← ceva / De Lineis Rectis Se Invicem Secantibus Statica Constructio

Unit II · Liber Primus Props. VI–XXII (Textus Latinus, 1678, pp. 7–35)¶

Folio-verified Neo-Latin primary text from Giovanni Ceva’s De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio (Mediolani: Ex Typographia Ludovici Montiae, 1678, Liber Primus, Props. VI–XXII, pp. 7–35; PDF pp. 24–52, Tab. 1–3, Figs. 9–27).

1. Propositio VI — Demonstratio Geometrica Petri Pauli Caravaggii (pp. 7–8)¶

Propositio VI. Theorema (Tab. 1, Fig. 10): Eadem, quæ supra staticè demonstravimus de tribus rectis in uno puncto concurrentibus, geometricè ac purè per lineas parallelas ostendere.

Ne quis autem existimet veritates hasce geometricas à solis principiis mechanicis seu staticis pendere, libet hoc loco subtexere perelegantem demonstrationem purè geometricam, quam mecum humanissimè communicavit ingeniosissimus adolescens Petrus Paulus Carauaggius Petri Pauli filius præceptoris sui (Pietro Paolo Caravaggio Jr.).

Per verticem A trianguli ABC ducatur recta ipsi basi $BC$ parallela, cui occurrant productæ ex reliquis angulis secantes $CF$, $BE$ in punctis $K$ et $L$. Ob similitudinem triangulorum (Euclides, [VI.4]), est $AF$ ad $FB$ ut $AK$ ad $BC$; itemque $CE$ ad $EA$ ut $BC$ ad $AL$; ac denique, transeunte tertia recta $AD$ per commune concursus punctum $P$, est $BD$ ad $DC$ ut $AL$ ad $AK$. Quare ex æquo perturbato, ratio composita ex $AF$ ad $FB$, $BD$ ad $DC$, et $CE$ ad $EA$ eadem est cum ratione composita ex $AK$ ad $BC$, $BC$ ad $AL$, et $AL$ ad $AK$—hoc est, cum ratione æqualitatis!

2. Lemma IV & Propositiones VII–VIII — Ratio Composita & Theorema Menelai (pp. 8–12)¶

Lemma IV (ex Commandino & Clavio, 1589): Si fuerint quotlibet magnitudines, ratio primæ ad ultimam componitur ex rationibus primæ ad secundam, secundæ ad tertiam, ac deinceps usque ad ultimam.
Propositio VII. Theorema (Tab. 1, Fig. 11): In omni triangulo ABC, si tres rectæ AD, BE, CF ex angulis ad opposita latera (sive intra, sive extra producta) ductæ in unum punctum P concurrant, ratio composita ex rationibus segmentorum $(AF : FB)$, $(BD : DC)$, $(CE : EA)$ est ratio æqualitatis; et conversim, si prædicta ratio composita fuerit æqualitatis, tres rectæ AD, BE, CF aut in unum punctum P concurrent, aut inter se æquidistantes erunt.
Propositio VIII. Theorema (Tab. 1, Fig. 12, Theorema Menelai ac Ptolemæi): Si per puncta E et F in duobus lateribus trianguli ABC ducatur recta transversalis EF occurrens tertio lateri lineBC producto extra in D', appensis in A, B, C ponderibus staticis manifestum fit rationem compositam ex $(AF : FB)$, $(BD' : D'C)$ et $(CE : EA)$ esse rationem æqualitatis—unde simul fluit sectio harmonica basim lineBC in punctis B, D, C, D' harmonicè dividi.

3. Propositiones IX–XXII — Concursus Linearum Notabilium Trianguli (pp. 12–35)¶

Ex hisce universalibus fontibus sponte promanant innumerabiles propemodum linearum concurrentium proprietates (Tab. 1–3, Figs. 13–27):

Si latera trianguli ABC bifariam secentur in D, E, F, positis in A, B, C ponderibus æqualibus ($1 : 1 : 1$), tres medianæ concurrunt in ipso trianguli centro gravitatis X(2).
Si ex angulis demittantur perpendiculares ad latera opposita, segmenta reciproca tangentibus angulorum exhibent concursum altitudinum in uno puncto X(4).
Si anguli trianguli ABC bifariam secentur ([VI.3]), segmenta cujusque lateris proportionalia sunt reliquis duobus lateribus adjacentibus ($a : b : c$), unde tres bisecantes in centro circuli inscripti X(1) necessario conveniunt; similiterque bisecantes duorum angulorum exteriorum cum bisecante tertii interioris ex pondere analytico F - A extra concurrunt.