ἐπιξευγνῦσαν ἐπ᾽ εὐθείας εἶναι τῇ εξ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω αὐτῇ ἐπ᾽ εὐθείας, τουτέστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας πιπτέτω ἡ εη. καθάπερ φαίνεται χρησάμενος ὁ Πρόκλος ἐν τῇ δευτέρᾳ αὐτοῦ ὑποθέσει. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελὴ ὑπόκειτᾶι τὰ Δ, ἴση ἂν εἴη ἡ πρὸς τῷ ε γωνία τῇ πρὸς τοτῷ ἡ. ἀλλὰ μὴν καὶ τῇ ὑπὸ δξε ἐστὶν ἴση, καὶ ἡ πρὸς τῷ ἡ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ δξε γωνίᾳ. ἢ τὰ γαρ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα. εἰ δὲ τοῦτο ἀληθές, ἔσται τοῦ δξ ηδὃ ἡ ἐκτὸς γωνία τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα δυνατὸν ἐπ᾽ εὐθείας εἶναι τὴν ξη εὐθεῖαν τῇ εξ. εἰ δὲ
τοῦτο οὐκ ἐνδέχεται, πολλῷ μᾶλλον οὐδὲ ἐκτὸς πεσεῖαι᾿ ἐντὸς ἄρα. οὐκ ἄρα ὀρθῶς εἴρηκεν ὁ φιλόσοφος. Καὶ ἄλλως δὲ τοῦτο δείξομεν ἀδύνατον ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς. ἐπεὶ γὰρ ἴση ὑπόκειται ἡ δὲ τῇ δὁξ χαὶ τῇ δη, καὶ ἡ ὃξ ἄρα τῇ δη ἴση ἂν εἴη, ὥστε ἰσοσκελὴ εἷναι τὰ τρίκ τρίγωνα, ἤγουν τὸ δεξ καὶ τὸ
δξη καὶ ἔτι τὸ δεη. ἴσαι γὰρ ἐδείχθησαν ἀλλήλαις
αἴ τρεῖς πλευραί. οὐκοῦν καὶ αἱ πρὸς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις πεσοῦνται, τουτέστιν ἡ
πρὸς τῷ ε τῇ πρὸς τῷ ἡ καὶ ἔτι τῇ ὑπὸ δε, καὶ ἡ
πρὸς τῷ ἡ τῇ ὑπὸ δζξη. αἷ τέσσαρες ἄρα γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν κατὰ μίαν, ὥστε καὶ δύο αὐτῶν τοῖς λοιποῖς δύο ἴσαι ἔσονται. ἔστωσαν αἵ πρὸς τοῖς ε καὶ
ῃ δύο ταῖς ὑπὸ δξε δξη δυσὶν ἴσαι, ὅπερ συναμφότεραι συναμφοτέραις. αἱ δὲ ὑπὸ δξε δξη δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, εἴπερ εὐθεῖα ἡ δὲ ἐπ᾽ εὐθεῖαν τὴν ἕξη ἐφἕστηκεν, ὥστε καὶ αἴ ὑπὸ δεξ δηξ γωνίαι δυσὶν ὀὁρ- τὸ θαῖς ἴσαι εἰσίν. εἰ δὲ τοῦτο ἀληθές, ἀνήρηται τὸ ἐξ θεώρημα. ἀλλὰ μὴν ἐκεῖνο ἀληθές, ἀδύνατον ἄρα τοῦτο. οὐκ ἄρα ἡ ἐκβαλλομένη ] εὐθεῖα ἡ δη ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ἐπιξευχθήσεται τῆς εξ. εἰ δὲ τοῦτο οὐχ οἷόν τε, πολλῷ μᾶλλον, ὡς εἴρηται, οὐδὲ ἐκτός. μεῖξον γὰρ τούτου ἐπ᾽ ἐκείνου τὸ συμβαῖνον ἄτοπον. ῥητέον οὖν ὑπὲρ τοῦ φιλοσόφου ὅτι πρὸς εἰσαγομένους διαλεγόμενος οὐ πάνυ ἐμμελῶς ἐξέθετο, ἢ γυμνασίας χάριν τῶν εὐφυῶς διακειμένων χαὶ προθυμοποιίας, ἢ καὶ ἴσως ἐπελάθετο. καὶ οὐδὲν θαυμαστόν. Καὶ ἄλλως· ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθησαν αἴ τέσσαρες γωγίαι ἴσαι ἀλλήλαις κατὰ μίαν, τουτέστιν ἥ τε ὑπὸ ὃξε καὶ ἡ ὑπὸ δξη καὶ ἔτι ἡ πρὸς τῷ ε καὶ ἡ πρὸς τῶ ἢ, ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ποιῇ, ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα, ὥστε ὀρθὴ ὧν
δ. 4 πρὸς τὸ ἢ Δ Ροδὰ8 Ἰοςῖ8 .,, Ο, ἐοσγ. ς, ὅ τῶν 1λοι-
εἴη ἑκατέρα τῶν ὑπὸ δξε δξη. εἰ δὲ τοῦτο, καὶ ἡ
πρὸς [τῷ ε καὶ ἡ πρὸς] τῷ ἡ ὀρθαὶ ἂν εἶεν. εἰ δὲ
τοῦτο, ἀνήρηται πάλιν τὸ ιξ θεώρημα. παντὸς γάρ φησιν τριγώνου αἴ δύο γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἐλάσσονές
εἰσιν ἡ δὲ ὑπόθεσις ἡμῶν δείκνυσιν αὐτὰς δύο ὀρθαῖς ἴσας· ὕπερ ἄτοπον.