UNITAS II — DISTINCTIO III: IN MENSURATIONE OMNIUM CAMPORUM

De Mensuratione Trigonorum, Demonstratione Regulae Heronis, Quadrilateris et Mensuratione Circulorum

Fons Criticus: boncompagni:1862 (Scritti di Leonardo Pisano, Vol. II, pp. 30–110 · Cod. Urb. Lat. 292, fol. 18v–67v) · English Translation · Summary · GEOMETOR Notes

[Folio fol. 18v–24r | p. 30–39]

De Mensuratione Trigonorum per Cathetum et Casum

Versio Anglica: Triangles by Cathetus and Casus (pp. 30–39) · Commentarius: Notae ad Trigonum (13, 14, 15)

Incipit distinctio tertia in mensuratione omnium camporum; et primo de campis trigonis.

Omnis trigonus aut est ortogonius, aut oxigonius, aut ambligonius; et cuiuslibet trigoni embadum equale est ei quod fit ex dimidio catheti in basim super quam cadit, vel ex dimidio basis in totum cathetum. [I. 41]

Sit trigonus oxigonius diversilaterus .abg., cuius latus .ab. sit perticarum $.XIII.$, latus .ag. $.XV.$, et basis .bg. $.XIIII.$. Ut inveniatur casus et cathetus .ad. [II. 13]:

[II. 13, I. 47]Auferatur quadratum .ab. ($169$) a quadratis .bg. ($196$) et .ag. ($225$) pariter acceptis ($421$); remanent $.CCLII.$ ($252$), que dividantur per duplum basis .bg. ($28$): exibit maior casus .dg. perticarum $.VIIII.$ ($9$), et minor casus .bd. erit $.V.$ ($5$). Inde quadratum .bd. ($25$) demptum ex quadrato .ab. ($169$) relinquit $.CXLIIII.$ ($144$), cuius radix $.XII.$ est cathetus .ad.; multiplicato itaque dimidio basis ($7$) in $.XII.$, provenit embadum perticarum $.LXXXIIII.$ ($84$).
[Folio fol. 24v–25v | p. 40–41]

Regula Generalis et Demonstratio Campi Trigonij (Heron)

Versio Anglica: Heron’s Semiperimeter Rule & Incenter Proof (pp. 40–41) · Commentarius: Notae ad Demonstrationem Heronis

Trigoni latera in unum coniunge, et dimidium sume accipe eorum; a qua per ordinem singulum latus eiusdem trigoni aufer, et residuum serva; post hec multiplica primum residuum in secundum, et summam in tertium, et quod inde provenerit multiplica in dimidium sume trium laterum; et summe provenientis radix erit embadum ipsius trigoni.

In trigono $.XIII., .XIIII., .XV.$ summa laterum est $.XLII.$, cuius dimidium est $.XXI.$; residua sunt $.VIII., .VII., .VI.$; ex $.XXI.$ in $.VIII.$ in $.VII.$ in $.VI.$ proveniunt $7{,}056$, cuius radix $.LXXXIIII.$ ($84$) est embadum. Quod nunc geometrice (heron:metrica, banu-musa:verba) demonstretur.

Distinctio III — Fibonacci's Geometric Incenter Proof of Heron's Formula ( T H ): (x - 6)**2 + (y - 4)**2 - 16 = 0 [ B L ]: y = 0 [ B E ]: 12*x - 5*y = 0 [ G Z ]: -12*x - 9*y + 168 = 0 [ B T ]: -12*x + 18*y = 0 [ G T ]: -56*x/5 - 112*y/5 + 784/5 = 0 / A T /: length = sqrt(65) / B T /: length = 2*sqrt(13) / G T /: length = 4*sqrt(5) / T H /: length = 4 / T E /: length = 4 / T Z /: length = 4 / G L /: length = 7 / B H /: length = 6 / H G /: length = 8 B = (0, 0) G = (14, 0) A = (5, 12) H = (6, 0) E = (30/13, 72/13) Z = (46/5, 32/5) T = (6, 4) L = (21, 0) B G A H E Z T L
Trigonus < A B G > cum puncto concursus bisectorum T, cathetis equalibus / T H /, / T E /, / T Z /, circulo inscripto ( T H ) et linea [ B L ] protracta ad dimidium perimetri.

Sit datus trigonus ABG, dividanturque duo eius anguli ad B et G per equalia lineis BT et GT concurrentibus in puncto T. [I. 9]

  1. De Equalitate Perpendicularium: A puncto T ducantur perpendiculares TH, TE, et TZ super tria latera BL, BE, et GZ. [I. 12] Quia trigoni rectanguli circa BT et GT habent angulos equales et latus commune, [I. 26] erunt tres perpendiculares TH, TE, TZ sibi invicem equales, circulusque (TH) continget tria latera; [IV. 4] coniunctaque AT dividet similiter angulum A per equalia.

  2. Protractio Basis ad Dimidium Laterum: Protrahatur basis BL in rectum usque ad L, ponaturque GL equalis portioni $AE$ (sive $AZ$). Erit igitur tota linea $BL$ (composita ex BH, HG, et GL) dimidium trium laterum trigoni ABG, et tria residua erunt $GL$, $BH$, et $HG$.

  3. Demonstratio Proportionalitatis: Quoniam embadum trigoni ABG componitur ex tribus trigonis circa T, fit ipsum ex multiplicatione TH in $BL$, quadratumque embadi est quadratum TH in quadratum $BL$. Per similitudinem autem trigonorum rectangulorum ostenditur quod id quod fit ex quadrato TH in $BL$ equale est ei quod fit ex GL in BH et in HG; quare:

    $$\text{Embadum}^2 = TH^2 \cdot BL^2 = BL \cdot GL \cdot BH \cdot HG.$$

Quod oportebat ostendere.
[Folio fol. 34r–53v | p. 56–87]

De Campis Quadrilateris et Multangulis

Versio Anglica: Quadrilaterals & Multi-Angular Polygons (pp. 56–87) · Commentarius: Notae ad Quadrilatera

Tractantur consequenter campi quadrilateri—rombi per dyametros orthogonaliter se secantes ($\frac{1}{2} e_1 e_2$), campi caput abscisi (trapezia) per cathetum in dimidium aggregati capitis et basis ($\frac{a+b}{2}\cdot h$), ac quadrilatera irregularia et multangula, que omnia per protractionem dyametrorum in trigonos resolvuntur.

[Folio fol. 54r–56v | p. 88–91]

De Mensuratione Circulorum Secundum Archimenidem cum Parvis Numeris

Versio Anglica: Archimedes’ Circle Measurement (pp. 88–91) · Commentarius: Notae ad Polygonum XCVI Laterum

OSTENDENDVM est etiam quomodo inventum fuit, lineam circunferentem omnis circuli esse triplam et septimam sui dyametri ab ARCHIMENIDE phylosopho (archimedes:circle); cum possibile sit cum parvis numeris ea que ipse cum magnis ostendit plenissime demonstrare.
Distinctio III — Circle Measurement (1440 : 458 1/3 = 864 : 275) ( C A ): x**2 + y**2 - 225 = 0 [ C G ]: y = 0 [ A F ]: x - 15 = 0 [ C Y ]: -5*sqrt(3)*x + 15*y = 0 [ C F ]: -15*x/2 + y*(15*sqrt(3)/2 + 15) = 0 / E Z /: length = 10*sqrt(3) / C Z /: length = 10*sqrt(3) / Y M /: length = 15 / Y A /: length = 15*sqrt(2 - sqrt(3)) / A M /: length = 15*sqrt(2 - sqrt(3)) / A F /: length = 30 - 15*sqrt(3) / G Y /: length = 15*sqrt(sqrt(3) + 2) B = (0, 15) D = (0, -15) C = (0, 0) A = (15, 0) G = (-15, 0) E = (15, 5*sqrt(3)) Z = (15, -5*sqrt(3)) Y = (15*sqrt(3)/2, 15/2) M = (15*sqrt(3)/2, -15/2) F = (15, 30 - 15*sqrt(3)) B D C A G E Z Y M F
Circulus ( C A ) super dyametrum [ C G ] cum contingente / E Z / in puncto A, radio [ C Y ], bisectore [ C F ] et corda inscripta / Y A /.

  1. Polygonum Circumscriptum $.XCVI.$ Laterum: Describatur circulus (CA) circa centrum C cum dyametris per G, A et B, D, contingenteque EZ in puncto A. [III. 16] Sit angulus sub CY et $CA$ tertia pars unius recti, dividaturque quater per equalia per lineas ut CF secantes contingentem in F (AF, CZ)—ab exagono ad figuram $.XII.$, $.XXIIII.$, $.XLVIII.$, et $.XCVI.$ laterum. [VI. 3] Posito dyametro $.MCCCCXL.$ ($1440$, semidyametro $CA = 720$), ostenditur ambitum figure circumscripte $.XCVI.$ laterum minorem habere proportionem ad dyametrum quam $1440$ ad $458\frac{1}{5}$ ($\frac{7200}{2291}$).

  2. Polygonum Inscriptum $.XCVI.$ Laterum: In semicirculo autem inscribatur corda exagoni YA cum catheto GY et casibus ad M (YM, AM). [III. 31] Quatuor subduplicationibus arcuum demonstratur ambitum figure inscripte $.XCVI.$ laterum maiorem habere proportionem ad dyametrum quam $1440$ ad $458\frac{4}{9}$ ($\frac{6480}{2063}$).

  3. Proportio Media Leonardi ($864 : 275$) et $22 : 7$: Accipiendo numerum medium $458\frac{1}{3}$ inter $458\frac{1}{5}$ et $458\frac{4}{9}$, habetur proportio circunferentie ad dyametrum ut $1440$ ad $458\frac{1}{3}$, hoc est ut $864$ ad $275$ ($3\frac{39}{275}$); et dempta undecima parte unius ($\frac{1}{11}$) a $275$, remanet $864$ ad $274\frac{10}{11}$, que est ipsissima proportio tripla sesquiseptima ($3\frac{1}{7} = \frac{22}{7}$).