Abtheilung 0: Vorrede von Karl Buzengeiger (S. III–XVI, Freiburg, März 1822)¶
Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks — Nürnberg, 1822, Bei Riegel und Wießner
Titelblatt der Erstausgabe (1822)¶
Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung von Karl Wilhelm Feuerbach, der Philosophie Doktor. — Mit einer Vorrede von Karl Buzengeiger, ordentlichem Professor der Mathematik an der großherz. badischen Universität zu Freiburg. — Nürnberg, 1822. Bei Riegel und Wießner.
Vorrede (S. III–IV)¶
Die Mathematik läßt sich aus zwei sehr von einander verschiedenen Gesichtspunkten betrachten: so erscheint sie einmal als Wissenschaft, und das anderemal als Kunst. In der ersten erblickt man ihre Methode, eine Reihe von Wahrheiten zu verbinden, und in ein System zu vereinigen, so daß jede einzelne aus der vorhergegangenen auf eine einfache und evidente Art erkannt werden kann. In der zweiten müssen die Methoden und die Kunstgriffe dargelegt seyn, die sich anwenden lassen, um etwas Gesuchtes erfinden zu können. Um sie von der ersten Seite kennen zu lernen, giebt es unter ältern und neuern kein besseres Werk als Euklids Elemente. Die geometrischen analytischen Werke von Euklides und Apollonius, wovon wir freilich die Originale nicht selber, wohl aber die trefflichen Wiederherstellungen von Robert Simson besitzen, vorzüglich aber die noch vorhandenen Schriften Diophants sind die ältesten Produkte mathematischen Scharfsinns, aus welchen der Anfänger die Mathematik von der andern Seite kennen lernen kann. Um geometrische Aufgaben zu lösen, gebrauchten die Griechen eine Methode, die sie analytische hießen, und deren Erfindung insgemein Plato zugeschrieben wird.
Sie besteht im Allgemeinen darin, daß man die Aufgabe als gelöst sich denkt, und dann rückwärts erforscht, auf was für einfachere Fragen sie sich zurückführen lasse, und so fortgeht, bis man auf eine kommt, deren Auflösung man bereits kennt. Von Euklides haben wir noch eine sehr schöne und systematisch geordnete Sammlung solcher Aufgaben, welche dieser Kunst als Grundlage dienen, unter dem Namen Data. Da es aber oft sehr schwer ist, die gegebenen Stücke einer solchen Frage so mit einander in Verbindung zu bringen, daß sich brauchbare Folgen daraus ergeben, so ist das Studium der Werke jener großen Geometer von großer Wichtigkeit, um die Methoden und Kunstgriffe kennen zu lernen, die angewendet werden müssen, um solche Schwierigkeiten überwinden zu können. Diophants Schriften betreffen einen andern Zweig der Mathematik; sie bestehen aus einer zahlreichen Sammlung arithmetischer Fragen von einer ganz besondern Natur, und er bemühte sich in ihren Auflösungen die Kunstgriffe und Methoden auseinander zu setzen, durch deren Hilfe Fragen dieser Art aufgelöst werden können. Jeder, der diese Schriften von Diophant studirt, wird den Scharfsinn und den Reichthum an Hilfsmitteln, den ihm sein Genie darbot, bewundern, und wird das Vergnügen haben zu bemerken, daß er sich dadurch und durch die Vortheile, die der neuere Zustand der Arithmetik und Algebra noch hinzufügt, geschickt gemacht habe, allgemeinere und schwerere Aufgaben dieser Art auflösen zu können. Andere Werke der Griechen, welche nicht blos Sammlungen von Aufgaben sind, wie z. B. die beiden Bücher über Kugel und Cylinder von Archimedes, und die Kegelschnitte von Apollonius u. s. w. haben, obschon ihre Verfasser den darin vorkommenden Aufgaben jedesmal die Analysis beigefügt, doch nur die Tendenz einzelne Theile der Geometrie als Wissenschaft darzustellen.
Übergang zur neueren Analysis (S. V–XIV)¶
[Auf den Seiten V–XIV entwickelt Buzengeiger den geschichtlichen Übergang von der geometrischen Analysis der Alten zur neueren Buchstabenrechnung, der analytischen Geometrie und der symmetrischen Trigonometrie.]
Schluß der Vorrede und Würdigung Feuerbachs (S. XV–XVI)¶
[…] — Es gibt vielleicht noch nicht bemerkte und noch nicht gehörig beachtete analytische Operationen, und dabei Funktionen, die in Beziehung auf sie etwas Aehnliches leisten, wie die Logarithmen auf die arithmetischen Verrichtungen; aber man kann jetzt freilich nichts sagen, was diesen dunkeln Begriff erhellte, denn wenn man das könnte, so wäre die Sache auch da. Doch sind schon Versuche dieser Art gemacht worden, die Fakultäten und die kombinatorischen Operationen gehören hieher. Erste sind bis jetzt offenbar von den Analysten zu wenig beachtet worden. Eine große Menge von Integralien, deren numerische Berechnung durch die gewöhnliche Verwandlung in Reihen sich nicht ausführen läßt, kann durch dieselbe sehr einfach bewerkstelligt werden, und ihre Relationen geben neue Hilfsmittel, Reihen für solche Integralien zu finden, die einen beliebigen Grad der Annäherung gewähren. Letzte sind bis jetzt von sehr Wenigen von der rechten Seite angesehen worden, und das Wichtige und Schöne ist durch einen höchst widerlichen und untauglichen Zeichenwust versteckt und entstellt worden. Und so ist man eben auf dem Punkt, gestehen zu müssen, daß man zwar keinen Begriff habe, wie die Mathematik noch eine Epoche haben könne, die in ihrer Wirkung einer der bisherigen gleiche; allein das war wohl immer der Fall, ehe eine neue eintrat. Aber das ist gewiß, daß jede folgende schwerer werden muß, denn diese Wissenschaft gleicht in ihren Fortschritten den Sammlungen natürlicher Gegenstände; im Anfang kann eine solche schnell vermehrt werden, jemehr sie aber anwächst, desto langsamer geht es damit. Immer bleibt aber dieses Studium an sich gut, edel und fürs ganze Leben vom wichtigsten Einfluß; daher soll dieses Niemand abhalten, sich demselben zu widmen. Zudem bleibt das Gebiet dieser Wissenschaft immer doch unerschöpflich,
und es läßt sich noch unendlich viel machen, das des Dankes der Zeitgenossen und der Nachkommen werth ist, ob es jetzt gleich nicht so leicht seyn kann, etwas sehr Wichtiges hervorzubringen, als es vor einem Jahrhundert war. Ich glaube dieses nicht besser belegen zu können, als wenn ich mich auf die nachstehende Abhandlung berufe. Das ebene Dreieck ist die einfachste geometrische Figur, und von dem ersten Ursprung der Geometrie bis auf die jetzigen Zeiten haben die Geometer sich bestrebt, seine Eigenschaften zu erforschen, ohne diese Quelle erschöpfen zu können, wie eben diese Abhandlung zeigt, welche eine ziemliche Reihe der merkwürdigsten und schönsten hiehergehörigen Sätze enthält. Da übrigens der Herr Verfasser mein mehrjähriger Zuhörer gewesen ist, so enthalte ich mich alles weiteren Lobes, und begnüge mich nur zu bemerken, daß die Art, wie er seinen Gegenstand behandelt hat, einen sehr systematischen Kopf beweise, und dabei noch zu erwähnen, daß er sich eben so gut an weit höhere Gegenstände hätte wagen können.