← menelaus / Menelai Sphaericorum Libri III

Unit IV — Menelai Alexandrini Sphaericorum Lib. III, VI–X (Halley 1758)¶

Scan-Verified Diplomatic Latin Text from Edmond Halley’s Oxford Edition (1758, pp. 91, 93–97)

Prop. VI. Theor. — De Bisectione Anguli Sphaerici (Halley 1758, p. 91)¶

Enuntiatio (Halley 1758, p. 91)

Si dividatur angulus aliquis trianguli Sphaerici bifariam, erunt sinus duorum laterum ad sinus duorum segmentorum basis in eadem ratione: & conversim & permutatim.

[§4.1 · Demonstratio, p. 91] Sit triangulum Sphaericum ΑΒΓ, & secet arcus ΒΔ angulum ΑΒΓ bifariam; dico sinum arcus ΑΒ esse ad sinum arcus ΑΔ sicut sinus arcus ΒΓ ad sinum arcus ΔΓ.

In triangulis enim Sphaericis ΑΒΔ, ΓΒΔ, duo anguli ΑΒΔ, ΓΒΔ sunt aequales, duo vero anguli ad punctum Δ simul sumpti sunt aequales duobus rectis: erit igitur (per 2m III. hujus) sinus arcus ΒΑ ad sinum arcus ΑΔ sicut sinus arcus ΒΓ ad sinum arcus ΓΔ, & ἐναλλὰξ erunt etiam proportionales.

E converso vero, si sinus arcus ΑΒ fuerit ad sinum arcus ΒΓ sicut sinus arcus ΑΔ ad sinum arcus ΔΓ: dico arcum ΒΔ dividere angulum ΑΒΓ bifariam… Q. E. D.

Rursus ponatur angulus ΓΒΕ, qui deinceps est angulo ΑΒΓ, bifariam dividi arcu Βδ; dico sinum arcus ΑΒ esse ad sinum arcus ΒΓ sicut sinus arcus Αδ ad sinum arcus δΓ: atque etiam ἐναλλὰξ…

Prop. VIII. Theor. — De Sectione Harmonica Sphaerica (Halley 1758, pp. 93–95)¶

Enuntiatio (Halley 1758, p. 93)

Si ab angulo recto trianguli Sphaerici rectanguli, ducantur ad basim duo arcus continentes cum altero laterum ejus angulos aequales: erit sinus arcus compositi ex basi & arcu eidem adjuncto, ad sinum ipsius arcus adjuncti, ut sinus segmenti basis quod adjacet reliquo trianguli lateri, ad sinum alterius segmenti basis: & è contra.

[§4.2 · Demonstratio & Conversae, pp. 93–95] Sit ΑΒΓ triangulum Sphaericum habens angulum Β rectum, & de puncto Β ducantur duo arcus ad basim, ut ΒΔ, ΒΕ, qui contineant cum arcu ΑΒ angulos aequales: dico sinum arcus ΓΕ esse ad sinum arcus ΑΕ sicut sinus arcus ΓΔ ad sinum arcus ΔΑ (sectio harmonica).

Quoniam enim angulus ΑΒΓ est rectus, angulus vero ΑΒΔ aequalis angulo ΑΒΕ, dividet arcus ΒΓ angulum qui deinceps est angulo ΕΒΔ bifariam; quare (per 6tam III hujus) sinus arcus ΒΕ est ad sinum arcus ΒΔ ut sinus arcus ΕΓ ad sinum arcus ΓΔ; & (per eandem) ut sinus arcus ΕΑ ad sinum arcus ΑΔ: sinus igitur arcus ΕΓ est ad sinum arcus ΓΔ sicut sinus arcus ΕΑ ad sinum arcus ΑΔ; & permutando, sinus arcus ΓΕ est ad sinum arcus ΕΑ ut sinus arcus ΓΔ ad sinum arcus ΔΑ. Q. E. D.

Ponatur jam sinum arcus ΓΕ esse ad sinum arcus ΕΑ sicut sinus arcus ΓΔ ad sinum arcus ΔΑ, & simul angulum ΕΒΑ aequalem esse angulo ΑΒΔ: dico angulum ΑΒΓ rectum esse… Q. E. D.

Ponatur rursus sinum arcus ΓΕ esse ad sinum arcus ΕΑ sicut sinus arcus ΓΔ ad sinum arcus ΔΑ, angulo ΑΒΓ existente recto: dico angulum ΕΒΑ aequalem esse angulo ΑΒΔ… Q. E. D.

Prop. IX. Theor. — De Concursu Bisectorum (Halley 1758, p. 95)¶

Enuntiatio & Corollarium (Halley 1758, p. 95)

Si duo quilibet anguli trianguli Sphaerici ductis arcubus dividantur bifariam, & è puncto concursus duorum arcuum ducatur arcus tertius ad angulum reliquum: dividet ille arcus angulum reliquum bifariam. Coroll. Omni igitur Triangulo Sphaerico inscribi potest circulus.

[§4.3 · Demonstratio, p. 95] Trianguli Sphaerici ΑΒΓ dividantur duo anguli qui ad Α & Γ bifariam, ductis arcubus ΑΔ, ΔΓ coeuntibus ad Δ; & jungantur puncta Β, Δ, ducto arcu ΒΔ: dico arcum ΒΔ bisecare angulum ΑΒΓ.

Producatur arcus ΒΔ ad Ε: & quoniam anguli qui sunt ad Α & Γ dividuntur bifariam ab arcubus ΑΔ, ΔΓ, erit (per 6m III hujus) sinus arcus ΒΔ ad sinum arcus ΔΕ sicut sinus arcus ΒΓ ad sinum arcus ΓΕ, & sicut sinus arcus ΑΒ ad sinum arcus ΑΕ: permutando itaque sinus arcus ΒΓ erit ad sinum arcus ΑΒ sicut sinus arcus ΓΕ ad sinum arcus ΑΕ. Erit igitur (è converso ejusdem 6tae) angulus ΑΒΓ bifariam divisus ab arcu ΒΔ. Q. E. D.

Prop. X. Theor. — De Concursu Perpendicularium (Halley 1758, pp. 95–97)¶

Enuntiatio (Halley 1758, p. 95)

Si demittantur, de duobus quibuslibet angulis trianguli Sphaerici, ad latera iisdem opposita, duo arcus perpendiculares: erit arcus ab angulo reliquo ad punctum quo conveniunt priores illi arcus, si producatur, etiam normalis super latus reliquum.

[§4.4 · Demonstratio Integra, pp. 95–97] Sit ΑΒΓ triangulum Sphaericum, & de duobus punctis angularibus Α & Γ ducantur ad latera opposita ΒΓ, ΑΒ arcus normales ΑΔ, ΓΕ, qui conveniant in puncto Ζ, & ducta ΒΖ producatur ad occursum ipsius ΑΓ in puncto Η: dico arcum ΒΗ perpendicularem esse super arcum ΑΓ.

Transeat enim per puncta Δ, Ε arcus ΕΔ, qui producatur usque dum occurrat arcui ΑΓ producto: conveniant autem ad Θ, & jungantur duo arcus ΗΔ, ΗΕ. Jam quoniam habetur figura ΑΘΕΖ, ad modum Propositionis primae hujus, erit sinus arcus ΑΘ ad sinum arcus ΘΓ in ratione composita ex ratione sinus arcus ΑΔ ad sinum arcus ΔΖ & ratione sinus arcus ΖΕ ad sinum arcus ΕΓ. Pariterque in figura tali ΑΓΒΖ, ratio sinus arcus ΑΗ ad sinum arcus ΗΓ composita est ex ratione sinus arcus ΑΖ ad sinum arcus ΖΔ & ratione sinus arcus ΔΒ ad sinum arcus ΒΓ. Ratio autem sinus ΔΒ ad sinum ΒΓ, in figura ΑΒΓΖ, componitur ex ratione sinus ΔΑ ad sinum ΑΖ & ratione sinus ΖΕ ad sinum ΕΓ: ratio igitur sinus ΑΗ ad sinum arcus ΗΓ composita est ex tribus, nempe ex ratione sinus ΑΖ ad sinum ΖΔ, & ratione sinus ΔΑ ad sinum ΑΖ, & ratione sinus ΖΕ ad sinum ΕΓ: duae autem priores, ob utrinque inventum ΑΖ, componunt rationem sinus ΔΑ ad sinum ΖΔ: ratio igitur sinus ΑΗ ad sinum ΗΓ componitur ex ratione sinus ΔΑ ad sinum ΖΔ & ratione sinus ΖΕ ad sinum ΕΓ. Sed ratio sinus ΑΘ ad sinum ΘΓ componitur ex iisdem rationibus; quare sinus arcus ΑΘ est ad sinum arcus ΘΓ sicut sinus arcus ΑΗ ad sinum arcus ΗΓ.

Jam in triangulo ΑΔΓ angulus ΑΔΓ est rectus; quare (per octavam III hujus) angulus ΘΔΓ aequalis erit angulo ΓΔΗ, ac proinde angulus ΑΔΗ aequalis erit angulo ΑΔΕ: ac ob angulum ΓΕΑ rectum, erit quoque (per eandem octavam) angulus ΔΕΓ aequalis angulo ΓΕΗ. Quoniam vero ΔΕΗ triangulum est Sphaericum, ac dividuntur anguli ejus ad Δ & Ε bifariam à ductis arcubus ΔΖ, ΖΕ; si ducatur arcus ΗΖ è puncto Η ad concursum eorum in Ζ, erit quoque angulus ΕΗΔ bifariam divisus, per nonam III. hujus. In triangulis autem ΘΔΗ, ΘΕΗ anguli Δ & Ε divisi sunt bifariam ab arcubus ΔΓ, ΕΓ, quare (per 6m III. hujus) tam sinus arcus ΘΕ ad sinum ΕΗ, quam sinus arcus ΘΔ ad sinum arcus ΔΗ, erit in eadem ratione, nempe ut sinus arcus ΘΓ ad sinum arcus ΓΗ: permutando itaque sinus ΘΕ erit ad sinum ΘΔ sicut sinus ΕΗ ad sinum ΗΔ, hoc est ut sinus arcus ΕΚ ad sinum arcus ΚΔ, quia angulus ΕΗΔ bifariam divisus est arcu ΗΖΚ. Quocirca cum angulus ΕΗΚ aequalis est angulo ΔΗΚ, ac sinus arcus ΘΕ est ad sinum ΘΔ sicut sinus ΕΚ ad sinum ΚΔ, erit (è conversa 8vae III hujus) angulus ΘΗΚ rectus. Q. E. D.