CHAPTER XLIX — Critical Commentary & Notes

On the Disposition of the Exacedron or Cube: Regular (Plates VII–VIII), Truncated (Plates IX–X), and Elevated (Plates XI–XII).

Historical & Mathematical Commentary

Constantin Winterberg’s Commentary (1889 Edition)

Note 16 (Cap. XLVII–LII): Reciprocal (Dual) Polyhedra Generated by Pyramidal Elevation of Faces and Planar Truncation of Vertices (Sachliche Anmerkungen #16, Cap. XLVII–LII, pp. 236–242)

Regarding the generation of the regular bodies and their dependent derivatives, Pacioli distinguishes two primary classes: plane (convex) and truncated (*:term:`abscisi <abscisum>`*) bodies, each rendered both solid (*:term:`solidum <solidum>`*) and hollow/skeletal (*:term:`vacuum <vacuum>`*), and then modifies them further by elevating equilateral pyramids (*elevati*) outward upon their faces. (The inverse operation—excavating pyramids inward upon the same faces—is not mentioned.)

The star-like elevated polyhedra can likewise be inscribed in a sphere passing through all the pyramid apices. If we regard those pyramid apices as the vertices of a new convex polyhedron, we immediately obtain the reciprocal (dual) regular solid:

  • The elevated tetrahedron leads again to a regular tetrahedron (4 apices);

  • The elevated cube leads to the regular octahedron (6 apices);

  • The elevated octahedron (Stella Octangula) leads to the regular cube (8 apices);

  • The elevated icosahedron leads to the regular dodecahedron (20 apices);

  • The elevated dodecahedron leads to the regular icosahedron (12 apices).

More generally, the five regular solids correspond two by two as reciprocal (dual) pairs with respect to the numbers of their vertices ($V$), edges ($E$), and faces ($F$):

  • Tetrahedron $\leftrightarrow$ Tetrahedron (Self-Reciprocal): $E = 6$, $V = 4$, $F = 4$.

  • Cube $\leftrightarrow$ Octahedron: $E = 12$, with $V = 8, F = 6$ for the Cube and $V = 6, F = 8$ for the Octahedron.

  • Icosahedron $\leftrightarrow$ Dodecahedron: $E = 30$, with $V = 12, F = 20$ for the Icosahedron and $V = 20, F = 12$ for the Dodecahedron.

From any regular body, its reciprocal (dual) body arises in two dual ways:

  1. By transforming faces into vertices (Elevation): Erecting pyramids upon the faces and taking their apices as the vertices of the new body (when the pyramid height is chosen so that the apices of the pyramids sharing a common vertex of the original solid become coplanar with that vertex, the new reciprocal solid circumscribes the sphere that circumscribed the original solid).

  2. By transforming vertices into planes (Truncation): Slicing off the corners by planes until the cuts around each face meet at the centroid of that face, so that the original faces shrink to points (vertices) and the new body is circumscribed about the sphere that was inscribed in the original body.

Anmerkung 16 (Cap. XLVII–LII): Reciproke (duale) reguläre Körper durch pyramidale Erhöhung und Eckenabschneiden

Hinsichtlich der Art des Zustandekommens der regulären Körper und der von ihnen abhängigen unterscheidet der Verfasser zwei Classen, nämlich ebene (einfache) und abgeschnittene regelmässige Körper, die er in volle und hohle eintheilt. Diese einfachen und abgeschnittenen werden dann ferner noch dadurch modificirt, dass man sich auf ihren Seitenflächen gleichseitige Pyramiden errichtet denkt.

Die auf diese Art erhaltenen sternförmigen Körper sind ebenfalls in eine Kugel construirbar, welche alle Pyramidenspitzen umfasst, und betrachtet man die Pyramidenspitzen als Ecken eines neuen Körpers, so erkennt man unmittelbar, dass sich dafür wieder einfache reguläre Körper ergeben: das erhöhte Tetraeder führt zum einfachen Tetraeder, der erhöhte Kubus zum einfachen Oktaeder, das erhöhte Oktaeder zum einfachen Kubus u. s. f.

Die fünf einfachen regulären Körper verhalten sich hinsichtlich der Anzahl ihrer Ecken, Kanten und Seitenflächen zwei und zwei reciprok zu einander:

  • Das Tetraeder entspricht nur sich selbst ($6$ Kanten, $4$ Ecken, $4$ Seitenflächen).

  • Der Kubus ($12$ Kanten, $8$ Ecken, $6$ Flächen) entspricht dem Oktaeder ($12$ Kanten, $6$ Ecken, $8$ Flächen) und umgekehrt.

  • Dem Ikosaeder ($30$ Kanten, $12$ Ecken, $20$ Seitenflächen) entspricht das Dodekaeder ($30$ Kanten, $20$ Ecken, $12$ Flächen) und umgekehrt.

Aus einem derselben ergibt sich der reciproke Körper auf zweierlei Art:

  1. Durch Verwandlung der Seitenflächen in Eckpunkte (Aufsetzen oder Aushöhlen von Pyramiden, indem man deren Spitzen als die Ecken des neuen Körpers betrachtet; wird die Höhe der Pyramiden genau so bemessen, dass die Spitzen sämmtlicher Pyramiden um eine Ecke mit dieser Ecke genau in einer Ebene liegen, so umhüllt der neue Körper diejenige Kugel, welche dem ursprünglichen umschrieben ist).

  2. Durch Verwandlung der Ecken in Ebenen, d. h. durch Abschneiden der Ecken bis sich sämmtliche um die Ecken einer Seitenfläche geführten Schnitte im Schwerpunkt dieser Figur schneiden, so dass die Seitenflächen in Punkte übergehen (wobei der erhaltene Körper von derjenigen Kugel umhüllt wird, welche dem ursprünglichen Körper einbeschrieben ist).

Philological and Folio Apparatus

  • 1509 Paganini Witness Folios: 0044 (f. 14v–f. 14v)

  • Winterberg 1889 Italian Source: winterberg/01_divina_proportione_italian/049_cap_XLIX.txt

  • Winterberg 1889 German Source: winterberg/03_divina_proportione_german/049_cap_XLIX.txt

  • Marginal Woodcut Diagrams: 0 figure(s) extracted from the 1509 Venice witness.