Unit II · Strena seu de Nive Sexangula (Textus Latinus, 1611)

Public-domain Neo-Latin text from Ioannis Kepleri S. Cæs. Maiest. Mathematici Strena seu de Nive Sexangula (Frankfurt am Main: Tampach, 1611; ed. Ch. Frisch, Vol. VII, pp. 715–730).

1. Ad Illustrem D. Ioannem Matthaeum Wackherium a Wackenfels — De Stella Nivea

Cum sat sciam, Illustris Domine Wackheri, quam tu sis amans Nihili, non equidem ob vilitatem pretii, sed ob festivissimos iucundissimorum passerum lusus: facile coniecturam facio, eo tibi gratiorem fore strenam, quo illa propius ad Nihilum accesserit. Dum igitur in hac solicitudine sum, ecce commodum ex itinere pontem Pragensem transiens, pudore incivilis otii mortificatus, forte fortuna vapor aquosus frigore condensatus in nivem se solvit, flocculique sparsim in vestem meam deciderunt, omnes sexanguli, villosis radiis.

Hercule, res minor quavis gutta, figurata tamen; en optatissimam strenam Nihili amatori, et dignam quam det Mathematicus, Nihil habens, Nihil accipiens, quippe quae de coelo descendit et stellarum gerit similitudinem! Accedit etymologia vernacula: nam quid est Latinis Nix, nisi Germanis Nichts? Cur autem, quoties ningere incipit, priusquam flocculi implicentur in grumos, semper decidunt stellulae sexangulae, radiis villosis senis in eodem plano digestis, nunquam vero quinquangulae aut septangulae?

O P_0 P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 Planar Close-Packing (Kissing Number 6, Q = 4R^2) & Compressed Hexagonal Cell

2. De Apum Alveolis & Inventione Duorum Corporum Rhombicorum

Inspiciamus opera Naturae geometrica iam nota, in primis apum alveolos (Pappus, Synagoge V). Exstruunt apes domicilia sexangula, ut quilibet paries communis sit duabus cellulis nullumque spatium intermedium vacet. Sed contemplare etiam fundos alveolorum in duplici strato oppositorum! Quaelibet cellula sexangula terminatur in carinam obtusam tribus planis rhombis comprehensam, ita ut unusquisque fundus cum tribus cellulis oppositis alternatim committatur.

Hac re admonitus, coepi per Geometriam inquirere, num quod esset corpus, ad similitudinem quinque regularium et Archimedis tredecim corporum, ex solis rhombis aequalibus constitutum: invenique duo, quorum alterum cognatum sit cubo et octaedro, reliquum dodecaedro et icosaedro:

  • Primum (Dodecaedron Rhombicum, ABCD) duodecim rhombis clauditur, angulis solidis quatuordecim (octo tricuspidibus obtusis instar cubi, sex quadricuspidibus acutis instar octaedri), lateribus viginti quatuor, diagonalibus in ratione $\sqrt{2} : 1$ (AC ad BD).

  • Alterum (Triacontaedron Rhombicum) triginta rhombis clauditur, angulis solidis triginta duobus, lateribus sexaginta, diagonalibus in proportione divina $\phi : 1$.

A B C D Dodecaedron Rhombicum (12 Faces, 14 Vertices, 24 Edges): AC : BD = sqrt(2) : 1, Dihedral 120 deg

Habet autem primum duodecim rhombis contentum proprietatem cum cubo communem maxime admirabilem: quemadmodum enim sexangula et quadrata planitiem implent, sic hoc corpus rhombicum locum solidum undique sine hiatu implet (impletrix loci solidi), ternis angulis diedris $120^\circ$ ad singula latera in $360^\circ$ coeuntibus.

3. De Malo Granato & Coaptatione Globulorum Arctissima

Transi iam ad malum granatum, in quo cernimus acinos figura rhombica angulatos. Quae causa huius figurae? Non profecto anima formalis angulos numerans, sed ipsa materiae necessitas et mutua globulorum compressio!

Nam si errantes in eodem plano horizontali globulos aequales coegeris in angustum, ut se mutuo contingant, aut quadrangulari forma coeunt, aut triangulari; ibi quatuor unum circumstant, hic sex unum circumstant (P0–P5 circa O in figura HEX). Iam superstruantur ordines alii in solido:

  • Si quadrangularis ordo directe ordini quadrangulari imponatur, singuli globuli a senis tantum contingentur ($\pi / 6$).

  • At si in cavo quatuor globulorum ordinis quadrangularis—aut in cavo trium globulorum ordinis triangularis—globulus superioris strati locetur, tunc quilibet globulus interior in universum a duodecim tangetur (sex in eodem plano, tribus supra, tribus infra)!

    “**Coaptatio fiet arctissima, ut nullo praeterea ordine plures globuli in idem vas compingi queant.* Rursum igitur hisce globulis aequaliter intumescentibus aut undique compressis, fient ex globosis rhombica duodecim facierum!”* (Coniectura Kepleri, $\frac{\pi}{3\sqrt{2}}$).

4. De Floribus Quinquefoliis & Serie Numerorum Se Ipsam Propagante

Cur vero flores arborum—ut pyri et mali et rosae—quinario potius numero foliorum (ABCDE) gaudent quam senario? Quia in stirpibus regnat facultas formatrix ad archetypum pulchritudinis geometricae efficta, nempe ad sectionem divinam ([II.11], [XIII.5]), quae se ipsam in infinitum propagat!

“Sint minimi **1* et 1, quos imaginaberis inaequales; adde, fient 2; cui adde maiorem 1, fient 3; cui adde 2, fient 5; cui adde 3, fient 8; cui adde 5, fient 13; cui adde 8, fient 21. Semper enim, ut 5 ad 8, sic 8 ad 13 fere, et ut 8 ad 13, sic 13 ad 21 fere. Ad huius proportionis se ipsam propagantis similitudinem puto effictam esse facultatem seminariam: ac proinde in flore praefertur genuinum quinarii vexillum, pentagonum!”*

A B C D E 8 5 3 2 1 1 I. Flos Quinquefolius (Pentagram {5/2}) II. Propagatio Seminalis: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 -> phi

Quid igitur causae restat, cur nix sex radios in uno plano potius quam secundum tres diametros octaedri spargat? Pulsate fores Chymicorum, dum strena haec priusquam liquescat ad Nihilum revertitur!