UNITAS I — PROLOGUS AD MAGISTRUM DOMINICUM, MENSURAE PISANAE & DISTINCTIO I–II

Incipit Practica Geometriae Composita a Leonardo Pisano de Filiis Bonaccii Anno M.CC.XX

Fons Criticus: boncompagni:1862 (Scritti di Leonardo Pisano, Vol. II, pp. 1–30 · Cod. Urb. Lat. 292, fol. 1r–18v) · English Translation · Summary · GEOMETOR Notes

[Folio fol. 1r | p. 1]

Epistola et Prologus ad Magistrum Dominicum

Versio Anglica: Epistle & Prologue (p. 1) · Commentarius: Notae ad Prologum

Incipit pratica geometrie composita a Leonardo pisano de filijs bonaccij anno $.M.^{\circ}\ cc.^{\circ}\ xx.^{\circ}$

ROGASTI AMICE DOMINICE ET REVERENDE magister, ut tibi librum in pratica geometrie conscriberem, qui et geometricas demonstrationes, et usum mensorum secundum vulgarem consuetudinem contineret. Quare vestre amicitie affectu permotus, volens hoc opus tam hijs qui secundum geometricam demonstrationem, quam hijs qui secundum vulgarem consuetudinem operari desiderant, utilitati deservire, ipsum dilucide ac ordinate componere laboravi; propter quod in octo distinctionibus ipsum divisi:

  • In prima namque posui mensurationem camporum equilaterorum et rectangulorum cum regulis mensurarum pisanarum et propositionibus secundi ac tertij libri Euclidis huic operi necessarijs (fibonacci:pg-1).

  • In secunda, de inventione radicum quadratorum tam in integris quam in ruptis et mensurarum partibus (fibonacci:pg-2).

  • In tertia, in mensuratione omnium camporum superficialium: trigonorum, tetragonorum, multangulorum atque circulorum (fibonacci:pg-3).

  • In quarta, de divisione camporum inter consortes (fibonacci:pg-4).

  • In quinta, de radicibus cubicis inveniendis et earum multiplicationibus ac divisionibus (fibonacci:pg-5).

  • In sexta, in dimensione corporum: columnarum, pyramidum, sperarum et quinque corporum regularium in spera descriptorum (fibonacci:pg-6).

  • In septima, de inventione altitudinum rerum elevatarum, profunditatum et planorum per quadrantem (fibonacci:pg-7).

  • In octava, de quibusdam subtilitatibus geometricis ad pentagonum, decagonum et lineas incommensurabiles spectantibus (fibonacci:pg-8).

[Folio fol. 1v–2v | p. 2–3]

Introductoria — Diffinitiones et Communes Animi Conceptiones

Versio Anglica: Introductory Definitions (pp. 2–3) · Commentarius: Notae ad Introductoria

Antequam ad primam distinctionem accedamus, quedam principia, petitiones et communes animi conceptiones ex primo libro Euclidis (euclid:elements) premittenda sunt:

  • Punctus est id quod nullam habet partem. [I. Def. 1]

  • Linea vero est longitudo sine latitudine, cuius extremitates sunt duo puncta; linea recta est ab uno puncto ad alium extensio in extremitates suas utrumque eorum recipiens, scilicet brevissima extensio inter duo puncta. [I. Def. 2–4]

  • Superficies quidem est quod latitudinem habet tantum et longitudinem, cuius termini sunt linee; superficies plana est ab una linea ad aliam extensio in extremitates suas eas recipiens. [I. Def. 5–7]

  • Angulus planus est duarum linearum alternus contactus, quarum expansio est super superficiem applicatioque non directa. Quando vero recta linea super rectam steterit duosque angulos utrobique fecerit equales, eorum uterque rectus est, vocaturque linea stans perpendicularis sive cathetus super eam cui insistit. [I. Def. 8–10]

  • Corpus est quod longitudinem, latitudinem et altitudinem habet, cuius termini sunt superficies. [XI. Def. 1]

[I. C.N. 1–5]Que eidem sunt equalia, et sibi invicem sunt equalia; et si equalibus equalia addantur, tota fiunt equalia; et si ab equalibus equalia demantur, que relinquuntur sunt equalia; et que mutuo sibi invicem congruunt, sunt equalia; et omne totum est maius sua parte.
[Folio fol. 2v–3v | p. 3–4]

De Pertica Pisana et Eius Partibus

Versio Anglica: The Agrarian Metrology of Pisa (pp. 3–4) · Commentarius: Notae ad Perticam Pisanam

Distinctio I — Pisan Pertica Superficialis (6 Pedes, 36 Denarii) / U2 R1 /: length = 6 / U1 T1 /: length = 6 / L2 R2 /: length = 6 / B2 T2 /: length = 6 / G H /: length = 6 / F E /: length = 6 / L4 R4 /: length = 6 / B4 T4 /: length = 6 / P1 P2 /: length = 6 / B5 T5 /: length = 6 / E F /: length = 6 P1 = (0, 5) P2 = (6, 5) U1 = (1, 0) U2 = (0, 1) A = (0, 6) B = (6, 6) C = (0, 0) D = (6, 0) U3 = (1, 1) I = (3, 3) P1 P2 U1 U2 A B C D U3 I
Pertica superficialis pisana < A B D C > ex sex pedibus superficialibus < A B P2 P1 > sive triginta sex denariis < C U1 U3 U2 > constituta.

Pertica enim pisana, cum qua terre mensurantur, est sex pedum linealium; et pes habet uncias, sive puncta $.XVIII.$; quare in pertica lineali sunt uncie centum octo ($108$).

Cum autem describitur quadratum ABDC habens ex omni parte perticam unam—ita ut tam linea superior quam basis habeat pedes lineales $.VI.$—dividitur ipsum secundum consuetudinem mensorum:

  • Pes superficialis (pes): Parallelogrammum ABP2P1 habens in longitudine perticam unam ($6$ pedes lineales) et in latitudine pedem unum, terminatum per lineam P1P2.

  • Denarius superficialis (denarius): Quadratum parvum CU1U3U2 circa angulum C habens ex utraque parte pedem unum linealem, distinctum per puncta U1 et U2.

  • Constat itaque pertica una superficialis ABDC ex pedibus $.VI.$ superficialibus, sive ex $.XXXVI.$ denarijs, aut ex centum octo ($108$) uncijs superficialibus; et linee medie EF ac GH concurrunt orthogonaliter in centro I et sunt invicem equales.

Quinque autem pertice et dimidia ($5\frac{1}{2}$) faciunt panorum unum; duodecim vero panora faciunt stariorum unum, quod est pertice quadraginta sex et viginti, hoc est $.LXVI.$ ($66$).

[Folio fol. 4r–11v | p. 5–18]

Distinctio I — De Mensuratione Camporum Quadrangulorum et Theorematibus Euclidis

Versio Anglica: Distinctio I (pp. 5–18) · Commentarius: Notae ad Distinctionem I

Omnis campi quadrilateri equilateri vel altera parte longioris ac rectanguli embadum invenitur ex multiplicatione unius lateris continentis angulum rectum in alterum.

Si sit campus quadratus .a.b.c.d. habens in unoquoque latere perticas $.II.$, ex multiplicatione $.II.$ in $.II.$ proveniunt pertice $.IIII.$; et si sit altera parte longior .a.b.g.d. habens in latitudine $.II.$ et in longitudine $.III.$, ex $.II.$ in $.III.$ fiunt pertice $.VI.$. Ex multiplicatione perticarum in perticas proveniunt pertice; ex perticis in pedes proveniunt pedes; ex pedibus in pedes proveniunt denarij, quorum sex faciunt pedem unum.

Si quis voluerit accipere terram continentem stariorum unum, hoc est perticas $.LXVI.$, cuius frons sit perticarum $.VII.$, dividat $.LXVI.$ per $.VII.$: exibunt pertice $.VIIII.$ et septime tres ($9\frac{3}{7}$), que sunt pertice $.VIIII.$, pedes $.II.$ et uncie $.X.\frac{2}{7}$.

Adduntur propositiones secundi et tertij libri Euclidis (euclid:elements):

[II. 4–10]

  1. Si linea recta secetur utlibet, quod a tota describitur quadratum equum est hijs que a sectionibus describuntur quadratis et ei quod bis sub sectionibus continetur rectangulo. [II. 4]

  2. Si linea recta .ab. secetur per equalia in .g. et per inequalia in .d., rectangulum comprehensum sub .ad. et .db. cum quadrato .gd. equale est quadrato dimidie .gb.. [II. 5]

  3. Si vero linea .ab. (utpote $.X.$) dividatur per equalia in .g. ($5$) et ei in rectum addatur .bd. ($3$), rectangulum .ad. in .db. cum quadrato .bg. equatur quadrato .gd. ($13 \times 3 + 25 = 64$), et quadrata .ad. et .db. pariter accepta dupla sunt quadratis .ag. et .gd. ($169 + 9 = 2 \times 89 = 178$). [II. 6, 10]

[III. 35]Si in circulo due recte linee .ag. et .bd. se invicem secent super punctum .e., quod sub .ae. in .eg. continetur equale est ei quod sub .be. in .ed. continetur.
[Folio fol. 11v–18v | p. 18–30]

Distinctio II — Incipit Capitulum de Inventione Radicum

Versio Anglica: Distinctio II (pp. 18–30) · Commentarius: Notae ad Distinctionem II

Incipit capitulum de inventione radicum quadratorum secundum figuram Indorum et secundum partes pertice.

Cum in mensurationibus dyametrorum et cathetorum sepe occurrant numeri non quadrati, docetur modus inveniendi radicem tam per figuras Indorum ex compositione quadrati $(10a + b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$ [II. 4], quam per propinquationem primam et secundam:

$$a_1 = a + \frac{N - a^2}{2a}, \qquad a_2 = a_1 - \frac{a_1^2 - N}{2 a_1}.$$

Si autem queratur radix de duabus tertijs ($\frac{2}{3}$) unius pertice superficialis: quoniam due tertie pertice sunt denarij viginti quatuor ($24$), sive uncie quadrate $7{,}776$, accipiatur radix de $7{,}776$, que est uncie $88$ cum residuo $32$, hoc est pedes quatuor et uncie sedecim ($4$ pedes, $16\frac{2}{11}$ uncie).

Explicit distinctio secunda de inventione radicum.