Fünfter Abschnitt: Sätze aus vergleichender Betrachtung und wechselseitiger Verbindung (§§ 61–87)¶
K. W. Feuerbach — Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks (Nürnberg, 1822, S. 41–55)
§§. 61–62. Mittlere Proportionalität des Dreiecks MNP¶
Es seyen im Dreieck \(ABC\), \(M, N, P\) die Fußpunkte der aus den Winkelpunkten \(A, B, C\) auf die gegenüberliegenden Seiten gefällten Senkrechten, deren Durchschnittspunkt \(O\); ferner im Dreieck \(MNP\), \(d, e, f\) die Berührungspunkte seines innerhalb berührenden Kreises, so wie \(d', e', f'\) die Berührungspunkte seines ausserhalb berührenden in der Ebene des Winkels \(PMN\) befindlichen Kreises (Fig. 8).
Weil (§. 26.) der Halbmesser des um das Dreieck \(MNP\) beschriebenen Kreises gleich \(\frac{1}{2}R\), so ist (§. 8.) \(\triangle def : \triangle MNP = \rho : R\), und, da (§. 25.) \(\triangle MNP : \Delta = \rho : R\), so folgt:
(und für das bei \(A\) stumpfwinklige Dreieck \(\triangle d'e'f' : \triangle MNP = \triangle MNP : \Delta\)), woher man den Satz erhält:
Das Dreieck \(MNP\) ist das mittlere geometrische Proportional Dreieck zwischen dem Dreieck \(ABC\) und jenem, welches die Berührungspunkte desjenigen die drei Seiten des Dreiecks \(MNP\) berührenden Kreises bilden, dessen Mittelpunkt jedesmal in den Durchschnittspunkt der Perpendikel des Dreiecks \(ABC\) fällt.
Zugleich folgt nach ähnlicher Schlußfolge: Jedes Dreieck ist selbst das mittlere geometrische Proportional-Dreieck zwischen dem Dreieck, welches die Berührungspunkte irgend eines seiner vier berührenden Kreise bilden, und demjenigen, welches die Mittelpunkte der drei übrigen bestimmen. Ferner ist (§. 62.):
§§. 63–65. Die Fußpunktdreiecke μ, μ’, μ’’, μ’’’ in den vier Berührungsdreiecken¶
§. 63. (S. 43–44) Bezeichnet man gleichwie in §. 8. durch \(\delta, \delta', \delta'', \delta'''\) die Inhalte derjenigen Dreiecke, welche durch die Berührungspunkte der Kreise von den Halbmessern \(r, r', r'', r'''\) bestimmt werden; ferner durch \(\mu, \mu', \mu'', \mu'''\) die Inhalte derjenigen Dreiecke, welche die Fußpunkte der Perpendikel in den Dreiecken \(\delta, \delta', \delta'', \delta'''\) bilden (Fig. 9–10), so ergeben sich folgende Proportionen:
\[\mu : \delta = \delta : \Delta, \qquad \mu' : \delta' = \delta' : \Delta, \qquad \mu'' : \delta'' = \delta'' : \Delta, \qquad \mu''' : \delta''' = \delta''' : \Delta,\]wobei die Dreiecke \(\mu, \mu', \mu'', \mu''', ABC\) alle einander ähnlich also liegen, daß ihre den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten mit einander parallel gehn.
§. 64. (S. 44) Wegen \(\mu + \mu' + \mu'' + \mu''' = \frac{\Delta}{4R^2}(r^2 + r'^2 + r''^2 + r'''^2)\) und (§. 28.) \(r^2 + r'^2 + r''^2 + r'''^2 = 4R(2R - \rho)\) folgt für das spitzwinklige Dreieck:
\[\mu + \mu' + \mu'' + \mu''' + \triangle MNP = 2\Delta\](und für das stumpfwinklige \(\mu + \mu' + \mu'' + \mu''' - \triangle MNP = 2\Delta\)).
§. 65. (S. 44) Da \(mn = r\sin\gamma\), \(mp = r\sin\beta\), \(np = r\sin\alpha\) und \(\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = \frac{\Delta}{rR}\), so folgt mit (§. 19.) \(MN + MP + NP = \frac{2\Delta}{R}\):
\[mn + mp + np = \frac{1}{2}(MN + MP + NP).\]
§§. 71–87. Inkreise O’, O’’, O’’’ der Eckdreiecke und Höhenschnitt S von ΔO’O’’O’’’¶
§§. 71–73. (S. 48) Bedeutet \(\mathfrak{r} = \frac{r^2}{2R}\) den Inkreishalbmesser von \(\triangle mnp\), und beschreibt man in die Dreiecke \(ANP, BMP, CMN\) Kreise (Fig. 11) mit Mittelpunkten \(O', O'', O'''\) und Halbmessern \(\rho' = r\cos\alpha\), \(\rho'' = r\cos\beta\), \(\rho''' = r\cos\gamma\), so folgt:
\[\begin{split}OM + ON + OP &= \rho + 2(r + \mathfrak{r}), \\ \rho' + \rho'' + \rho''' &= r + 2\mathfrak{r}, \\ OM + ON + OP &= r + \rho + \rho' + \rho'' + \rho'''.\end{split}\]
§. 87. (S. 55) Die kongruenten Dreiecke \(DEF\) und \(O'O''O'''\) liegen also, daß ihre den gleichen Winkeln gegenüberliegenden Seiten mit einander parallel gehen, und die Mittelpunkte \(O', O'', O'''\) der in \(ANP, BMP, CMN\) beschriebenen Kreise sind zugleich die Durchschnittspunkte der Perpendikel in \(AEF, BDF, CDE\). Aus \(\overline{O'S}^2 = (SF - O'e)^2 + (AF - Ae)^2 = 4r^2\sin^2\frac{1}{2}\alpha\) folgt:
\[O'S = 2r\sin\frac{1}{2}\alpha = DJ, \qquad O''S = 2r\sin\frac{1}{2}\beta = EJ, \qquad O'''S = 2r\sin\frac{1}{2}\gamma = FJ.\]Da nun \(J\) (§. 63.) der Durchschnittspunkt der Perpendikel im Dreieck \(DEF\), so ist auch \(S\) der Durchschnittspunkt der Perpendikel im Dreieck \(O'O''O'''\) und es ergiebt sich der Satz:
Der Mittelpunkt des in das Dreieck ABC beschriebenen Kreises ist zugleich der Durchschnittspunkt der Perpendikel im Dreieck O’O’’O’’’.