Gap. XXX.

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English translation to be added.

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Notes to be added.

Original Text

E sira ellato del ditto corpo manifestamente irrationale
 quello che fia dicto residuo ^)

 Faciasse "vn cubo secondo che insegna el modo dato che la spera
 asegnata lo circondiaponto. E sienno de questo cubo le doi superficie
 ad. e ac. Eymaginamo adesso che ab. sia la superficie suprema de
 questo. E la superficie ac. sia vna de le laterali. E sia la linea ad.
 comuna a queste doi superficie. Diuidinse adonca in la superficie
 ab. li doi lati oppositi per equali cioè db. elo lato alui opposito.
 E liponti de la diuisione se continuino per la linea ef. Elio

 ') In der nachfolgenden Figur mussten einige Linien abgeändert werden,
 da sie offenbar falsch, und somit das Verständniss erschwert hätten.

 lato ancora ad. e quello che alui e opposito in la superficie ac.
 Diuidinse per equali eli ponti dela diuisione secontinuino per
 vna linea recta dela quale la ^/^ sia gh e sia el ponto h el
 ponto medio dela linea ad. Similmente la linea ef. diuidise per
 equali nel ponto k. Etirise hk. Cadauna donca dele tre linee
 ek. kf. e gh. diuiderai secondo la proportione hauente el mezzo
 edoi estremi in li 3 ponti 1 . m . q . E sienno le loro parti magiori
 Ik. km, e gq. Le quali fia manifesto essere equali conciosia che
 tutte le linee diuisi sienno equali cioè cadauna depse ala 1/2
 dellato del cubo. Dapoi ali doi ponti 1. e m. derizza le perpen-
 diculari (commo insegna la duodecima del vndecimo) ala super-
 ficie ab. dele quali cadauna porrai equale ala linea kl. E sieno
 In. e mp. Similmente dal ponto q. derizza perpendicularmente
 qr ala superficie ac la quala porrai equale al gq. Tira adunca
 le linee al. an. am. ap. dm. di. dp. dn. ar. aq. dr. dq. Fia
 manifesto adonca per la quinta del terzodecimo che le doi linee
 ke e el. in potentia sonno triplo ala linea kl. Epero ancora
 ala linea In. conciosia che kl. e In. sienno equali. E ancora ke
 fia equale al ea. Adonca le doi linee ae. e el. sonno in potenza
 triplo ala linea In. Onde per la penultima del primo al. fia in
 potenza triplo al In. Epero per lamedesima an. fia in potenza
 quadruplo al In. E conciosia che ogni linea in potenza qua-
 drupla ala sua mita sequita per la comune scientia che an. fia
 dupla in longhezza al In. Eperche Im. fia dupla al Ik. E ancora
 kl. e In. sonno equali sira an equale al Im. Pero che le lor
 mita sonno equali Eperche per la trigesimaterza del primo Im.
 fia equale al np sira an. equale al np. Eperlo medesimo muodo
 prouarai le 3 linee pd. dr. e ra. essere alo foro ^) equale e ale-
 doi predicte. Habiamo adonca per queste 5 linee el pentagono
 equilatero el quale anpdr. Ma forse tudirai chel non sia penta-
 gono. Per che forse non e tutto in vna medesima superficie la
 qual cosa e necessario acio chel sia pentagono. E chel sia tutto
 in vna medesima superficie cosi lo aprenderai esca dal ponto k
 la linea ks. perpendiculare ala superficie ab. la qual sia equale
 al Ik. E sira per questo equale acadauna dele doi In. e
 mp. E conciosia che la sia equidistante acadauna depse per la

 1) 1. fra loro.

sexta del vndecimo. E pero con ambedoi in la medesima super-
 ficie per la diffinitione dele linee equidistanti fia necessario chel
 ponto s. sia in la linea np. E che la diuida per equali. Tirinse
 adonca le doi linee rh. e hs. Onde li doi trianguli ksh. e qrh.
 sonno sopra vnangulo (cioè khq) constituti. E fia la proportione

 del kh. al qr, commo del
 ks. al qh. Peroche si
 commo gh. al qr. cosi kh.
 al qr. per la 7. del 5. E
 commo rq. al qh. cosi ks.
 al qh. per la medesima.
 Ma qh. al qr. commo qr.
 al qh. Imperoche qr. fia
 equale al gq. Adonca per
 la 3o. del 6. la linea rhs. fia
 linea vna. Onde per la 2.
 del 1 1 . tutto el pentagono
 del qual desputamo fia
 in vna medesima superficie.
 Dico ancora epso essere
 equiangulo che così apa-
 rera. Peroche conciosia
 chel ek. sia diuisa secondo
 la proportione hauente el
 mezzo e doi extremi. Eia
 km. sia equale ala sua
 magior parte sìra ancora
 perla 4 del i3. e tutta em. diuisa secondo la proportione hauente
 el mezzo e doi extremi e la sua magior parte ancora la linea
 ek. E pero per la 5. le doi linee em. e mk. Epero le doi em.
 e mp. Peroche mp. fia equale al mk. sonno in potentia tripla
 ala linea ek. Epero ancora ala linea ae, Peroche ae. fia equale
 al ek. Onde le 3 linee ae. em. e mp. sonno in potenza qua-
 druplo ala linea ae. Fia chiaro ancora per la penultima del
 primo doi volte replicata che la linea ap. fia in potentia equale
 ala 3 linee ae. em. e mp. Onde ap fia in potentia quadrupla
 ala linea, ae. Elo lato del cubo conciosia chel sia dopio ala linea
 ae. fia ancora in potentia quadruplo a epso per la 4. de 2.

Adonca per la comuna scientia ap. fia equale allato del
 cubo. E conciosia che ad sia vno deli lati del cubo sira ap.
 equale al ad. E pero per la 8. del primo langulo ard. fia equale
 alangulo anp. Al medesimo modo prouerai langulo dnp. essere
 equale alangulo dra. Perche tu pouerai la linea dn. 'essere in po-
 tentia quadruplo ala Y2 dellato del cubo. Conciosia adonca che
 per queste cose diete el pentagono sia equilatero e habia 3 an-
 guli equali epso sira equiangulo per la 7. del 13. Se adonca
 per questa via econsimile ragione sopra cadauna deli altri lati
 del cubo fabricaremo vn pentagono equilatero e equiangulo se
 finirà vn solido de 1 2 superficie pentagone equilatere e ancora
 equianguie contenuto. Pero chel cubo ha 12 lati. Resta ora de-
 mostrare che questo tal solido sia aponto circundato dala spera
 data che cosi aparera. cioè. Tirinse adonca dala linea sk. doi
 superficie quali diuidino el cubo deli quali luna el diuida sopra
 la linea hk. elaltra sopra la linea ef. E sira per la 40. del 1 1 .
 che la curamune diuisione de queste doi superficie diuida el dia-
 metro del cubo e cosi per conuerso che epsa sia diuisa dal dicto
 diametro per equali. Sia adonca la loro commune diuisione fin
 al diametro del cubo la linea ko. In modo chel ponto o sia
 centro del cubo. Emenise le linee oa. oa. op. od. or. E fia chi-
 aro che cadauna dele doi linee oa. e od. fia semidiametro del
 cubo epero sonno equali. E de la linea ok. fia chiaro per la
 40. del II. che lei fia equale al ek. cioè ai 1/2 dellato de cubo.
 E perche ks. fia equale al km. sira os diuisa nel ponto k se-
 condo la proportione hauente el mezzo e doi extremi. eia sua
 magior parte fia la linea ok. la quale fia equale al ek. Onde
 per la 5. del 13. siranno le doi linee os. e sk. Epero ancora
 OS. e sp. Peroche sp. (ale quali questa demonstratione non se
 extende) fia equale al ks. triplo in potentia ala linea ok. Epero
 ala Y2 dellato del cubo. Onde per la penultima del i. la linea
 op fia in potentia tripla al 7^ del lato del cubo. E pel corela-
 rio dela 14. del i3. semanifesta chel semidiametro dela spera e
 triplo in potentia ala Y2 dellato del cubo el qual fia circum-
 scripto dala medesima spera. Onde op. fia quanto el semidia-
 metro dela spera che circunda aponto el cubo proposto. Perla
 medesima ragione tutti le linee tirate dal ponto o, a cadauno
 de lì anguli de tutti li pentagoni formati sopra li lati del cubo.

 cioè a tutti li anguli quali sonno proprii ali pentagoni. E non
 a quelli che sonno comuni aloro e ale superfìcie del cubo cioè
 proprii de ponto si commo sonno li tre anguli n. p. r. nel for-
 mato pentagono. E de quelle linee che vengano dal ponto o.
 a tutti li anguli deli pentagoni li quali sonno comuni ali pen-
 tagoni e ale superfìcie del cubo si commo sonno nel presente
 pentagono li doi anguli a. e d. fìa chiaro che loro sonno equali
 al semidiametro dela spera che aponto el cubo circonda. Peroche
 loro sonno diametri del cubo per la 40. del 11. Ma el semidia-
 metro del cubo fia commo al semidiametro dela spera che
 aponto el circonda si commo apare per lo ragionamento dela
 14. del i3. Adonca tutte le linee menate dal ponto o. a tutti
 li anguli del duodecedron cioè del solido contenuto da 1 2 super-
 fìcie pentagone equilatere e equiangule che cosi se chiama in
 greco sonno equali fraloro e al semidiametro dela spera. Onde
 sei semicirculo lineato sopra tutto el diametro dela spera ouera-
 mente del cubo sei se mena intorno passara per tutti li suoi
 anguli. Onde per la diffinitione epso fia circundato oponto dala
 spera asegnata. Dico ancora chel lato de questa figura fia linea
 irrationale cioè quella che se chiama residuo sei diametro dela
 spera che aponto lo circonda sia rationale in longhezza o vero
 in potentia che cosi apare. Conciosia chel diametro dela spera
 per la 14. del i3. sia triplo in potentia allato del cubo sira
 ellato del cubo rationale in potentia sei diametro dela spera
 sira rationale in longhezza o vero in potentia E perla 11. del
 13. fia chiaro che la linea rp. diuide la linea ad. La quale
 e lato del cubo, secondo la proportione hauerte el mezzo
 e doi extremi. E che la sua magior parte fia equale allato del
 pentagono. Eperche la sua magior parte fìa residuo per la 6.
 del I 3. se manifesta ellato dela figura dieta duodecedron essere
 residuo la qual cosa habiam voluto demostrare.

 (A trouar li lati de tutti 5 corpi regulari.)