Unit V · Epistola 1597 & Harmonices Mundi Liber V (Textus Latinus, 1619)

Public-domain Neo-Latin text from Ioannis Kepleri Epistola ad Michaelem Mästlinum (Graz, October 1597) (ed. Ch. Frisch, Vol. I, p. 377) and Harmonices Mundi Liber V: De Harmonia Perfectissima Motuum Coelestium (Linz, 1619, pp. 177–255; ed. Ch. Frisch, Vol. V, pp. 269–329).

1. Epistola ad Michaelem Mästlinum (Oct. 1597) — Triangulum Kepleri

“Si in linea, quae est secta :term:`extrema et media ratione <sectio-divina>`, construatur triangulum rectangulum ex partibus et tota, ita ut subtensa recto sit maior pars vel tota, tunc quadratum unius lateris cum quadrato alterius componit quadratum subtensae, et **tria latera sunt continue proportionalia*.”* (Keplerus ad Michaelem Mästlinum, Frisch I, p. 377).

  • Posita basi OA $= 1$ inter puncta O et A, producatur recta utrinque ad W ($-1, 0$) et secundum sectionem divinam (Eucl. II.11) ad P ($\phi, 0$). Descripto semicirculo cThales super diametro WP, perpendicularis per O ad angulum rectum angAOB erecta secat peripheriam in B, ita ut OB $= \sqrt{\phi}$ (Eucl. VI.13).

  • Triangulum rectangulum OAB (Triangulum Kepleri) habet latera OA, OB, AB continue proportionalia ($1 : \sqrt{\phi} : \phi$) et quadrata $1, \phi, \phi^2$, cum $1 + \phi = \phi^2$; cathetus vero OH in hypotenusam AB ad H demissus secat eam denuo extrema ac media ratione ($BH = 1$, $HA = \phi - 1 \approx 0.6180340$ ex calculo Mästlini).

W O A P B H 1 sqrt(phi) phi Sol P A_p a I. Kepler Triangle (1597): Q = (1, phi, phi^2) II. Lex Tertia & Harmonia Extremorum: T^2 ~ a^3

2. Liber V, Caput III, Propositio VIII — Proportio Sesquialtera (Lex Tertia)

Postquam ex observationibus Tychonis Brahei in Astronomia Nova (1609) demonstratum est orbitam cuiusque planetae esse ellipsin cORB circa axem maiorem APaxis (centro Corb), in cuius altero foco residet Solf, die 15 Maii anno 1618 Keplerus supremam legem periodicorum temporum (Legem Tertiam) his ipsis verbis promulgavit (Harmonices Mundi V, Cap. III, Prop. VIII; Frisch V, p. 279):

“Sed res est certissima exactissimaque, quod **proportio quae est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit praecise sesquialtera proportionis mediarum distantiarum*, id est Orbium ipsorum; attamen hoc observato, quod medium arithmeticum inter utramque diametrum ovalis ellipticae sit paulo minus longiore diametro. Itaque si ex periodo verbi gratia Terrae, quae est unius anni, et ex periodo Saturni, quae est annorum triginta, tertiam partem proportionis, hoc est radices cubicas sumpseris, et hanc proportionem duplicaveris squarando radices, habebis in numeris prodeuntibus justissimam proportionem mediarum distantiarum Terrae et Saturni a Sole.”*

3. Liber V, Capita IV–IX — Harmonia Motuum Extremorum & Quinque Corpora

Cum planeta areas focales temporibus proportionales verrat—confer sectorem perihelii breviorem sed latiorem SECPER ad Pper cum sectore aphelii longiore sed angustiore SECAPH ad Aaph—motus diurni apparentes ex Solf spectati sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, efformantes consonantias harmonicas quibus eccentricitates quinque corporibus regularibus adaptantur:

  • Saturnus: $1'46'' : 2'15'' \approx 4 : 5$ (Ditonus, tertia maior);

  • Iupiter: $4'30'' : 5'30'' = 5 : 6$ (Sesquiquinta, tertia minor);

  • Mars: $26'14'' : 38'1'' \approx 2 : 3$ (Diapente, quinta perfecta);

  • Tellus (Circulus mensor): $57'3'' : 61'18'' \approx 15 : 16$ (Semitonium, unde celebre epigramma Kepleri: “Tellus canit MI FA MI, ut vel ex syllaba conjicias, in hoc nostro domicilio MIseriam et FAmem obtinere”);

  • Venus: $94'50'' : 97'37'' \approx 24 : 25$ (Diesis enharmonica);

  • Mercurius: $164'0'' : 384'0'' = 5 : 12$ (Diapason cum tertia minore).