Unit IV · Harmonices Mundi Liber II (Textus Latinus, 1619)¶
Public-domain Neo-Latin text from Ioannis Keppleri Harmonices Mundi Liber II: Architectonicus, seu ex Geometria Figurata, de Figurarum Regularium Congruentia in Plano vel Solido (Linz, 1619, pp. 47–66; ed. Ch. Frisch, Vol. V, pp. 126–144).
1. Definitiones — De Congruentia in Plano et in Solido¶
Libro Primo contemplati sumus figuras regulares planas singulas seorsim, quatenus ex inscriptione in circulum sunt scibiles; iam Libro Secundo Architectonico consideramus earum sociabilitatem ac :term:`congruentiam <congruentia>`, quaerentes quaenam figurae regulares et stellatae lateribus iunctis vel planitiem continuam sine hiatu sternant, vel in solido coeuntes corpus undique clausum efforment.
Congruentia in plano perfecta dicitur, cum anguli figurarum circa quodlibet punctum commune quatuor rectos ($360^\circ$) implent, ordoque circumcirca sine repugnantia in infinitum continuari potest. Congruentia in solido fit, cum tres pluresve anguli plani minores simul quatuor rectis ($< 360^\circ$) angulum solidum claudunt.
2. Propositiones I–XX — Undecim Species Congruentiae Planae Uniformis¶
Planitiem uniformiter ex una sola specie figurae regularis implent tres tantummodo figurae: ** sex Trigona** (3.3.3.3.3.3), quatuor Tetragona (4.4.4.4), et tria Hexagona (6.6.6).
Ex pluribus vero speciebus eodem ordine ad omnes angulos concurrentibus, licet arithmetice septendecim combinationes quatuor rectos aequent (veluti trigonum, septangulum et figura quadraginta duorum laterum, aut duo pentagona cum decagono), tamen pleraeque in continuatione sibi ipsis repugnant! Nam circa figuram imparis numeri laterum—ut trigonum aut pentagonum—duae diversae figurae alternatim disponi nequeunt quin tertio aut quinto latere concurrant similes. Exclusis igitur incongruis, supersunt octo dumtaxat congruentiarum semiregularium species, adeoque cum tribus primariis undecim in universum:
Ternariae ($k = 3$): 3.12.12, 4.6.12, et 4.8.8 (V488).
Quaternariae ($k = 4$): 3.6.3.6 (V3636) et 3.4.6.4 (V3464).
Quinariae ($k = 5$): 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4, et forma obliqua seu sima 3.3.3.3.6 (V33336), quae dextrorsum aut sinistrorsum flecti potest.
3. De Congruentia Pentagoni, Decagoni & Stellae Quinquangulae (Aa)¶
Quamvis autem pentagona et decagona convexa sola planitiem uniformiter continuare nequeant, admisso tamen Stellae Quinquangulae ({5/2}) angulo acuto $36^\circ$ et sinu re-entrante $72^\circ$, pulcherrima oritur structura (Figura Aa)! Nam circa centrale decagonum DEC0 (D0) quina pentagona et quinae stellae quinquangulae ita nectuntur, ut duo decagona cum sinu stellae ($144^\circ + 144^\circ + 72^\circ$), item duo pentagona cum decagono ($108^\circ + 108^\circ + 144^\circ$), ac tria pentagona cum cuspide stellae ($3 \times 108^\circ + 36^\circ$) exactissime quatuor rectos expleant, mirabili varietate in infinitum progrediente.
4. Propositiones XXV–XXVIII — Corpora Stellata, Rhombica & Archimedea¶
In solido denique demonstrantur:
Duo Corpora Regularia Stellata (augmentata seu echinata): ex duodecim stellis quinquangulis $\{5/2\}$ invicem connexis nascuntur duo corpora perfectissime regularia—alterum duodecim cuspidum quinariarum (Dodecaedron Stellatum Minus, $\{5/2, 5\}$), alterum viginti cuspidum ternariarum (Dodecaedron Stellatum Maius, $\{5/2, 3\}$).
Duo Corpora ex Rhombis Aequalibus: Dodecaedron Rhombicum ($\sqrt{2}:1$) et Triacontaedron Rhombicum (PQRS, cuius diagonales PRgold et QSgold tenent proportionem divinam $\phi : 1$).
Tredecim Corpora Semiregularia :person:`Archimedis <archimedes>` (Prop. XXVIII, seclusis infinitis columnis prismaticis et antiprismaticis): inter quae eminent Cuboctaedron, Icosidodecaedron, ac duo corpora chirali obliquitate insignia, Cubus simus et Dodecaedron simum (Pappus, Synagoge V).