UNITAS III — DISTINCTIO IV: DE DIVISIONE CAMPORUM INTER CONSORTES¶
Liber Divisionum Euclidis Latinitate Donatus et Ampliatus: Trigoni, Quadrilatera, Trapezia et Circuli
Fons Criticus: boncompagni:1862 (Scritti di Leonardo Pisano, Vol. II, pp. 110–148 · Cod. Urb. Lat. 292, fol. 67v–92v) · English Translation · Summary · GEOMETOR Notes
De Divisione Trigonorum ab Angulo vel a Puncto Dato in Latere¶
Versio Anglica: Dividing Triangles from a Vertex or Side Point (pp. 110–112) · Commentarius: Notae ad Librum Divisionum Euclidis
Divisio ab Angulo: Si trigonus .abg. dividendus sit in duas vel plures partes equales ab uno eius angulo .a., dividatur basis opposita .bg. in totidem partes equales et protrahantur linee ab .a. ad puncta divisionis; trigoni enim sub eadem altitudine constituti eandem habent inter se proportionem quam bases. [VI. 1]
Lemma de Trigonis Unum Angulum Equalem Habentibus: Premittitur quod duorum trigonorum habentium unum angulum equalem (utpote angulum .g.), proportio alterius ad alterum componitur ex proportione laterum continentium ipsum angulum equalem. [VI. 23]
Divisio in Duo Equalia a Puncto Dato in Latere: Sit dividendus trigonus ABG in duas partes equales per lineam exeuntem a dato puncto D posito in latere BE.
Constructio et Demonstratio: Secetur basis per equalia in E et protrahatur AE ac AD; a puncto autem E ducatur linea EZ equidistans ipsi AD [I. 31] secans latus GZ in Z, et copuletur DZ. Quoniam trigoni $ADE$ et $ADZ$ sunt super eandem basim AD et in eisdem equidistantibus, sunt invicem equales; [I. 37] addito igitur communi $EDG$, erit trigonus DZG equalis trigono $AEG$, hoc est dimidio totius ABG, reliquumque quadrilaterum ABDZ erit reliquum dimidium.
Exemplum in Numeris: Sit $AB = 13$, $BG = 14$, $GA = 15$, $BD = 5$, et $DG = 9$. Quia $GD$ ($9$) ad $GE$ ($7$) est sicut $GA$ ($15$) ad $GZ$, [VI. 2] multiplicetur $7$ in $15$ ($105$) et dividatur per $9$: provenit $GZ = 11\frac{2}{3}$, utraque autem pars continet perticas $.XLII.$ ($42$).
Preparatoria de Concursu Mediarum et Divisio Inter Tres Consortes¶
Versio Anglica: Concurrency of Medians & Centroid Division (pp. 112–120) · Commentarius: Notae ad Centrum Gravitatis D
Preparatoria: In omni trigono ABG tres linee protracte ab angulis ad puncta media E, Z, T oppositorum laterum concurrunt simul in uno puncto D, ita ut portio versus quemlibet angulum sit dupla portionis relique ($AD = 2\,DE$, $BD = 2\,DZ$, $GD = 2\,DT$).
Copulata enim $EZ$, est $AB$ dupla ipsius $EZ$; [VI. 2] quare per similitudinem trigonorum est AD dupla ipsius $DE$ et BD dupla ipsius $DZ$, similiterque tertia linea GT transit per idem punctum D.
Unde si tres consortes voluerint dividere campum trigonum ABG habentem puteum vel terminum in D, protractis AD, BD, GD, efficiuntur tres trigoni equales DAB, DBG, et DGA, quorum unusquisque est tertia pars totius trigoni (in trigono $13, 14, 15$ pertice $.XXVIII.$). Ostenditur insuper divisio trigoni per quodlibet punctum datum intra vel extra trigonum (pp. 113–117). [VI. 28–29]
Divisio Trigoni per Lineam Equidistantem Basi¶
Versio Anglica: Dividing a Triangle Parallel to Its Base (p. 119) · Commentarius: Notae ad Semicirculum Mediae Proportionalis
Protrahatur latus BE extra A usque in D, sitque AD dimidium ipsius $BA$. Super dyametrum $BD$ describatur semicirculus (O1B), erigaturque a puncto A perpendicularis AK usque ad circumferentiam in K, [VI. 13] et secundum spatium AK describatur circulus (AK) secans $AB$ in E, unde ducatur EZ equidistans basi BG.
Quoniam $BA$ ad $EA$ ($= AK$) est sicut $EA$ ad $AD$, erit $BA^2$ ad $EA^2$ sicut $BA$ ad $AD$, hoc est dupla; sed trigonus ABG ad trigonum AEZ habet proportionem duplicatam lateris $BA$ ad $EA$; [VI. 19] igitur trigonus AEZ equalis est residuo quadrilatero EBGZ. In trigono ubi $AB = 10$, $BG = 14$, $AG = 12$, erit $AD = 5$, et:
$$AE^2 = 50, \qquad AZ^2 = 72, \qquad EZ^2 = 98.$$
De Divisione Quadrilaterorum, Trapeziorum et Circulorum¶
Versio Anglica: Divisions of Quadrilaterals, Trapezoids & Circles (pp. 126–148) · Commentarius: Notae ad Divisionem Trapezij
In campo caput absciso (trapezio) habente caput $a$ et basim $b$ equidistantem, linea media $c$ dividens campum in duo equalia equidistanter basibus invenitur accipiendo radicem medietatis aggregati quadratorum capitis et basis:
$$c = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \qquad \text{(ut in } a = 7,\ b = 17 \implies c = \sqrt{169} = 13\text{)};$$
universaliter vero secundum proportionem $p : q$ est $c^2 = \frac{q a^2 + p b^2}{p + q}$. Subiunguntur divisiones quadrilaterorum diversilaterorum, pentagonorum, circulorum, semicirculorum et portionum circuli (euclid:divisions).