Unit III · Harmonices Mundi Liber I (Textus Latinus, 1619)

Public-domain Neo-Latin text from Ioannis Keppleri Harmonices Mundi Liber I: Geometricus, de ortu figurarum regularium (Linz, 1619, pp. 1–46; ed. Ch. Frisch, Vol. V, pp. 75–125).

1. Prooemium — Defensio Libri Decimi Euclidis adversus Petrum Ramum

Cum viderent Veteres, Harmoniam ex divisionibus circuli in partes aequales geometricis—hoc est ex figuris regularibus planis scibilibus—oriri: ante omnia indicanda fuerunt Geometris hodiernis intima illa mysteria, quae Euclides libro suo Decimo de lineis incommensurabilibus (Elementa X) tradidit, teste Proclo Diadocho (In Euclidem).

Cur autem tantum opus libri Decimi Euclidis ad nostram usque aetatem paene neglectum iacuit? Quia Petrus Ramus, vir alioquin acris ingenii, in subtilitates illas incidens, quem ad finem Euclides tenderet, non perspexit! Adeo igitur insectatus est librum Decimum—negans in omnibus hominum doctrinis parem obscuritatem ac labyrinthum extitisse—ut ipse etiam amicus meus Willebrordus Snellius, propositionibus licet editis, usum earum vix ausus fuerit asserere. Fateor me ipsum non procul a Rami castris stetisse, donec in Harmonices inquisitionem veni: tunc enim clarissima luce conspexi, totam illam commensurabilium, medialium, binominum, apotomarum, mizonum et elassonum architecturam ab Euclide exstructam esse, ut figuras regulares demonstrabiles ac scibiles ab inscibilibus secernat!

2. Definitiones VII–XXV — Octo Gradus Scibilitatis Geometricae

  • Definitio VII (*Scire in Geometricis*): Scire in geometricis est mensurare per notam mensuram; quae mensura nota in hoc negotio inscriptionis figurarum in circulum est Diameter circuli ($D = 2R$).

  • Definitio VIII (*Scibile / Demonstrabile*): Scibile (Graecis γνώριμον) dicitur id, quod aut per se ipsum diametro mensuratur, aut saltem certa et geometrica ratiocinatione quadratorum ex diametro deducitur.

Distinguuntur autem magnitudinum geometricarum octo gradus nobilitatis seu scibilitatis:

  1. Gradus I: Aequalitas cum ipsa Diametro ($s_2 = D$).

  2. Gradus II (:term:`Effabilis longitudine <effabilis-longitudine>`, ῥητὴ μήκει): Quae cum diametro communem habet mensuram longitudinis, ut latus Hexagoni ($s_6 = R = \frac{1}{2}D$, [IV.15]).

  3. Gradus III (:term:`Effabilis potentiâ tantùm <effabilis-potentia>`, ῥητὴ δυνάμει μόνον): Quae longitudine quidem incommensurabilis est, quadrato vero (:term:`potentiâ <quadrance>`) commensurabilis quadrato diametri: ut latus Tetragoni ($s_4^2 = \frac{1}{2}D^2$) et latus Trigoni ($s_3^2 = \frac{3}{4}D^2$).

  4. Gradus IV (:term:`Mese <mese>`, μέση): Media proportionalis inter duas rectas potentia tantum commensurabiles (Eucl. X.21), unde pendent areae Octogoni et Dodecagoni.

  5. Gradus V & VI (:term:`Binominis & Apotome <binominis-apotome>`, ἐκ δύο ὀνομάτων & ἀποτομή): Compositio aut detractio duarum rectarum potentia tantum commensurabilium; cuius generis est latus Decagoni (OG, $s_{10} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}R$), vera Apotome ex Sectione Divina ([XIII.9]).

  6. Gradus VII & VIII (:term:`Mizon & Elasson <mizon-elasson>`, μείζων & ἐλάσσων): Radices compositae $\sqrt{a \pm \sqrt{b}}$ (Eucl. X.39, X.76); sic latus Pentagoni (AG in PENT5) est Elasson ($s_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}$, [XIII.10]), subtensa vero Stellae Quinquangulae est Mizon ($d_5 = \frac{R}{2}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$), unde etiam Quindecagonum ($n = 15$, [IV.16]) demonstratur.

O A M G H_1 H_2 H_3 H_4 H_5 H_6 H_7 I. Scibilis: OG = s_10 = R/phi, AG = s_5 (Quadratic) II. Inscibilis (Prop. XLV): Septangulum, x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0

3. Definitio XXVI & Propositio XXIX — De Sectione Divina

  • Propositio XXIX: Recta secundum extremam et mediam rationem secta—quam nostri ob admirabiles proprietates Proportionem Divinam appellant—unica est omnium sectionum, quae semel posita se ipsam in infinitum propagat: sive enim maius segmentum auferas a toto, sive totum addas maiori segmento ([XIII.5]), nova perpetuo surgit Sectio Divina, quemadmodum ex centro M per A descriptus arcus uno ductu tam latus decagoni OG quam latus pentagoni AG determinat.

4. Propositio XLV — De Septangulo aliisque Figuris Inscibilibus

  • Propositio XLV: Septanguli regularis (:g:`HEPT7`) latus, omniumque figurarum innumerabilium imparium primarum ultra quinarium, est :term:`inscibile <inscibilitas>` et indemonstrabile ex sola diametro per Geometriam planam.

Nam in triangulo septangulari H1H2H4 intra circulum cHEPT concurrunt tres species subtensarum simul ignotae: ipsum latus $H_1 H_2$, subtensa duarum septimarum diags2, et subtensa trium septimarum diags3. Attulit quidem solertissimus Iustus Byrgius aequationem Algebraicam seu Cossicam pro subtensa septimae partis peripheriae ($y^6 - 7y^4 + 14y^2 - 7 = 0$, sive $x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0$). Sed aliud est aequationem numeris tentare, aliud rem geometrice determinare! Primo enim aequatio haec assurgit ad gradus cubicos seu solidos, quos circini et regulae concursus in plano non attingit; deinde eadem prorsus aequatio tribus diversis subtensis ($\frac{1}{7}$, $\frac{2}{7}$, $\frac{3}{7}$) ex aequo respondet, nullam unicam praecise secernens:

“Itaque **nullum unquam Regulare Septangulum a quoquam constructum est*, sciente et volente, et ex proposito agente; nec construi potest ex proposito: sed bene fortuito construi posset, cum tamen sciri non possit, sitne constructum necne.”*